Keywords:
tables,
reduced, primitive, positive definite, ternary quadratic forms,
three-dimensional lattices,
genus
In 1958 H. Brandt and O. Intrau published a table of primitive
positive-definite ternary quadratic forms of discriminants up to -1000
-- see Math. Reviews 21 #4938.
Alexander Schiemann (aschi@math.uni-sb.de) has recomputed these
tables and kindly allowed us to include them here.
Notation:
A ternary quadratic form
      a1 x1^2     +     a2 x2^2     +     a3 x3^2     +     a4 x2 x3     +     a5 x3 x1     +     a6 x1 x2
(where a1 ... a6 are integers) is printed as
      a1 a2 a3 a4 a5 a6
The discriminant of this form is
      d = a1 a4^2 + a2 a5^2 + a3 a6^2 - a4 a5 a6 - 4 a1 a2 a3
The associated matrix A =
  [ 2a1   a6   a5 ]
  [ a6   2a2   a4 ]
  [ a5   a4   2a3 ],
has determinant -2d.
The form is positive-definite if the associated matrix is positive-definite (in which case d is negative), and primitive if the g.c.d. of the a_i is 1.
The form is called odd (or integer-matrix) if a4, a5 and a6 are all even, otherwise it is even (or integer-valued). For example, x1^2 + x2^2 + x3^2 ( or 1 1 1 0 0 0) is odd, while A_3, x1^2 + x2^2 + x3^2 + x2 x3 + x3 x1 + x1 x2 (or 1 1 1 1 1 1) is even. For a primitive odd form, the matrix A has all even entries, and (1/2)A is the Gram matrix of a lattice whose squared lengths are both even and odd. For a primitive even form, the g.c.d. of the entries of A is 1, and the lattice with Gram matrix A has only even squared lengths.
The tables give all primitive forms of discriminants up through -1000. The forms of a given discriminant are grouped according to their genus. There is one line for each form.
(The Brandt-Intrau tables include some additional information not given here, such as the number of automorphs of each form.)
THE PRESENT FILE CONTAINS THE ODD FORMS.
FOR THE EVEN FORMS,
CLICK HERE.
