ATLAS Tables, listing up the ATLAS format and the table displayed by GAP.
First, let G be the trivial group. The cyclic group C_6 of order 6 can be viewed in several ways:
item As a downward extension of the factor group C_2 which contains G as a subgroup; equivalently, as an upward extension of the subgroup C_3 which has a factor group G:
put(-2,23) put(0,29)line(1,0)14 put(0,15)line(1,0)14 put(0,14)line(1,0)14 put(0,0)line(1,0)14 put(15,29)line(1,0)14 put(15,15)line(1,0)14 put(15,14)line(1,0)14 put(15,0)line(1,0)14 put(0,15)line(0,1)14 put(0,0)line(0,1)14 put(14,15)line(0,1)14 put(15,15)line(0,1)14 put(29,15)line(0,1)14 put(14,0)line(0,1)14 put(15,0)line(0,1)14 put(29,0)line(0,1)14 put(7,7)makebox(0,0)3.G put(22,7)makebox(0,0)3.G.2 put(7,22)makebox(0,0)G put(22,22)makebox(0,0)G.2 put(37,52)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip0.9ex parskip0.2ex
; @ ; ; @ par par 1 1 par p power A par pttquote part A par ind 1A fus ind 2A par par chi_1 + 1 : ++ 1 par par ind 1 fus ind 2 par 3 6 par 3 6 par par chi_2 o2 1 : oo2 1
put(83,52)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex
2 1 1 1 1 1 1 par 3 1 1 1 1 1 1 par par 1a 3a 3b 2a 6a 6b par 2P 1a 3b 3a 1a 3b 3a par 3P 1a 1a 1a 2a 2a 2a par par X.1 1 1 1 1 1 1 par X.2 1 1 1 -1 -1 -1 par X.3 1 A /A 1 A /A par X.4 1 A /A -1 -A -/A par X.5 1 /A A 1 /A A par X.6 1 /A A -1 -/A -A par par A = E(3) par = (-1+ER(-3))/2 = b3 par
X.1, X.2 extend chi_1. X.3, X.4 extend the proxy character
chi_2. X.5, X.6 extend its follower. 1a, 3a, 3b are
preimages of 1A, and 2a, 6a, 6b are preimages of 2A.
item As a downward extension of the factor group C_3 which contains G as a subgroup; equivalently, as an upward extension of the subgroup C_2 which has a factor group G:
put(-2,23) put(0,29)line(1,0)14 put(0,15)line(1,0)14 put(0,14)line(1,0)14 put(0,0)line(1,0)14 put(15,29)line(1,0)14 put(15,15)line(1,0)14 put(15,14)line(1,0)14 put(15,0)line(1,0)14 put(0,15)line(0,1)14 put(0,0)line(0,1)14 put(14,15)line(0,1)14 put(15,15)line(0,1)14 put(29,15)line(0,1)14 put(14,0)line(0,1)14 put(15,0)line(0,1)14 put(29,0)line(0,1)14 put(7,7)makebox(0,0)2.G put(22,7)makebox(0,0)2.G.3 put(7,22)makebox(0,0)G put(22,22)makebox(0,0)G.3 put(37,52)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip0.9ex parskip0.2ex
; @ ; ; @ par par 1 1 par p power A par pttquote part A par ind 1A fus ind 3A par par chi_1 + 1 : +oo 1 par par ind 1 fus ind 3 par 2 6 par par chi_2 + 1 : +oo 1 par
put(83,52)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex
2 1 1 1 1 1 1 par 3 1 1 1 1 1 1 par par 1a 2a 3a 6a 3b 6b par 2P 1a 1a 3b 3b 3a 3a par 3P 1a 2a 1a 2a 1a 2a par par X.1 1 1 1 1 1 1 par X.2 1 1 A A /A /A par X.3 1 1 /A /A A A par X.4 1 -1 1 -1 1 -1 par X.5 1 -1 A -A /A -/A par X.6 1 -1 /A -/A A -A par par A = E(3) par = (-1+ER(-3))/2 = b3 par
X.1-X.3 extend chi_1, X.4-X.6 extend chi_2. 1a, 2a are
preimages of 1A. 3a, 6a are preimages of the proxy class 3A, and
3b, 6b are preimages of its follower class.
