Zerlegungszahlen endlicher Gruppen vom

Lie-Typ in nicht-definierender Charakteristik

Von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen genehmigte

Habilitationsschrift^{1} zur Erlangung der venia legendi

vorgelegt von

Dr. Gerhard Hiß

aus

Freiburg i. Br.

Referenten: W. Plesken

H. Pahlings

Tag der Habilitation: 13. Juni 1990

1Korrigierte Version vom 6. April 2000

ii Für ANITA vi

Danksagung

Es ist mir eine große Freude, all jenen zu danken, die mich bei der Anfertigung dieser Arbeit unterstützt haben. Allen voran gebührt mein Dank M. Geck. Stets war er bereit, meine Fragen anzuhören und mit mir darüber zu sprechen. Oft genug wurden dadurch erst die wahren Feinheiten eines Problems aufgedeckt. Er hat große Teile einer ersten Fassung der Arbeit gelesen und zahlreiche Verbesserungen vorgeschlagen. Aufbau und Inhalt der Kapitel 2–4 haben wesentlich davon profitiert.

Mit M. Broué, R. Carter, B. Külshammer und W. Plesken führte ich klärende und hilfreiche Gespräche zum Inhalt dieser Arbeit. Ohne die großzügige und weitsichtige Bereitstellung der Rechneranlagen durch J. Neubüser und W. Plesken wäre diese Arbeit wohl nie entstanden. J. Michel verdanke ich einen wertvollen Literaturhinweis. M. Geck und G. Malle haben einige Tensorprodukte in den Ree-Gruppen ausgerechnet, ohne die deren Bäume nicht hätten bestimmt werden können. M. Zumbroich hat durch seine umfassende Kenntnis der Feinheiten der deutschen Sprache dazu beigetragen, die Anzahl der sprachlichen Ungereimtheiten, insbesondere in der Einleitung, zu verkleinern. H. Pahlings, W. Plesken und B. Srinivasan lasen eine erste Fassung der Arbeit. Ihre zahlreichen Verbesserunsvorschläge haben die Lesbarkeit der vorliegenden Schrift wesentlich erhöht. Ihnen allen sei an dieser Stelle dafür gedankt.

Meinen beiden MOC-Mitautoren K. Lux und R. Parker danke ich für die Erlaubnis, Teile der Theorie von MOC in diese Arbeit aufzunehmen; dem ersten auch für das Lesen eines Teils der Arbeit.

Schließlich bedanke ich mich von ganzem Herzen bei A. Flamm für ihre unerschöpfliche Geduld, ihre unzähligen Ermunterungen und nicht zuletzt auch für ihre Hilfe bei den Korrekturen des Anhangs. viii

Verzeichnis der Abkürzungen und Symbole

1. Zahlen

p, ℓ Primzahlen q positive reelle Zahl, Potenz von p π(n) Menge der Primteiler von n a | b a teilt b ℓ^{d} ∥ n höchste Potenz von ℓ, die in der ganzen Zahl n aufgeht ggT(a, b) größter gemeinsamer Teiler von a und b n_{p}, n_{p′} p- bzw. p′-Anteil der ganzen Zahl n |M| Anzahl der Elemente der endlichen Menge M ℕ natürliche Zahlen ℤ ganze Zahlen ℚ rationale Zahlen ℂ komplexe Zahlen ℚ_{ℓ} ℓ-adische Zahlen ℤ_{ℓ} ℓ-adische ganze Zahlen 𝔽_{q} Körper mit q Elementen

2. Matrizen

X^{t} Transponierte der Matrix X det(X) Determinante von X Spur(X) Spur von X E Einheitsmatrix von nicht näher bestimmtem Format E_{n} n × n-Einheitsmatrix J Alles-Eins-Matrix von nicht näher bestimmtem Format X̄ Anwendung des Homomorphismus ¯ auf jeden Eintrag der

