Gruppe A

Nachholklausur, 4.4.2002

Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei K ein Körper und K[X] der Polynomring in der Unbestimmten X über K. Sind die folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit von Matrizen richtig? Hat ein normiertes Polynom f ∈ K[X], dessen Grad mindestens 2 ist, paarweise verschiedene Koeffizienten, dann ist seine Begleitmatrix diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Eine Matrix A ∈ K^{n×n} ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine Diagonalmatrix D ∈ K^{n×n} und eine Matrix T ∈ K^{n×n} existiert mit T D = AT.

□ Ja □ Nein

Jede Matrix A ∈ K^{n×n}, für die 0 · A = A gilt, ist diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

2 Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum, φ ∈ End V und 1 ≤ dim V = n < ∞. Sind die folgenden Aussagen wahr? Für jedes a ∈ K gibt es einen Endomorphismus von V mit Eigenwert a.

□ Ja □ Nein

Falls K = ℝ und n = 6 ist, so hat φ einen Eigenwert.

□ Ja □ Nein

Ist 0 einziger Eigenwert, so ist φ die Nullabbildung.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper und M, N ∈ K^{n×n} für ein n ∈ ℕ. Die Einträge der Matrix M seien mit m_{i,j} für (1 ≤ i, j ≤ n) bezeichnet. Sind die folgenden Aussagen über Determinanten richtig? Ist M eine untere Dreiecksmatrix, dann ist die Determinante von M gleich dem Produkt der Diagonalelemente.

□ Ja □ Nein

Enthält M nur die Zahlen 0 und 1, dann ist die Determinante von M auch entweder 0 oder 1.

□ Ja □ Nein

Ist eine Zeile von N das Negative einer anderen Zeile von N, dann ist det N = 0.

□ Ja □ Nein

4 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{m×n} mit m, n ∈ ℕ und b ∈ K^{m×1}. Sind die folgenden Aussagen über das lineare Gleichungssystem Ax = b richtig? Wenn es ein c ∈ K^{m×1} gibt, so dass Ax = c eine eindeutige Lösung hat, dann hat Ax = b auch eine eindeutige Lösung.

□ Ja □ Nein

Ax = b ist genau dann unlösbar, wenn rang(A) + 1 = rang(A, b) ist.

□ Ja □ Nein

Falls m = n ist und A nicht invertierbar ist, dann gibt es c ∈ K^{m×1}, so dass Ax = c unlösbar ist.

□ Ja □ Nein

5 Sei V ein endlich-erzeugter Vektorraum und X ⊆ Y ⊆ V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist X linear abhängig, so ist auch Y linear abhängig.

□ Ja □ Nein

Ist X eine Basis von V, so ist auch Y eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Wenn X eine Basis von ⟨X⟩ ist, so gibt es eine Teilmenge Y′ ⊆ Y mit X ⊆ Y′, die eine Basis von ⟨Y ⟩ ist.

□ Ja □ Nein

6 Es seien K ein Körper und φ : V → W und ψ : W → V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Kern ψ ⊆ Kern (ψ ∘ φ)

□ Ja □ Nein

Bild (ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ

□ Ja □ Nein

Kern (ψ ∘ φ) = Bild (φ ∘ ψ)

□ Ja □ Nein

7 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} eine Matrix. Mit Polynomen sind in dieser Aufgabe immer Polynome über K gemeint. Sind die folgenden Aussagen wahr? Das Minimalpolynom der Einheitsmatrix ist X − 1.

□ Ja □ Nein

Das Minimalpolynom einer Matrix ist irreduzibel.

□ Ja □ Nein

Ist X^{2} − X das Minimalpolynom von A, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

8 Entscheiden Sie jeweils, ob die angegebene Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W linear ist.

K := ℚ, V := ℚ, W := ℚ, φ : x ↦ 2x + 1  □ Ja □ Nein
K := ℝ, V := ℝ^{1×2}, W := ℝ, φ : (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1} · x_{2}  □ Ja □ Nein
K := ℝ, V := ℝ^{ℝ}, W := ℝ^{ℝ}, φ : f ↦ f + f  □ Ja □ Nein
K := ℝ, V := K^{2×3}, W := K^{1×3}, φ : M ↦ (1, 2) · M  □ Ja □ Nein

Nachholklausur, WS 2001, 4.4.2002, Gruppe A

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Es sei 2 ≤ n ∈ ℕ und A ∈ ℂ^{n×n}. Das Minimalpolynom μ_{A} von A sei gleich ∏_{i=1}^{k}(X − α_{i}) für

ein k ∈ ℕ mit 1 ≤ k ≤ n und es gelte α_{i} ≠ α_{j} für i ≠ j und α_{i}^{n_{i}} = 1 für gewisse 1 ≤ n_{i} ∈ ℕ und alle 1 ≤ i ≤ k. Zeigen Sie, dass es ein 1 ≤ m ∈ ℕ gibt, für das A^{m} = E_{n} ist. (5 Punkte)

10 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} für ein 1 ≤ n ∈ ℕ. Weiter seien f, g ∈ K[X] zwei Polynome. Zeigen Sie, dass die Matrizen f(A) und g(A) vertauschbar sind, dass also

f(A) · g(A) = g(A) · f(a)

ist. (5 Punkte) 11 Es sei 2 ≤ n ∈ ℕ und A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ ℤ^{n×n} eine Matrix, deren Determinante det A ∈ ℤ

ungleich 0 ist. Zeigen Sie, dass dann Zahlen b_{ij} ∈ ℤ und c_{ij} ∈ ℤ für 1 ≤ i, j ≤ n existieren mit c_{ij} | det A, so dass A^{−1} = (b_{ij}/c_{ij})_{1≤i,j≤n} gilt. (5 Punkte)

12 Es sei 1 ≤ n ∈ ℕ und A ∈ ℂ^{n×n} mit A^{3} = E_{n}.

Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist. (5 Punkte) 13 Es sei 𝔽_{3} = {0, 1, −1} der Körper mit 3 Elementen. Invertieren Sie die folgende Matrix mit

dem in der Vorlesung vorgestellten Verfahren. Dokumentieren Sie genau, was Sie tun.

A := ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) .

(5 Punkte)