Seminar Kommutative Algebra

Inhalt: Vertiefung und Erweiterung im Bereich Algebra.
Weiterführende Themen, insbesondere Anwendungen von Inhalten aus den Vorlesungen Computeralgebra, Algebra, Kommutative Algebra.

Ziel: Neben der Vermittlung der eigentlichen mathematischen Inhalte steht bei einem Seminar das eigenständige wissenschaftliche Arbeiten im Vordergrund. Die Teilnehmer erhalten einen mathematischen Text (typischerweise eine Originalarbeit oder ein Abschnitt aus einer Monographie) und sollen sich diesen weitgehend selbständig erarbeiten (mit Hilfestellung, falls notwendig). Aus dem Stoff muss dann ein Vortrag von 60 Minuten konzipiert und gehalten werden. Beim Erstellen des Handouts und der schriftlichen Ausarbeitung mit LaTeX werden Erfahrungen gesammelt, die beim Verfassen der Abschlussarbeit von Nutzen sind.

Themen:

• Semi-algebraische Mengen und der Satz von Tarski-Seidenberg
  Eine algebraische Menge ist eine Lösungsmenge eines algebraischen Gleichungssystems, z.B. die Kreislinie als Lösungsmenge von x^2+y^2=1 in R^2. Semi-algebraische Mengen sind durch polynomielle Gleichungen und Ungleichungen gegeben, also etwa die Kreisscheibe x^2+y^2<=1 in R^2. Der Satz von T.-S. besagt, dass Projektionen semi-algebraischer Mengen wieder semi-algebraische Mengen sind. Projiziert man etwa die Kreisscheibe auf die x-Achse, so erhält man das Intervall [-1,1], welches wieder semi-algebraisch ist (als Lösungsmenge von x^2<=1). Hingegen sind Projektionen algebraischer Mengen i.A. nicht wieder algebraisch, wie man am Beispiel der Kreislinie sieht, denn [-1,1] ist nicht Nullstellenmenge eines Polynoms. Der Satz von T.-S. hat weitreichende Folgerungen. Der hier vorzustellende Beweis beruht auf der Vorzeichenregel von Descartes, einer Aussage über die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms.
  
• Jacobson-Form
  Die Jacobson-Form ist ein nicht-kommutatives Analogon der Smith-Form. Ist R ein Links- und Rechts-Euklidischer Bereich (d.h., man hat eine rechte und linke Division mit Rest von a durch b, a=q_1b+r_1=bq_2+r_2), so lässt sich jede Matrix mit Einträgen in R durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in Diagonalgestalt bringen, wobei jeder Diagonaleintrag ein totaler Teiler des nächsten ist (insbesondere sowohl ein linker als auch ein rechter Teiler). Diese Theorie lässt sich beispielsweise auf den Ring der linearen Differentialoperatoren mit rationalen Koeffizienten anwenden. Nutzt man aus, dass dieser Ring einfach ist (d.h., die einzigen zweiseitigen Ideale in R sind 0 und R), so kann man sogar zeigen, dass alle Diagonaleinträge - bis auf einen einzigen - nur 1 oder 0 sein können.
• Anwendung von Gröbner-Basen in der ganzzahligen Optimierung
  Ganzzahlige Optimierungsprobleme tauchen in zahlreichen Anwendungsbereichen auf, insbesondere in der Wirtschaftsmathematik. Ein lineares Funktional c^Tx soll unter Nebenbedingungen, die durch lineare Ungleichungen Ax<=b gegeben sind, maximiert werden. Aus problemspezifischen Gründen interessiert man sich nur für nicht-negative und ganzzahlige Lösungen x (die Komponenten x_i repräsentieren etwa Stückzahlen oder 0/1-Entscheidungen). Durch eine geschickte Umformulierung können solche Optimierungsaufgaben auf die Berechnung der Normalform eines Polynoms bzgl. eines Polynomideals zurückgeführt werden. Letzteres ist eine Standardanwendung der Theorie der Gröbner-Basen, wobei diese hier noch auf Laurent-Polynome erweitert werden muss (also Polynome, in denen auch negative Exponenten auftreten können).
• Anwendung von Gröbner-Basen beim automatischen Beweisen geometrischer Sätze
  "Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander." Wie kann man eine derartige Aussage aus der elementaren Geometrie mithilfe von Gröbner-Basen (GB) beweisen? Man macht sich klar, dass sich Sachverhalte wie Parallelität und Orthogonalität von Geraden, Kollinearität von Punkten, Gleichheit von Längen etc. durch polynomielle Gleichungen ausdrücken lassen. Die Frage, ob eine solche Aussage aus einer gegebenen Menge anderer derartiger Aussagen folgt, wird somit zur Frage nach der Zugehörigkeit eines Polynoms zum Radikal eines Polynomideals. Die Entscheidbarkeit von Idealmitgliedschaft ist bekanntlich eine der Standardanwendungen der GB-Theorie. Dank eines berühmten "Tricks" kann die Radikalmitgliedschaft ebenfalls mithilfe von GB entschieden werden.