Gruppe A

Scheinklausur, 2. Teil, 15.2.2002

Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine Matrix und μ_{A} ihr Minimalpolynom. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist der Grad von μ_{A} gleich 1, dann ist AB = BA für alle B ∈ K^{n×n}.

□ Ja □ Nein

Ist K = ℝ und μ_{A} = X^{3} − 6X^{2} + 9X, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = X − 1, dann ist A = E_{n}.

□ Ja □ Nein

2 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine Matrix und χ_{A} ihr charakteristisches Polynom. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist χ_{A} = X^{n}, dann existiert eine Zahl m mit 1 ≤ m ≤ n, so dass A^{m} = 0 ist.

□ Ja □ Nein

Ist χ_{A} = (X − 1)^{n}, dann ist A = E_{n}.

□ Ja □ Nein

Ist K = ℝ, n = 2, Sp A = 0 und det A < 0, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum der Dimension n mit n ≥ 4. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V, dann ist (v_{2}, v_{1}, v_{3}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V.

□ Ja □ Nein

Ist (v_{1}, …, v_{n−1}) linear unabhängig, dann existiert ein v ∈ V, so dass (v_{1}, …, v_{n−1}, v) eine geordnete Basis von V ist.

□ Ja □ Nein

Es existiert ein 4-dimensionaler ℝ-Vektorraum, der nur Untervektorräume der Dimensionen 0, 2 und 4 hat.

□ Ja □ Nein

4 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine Matrix, χ_{A} ihr charakteristisches Polynom und μ_{A} ihr Minimalpolynom. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist A diagonalisierbar und χ_{A} = (X − 1)^{n}, dann ist A = E_{n}.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = χ_{A}, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = χ_{A}, dann ist A ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix.

□ Ja □ Nein

5 Es seien K ein Körper und A, B ∈ K^{n×n} mit n ≥ 2. Sind die folgenden Aussagen richtig? Falls für A gilt, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst lauter Nullen stehen, so ist det A ∈ {1, −1}.

□ Ja □ Nein

Ist die Determinante von AB ungleich Null, dann sind A und B beide invertierbar.

□ Ja □ Nein

Ist π eine beliebige Permutation auf n Ziffern, dann hat die Permutation π ∘ π das Signum 1.

□ Ja □ Nein

6 Es sei K[X] der Polynomring über dem Körper K in der Unbestimmten X. Sind die folgenden Aussagen richtig? K[X] ist ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum.

□ Ja □ Nein

Ist A eine K-Algebra, dann gibt es zu jedem a ∈ A genau einen K-Algebren-Homomorphismus φ : K[X] → A, für den φ(X + 1) = a gilt.

□ Ja □ Nein

Jedes normierte Polynom p ∈ K[X] kann als ein Produkt normierter, irreduzibler Polynome geschrieben werden.

□ Ja □ Nein

7 Es sei β : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ ein Skalarprodukt auf ℝ^{n}. Sind die folgenden Aussagen richtig? Zu jedem 0 ≠ v ∈ ℝ^{n} gibt es ein w ∈ ℝ^{n}, so dass β(v, w) ≠ 0 ist.

□ Ja □ Nein

Es gibt ein v ∈ ℝ^{n}, so dass β(v, v) = −1 ist.

□ Ja □ Nein

Sind 0 ≠ v ∈ ℝ^{n} und 0 ≠ w ∈ ℝ^{n} und gilt β(v, w) = 0, dann sind v und w linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

8 Es sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ ein K-Endomor-phismus von V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Jeder Eigenvektor von φ spannt einen φ-invarianten Untervektorraum auf.

□ Ja □ Nein

Falls die Dimension des Kerns von φ größer als 1 ist, so ist die Dimension des Eigenraums von φ zum Eigenwert 0 mindestens 2.

□ Ja □ Nein

φ hat einen Eigenwert.

□ Ja □ Nein

Jede Nullstelle des Minimalpolynoms von φ ist ein Eigenwert von φ.