Matrix X, für Charaktertafeln komplexe Konjugation

diag(a_{1}, …, a_{n}) Diagonalmatrix mit Einträgen a_{1}, …, a_{n}

3. Gruppen

H ≤ G H ist Untergruppe von G H < G H ist echte Untergruppe von G H ⊲ G H ist Normalteiler von G Z(G) Zentrum von G C_{G}(X) Zentralisator von X ⊆ G N_{G}(H) Normalisator der Untergruppe H in G ⟨X⟩ von X ⊆ G aufgespannte Untergruppe ℤ_{n}, bzw. n zyklische Gruppe der Ordnung n AB Produkt der Untergruppen A, B von G A:B zerfallende Erweiterung von A mit B, (A ⊲ A:B) A ∗ B zentrale Erweiterung von A und B G^{#} G \ {1} G_{ℓ}, G_{ℓ′} Menge der ℓ- bzw. ℓ′-Elemente der Gruppe G rank_{ℓ}(G) ℓ-Rang der abelschen Gruppe G rank(G) ℓ-Rang der abelschen Gruppe G, wenn ℓ aus dem Zusam-

menhang hervorgeht

Aut(G) Gruppe der Automorphismen von G |x| Ordnung des Elementes x

4. Gruppen mit BN-Paar

B Boreluntergruppe N monomiale Untergruppe H Cartanuntergruppe H = B ∩ N W Weylgruppe W = N/H U unipotente Untergruppe, B = UH, U ⊲ B Φ Wurzelsystem Π Fundamentalsystem Φ^{+} positives System bzgl. Π I Indexmenge: Π = {α_{i} | i ∈ I} s_{α} Spiegelung zur Wurzel α J Teilmenge von I Π_{J} {α_{i} ∈ Π | i ∈ J} W_{J} ⟨s_{α_{i}} | i ∈ J⟩ Φ_{J} W_{J}(Π_{J}) = {w(α) | w ∈ W_{J}, α ∈ Π_{J}} P_{J} parabolische Standard-Untergruppe L_{J} Standard-Levi-Untergruppe = Standard-Levi-Komplement L Menge der Standard-Levi-Untergruppen U_{J} unipotentes Radikal von P_{J} W_{Δ} ⟨s_{α} | α ∈ Δ⟩ für Δ ⊆ Π Φ_{Δ} W_{Δ}(Δ) = {w(α) | w ∈ W_{Δ}, α ∈ Δ} für Δ ⊆ Π

5. Algebraische Gruppen

𝔽 algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik p G algebraische Gruppe über 𝔽 G^{∗} zu G duale Gruppe G^{∘} Zusammenhangskomponente der 1 in G B Boreluntergruppe T maximaler Torus L reguläre Untergruppe U unipotente Untergruppe ε_{G} relativer Rang von G F Frobenius-Abbildung von G F^{∗} zu F duale Frobenius-Abbildung von G^{∗} G^{F} = G Menge der Fixpunkte von F in G W Weylgruppe von G, W ≅ N_{G}(T)/T ((x)) G-Konjugiertenklasse von x ∈ G

(x) G-Konjugiertenklasse von x ∈ G

6. Ringe und Moduln

R kommutativer Ring mit 1 R^{∗} Gruppe der Einheiten von R A R-Algebra X A-Gitter X | Z X ist direkter Summand des A-Gitters Z nX n-fache direkte Summe des Gitters X RG Gruppenalgebra von G über R H_{R,q}(W) Hecke-Algebra zur Weyl-Gruppe W über R mit Parame-

ter q ∈ R^{∗}

H_{X}(W) generische Hecke-Algebra: H_{ℤ [X^{1/2},X^{−1/2} ],X}(W), wobei X ei-

ne Unbestimmte ist

δ(H) Diskriminante der Algebra H

7. Darstellungtheorie

(K, R, k) ℓ-modulares System:

R: vollständiger, diskreter Bewertungsring vom Rang 1 und

Charakteristik 0 K: Quotientenkörper von R k: Restklassenkörper von R der Charakteristik ℓ ≠ 0