item As a downward extension of the factor groups C_3 and C_2 which have G as a factor group:
put(-2,8) put(0,59)line(1,0)14 put(0,45)line(1,0)14 put(0,44)line(1,0)14 put(0,30)line(1,0)14 put(0,29)line(1,0)14 put(0,15)line(1,0)14 put(0,14)line(1,0)14 put(0,0)line(1,0)14 put(0,45)line(0,1)14 put(0,30)line(0,1)14 put(0,15)line(0,1)14 put(0,0)line(0,1)14 put(14,45)line(0,1)14 put(14,30)line(0,1)14 put(14,15)line(0,1)14 put(14,0)line(0,1)14 put(7,7)makebox(0,0)6.G put(7,22)makebox(0,0)3.G put(7,37)makebox(0,0)2.G put(7,52)makebox(0,0)G put(37,67)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip0.9ex parskip0.2ex
; @ par par 1 par p power par pttquote part par ind 1A par par chi_1 + 1 par par ind 1 par 2 par par chi_2 + 1 par par ind 1 par 3 par 3 par par chi_3 o2 1 par par ind 1 par 6 par 3 par 2 par 3 par 6 par par chi_4 o2 1 par
put(83,67)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex
2 1 1 1 1 1 1 par 3 1 1 1 1 1 1 par par 1a 6a 3a 2a 3b 6b par 2P 1a 3a 3b 1a 3a 3b par 3P 1a 2a 1a 2a 1a 2a par par X.1 1 1 1 1 1 1 par X.2 1 -1 1 -1 1 -1 par X.3 1 A /A 1 A /A par X.4 1 /A A 1 /A A par X.5 1 -A /A -1 A -/A par X.6 1 -/A A -1 /A -A par par A = E(3) par = (-1+ER(-3))/2 = b3 par
X.1, X.2 correspond to chi_1, chi_2, respectively; X.3, X.5
correspond to the proxies chi_3, chi_4, and X.4, X.6 to their
followers. The factor fusion onto 3.G is [ 1, 2, 3, 1, 2, 3 ], that
onto G.2 is [ 1, 2, 1, 2, 1, 2 ].
item As an upward extension of the subgroups C_3 or C_2 which both contain a subgroup G:
put(-2,38) put(0,0)line(1,0)14 put(0,0)line(0,1)14 put(0,14)line(1,0)14 put(14,0)line(0,1)14 put(7,7)makebox(0,0)G put(15,0)line(1,0)14 put(15,0)line(0,1)14 put(15,14)line(1,0)14 put(29,0)line(0,1)14 put(22,7)makebox(0,0)G.2 put(30,0)line(1,0)14 put(30,0)line(0,1)14 put(30,14)line(1,0)14 put(44,0)line(0,1)14 put(37,7)makebox(0,0)G.3 put(45,0)line(1,0)14 put(45,0)line(0,1)14 put(45,14)line(1,0)14 put(59,0)line(0,1)14 put(52,7)makebox(0,0)G.6 put(-2,30)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip0.9ex parskip0.2ex
; @ ; ; @ ; ; @ ; ; @ par par 1 1 1 1 par p power A A AA par pttquote part A A AA par ind 1A fus ind 2A fus ind 3A fus ind 6A par par chi_1 + 1 : ++ 1 : +oo 1 :+oo+oo 1 par
put(83,52)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex
2 1 1 1 1 1 1 par 3 1 1 1 1 1 1 par par 1a 2a 3a 3b 6a 6b par 2P 1a 1a 3b 3a 3b 3a par 3P 1a 2a 1a 1a 2a 2a par par X.1 1 1 1 1 1 1 par X.2 1 -1 A /A -A -/A par X.3 1 1 /A A /A A par X.4 1 -1 1 1 -1 -1 par X.5 1 1 A /A A /A par X.6 1 -1 /A A -/A -A par par A = E(3) par = (-1+ER(-3))/2 = b3 par
1a, 2a correspond to 1A, 2A, respectively; 3a, 6a correspond to
the proxies 3A, 6A, and 3b, 6b to their followers.