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 2. Teil, WS 2001, Gruppe A

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Invertieren Sie die Matrix

A := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}

mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Verfahrens. Dokumentieren Sie genau, welche Umformungen Sie in jedem Schritt vornehmen und geben Sie am Ende die Matrix A^{−1} explizit an. (4 Punkte)

10 Es sei A ∈ 𝔽_{3}^{4×4} die folgende Matrix (𝔽_{3} = {0, 1, −1}):

A := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

(i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A und geben Sie die Eigenwerte von A an. (1 Punkt)

(ii) Bestimmen Sie die Dimensionen sämtlicher Eigenräume von A. (2 Punkt)

(iii) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A. (2 Punkt)

(iv) Ist A in 𝔽_{3}^{4×4} diagonalisierbar? (1 Punkt)

11 Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung: Ist V ein K-Vektorraum über einem Körper K und sind u, v und w Vektoren aus V mit der Eigenschaft, dass jedes der Paare (u, v), (u, w) und (v, w) linear unabhängig ist, dann ist auch die Folge (u, v, w) linear unabhängig.

(4 Punkte)

12 Es sei A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2} und φ : ℚ^{2×2} ⟶ ℚ^{2×2} die Abbildung, die durch die

Vorschrift φ(B) = B · A (normales Matrixprodukt!) für alle B ∈ ℚ^{2×2} definiert ist.

(i) Zeigen Sie, dass φ eine ℚ-lineare Abbildung ist. (1 Punkt)

(ii) Berechnen Sie die Matrix M_{C}^{B}(φ) der linearen Abbildung φ bezüglich der geordneten Basen

B := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ))

und

C := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) .

(2 Punkte)

(iii) Geben Sie eine Basis von Kern(φ) an. (2 Punkte)

(iv) Geben Sie eine Basis von Bild(φ) an. (2 Punkte)

13 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} eine Matrix, wobei n ∈ ℕ und n ≥ 2 ist. Das Minimalpolynom von A sei gleich X^{n−1}. Zeigen Sie, dass dann das charakteristische Polynom von A gleich X^{n} ist. (4 Punkte)

Gruppe B

Scheinklausur, 2. Teil, 15.2.2002

Lineare Algebra I, WS 2001, Prof. Dr. G. Hiß

Name: Matrikelnummer:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung der Multiple-Choice-Aufgaben: Ein richtiges Kreuz ergibt +1 Punkt, ein falsches Kreuz ergibt −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte.

1 Es sei β : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ ein Skalarprodukt auf ℝ^{n}. Sind die folgenden Aussagen richtig? Zu jedem 0 ≠ v ∈ ℝ^{n} gibt es ein w ∈ ℝ^{n}, so dass β(v, w) ≠ 0 ist.

□ Ja □ Nein

Es gibt ein v ∈ ℝ^{n}, so dass β(v, v) = −1 ist.

□ Ja □ Nein

Sind 0 ≠ v ∈ ℝ^{n} und 0 ≠ w ∈ ℝ^{n} und gilt β(v, w) = 0, dann sind v und w linear unabhängig.

□ Ja □ Nein

2 Es seien K ein Körper und A, B ∈ K^{n×n} mit n ≥ 2. Sind die folgenden Aussagen richtig? Falls für A gilt, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst lauter Nullen stehen, so ist det A ∈ {1, −1}.

□ Ja □ Nein

Ist die Determinante von AB ungleich Null, dann sind A und B beide invertierbar.

□ Ja □ Nein

Ist π eine beliebige Permutation auf n Ziffern, dann hat die Permutation π ∘ π das Signum 1.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine Matrix und χ_{A} ihr charakteristisches Polynom. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist χ_{A} = X^{n}, dann existiert eine Zahl m mit 1 ≤ m ≤ n, so dass A^{m} = 0 ist.

□ Ja □ Nein

Ist χ_{A} = (X − 1)^{n}, dann ist A = E_{n}.

□ Ja □ Nein

Ist K = ℝ, n = 2, Sp A = 0 und det A < 0, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

4 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine Matrix, χ_{A} ihr charakteristisches Polynom und μ_{A} ihr Minimalpolynom. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist A diagonalisierbar und χ_{A} = (X − 1)^{n}, dann ist A = E_{n}.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = χ_{A}, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = χ_{A}, dann ist A ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix.

□ Ja □ Nein

5 Es sei K[X] der Polynomring über dem Körper K in der Unbestimmten X. Sind die folgenden Aussagen richtig? K[X] ist ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum.

