Nachholklausur zur Linearen Algebra II (6. 10. 94)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Zum Bestehen der Klausur sind 20 Punkte erforderlich. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei φ ein Endomorphismus eines 4-dimensionalen Vektorraums V über dem Körper ZZ_{2} mit zwei Elementen; und zwar habe φ bezüglich einer gewissen Basisfolge B die Matrix

m(B, φ, B) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) =: F.

Berechnen Sie die Dimension der von φ erzeugten ZZ_{2}-Algebra–m–1 A = ⟨φ⟩_{ZZ_{2}−Alg−m−1} (als Teilalgebra von End^{·}(V)). 3 Punkte

Aufgabe 2.

a) Definieren Sie die Redeweise ”Der Vektorraum V ist die (innere) \underline{direkte Summe} der Teilräume U_{1} und U_{2}.“ 2 Punkte

b) Wann heißt ein T -Raum V \underline{unzerlegbarer} T -Raum? 2 Punkte

Aufgabe 3.

Auf dem Spaltenraum V = V_{4×1}(IR) wird durch die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) eine lineare

Abbildung

φ := (X ⟼ AX für X ∈ V): V ⟶ V

definiert. Der Vektorraum V wird durch die Setzung

XT := φ(X) für X ∈ V

zum T -Raum. Schreiben Sie V als direkte Summe von zyklischen Teil-T -Räumen ⟨X_{i}⟩_{T −Raum}. 4 Punkte

Aufgabe 4. Gegeben seien ein 4-dimensionaler IR-Vektorraum mit Basisfolge B und die lineare Abbildung

φ: V ⟶ V mit M(B, φ, B) = ( \begin{matrix}3 & 5 & 0 & 0 \\ −2 & −3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & −1 \\ 1 & 0 & 5 & −2 \end{matrix} ).

a) Wie lautet die rationale Normalform für φ (bei Verwendung der Spaltenvorschrift)? 3 Punkte

Nachholklausur zur Linearen Algebra II (6. 10. 94) Blatt 2

b) Berechnen Sie eine Basisfolge K, d. h. die Wechselmatrix (!) M(B, K), bezüglich der die Matrix von φ die rationale Normalform-Matrix ist. 3 Punkte Aufgabe 5. Rechnen Sie eine Lösung Y = (x ⟼ Y (x) = e^{xA} · C für x ∈ IR) : IR ⟶ V_{3×1}(IR) des Diffe-

rentialgleichungssystems \frac{dY (x)}{dx} = AY (x) für A = ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ 1 & −2 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) aus, d. h., berechnen Sie

die einzelnen Komponenten der Matrix e^{xA}! 7 Punkte

Aufgabe 6. Auf einem 5-dimensionalen CI -Vektorraum V sei eine lineare Abbildung φ durch die Matrix

M(B, φ, B) = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) bezüglich einer Basisfolge B = (B_{1}, …, B_{5}) gegeben. W sei

der von dem Vektor Y = B_{2} + B_{5} erzeugte T -Teilraum des T -Raums V zu T := φ.

a) Welche Dimension hat V/W? (Begründung!) 4 Punkte

b) Berechnen Sie das Minimalpolynom \overline{m}(t) der von φ auf dem Faktorraum V/W bewirkten linearen Abbildung \overline{φ}: V/W ⟶ V/W. 3 Punkte

Aufgabe 7. Wieviele Isomorphieklassen von 6-dimensionalen T -Räumen über Q I gibt es, bei denen die durch die Operation T bewirkte lineare Abbildung φ das Minimalpolynom (t − 1)^{2} hat?

a) Wie lautet das charakteristische Polynom von φ? (Begründung!) 3 Punkte

b) Geben Sie zu jeder Isomorphieklasse genau ein Beispiel an. (Mit Text.) 2 Punkte

Aufgabe 8. Auf einem 2-dimensionalen euklidischen Vektorraum (V, Γ) sei eine orthogonale Abbildung φ: V ⟶ V gegeben, die keinen 1-dimensionalen Teilraum invariant läßt. Jedoch sei λ = a+bi ∈ CI ein Eigenwert mit Eigenvektor C = A ⊗ 1 + B ⊗ i ∈ V_{C I} der Komplexifikation (V ⊗ C, φ_{C I} ). Zeigen Sie:

a) Die Matrix von φ bezüglich der Basis D := (A, −B) von V stimmt mit der Matrix von ·λ (der Multiplikation mit λ auf dem IR-Vektorraum CI ) bezüglich der Basis (1, i) überein. (Hinweis: Berechnen Sie φ_{C I} (C) auf zwei Arten.) 4 Punkte

b) \overline{C} := A ⊗ 1 − B ⊗ i ist ebenfalls ein Eigenvektor von φ_{C I} . 3 Punkte

c) φ_{C I} ist unitär bezüglich des üblichen hermiteschen Produkts Γ_{C I} auf V ⊗ CI , das (V, Γ) ”fortsetzt“. 4 Punkte Aufgabe 9. Gegeben ist ein 2-dimensionaler euklidischer Vektorraum (V, Γ) mit einer ON-Basis R sowie eine lineare Abbildung φ: V ⟶ V durch ihre Matrix

M(R, φ, R) = ( \begin{matrix}w & −w \\ w & w \end{matrix} ) mit w := \frac{1}{2}\sqrt{2}.

a) Ist φ eine orthogonale Abbildung? (Begründung!) 3 Punkte b) Berechnen Sie für die Komplexifikation (V ⊗CI , φ_{C I} ) eine Basis C, bezüglich der die Matrix

von φ_{C I} die Jordan-Normalform hat. (D. h., geben Sie die Matrizen M(R ⊗ 1, C) und M(C, φ_{C I} , C) an.) 5 Punkte

c) Berechnen Sie gemäß Aufgabe 7a für einen Eigenwert λ von φ_{C I} die Basis D und die Matrix M(D, φ_{C I} , D). 2 Punkte

Aufgabe 10. Zu welcher bekannten abelschen Gruppe ist (ZZ_{3} +^{.} ZZ_{3})_{ZZ} ⊗_{ZZ}(ZZ_{4}) isomorph? (Begründung!)

3 Punkte

Aufgabe 11.

Es sei V = V_{2×1}(IR). Läßt sich der Vektor Z = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) ∈ V ⊗ V in der Form A ⊗ B mit A, B ∈ V schreiben? 4 Punkte

Aufgabe 12. Es sei K ein Körper. Gegeben seien ein Endomorphismus α: V ⟶ V des K-Vektorraums V und ein Endomorphismus β: W ⟶ W des K-Vektorraums W. Weiter sei A ein Eigenvektor von α und B ein Eigenvektor von β.

a) Wir betrachten auf S := V +^{.} W den Endomorphismus γ mit

(X, Y) ⟼ (α(X), β(Y)) für X ∈ V, Y ∈ W. Ist (A, B) ein Eigenvektor von γ? Wenn ja, welche Dimension hat der Eigenraum, in dem (A, B) liegt, im Vergleich zu den Dimensionen der Eigenräume, in denen A bzw. B liegen?

4 Punkte

b) Wir betrachten auf T := V ⊗ W den Endomorphismus α ⊗ β mit

X ⊗ Y ⟼ α(X) ⊗ β(Y) für X ∈ V, Y ∈ W. Ist A ⊗ B ein Eigenvektor von α ⊗ β? Wenn ja, welche Dimension hat der Eigenraum, in dem A ⊗ B liegt, im Vergleich zu den Dimensionen der Eigenräume, in denen A bzw. B liegen? 5 Punkte