1. Semesterklausur zur Linearen Algebra I (9. 12. 94)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 11 gegebenen Aufgaben für insgesamt 48 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten, jedoch werden nur maximal 40 der erreichten Punkte auf den Übungsschein angerechnet. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Geben Sie für die folgenden Begriffe jeweils eine vollständige Definition an.

a) Dimension eines endlich erzeugten Vektorraumes,

b) Summe T_{1} + T_{2} zweier Teilräume eines Vektorraumes,

c) Kern einer linearen Abbildung.

(Vergessen Sie nicht, alle Bezeichnungen, die Sie einführen, zu erklären.) 3 Punkte

Aufgabe 2. Geben Sie ein Element a ≠ 0 im Ring ZZ_{6} an, das kein (multiplikativ) inverses Element besitzt. (Mit Beweis) 3 Punkte

Aufgabe 3. Welche der folgenden Teilmengen von Q I ^{2} sind Teilräume von Q I ^{2} ?

M_{1} := { (a, b) | a = b + 5 }, M_{2} := { (a, b) | a = b · 5 }, M_{3} := { (a, b) | a = b^{5} }. (Antwort jeweils mit Begründung) 4 Punkte

Aufgabe 4. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch Angabe eines konkreten Gegenbeispiels) die folgende Behauptung: Ist V ein K-Vektorraum über einem Körper K und sind u, v, w Vektoren aus V mit der Eigenschaft, daß jede der Mengen {u, v}, {u, w} und {v, w} linear unabhängig ist, so ist auch die Menge {u, v, w} linear unabhängig. 3 Punkte

Aufgabe 5. Welche der folgenden Abbildungen von IR^{2} in IR^{3} sind linear?

φ_{1} : (x_{1}, x_{2}) ⟼ (x_{1} − x_{2}, 0, 2x_{1} − x_{2}), φ_{2} : (x_{1}, x_{2}) ⟼ (x_{1}x_{2}, x_{1}, x_{2}).

(Antwort jeweils mit Begründung) 4 Punkte

1. Semesterklausur zur Linearen Algebra I 9. 12. 94

Aufgabe 6. Im Vektorraum V = ZZ_{5}^{3×1} seien die Teilräume T_{1} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} )⟩ und T_{2} = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} )⟩ gegeben.

a) Bestimmen Sie die Dimensionen von T_{1} + T_{2} und T_{1} ∩ T_{2}. 4 Punkte b) Bestimmen Sie eine Basis von V/T_{1}. 2 Punkte

Aufgabe 7. Es sei n ∈ IN und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie: Es gibt genau dann eine lineare Abbildung φ: V → V mit Kern φ = Bild φ, wenn n gerade ist. 4 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ V = IR^{2×2} und φ: V → V definiert durch φ(X) = AXA für alle X ∈ V.

a) Zeigen Sie, daß φ linear ist. 1 Punkt b) Geben Sie je eine Basis von Kern φ und Bild φ an. 4 Punkte c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern φ zu einer Basis von V. 1 Punkt

Aufgabe 9. Es sei V ein K-Vektorraum, T ein Teilraum von V, der nicht nur aus dem Nullvektor besteht, und v_{1}, ..., v_{n} ∈ V, so daß (v_{1} + T, ..., v_{n} + T) eine Basis von V/T ist. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) (v_{1}, ..., v_{n}) ist ein Erzeugendensystem von V. 2 Punkte b) (v_{1}, ..., v_{n}) ist linear unabhängig in V. 2 Punkte

Aufgabe 10. Gegeben sei der 3-dimensionale IR-Vektorraum V = ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ≤ Abb(IR, IR) mit p_{i}(x) = x^{i} für i ∈ {1, 2, 3} und x ∈ IR. (Wir wissen aus der Vorlesung, daß (p_{1}, p_{2}, p_{3}) linear unabhängig ist.)

Weiter sei W = IR^{3×1}, und es sei φ: V → W die durch φ(f) =( \begin{matrix}f(−2) \\ f(0) \\ f(2) \end{matrix} ) definierte Abbildung

von V in W. Ist φ linear? Ist φ surjektiv? Ist φ injektiv? (Antwort jeweils mit Begründung) 5 Punkte

Aufgabe 11. Es sei n ∈ IN und A = [a_{ij}] ∈ IR^{n×n} mit a_{ij} = j − i für 1 ≤ i, j ≤ n. Bestimmen Sie Rg A. Hinweis: Betrachten Sie zuerst die Fälle n = 1, n = 2, n = 3. 6 Punkte