□ Ja □ Nein

Ist A eine K-Algebra, dann gibt es zu jedem a ∈ A genau einen K-Algebren-Homomorphismus φ : K[X] → A, für den φ(X + 1) = a gilt.

□ Ja □ Nein

Jedes normierte Polynom p ∈ K[X] kann als ein Produkt normierter, irreduzibler Polynome geschrieben werden.

□ Ja □ Nein

6 Es sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ ein K-Endomor-phismus von V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Jeder Eigenvektor von φ spannt einen φ-invarianten Untervektorraum auf.

□ Ja □ Nein

Falls die Dimension des Kerns von φ größer als 1 ist, so ist die Dimension des Eigenraums von φ zum Eigenwert 0 mindestens 2.

□ Ja □ Nein

φ hat einen Eigenwert.

□ Ja □ Nein

Jede Nullstelle des Minimalpolynoms von φ ist ein Eigenwert von φ.

□ Ja □ Nein

7 Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum der Dimension n mit n ≥ 4. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V, dann ist (v_{2}, v_{1}, v_{3}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V.

□ Ja □ Nein

Ist (v_{1}, …, v_{n−1}) linear unabhängig, dann existiert ein v ∈ V, so dass (v_{1}, …, v_{n−1}, v) eine geordnete Basis von V ist.

□ Ja □ Nein

Es existiert ein 4-dimensionaler ℝ-Vektorraum, der nur Untervektorräume der Dimensionen 0, 2 und 4 hat.

□ Ja □ Nein

8 Es sei K ein Körper, A ∈ K^{n×n} eine Matrix und μ_{A} ihr Minimalpolynom. Sind die folgenden Aussagen richtig? Ist der Grad von μ_{A} gleich 1, dann ist AB = BA für alle B ∈ K^{n×n}.

□ Ja □ Nein

Ist K = ℝ und μ_{A} = X^{3} − 6X^{2} + 9X, dann ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist μ_{A} = X − 1, dann ist A = E_{n}.

□ Ja □ Nein

Scheinklausur 2. Teil, WS 2001, Gruppe B

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 9 Invertieren Sie die Matrix

A := ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}

mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Verfahrens. Dokumentieren Sie genau, welche Umformungen Sie in jedem Schritt vornehmen und geben Sie am Ende die Matrix A^{−1} explizit an. (4 Punkte)

10 Es sei A ∈ 𝔽_{3}^{4×4} die folgende Matrix (𝔽_{3} = {0, 1, −1}):

A := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

(i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A und geben Sie die Eigenwerte von A an. (1 Punkt)

(ii) Bestimmen Sie die Dimensionen sämtlicher Eigenräume von A. (2 Punkt)

(iii) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A. (2 Punkt)

(iv) Ist A in 𝔽_{3}^{4×4} diagonalisierbar? (1 Punkt)

11 Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung: Ist V ein K-Vektorraum über einem Körper K und sind u, v und w Vektoren aus V mit der Eigenschaft, dass jedes der Paare (u, v), (u, w) und (v, w) linear unabhängig ist, dann ist auch die Folge (u, v, w) linear unabhängig.

(4 Punkte)

12 Es sei A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×2} und φ : ℚ^{2×2} ⟶ ℚ^{2×2} die Abbildung, die durch die

Vorschrift φ(B) = B · A (normales Matrixprodukt!) für alle B ∈ ℚ^{2×2} definiert ist.

(i) Zeigen Sie, dass φ eine ℚ-lineare Abbildung ist. (1 Punkt)

(ii) Berechnen Sie die Matrix M_{C}^{B}(φ) der linearen Abbildung φ bezüglich der geordneten Basen

B := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ))

und

C := (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) .

(2 Punkte)

(iii) Geben Sie eine Basis von Kern(φ) an. (2 Punkte)

(iv) Geben Sie eine Basis von Bild(φ) an. (2 Punkte)

13 Es sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} eine Matrix, wobei n ∈ ℕ und n ≥ 2 ist. Das Minimalpolynom von A sei gleich X^{n−1}. Zeigen Sie, dass dann das charakteristische Polynom von A gleich X^{n} ist. (4 Punkte)