The second example explains the fusion case; again, G is the trivial group.
put(0,33) put(0,59)line(1,0)14 put(0,45)line(1,0)14 put(0,44)line(1,0)14 put(0,30)line(1,0)14 put(0,29)line(1,0)14 put(0,15)line(1,0)14 put(0,14)line(1,0)14 put(0,0)line(1,0)14 put(0,45)line(0,1)14 put(0,30)line(0,1)14 put(0,15)line(0,1)14 put(0,0)line(0,1)14 put(14,45)line(0,1)14 put(14,30)line(0,1)14 put(14,15)line(0,1)14 put(14,0)line(0,1)14 put(15,59)line(1,0)14 put(15,45)line(1,0)14 put(15,44)line(1,0)14 put(15,30)line(1,0)14 put(15,29)line(1,0)14 put(15,14)line(1,0)14 put(15,45)line(0,1)14 put(15,30)line(0,1)14 put(15,15)line(0,1)14 put(15,0)line(0,1)14 put(29,45)line(0,1)14 put(29,30)line(0,1)14 put(7,7)makebox(0,0)6.G put(7,22)makebox(0,0)3.G put(7,37)makebox(0,0)2.G put(7,52)makebox(0,0)G put(22,7)makebox(0,0)6.G.2 put(22,22)makebox(0,0)3.G.2 put(22,37)makebox(0,0)2.G.2 put(22,52)makebox(0,0)G.2 put(39,92)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip0.9ex parskip0.2ex
; @ ; ; @ par par 1 1 par p power A par pttquote part A par ind 1A fus ind 2A par par chi_1 + 1 : ++ 1 par par ind 1 fus ind 2 par 2 2 par par chi_2 + 1 : ++ 1 par par ind 1 fus ind 2 par 3 par 3 par par chi_3 o2 1 * + par par ind 1 fus ind 2 par 6 2par 3 par 2 par 3 par 6 par par chi_4 o2 1 * + par
put(85,92)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex
3.G.2 par par 2 1 . 1 par 3 1 1 . par par 1a 3a 2a par 2P 1a 3a 1a par 3P 1a 1a 2a par par X.1 1 1 1 par X.2 1 1 -1 par X.3 2 -1 . par par par 6.G.2 par par 2 2 1 1 2 2 2 par 3 1 1 1 1 . . par par 1a 6a 3a 2a 2b 2c par 2P 1a 3a 3a 1a 1a 1a par 3P 1a 2a 1a 2a 2b 2c par par Y.1 1 1 1 1 1 1 par Y.2 1 1 1 1 -1 -1 par Y.3 1 -1 1 -1 1 -1 par Y.4 1 -1 1 -1 -1 1 par Y.5 2 -1 -1 2 . . par Y.6 2 1 -1 -2 . . par
The tables of G, 2.G, 3.G, 6.G and G.2 are known from the first example, that of 2.G.2 cong V_4 will be given in the next one. So here we only print the GAP tables of 3.G.2 cong D_6 and 6.G.2 cong D_{12}:
In 3.G.2, X.1, X.2 extend chi_1; chi_3 and its follower fuse
to give X.3, and two of the preimages of 1A collapse.
