Test 2 im WS99/00

Es sei K ein Körper und U, V und W K-Vektorräume. T1) Ist φ : ℝ → ℝ ℝ-linear, so gilt für alle a, b ∈ ℝ:

φ(0) = 0  □ Ja  □ Nein
φ(1) = 1  □ Ja  □ Nein
φ(a · b) = φ(a) · φ(b)  □ Ja  □ Nein
φ(a · b) = a · φ(b)  □ Ja  □ Nein
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)  □ Ja  □ Nein
Bild φ = ℝ  □ Ja  □ Nein

T2) Ist φ : V → W linear, so ist:

Kern φ = \{φ(v)|v = \underline{0}\}  □ Ja  □ Nein
Kern φ = \{v ∈ V |φ(v) = \underline{0}\}  □ Ja  □ Nein
φ surjektiv ⟺ φ injektiv  □ Ja  □ Nein
φ injektiv ⟺ Kern φ = \{\underline{0}\}  □ Ja  □ Nein

T3) Sind φ : U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen, so gilt:

Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern φ  □ Ja  □ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊆ Kern ψ  □ Ja  □ Nein
Kern(ψ ∘ φ) ⊇ Kern φ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild ψ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊆ Bild φ  □ Ja  □ Nein
Bild(ψ ∘ φ) ⊇ Bild ψ  □ Ja  □ Nein

T4) Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (ℝ, ℝ^{2} und ℝ^{3} als ℝ-Vektorräume)

φ : ℝ → ℝ, x ↦ 2x + 1  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2} − x_{1}, x_{1})  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ → ℝ^{2}, x ↦ (x, 2x)  □ Ja  □ Nein
φ : 𝔽_{2} → 𝔽_{2}, x ↦ x^{2}  □ Ja  □ Nein
φ : ℝ^{2} → ℝ, (x_{1}, x_{2}) ↦ x_{1}x_{2}  □ Ja  □ Nein

T5) Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2} ist surjektiv.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{2}.  □ Ja  □ Nein
Jede ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3} ist injektiv.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine surjektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  □ Nein
Es gibt eine injektive, ℝ-lineare Abbildung φ : ℝ^{2} → ℝ^{3}.  □ Ja  □ Nein

T6) Es sei φ : V → W linear und B Basis von V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Ist φ injektiv, so ist φ(B) eine Basis von W.  □ Ja  □ Nein
Ist φ surjektiv, so ist φ(B) Erzeugendensystem von W.  □ Ja  □ Nein
Ist V ≅ W, so ist φ ein Isomorphismus.  □ Ja  □ Nein
Ist φ ein Isomorphismus, so ist {φ(v_{1}), …, φ(v_{n})} für jedes n-Tupel  □ Ja  □ Nein

(v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} eine Basis von W. T7) Welche Aussagen sind richtig? Ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮ ... ⋮ ⋮
a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}
ist lösbar, wenn n ≥ m.  □ Ja  □ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn Rg [a_{ij}] = 0 ist.  □ Ja  □ Nein
ist für m > n nie eindeutig lösbar.  □ Ja  □ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension Rg [a_{ij}].  □ Ja  □ Nein
hat einen Lösungsraum der Dimension n − m, falls b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 ist.  □ Ja  □ Nein
ist eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale  □ Ja  □ Nein

Lösung hat. Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.