B.-I.discr = -4 = -1 *2^2 2^3_3 1: 1 1 1 0 0 0 B.-I.discr = -8 = -1 *2^3 [2^2 4^1]_3 2: 1 1 2 0 0 0 B.-I.discr = -12 = -1 *2^2 *3 1^2 3^-1 2^-3_5 3: 1 1 3 0 0 0 1^-2 3^1 2^-3_1 4: 1 2 2 2 0 0 B.-I.discr = -16 = -1 *2^4 [2^1 4^2]_3 6: 1 2 2 0 0 0 2^2_2 8^1_1 5: 1 1 4 0 0 0 B.-I.discr = -20 = -1 *2^2 *5 1^2 5^-1 2^-3_7 7: 1 1 5 0 0 0 1^-2 5^1 2^-3_3 8: 1 2 3 2 0 0 B.-I.discr = -24 = -1 *2^3 *3 1^-2 3^-1 [2^-2 4^1]_5 10: 1 2 3 0 0 0 1^2 3^1 [2^-2 4^1]_1 9: 1 1 6 0 0 0 B.-I.discr = -28 = -1 *2^2 *7 1^-2 7^-1 2^3_5 13: 2 2 3 2 2 2 1^2 7^1 2^3_1 11: 1 1 7 0 0 0 12: 1 2 4 2 0 0 B.-I.discr = -32 = -1 *2^5 [2^1 4^1 8^1]_3 15: 1 2 4 0 0 0 2^-2_4 16^-1_3 16: 1 3 3 2 0 0 2^-2_2 16^-1_5 17: 2 2 3 2 2 0 2^2_2 16^1_1 14: 1 1 8 0 0 0 B.-I.discr = -36 = -1 *2^2 *3^2 1^1 3^-2 2^3_3 21: 2 2 3 0 0 2 1^-1 3^2 2^3_7 20: 1 3 3 0 0 0 1^2 9^-1 2^3_3 18: 1 1 9 0 0 0 1^-2 9^1 2^3_3 19: 1 2 5 2 0 0 B.-I.discr = -40 = -1 *2^3 *5 1^-2 5^-1 [2^-2 4^1]_7 23: 1 2 5 0 0 0 1^2 5^1 [2^-2 4^1]_3 22: 1 1 10 0 0 0 24: 2 2 3 0 2 0 B.-I.discr = -44 = -1 *2^2 *11 1^2 11^-1 2^-3_5 25: 1 1 11 0 0 0 27: 1 3 4 2 0 0 1^-2 11^1 2^-3_1 26: 1 2 6 2 0 0 B.-I.discr = -48 = -1 *2^4 *3 1^2 3^-1 2^-1_5 4^2_II 31: 1 4 4 4 0 0 [2^-1 4^2]_5 32: 2 2 3 0 0 0 2^-2_4 8^1_1 30: 1 3 4 0 0 0 2^-2_6 8^1_7 28: 1 1 12 0 0 0 1^-2 3^1 [2^-1 4^2]_1 29: 1 2 6 0 0 0 2^-2_2 8^1_7 33: 2 3 3 2 2 2 B.-I.discr = -52 = -1 *2^2 *13 1^2 13^-1 2^-3_7 34: 1 1 13 0 0 0 36: 2 2 5 2 2 2 1^-2 13^1 2^-3_3 35: 1 2 7 2 0 0 37: 2 3 3 2 0 2 B.-I.discr = -56 = -1 *2^3 *7 1^-2 7^-1 [2^2 4^1]_5 40: 1 3 5 2 0 0 1^2 7^1 [2^2 4^1]_1 38: 1 1 14 0 0 0 39: 1 2 7 0 0 0 B.-I.discr = -60 = -1 *2^2 *3 *5 1^-2 3^-1 1^-2 5^-1 2^3_1 42: 1 2 8 2 0 0 43: 1 3 5 0 0 0 1^2 5^1 2^3_5 46: 2 3 3 0 0 2 1^2 3^1 1^-2 5^-1 2^3_5 45: 2 2 5 0 0 2 1^2 5^1 2^3_1 41: 1 1 15 0 0 0 44: 1 4 4 2 0 0 B.-I.discr = -64 = -1 *2^6 2^-1_3 8^-2_II 53: 3 3 3 -2 2 2 2^1_1 8^2_2 49: 1 4 4 0 0 0 [2^1 4^1]_2 16^1_1 48: 1 2 8 0 0 0 [2^1 4^1]_4 16^1_7 52: 2 3 3 2 0 0 2^-2_6 32^-1_5 50: 1 4 5 4 0 0 2^2_2 32^1_1 47: 1 1 16 0 0 0 51: 2 2 5 2 2 0 B.-I.discr = -68 = -1 *2^2 *17 1^-2 17^-1 2^3_7 56: 1 3 6 2 0 0 57: 2 3 4 2 2 2 1^2 17^1 2^3_3 54: 1 1 17 0 0 0 55: 1 2 9 2 0 0 B.