πR maximales Ideal von R, k = R/πR K, R, k triviale Moduln rank_{R}(X) R-Rang des A-Gitters X rank(X) R-Rang des A-Gitters X, wenn R aus dem Zusammenhang

hervorgeht Hom_{A}(X, Y) Menge der A-Homomorphismen von X nach Y End_{A}(X) Hom_{A}(X, X) [M, N]_{A} rank_{R}(Hom_{A}(X, Y)) Kern(φ) Kern des Homomorphismus φ Bild(φ) Bild des Homomorphismus φ X^{K} A ⊗_{R} K-Modul X ⊗_{R} K (Konstantenerweiterung) X̄ A ⊗_{R} k-Modul X ⊗_{R} k = X/πX (Reduktion modulo ℓ) ch(X) Charakter von X^{K} Res_{H}^{G}(X) Einschränkung des G-Moduls X auf die Untergruppe H X_{L} Einschränkung des G-Moduls X auf die Untergruppe L Ind_{H}^{G}(X) Induktion des H-Moduls X auf G Infl_{L}^{P}(X) Inflation des L-Moduls X auf P, wenn P einen Normaltei-

ler U mit P/U ≅ L besitzt

X̃ Inflation des L-Moduls X auf P, wenn P und L aus dem

Zusammenhang ersichtlich sind

vtx(X) Vertex des RG- oder kG-Moduls X PIM projektiv unzerlegbarer RG- oder kG-Modul

8. Charaktere

Irr(G) Menge der irreduziblen K-Charaktere von G IBr(G) Menge der irreduziblen Brauerchraktere von G bezüglich

(K, R, k)

e zentrales Idempotent in RG Irr(G, e) Menge der irreduziblen Charaktere χ mit χ(eg) = χ(g) für

alle g ∈ G

Irr(eRG) Irr(G, e) IBr(G, e) Menge der irreduziblen Brauercharaktere von ekG R_{K}(G, e) Menge aller ℤ-Linearkombinationen von Irr(G, e) R_{K}(G) R_{K}(G, 1) R_{k}(G, e) Menge aller ℤ-Linearkombinationen von IBr(G, e), aufgefaßt

als Teilmenge von R_{K}(G, e) durch Null-Fortsetzung

R_{k}(G) R_{k}(G, 1) R_{k}^{pr}(G, e) Menge aller ℤ-Linearkombinationen von projektiven Charak-

teren von eRG

R_{k}^{pr}(G) R_{k}^{pr}(G, 1) C(G, e, K) Menge der Klassenfunktionen χ von G mit Werten in K und

χ(eg) = χ(g) für alle g ∈ G

C(G) C(G, 1, K) C(G, e, R) Menge der Klassenfunktionen χ von G mit Werten in R und

χ(eg) = χ(g) für alle g ∈ G C_{ℓ′}(G, e, K) Menge der Klassenfunktionen aus C(G, e, K), die außerhalb

der ℓ′-Klassen Null sind

C_{ℓ′}(G) C_{ℓ′}(G, 1, K) C_{ℓ′}(G, e, R) C(G, e, R) ∩ C_{ℓ′}(G, e, K) ⟨ , ⟩_{G}, ⟨ , ⟩′_{G} Inneres Produkt auf C(G) bzw. C_{ℓ′}(G) ⟨ , ⟩, ⟨ , ⟩′ Inneres Produkt auf C(G) bzw. C_{ℓ′}(G), wenn G aus dem Zu-

sammenhang hervorgeht

l(eRG) |IBr(G, e)| k_{0}(eRG) |{χ ∈ Irr(G, e) | χ hat Höhe 0}| E(G, s) rationale Klasse oder geometrische Konjugiertenklasse von

Charakteren in der endlichen reduktiven Gruppe G

E_{ℓ}(G, s) rationale Klasse oder geometrische Konjugiertenklasse von

ℓ-Blöcken in der endlichen reduktiven Gruppe G

R_{K}(E_{ℓ}(G, s)) Menge der ℤ-Linearkombinationen der gewöhnlichen Cha-

raktere aus E_{ℓ}(G, s)

R_{k}(E_{ℓ}(G, s)) Menge der ℤ-Linearkombinationen der Brauercharaktere aus

E_{ℓ}(G, s)

χ̄ zu χ komplex konjugierter Charakter gχ zu χ konjugierter Charakter: ^{g}χ(x) = χ(g^{−1}xg) für alle x ∈

G

χ^{g}  ^{g^{−1}}χ

χ̆ Einschränkung von χ auf die ℓ′-Klassen χ_{L}^{G} von Untergruppe L auf G induzierter Charakter χ^{G} von Untergruppe auf G induzierter Charakter, wenn die Un-

tergruppe aus dem Zusammenhang hervorgeht

χ_{L} auf Untergruppe L eingeschränkter Charakter χ̃ Inflation des Charakters χ 1_{G} der triviale Charakter von G

Alle vorkommenden Moduln sind, wenn nicht anders vermerkt, endlich erzeugte Rechtsmoduln. Die Abbildungen werden dagegen links geschrieben. Die Begriffe irreduzibel und einfach werden, soweit sie sich auf KG- oder kG-Moduln beziehen, synonym verwendet. Für Charaktere wird ausschließlich der Begriff irreduzibel benutzt. xiv VERZEICHNIS DER ABKÜRZUNGEN UND SYMBOLE

Inhalt

Danksagung vii

Verzeichnis der Abkürzungen und Symbole ix

Inhalt xv

1 Einleitung 1 1.1 Die Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Die Jordan-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Computer-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Basissysteme und perfekte Isometrien 11 2.1 Allgemeine Theorie der Basissysteme . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Spezielle Basissysteme und Rechentechniken . . . . . . . . . . 15 2.3 Perfekte Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Deligne–Lusztig-Theorie 25 3.1 Die endlichen Gruppen vom Lie-Typ . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Maximale Tori und reguläre Untergruppen . . . . . . . . . . . 28 3.3 Deligne–Lusztig-Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Charaktere in geometrischen Konjugiertenklassen . . . . . . . 32 3.5 Der Gelfand–Graev-Charakter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Die Jordan-Zerlegung der Charaktere . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Blöcke 37 4.1 Die Basisrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Blöcke in geometrischen Konjugiertenklassen . . . . . . . . . . 38 4.3 Jordan-Zerlegung von Blöcken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4 Jordan-Zerlegung der Brauercharaktere . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Unipotente Blöcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6 Reguläre und halbeinfache Blöcke . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Hecke-Algebra Methoden 51

5.1 Zerlegungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Zerlegungszahlen und Harish-Chandra-Induktion . . . . . . . . 54 5.3 Hecke-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 Die Anzahl der trivialen Kompositionsfaktoren im Steinberg-

Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5 Die Hecke-Algebra zur Weylgruppe D_{12} . . . . . . . . . . . . . 67

6 Spezielle Charakteristik 71 6.1 Lineare Primzahlen für Gruppen mit BN-Paar . . . . . . . . . 72 6.2 Blöcke in streng linearer Charakteristik . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Lineare Primzahlen bei Gruppen vom Lie-Typ . . . . . . . . . 83

7 Zerlegungszahlen der G_{2}(q): Beweise 91

7.1 Die Hauptblöcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.1.1 Der Fall ℓ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.1.2 Der Fall ℓ = 3 und 3 | q − 1 . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.1.3 Der Fall ℓ = 3 und 3 | q + 1 . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.1.4 Der Fall ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.1.5 Der Fall ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.1.6 Der Fall ℓ | q^{4} + q^{2} + 1, ℓ ≠ 3 . . . . . . . . . . . . . . 100

7.2 Die Blöcke B_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2.1 Der Fall 3 | q − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.2.2 Der Fall 3 | q + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3 Die Blöcke B_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4 Die Blöcke B_{1a} und B_{1b} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5 Die Blöcke B_{2a} und B_{2b} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Die Brauerbäume der Ree-Gruppen: Beweise 105 8.1 Green-Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Die Brauerbäume von ^{2}G_{2}(q^{2}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.3 Die Brauerbäume von ^{2}F_{4}(q^{2}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9 Anwendungen und weitere Beispiele 121 9.1 Beispiel einer Isotypie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.2 Die minimalen Grade der treuen Darstellungen von G_{2}(q) … 126 9.3 Die Alperin–McKay-Vermutung in G_{2}(q) . . . . . . . . . . . . 127 9.4 Die Inzidenzmatrix des Ree-Unitals . . . . . . . . . . . . . . . 133

A Die Gruppe G_{2}(q) 139 A.1 Das Wurzelsystem vom Typ G_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A.2 Die Weylgruppe vom Typ G_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 A.3 Die maximalen Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 A.4 Die Konjugiertenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.5 Einige Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B Die Charaktertafel der G_{2}(q) 145 B.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 B.2 Der Fall q ≡ −1(mod 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 B.3 Der Fall q ≡ 1(mod 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.4 Die Jordan Zerlegung der Charaktere . . . . . . . . . . . . . . 171

C Zerlegungszahlen der G_{2}(q) 175 C.1 Erläuterungen zu den Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 C.2 Hauptblöcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 C.3 Die Blöcke B_{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 C.4 Die Blöcke B_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 C.5 Die Blöcke B_{1a} und B_{1b} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 C.6 Die Blöcke B_{2a} und B_{2b} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

D Die Brauerbäume der Ree-Gruppen 197 D.1 Die Brauerbäume der Suzuki-Gruppen . . . . . . . . . . . . . 198 D.2 Die Brauerbäume der Ree-Gruppen vom Typ ^{2}G_{2} . . . . . . . 200 D.3 Die Brauerbäume der Ree-Gruppen vom Typ ^{2}F_{4} . . . . . . . 203

E Tensorprodukte in G_{2}(q) 213 E.1 Produkte unipotenter Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . 213 E.2 Produkte mit X_{32} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Bibliographie 221

Index 229 xviii INHALT

Kapitel 1

Einleitung

Seit nunmehr etwa 10 Jahren sind alle endlichen einfachen Gruppen bekannt. Es besteht jetzt eine vordringliche Aufgabe darin, diese Objekte auf vielfältige Weise zu untersuchen und ihre wichtigsten Eigenschaften zu bestimmen. Je genauer die einfachen Gruppen bekannt sind, desto leichter dürften Merkmale, die sie etwa von nicht-einfachen Gruppen unterscheiden, ins Auge fallen. Vielleicht ergibt sich auf diese Weise in Zukunft einmal eine Vereinfachung des Klassifikationssatzes.

Wichtige Eigenschaften einer Gruppe G bekommt man aus ihren Darstellungen, also den Homomorphismen von G in die Gruppe der invertierbaren Matrizen über einem Körper. Durch die Einteilung der endlichen Gruppen in die auflösbaren und die nicht-auflösbaren wird auch die Darstellungstheorie endlicher Gruppen in zwei Teilgebiete aufgeteilt. Die einfachen, nichtabelschen Gruppen sind die bestimmenden Bestandteile der nicht-auflösbaren Gruppen. Es ist also nicht erstaunlich, wenn diese sozusagen kleinstmöglichen nicht-auflösbaren Gruppen zuerst untersucht werden. In dieser Einführung sind fortan mit einfachen Gruppen immer nicht-abelsche, einfache Gruppen gemeint. Anhand dieser können viele offene Fragen und Vermutungen der Darstellungstheorie, etwa Brauers Höhenvermutung, die Alperin–McKay-Vermutung oder Alperins Gewichtsvermutung getestet werden. Man kann einige dieser Fragen vollständig auf das Studium der einfachen Gruppen oder, etwas allgemeiner, der quasi-einfachen Gruppen zurückführen. So haben etwa Berger und Knörr in [1] gezeigt, daß eine Richtung von Brauers Höhenvermutung für alle endlichen Gruppen gilt, wenn sie für die quasi-einfachen erfüllt ist.