In 6.G.2, Y.1-Y.4 are extensions of chi_1, chi_2, so these
characters are the inflated characters from 2.G.2 (with respect to the
factor fusion [ 1, 2, 1, 2, 3, 4 ]). Y.5 is inflated from 3.G.2
(with respect to the factor fusion [ 1, 2, 2, 1, 3, 3 ]), and Y.6 is
the result of the fusion of chi_4 and its follower.
For the last example, let G be the group 2^2. Consider the following tables:
put(0,93) put(0,29)line(1,0)14 put(0,15)line(1,0)14 put(0,14)line(1,0)14 put(0,0)line(1,0)14 put(15,29)line(1,0)14 put(15,15)line(1,0)14 put(15,14)line(1,0)14 put(15,0)line(1,0)14 put(0,15)line(0,1)14 put(0,0)line(0,1)14 put(14,15)line(0,1)14 put(15,15)line(0,1)14 put(29,15)line(0,1)14 put(14,0)line(0,1)14 put(15,0)line(0,1)14 put(29,0)line(0,1)14 put(7,7)makebox(0,0)2.G put(22,7)makebox(0,0)2.G.3 put(7,22)makebox(0,0)G put(22,22)makebox(0,0)G.3
put(81,91)line(0,1)8 put(39,122)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip0.9ex parskip0.2ex
; @ @ @ @ ; ; @ par par 4 4 4 4 1 par p power A A A A par pttquote part A A A A par ind 1A 2A 2B 2C fus ind 3A par par chi_1 + 1 1 1 1 : +oo 1 par par chi_2 + 1 1 -1 -1 . + 0 par par chi_3 + 1 -1 1 -1 . par par chi_4 + 1 -1 -1 1 . par par ind 1 4 4 4 fus ind 3 par 2 6 par par chi_5 - 2 0 0 0 : -oo 1 par
put(102,122)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex G.3par par 2 2 2 . . par 3 1 . 1 1 par par 1a 2a 3a 3b par 2P 1a 1a 3b 3a par 3P 1a 2a 1a 1a par par X.1 1 1 1 1 par X.2 1 1 A /A par X.3 1 1 /A A par X.4 3 -1 . . par par A = E(3) par = (-1+ER(-3))/2 = b3 par
put(0,71)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex 2.Gpar par 2 3 3 2 2 2par par 1a 2a 4a 4b 4cpar 2P 1a 1a 2a 1a 1apar 3P 1a 2a 4a 4b 4cpar par X.1 1 1 1 1 1par X.2 1 1 1 -1 -1par X.3 1 1 -1 1 -1par X.4 1 1 -1 -1 1par X.5 2 -2 . . .par
put(50,71)makebox(0,0)[tl] smalltt baselineskip2.7ex parskip0ex 2.G.3par par 2 3 3 2 1 1 1 1par 3 1 1 . 1 1 1 1par par 1a 2a 4a 3a 6a 3b 6bpar 2P 1a 1a 2a 3b 3b 3a 3apar 3P 1a 2a 4a 1a 2a 1a 2apar par X.1 1 1 1 1 1 1 1par X.2 1 1 1 A A /A /Apar X.3 1 1 1 /A /A A Apar X.4 3 3 -1 . . . .par X.5 2 -2 . 1 1 1 1par X.6 2 -2 . A -A /A -/Apar X.7 2 -2 . /A -/A A -Apar par A = E(3) par = (-1+ER(-3))/2 = b3 par
In the table of G.3 cong A_4, the characters chi_2, chi_3 and
chi_4 fuse, and the classes 2A, 2B and 2C collapse. To get the
table of 2.G cong Q_8 one just has to split the class 2A and adjust
the representative orders. Finally, the table of 2.G.3 cong SL_2(3)
is given; the subgroup fusion corresponding to the injection 2.G
hookrightarrow 2.G.3 is [ 1, 2, 3, 3, 3 ], and the factor fusion
corresponding to the epimorphism 2.G.3 rightarrow G.3 is [ 1, 1, 2,
3, 3, 4, 4 ].
GAP 3.4.4