-I.discr = -72 = -1 *2^3 *3^2 1^-1 3^-2 [2^2 4^1]_3 60: 1 3 6 0 0 0 1^1 3^2 [2^2 4^1]_7 62: 2 3 3 0 0 0 1^-2 9^-1 [2^2 4^1]_3 59: 1 2 9 0 0 0 63: 2 3 4 2 0 2 1^2 9^1 [2^2 4^1]_3 58: 1 1 18 0 0 0 61: 2 2 5 0 2 0 B.-I.discr = -76 = -1 *2^2 *19 1^2 19^-1 2^-3_5 64: 1 1 19 0 0 0 66: 1 4 5 2 0 0 68: 2 3 4 2 2 0 1^-2 19^1 2^-3_1 65: 1 2 10 2 0 0 67: 2 2 7 2 2 2 B.-I.discr = -80 = -1 *2^4 *5 1^2 5^-1 [2^-1 4^2]_7 73: 1 4 6 4 0 0 74: 2 2 5 0 0 0 2^-2_6 8^1_1 69: 1 1 20 0 0 0 72: 1 4 5 0 0 0 1^-2 5^1 2^-1_3 4^2_II 76: 3 3 3 2 2 2 [2^-1 4^2]_3 70: 1 2 10 0 0 0 2^-2_2 8^1_1 75: 2 3 4 0 0 2 2^-2_4 8^1_7 71: 1 3 7 2 0 0 B.-I.discr = -84 = -1 *2^2 *3 *7 1^2 3^-1 1^2 7^-1 2^-3_7 77: 1 1 21 0 0 0 1^-2 7^1 2^-3_3 79: 1 3 7 0 0 0 82: 2 3 4 0 2 0 1^-2 3^1 1^2 7^-1 2^-3_3 78: 1 2 11 2 0 0 83: 3 3 3 0 2 2 1^-2 7^1 2^-3_7 80: 1 5 5 4 0 0 81: 2 2 7 0 0 2 B.-I.discr = -88 = -1 *2^3 *11 1^-2 11^-1 [2^-2 4^1]_5 85: 1 2 11 0 0 0 86: 2 3 4 2 0 0 1^2 11^1 [2^-2 4^1]_1 84: 1 1 22 0 0 0 87: 2 3 5 2 2 2 B.-I.discr = -92 = -1 *2^2 *23 1^-2 23^-1 2^3_5 92: 2 3 5 2 0 2 1^2 23^1 2^3_1 88: 1 1 23 0 0 0 89: 1 2 12 2 0 0 90: 1 3 8 2 0 0 91: 1 4 6 2 0 0 B.-I.discr = -96 = -1 *2^5 *3 1^-2 3^-1 [2^-1 4^1 8^1]_5 94: 1 2 12 0 0 0 100: 2 3 4 0 0 0 2^2_6 16^-1_3 101: 3 3 3 0 0 2 2^-2_4 16^1_1 95: 1 3 8 0 0 0 102: 3 3 4 -2 2 2 2^-2_6 16^1_7 98: 1 5 5 2 0 0 1^2 3^1 [2^-1 4^1 8^1]_1 96: 1 4 6 0 0 0 2^2_2 16^-1_3 93: 1 1 24 0 0 0 2^2_0 16^-1_5 97: 1 4 7 4 0 0 2^-2_2 16^1_7 99: 2 2 7 2 2 0 B.-I.discr = -100 = -1 *2^2 *5^2 1^1 5^-2 2^3_7 108: 2 3 5 0 0 2 1^-1 5^2 2^3_3 105: 1 5 5 0 0 0 1^2 25^-1 2^3_3 103: 1 1 25 0 0 0 107: 2 3 5 2 2 0 1^-2 25^1 2^3_3 104: 1 2 13 2 0 0 106: 2 2 9 2 2 2 B.-I.discr = -104 = -1 *2^3 *13 1^-2 13^-1 [2^-2 4^1]_7 110: 1 2 13 0 0 0 112: 1 5 6 4 0 0 1^2 13^1 [2^-2 4^1]_3 109: 1 1 26 0 0 0 111: 1 3 9 2 0 0 113: 2 2 7 0 2 0 B.-I.discr = -108 = -1 *2^2 *3^3 1^-1 3^-1 9^-1 2^-3_5 116: 1 3 9 0 0 0 1^1 3^1 9^-1 2^-3_1 119: 2 2 9 0 0 2 1^1 3^-1 9^1 2^-3_5 120: 2 3 5 0 2 0 1^-1 3^1 9^1 2^-3_1 118: 1 6 6 6 0 0 1^2 27^-1 2^-3_5 114: 1 1 27 0 0 0 117: 1 4 7 2 0 0 122: 2 4 5 4 2 2 1^-2 27^1 2^-3_1 115: 1 2 14 2 0 0 121: 2 3 6 2 2 2 B.