Algebraische Systemtheorie

4+2 SWS

Thema der Vorlesung

Gegenstand der Kontrolltheorie ist die gezielte Beeinflussung (Steuerung) dynamischer Systeme,
die in vielfältiger Form bei der Modellierung praktischer Probleme aus Naturwissenschaft, Technik
und Ökonomie auftreten. Diese dynamischen Systeme sind üblicherweise durch Differential-
(oder Differenzen-)gleichungen gegeben, und sollen durch geeignete Wahl von Stellgrößen und
freien Parametern zu einem bestimmten erwünschten Verhalten veranlasst werden. Dies erfordert
ein tiefes Verständnis der strukturellen Eigenschaften des zugrunde liegenden Systems. Genau das
ist Ziel der Systemtheorie.

Die algebraische Systemtheorie beschäftigt sich mit der Untersuchung linearer Differentialgleichungs-
systeme mit Hilfe von algebraischen Werkzeugen wie homologischen Methoden und Modultheorie.
Ausgangspunkt ist eine Signalmenge, die eine (Links-)Modulstruktur über dem Ring der Differential-
operatoren trägt. Eine für die Systemtheorie besonders fruchtbare Situation ergibt sich, wenn der
Signalmodul ein sogenannter injektiver Kogenerator ist. Dann gibt es eine Dualität zwischen den
Lösungsmengen der Differentialgleichungssysteme einerseits und bestimmten zugeordneten Moduln
andererseits. Daher lassen sich analytische Eigenschaften der Lösungen in algebraische Eigenschaften
des Moduls übersetzen, und umgekehrt können die Ergebnisse (computer-)algebraischer Manipulationen
des Moduls systemtheoretisch interpretiert werden. Dies ermöglicht die algebraische Charakterisierung
system- und kontrolltheoretischer Eigenschaften wie Autonomie, Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit.