Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil A (18. 12. 98)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jeder Seite nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 13 gegebenen Aufgaben für insgesamt 54 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Beachten Sie, dass ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden, und achten Sie bei Beweisen auf die Vollständigkeit Ihrer Argumentation.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Formulieren Sie eine explizite Definition für den Begriff ”linear abhängig“. (Sie sollen also nicht schreiben: ”Nicht linear unabhängig“.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Gibt es im ℚ-Vektorraum ℝ drei Vektoren u, v, w, so dass zwar alle Paare (u, v), (u, w) und (v, w) linear unabhängig sind, aber die Folge (u, v, w) linear abhängig ist? (Beweis der Unmöglichkeit oder Beispiel.) 3 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Teilmengen des Zeilenraums V = ℝ^{1×4} sind Teilräume von V?

(a) M_{1} = { [ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ] ∈ V | a_{1}^{2} + a_{3}^{4} = 0 },

(b) M_{2} = { [ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ] ∈ V | a_{2}^{1} + a_{4}^{3} = 0 }. (Antwort jeweils mit Begründung.) 3 + 2 = 5 Punkte

Aufgabe 4. Bestimmen Sie die Menge aller Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über ℚ.

\begin{aligned}5 · x_{1} & + & 10 · x_{2} & − & 8 · x_{3} & + & 11 · x_{4} & = & 12 \\ 2 · x_{1} & + & 4 · x_{2} & − & 3 · x_{3} & + & 4 · x_{4} & = & 5 \\ 1 · x_{1} & + & 2 · x_{2} & − & 2 · x_{3} & + & 3 · x_{4} & = & 2 \end{aligned}

5 Punkte

Aufgabe 5.

Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ −2 & −3 & −1 & −4 & −1 \\ −2 & −1 & −3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & −1 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{4×5}.

(a) Bestimmen Sie die Gauß-Jordan-Basis des Zeilenraums Zr A.

(b) Es sei A = (A_{1}, …, A_{5}) die Folge der Spalten von A. Bestimmen Sie eine Teilfolge von A, die eine Basis von ⟨ A ⟩ ist. 3 + 1 = 4 Punkte

Aufgabe 6.

(a) S und T seien 2-dimensionale Teilräume eines Vektorraums V über einem Schiefkörper K. Welche Dimensionen können die Teilräume S ∩ T und S + T haben? Geben Sie alle Möglichkeiten an. (Mit Begründung.)

(b) Es sei nun konkret V = P_{5}(ℝ) der (6-dimensionale) ℝ-Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 5 über ℝ. Geben Sie für jede der Möglichkeiten aus (a) ein Beispiel an. (Ohne Beweis, aber natürlich in vollständigen Sätzen.) 2 + 3 = 5 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra I, Teil A 18. 12. 98

Aufgabe 7. Es sei p eine Primzahl, ℤ_{p} der Restklassenring modulo p und \overline{a} ein Element aus ℤ_{p} mit \overline{a} ≠ \overline{0}.

(a) Wie ist ℤ_{p} als Menge definiert?

(b) Bekanntlich ist ℤ_{p} ein Körper, also gibt es in ℤ_{p} ein Element \overline{a}^{−1}. Beschreiben Sie mit wenigen kurzen Sätzen, wie und warum man \overline{a}^{−1} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen kann. Hinweis: Sie sollen \underline{nicht} den euklidischen Algorithmus beschreiben. 1 + 3 = 4 Punkte

Aufgabe 8.

Wir betrachten die Abbildung α = ([ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ] ↦ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} ): ℤ_{7}^{4×1} → ℤ_{7}. Geben Sie zu jedem

Element y ∈ Bild (α) die Urbildmenge α^{−}(y) an. Wie viele Elemente hat α^{−}(y) jeweils? Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie viele solche Mengen Sie angeben sollen und wie Sie die Menge α^{−}(y) knapp und trotzdem explizit angeben. 6 Punkte

Aufgabe 9. Gegeben sei der Vektorraum V = ℤ_{5}^{1×4} über dem Körper ℤ_{5} = \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4} \} mit 5 Elementen und in

V der Teilraum T = ⟨ [ \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4} ], [ \overline{2}, \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} ], [ \overline{3}, \overline{4}, \overline{1}, \overline{3} ] ⟩.

Berechnen Sie eine Basisfolge von T, ergänzen Sie sie zu einer Basisfolge von V, und bestimmen Sie eine Basisfolge von V/T. 4 Punkte

Aufgabe 10. Im ℝ-Vektorraum F (ℝ) aller Funktionen von ℝ nach ℝ betrachten wir den von den Funktionen s_{1} = (x ↦ sin(x)) , s_{2} = (x ↦ sin(2x)) , s_{3} = (x ↦ 2 sin(x)) erzeugten Teilraum V = ⟨ s_{1}, s_{2}, s_{3} ⟩. Geben Sie einen zu V isomorphen ℝ-Vektorraum W an, der nicht Teilraum von F (ℝ) ist. (Ohne Beweis.) 2 Punkte

Aufgabe 11. Untersuchen Sie, ob die Abbildung f = ([ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}a + 1 \\ b \end{matrix} ]): ℝ^{2×1} → ℝ^{2×1} injektiv, surjektiv, bijektiv, linear ist. 3 Punkte

Aufgabe 12. Geben Sie ein Beispiel einer linearen Abbildung α an, für die Kern (α) und Cokern (α) die Dimension 1 haben. (Es kommt auf die Formulierung an. Die Linearität Ihrer Abbildung brauchen Sie nicht zu beweisen.) 3 Punkte

Aufgabe 13. In einem affinen Raum P über dem 2-dimensionalen ℝ-Vektorraum ⟨ p_{0}, p_{1} ⟩ der Polynomfunktionen vom Grad ≤ 1 seien ein Punkt P als Ursprung und weitere vier Punkte A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2} durch ihre Vektoren

\begin{matrix}P A_{1}^{⇀}= p_{0}·1 − p_{1}·3, & P B_{1}^{⇀}= p_{0}·2 − p_{1}·1, \\ P A_{2}^{⇀}= p_{0}·5 + p_{1}·2, & P B_{2}^{⇀}= p_{0}·3 − p_{1}·1 \end{matrix}

gegeben. Berechnen Sie, falls er existiert, den Schnittpunkt S der Geraden A_{1}B_{1} und A_{2}B_{2}. 7 Punkte