-I.discr = -112 = -1 *2^4 *7 1^-2 7^-1 [2^1 4^2]_5 128: 2 3 5 2 0 0 2^2_6 8^1_7 129: 2 3 6 2 0 2 1^2 7^1 2^1_1 4^2_II 126: 1 4 8 4 0 0 [2^1 4^2]_1 124: 1 2 14 0 0 0 127: 2 2 7 0 0 0 2^2_0 8^1_1 125: 1 4 7 0 0 0 131: 3 3 4 2 2 2 2^2_2 8^1_7 123: 1 1 28 0 0 0 130: 2 4 5 4 2 0 B.-I.discr = -116 = -1 *2^2 *29 1^2 29^-1 2^-3_7 132: 1 1 29 0 0 0 135: 1 5 6 2 0 0 1^-2 29^1 2^-3_3 133: 1 2 15 2 0 0 134: 1 3 10 2 0 0 136: 3 3 4 0 2 2 B.-I.discr = -120 = -1 *2^3 *3 *5 1^2 3^-1 1^2 5^-1 [2^2 4^1]_1 137: 1 1 30 0 0 0 141: 2 3 5 0 0 0 1^-2 5^1 [2^2 4^1]_5 139: 1 3 10 0 0 0 1^-2 3^1 1^2 5^-1 [2^2 4^1]_5 140: 1 5 6 0 0 0 143: 3 3 4 2 2 0 1^-2 5^1 [2^2 4^1]_1 138: 1 2 15 0 0 0 142: 2 3 6 0 0 2 B.-I.discr = -124 = -1 *2^2 *31 1^-2 31^-1 2^3_5 148: 2 2 11 2 2 2 149: 2 3 6 2 2 0 1^2 31^1 2^3_1 144: 1 1 31 0 0 0 145: 1 2 16 2 0 0 146: 1 4 8 2 0 0 147: 1 5 7 4 0 0 150: 2 4 5 2 2 2 B.-I.discr = -128 = -1 *2^7 2^1_1 [8^1 16^1]_2 154: 1 4 8 0 0 0 2^1_7 [8^1 16^1]_4 160: 3 3 4 0 0 2 [2^-1 4^1]_0 32^-1_3 156: 1 6 6 4 0 0 [2^-1 4^1]_6 32^-1_5 159: 2 4 5 4 0 0 [2^1 4^1]_2 32^1_1 152: 1 2 16 0 0 0 [2^1 4^1]_4 32^1_7 161: 3 3 5 -2 2 2 2^-2_4 64^-1_3 153: 1 3 11 2 0 0 162: 3 4 4 4 2 2 2^-2_2 64^-1_5 158: 2 3 7 2 2 2 2^2_2 64^1_1 151: 1 1 32 0 0 0 155: 1 4 9 4 0 0 157: 2 2 9 2 2 0 B.-I.discr = -132 = -1 *2^2 *3 *11 1^-2 3^-1 1^2 11^-1 2^3_7 165: 1 3 11 0 0 0 169: 2 3 7 2 0 2 171: 3 3 4 0 2 0 1^-2 11^1 2^3_3 164: 1 2 17 2 0 0 168: 2 3 6 0 2 0 1^2 3^1 1^2 11^-1 2^3_3 163: 1 1 33 0 0 0 167: 2 2 11 0 0 2 1^-2 11^1 2^3_7 166: 1 6 7 6 0 0 170: 2 4 5 2 0 2 B.-I.discr = -136 = -1 *2^3 *17 1^-2 17^-1 [2^2 4^1]_7 174: 1 5 7 2 0 0 176: 2 3 6 2 0 0 1^2 17^1 [2^2 4^1]_3 172: 1 1 34 0 0 0 173: 1 2 17 0 0 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2282: 1 1 153 0 0 0 2290: 1 13 13 8 0 0 2296: 2 5 17 0 0 2 2301: 2 9 10 6 2 0 B.