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Elementare Zahlentheorie
Stundenprotokoll vom 03.02.2004 (AW)
INHALT: Forts. von § 10: Approximationsordnung
Transzendente Zahlen
(zum Beispiel e oder pi)
Approximationssatz
Fortsetzung von letzter
Stunde:
α sei
algebraisch von der Ordnung N. Dann ist α nicht approximierbar
von einer Ordnung größer oder gleich N + 1.
Satz:
Wenn ein δ
existiert mit │α –a/b│
kleiner als δ/bN für unendlich
viele a/b (gekürzt) Element aus Q, dann ist α approximierbar.
Satz:
Definiere ζ:=
1/101! + 1/102! + 1/103! + ……+…..
Es gilt: ζ ist
transzendent, d.h. nicht algebraisch von irgendeiner Ordnung.
Beweis:
Setze ζk =
p(k) / q(k) = 1/101! + 1/102!
+ 1/103! + ……+ 1/10k!
Es folgt: │ζ
- ζk │ = 10-(k+1)! ( 1+ 1/ 10(k+2)! –
(k+1)! + 1/ 10(k + 3)! – (k+1)! + …)
ist kleiner gleich 10-(k+1)! (
1+ 1/10 k + 1/10 k* k + …)
geometrische Reihe
ist kleiner
gleich 2 * 10-(k+1)!
= 2/q(k)k+1
ist kleiner gleich 2/q(k)N für k
+1 größer gleich N.
Also: ζ approximierbar von
Ordnung N für alle N (ζ transzendent).
§11 Farey Folgen
0 1
F1 0/1 1/1
F2 0/1 ½ 1/1
F3 0/1 1/3 ½ 2/3 1/1
F4 0/1 1/4 1/3 ½ 2/3 3/4 1/1
F5 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 ½ 3/5 2/3 3/4
4/5 1/1
F6 0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 ½ 3/5 2/3 3/4
4/5 5/6 1/1
.
.
.
Fragen:
(1) Wie schafft man
es, neue Gliederungen einzuordnen?
(2) Wann ist a/b
kleiner als c/d?
(3) Studiere &.
(4) Eigenschaften
von Fk.
Planen (Vermutungen):
(1) Man addiert
Zähler und Zähler sowie Nenner und Nenner. Man erhält einen dazwischen
liegenden Bruch.
(2) Die neuen Brüche
in Fk+1 sind von der Form a/b & c/d für konsekutive Brüche a/b,
c/d (standen in der vorherigen Folge nebeneinander) in Fk.
(3) Folgerung: Die
Determinante von konsekutiven Paaren in Fk
ist -1.
(4) Ein Intervall in
Mk (Medianprozess) enthält nur Brüche mit größeren
Nennern als die Intervallenden als Nenner haben.
Schreiben (Beweise):
(1)
a/b ist kleiner als c/d
äqui. ad ist kleiner als cb
daraus folgt ab + ad ist kleiner als ab + bc
äqui. a ( b
+ d) ist kleiner als b ( a + c)
daraus folgt a/b ist kleiner als a + c/ (b + d) =
a/b & c/d
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