-I.discr = -616 = -1 *2^3 *7 *11 1^-2 7^-1 1^2 11^-1 [2^-2 4^1]_7 2317: 1 5 31 2 0 0 2324: 2 6 13 2 0 0 2330: 3 5 11 0 0 2 2334: 5 6 7 4 4 4 1^-2 11^1 [2^-2 4^1]_3 2319: 1 10 17 8 0 0 2322: 2 3 26 2 0 0 2326: 2 7 12 2 0 2 2328: 2 9 11 8 2 2 2331: 4 5 9 4 2 2 1^2 7^1 1^2 11^-1 [2^-2 4^1]_3 2315: 1 1 154 0 0 0 2320: 1 11 14 0 0 0 2321: 2 2 39 0 2 0 2323: 2 5 18 4 0 2 2325: 2 7 11 0 0 0 2329: 3 4 14 0 0 2 1^-2 11^1 [2^-2 4^1]_7 2316: 1 2 77 0 0 0 2318: 1 7 22 0 0 0 2327: 2 9 9 4 0 0 2332: 5 5 8 -2 2 4 2333: 5 6 6 4 0 2 B.-I.discr = -620 = -1 *2^2 *5 *31 1^2 5^-1 1^-2 31^-1 2^-3_1 2340: 1 6 26 2 0 0 2347: 2 6 15 4 2 2 2350: 3 7 9 6 2 0 1^2 31^1 2^-3_5 2335: 1 1 155 0 0 0 2338: 1 4 39 2 0 0 2339: 1 5 31 0 0 0 2341: 1 9 19 8 0 0 2346: 2 5 16 0 2 0 2349: 3 5 12 4 2 2 2353: 4 5 8 0 2 0 2354: 4 5 9 4 0 2 2355: 4 5 10 2 2 4 2357: 5 5 7 0 4 0 1^-2 5^1 1^-2 31^-1 2^-3_5 2337: 1 3 52 2 0 0 2343: 1 12 13 2 0 0 2344: 1 12 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3 3 20 2 2 2 2381: 3 4 15 -2 2 2 2388: 4 5 8 2 0 0 2394: 4 7 8 6 0 4 2^2_2 8^1_7 2364: 1 5 32 4 0 0 2373: 2 4 21 4 2 0 2392: 4 6 9 6 4 0 2396: 5 5 9 -2 4 4 B.-I.discr = -628 = -1 *2^2 *157 1^2 157^-1 2^-3_7 2398: 1 1 157 0 0 0 2401: 1 13 14 10 0 0 2402: 2 2 53 2 2 2 2406: 2 5 17 4 2 0 2407: 2 5 18 2 2 2 2408: 2 6 15 4 0 2 2409: 2 7 13 6 2 0 2412: 2 9 10 4 2 2 1^-2 157^1 2^-3_3 2399: 1 2 79 2 0 0 2400: 1 7 23 4 0 0 2403: 2 3 27 2 2 0 2404: 2 3 32 2 2 2 2405: 2 4 23 2 2 2 2410: 2 8 11 4 0 2 2411: 2 8 11 2 2 2 2413: 2 9 11 8 2 0 2414: 3 3 20 0 2 2 2415: 3 5 11 2 2 0 2416: 3 7 8 2 0 2 2417: 3 7 9 -4 2 2 2418: 3 8 8 6 0 2 2419: 4 6 7 2 0 2 B.-I.discr = -632 = -1 *2^3 *79 1^-2 79^-1 [2^2 4^1]_5 2422: 1 3 53 2 0 0 2423: 1 6 27 4 0 0 2429: 3 5 12 -2 2 2 2430: 3 6 10 4 0 2 2432: 4 6 7 2 2 0 2433: 5 6 7 6 2 2 1^2 79^1 [2^2 4^1]_1 2420: 1 1 158 0 0 0 2421: 1 2 79 0 0 0 2424: 1 9 18 4 0 0 2425: 2 3 32 2 0 2 2426: 2 5 16 2 0 0 2427: 2 7 13 4 2 2 2428: 2 8 11 6 0 0 2431: 3 7 8 2 2 0 2434: 5 6 7 0 4 4 B.-I.discr = -636 = -1 *2^2 *3 *53 1^-2 3^-1 1^-2 53^-1 2^3_1 2436: 1 2 80 2 0 0 2437: 1 3 53 0 0 0 2439: 1 5 32 2 0 0 2442: 1 8 20 2 0 0 2443: 1 8 21 6 0 0 2445: 1 12 14 6 0 0 2451: 2 7 12 2 2 0 2454: 3 6 9 2 0 0 2456: 3 8 9 8 2 2 2458: 4 5 9 4 2 0 2459: 4 6 9 6 4 2 1^2 53^1 2^3_5 2448: 2 3 27 0 2 0 2450: 2 6 15 2 2 2 2453: 3 3 18 0 2 0 2455: 3 6 10 -2 2 2 1^2 3^1 1^-2 53^-1 2^3_5 2447: 2 2 53 0 0 2 2452: 2 10 11 10 2 2 2460: 5 6 7 6 2 0 1^2 53^1 2^3_1 2435: 1 1 159 0 0 0 2438: 1 4 40 2 0 0 2440: 1 6 28 6 0 0 2441: 1 7 24 6 0 0 2444: 1 10 16 2 0 0 2446: 1 13 15 12 0 0 2449: 2 4 23 2 0 2 2457: 4 4 11 2 2 2 B.-I.discr = -640 = -1 *2^7 *5 1^-2 5^-1 2^-1_5 [8^1 16^1]_2 2467: 1 8 20 0 0 0 2493: 4 5 8 0 0 0 2^-1_3 [8^1 16^1]_4 2483: 3 3 20 0 0 2 2500: 4 7 7 6 0 0 [2^1 4^1]_4 32^-1_3 2484: 3 3 21 -2 2 2 2505: 5 6 6 4 0 0 [2^1 4^1]_2 32^-1_5 2462: 1 2 80 0 0 0 2481: 2 9 9 2 0 0 [2^-1 4^1]_6 32^1_1 2476: 2 4 21 4 0 0 2477: 2 5 16 0 0 0 [2^-1 4^1]_0 32^1_7 2468: 1 8 22 8 0 0 2506: 6 6 7 -4 4 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4 0 0 3809: 3 9 9 6 2 2 3824: 6 6 7 4 4 0 2^-2_2 8^1_7 3794: 2 4 27 4 2 0 3798: 3 3 23 0 2 0 3799: 3 3 26 2 2 2 3805: 3 6 12 0 0 2 3806: 3 7 11 6 0 0 1^-2 17^1 2^-1_5 4^2_II 3789: 1 12 20 12 0 0 3811: 4 4 17 0 0 4 3814: 4 5 12 4 4 0 3820: 5 5 9 -2 2 2 [2^-1 4^2]_5 3793: 2 3 34 0 0 0 3801: 3 4 18 4 0 0 3803: 3 5 15 2 2 2 3818: 4 6 11 4 0 4 2^-2_4 8^1_1 3780: 1 3 68 0 0 0 3787: 1 11 20 8 0 0 3800: 3 4 17 0 0 0 3802: 3 4 19 2 2 2 3807: 3 8 9 4 0 0 3808: 3 8 9 2 0 2 3812: 4 5 11 4 0 0 2^-2_6 8^1_7 3783: 1 5 41 2 0 0 3788: 1 12 17 0 0 0 3797: 2 9 12 0 0 2 3823: 5 6 9 6 4 2 1^2 3^1 1^2 17^-1 2^-1_5 4^2_II 3782: 1 4 52 4 0 0 3815: 4 5 13 2 0 4 [2^-1 4^2]_5 3792: 2 2 51 0 0 0 3816: 4 5 14 4 4 4 3822: 5 6 7 0 2 0 2^-2_4 8^1_1 3781: 1 4 51 0 0 0 3791: 1 15 16 12 0 0 3810: 4 4 13 0 2 0 3813: 4 5 11 0 2 2 2^-2_6 8^1_7 3778: 1 1 204 0 0 0 3790: 1 13 16 4 0 0 3821: 5 5 10 2 2 4 1^-2 17^1 [2^-1 4^2]_1 3784: 1 6 34 0 0 0 3786: 1 10 22 8 0 0 3795: 2 6 17 0 0 0 2^-2_2 8^1_7 3796: 2 6 19 6 2 0 3817: 4 6 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