Das Studium der Darstellungen einfacher Gruppen liefert eine Fülle von Beispielen, die Hinweise für die Richtung zukünftiger Forschung geben. Jede zu entwickelnde Theorie wird sich an diesen Beispielen orientieren und sie unter einem übergreifenden, einheitlichen Gesichtspunkt erklären müssen.

Die meisten einfachen Gruppen, darunter alle klassischen, sind vom Lie-Typ. Diese werden in der vorliegenden Arbeit behandelt. Es werden die Grundzüge einer sich entwickelnden Theorie aufgezeigt und darüberhinaus einige substantielle Beispiele ausgeführt. Das Bemerkenswerte an diesen Beispielen ist, daß schon die Untersuchung einer einzigen Serie von einfachen Gruppen vom Lie-Typ, im vorliegenden Fall die Gruppen vom Typ G_{2}, Muster und Regelmäßigkeiten erkennen läßt, die sich oft ohne große Mühe auf alle Gruppen vom Lie-Typ verallgemeinern lassen. Wenn diese auch nicht in allen Fällen bewiesen werden können, so können sie doch an anderen Beispielen nachgeprüft werden, und führen nach hinreichender Bestätigung zu Vermutungen für alle Gruppen vom Lie-Typ.

Die Darstellungstheorie endlicher, einfacher Gruppen hat aber auch Anwendungen in anderen Gebieten der Mathematik. So kann z.B. in der reinen Gruppentheorie die Frage nach den Erweiterungen einer gegebenen Gruppe durch eine andere mit Hilfe ihrer Darstellungen angegangen werden. Aber auch bei der Suche nach den maximalen Untergruppen einer Gruppe ist die Darstellungstheorie hilfreich. Hat nämlich eine Gruppe G eine Darstellung vom Grad n über einem Körper K, dann muß auch jede hypothetische Untergruppe eine solche besitzen. Schließlich erlaubt eine detaillierte Kenntnis darstellungstheoretischer Eigenschaften von G oft die explizite Konstruktion einer Darstellung von G. Die so gewonnenen Matrizen können mit Hilfe von Computern gespeichert und manipuliert werden, um so konkrete Rechnungen innerhalb von G, etwa die Konstruktion von Elementen bestimmter Ordnung, zu ermöglichen. Auf diese Weise wurde z.B. die Existenz der sporadisch einfachen Janko Gruppe J_{4} nachgewiesen.

Auch in Geometrie, Kombinatorik und Codierungstheorie gibt es Anwendungen. Als Beispiel möge das klassische Unital dienen. Dies wird am besten innerhalb der projektiven Ebene über einem Körper K mit q^{2} Elementen konstruiert. Sei dazu V ein 3-dimensionale Vektorraum über K mit nichtausgeartetem, unitärem Skalarprodukt. Nimmt man als Punkte die eindimensionalen, isotropen Teilräume von V und als Geraden die von zwei verschiedenen Punkten aufgespannten zweidimensionalen Teilräume, so erhält man das klassische Unital. Je zwei Punkte bestimmen genau eine Gerade. Auf jeder Geraden liegen genau q + 1 Punkte. Es gibt insgesamt q^{3} + 1 Punkte. Das klassische Unital ist also ein 2-(q^{3} + 1, q + 1, 1) Block-Design. Wir betrachten nun die Inzidenzmatrix I dieser Geometrie. In der Kombinatorik ist man am ℓ-Rang von I interessiert, wobei ℓ eine Primzahl ist. Dieser Rang kann mit Hilfe der Darstellungen der Gruppe P ΓU_{3}(q^{2}) untersucht werden. Dies ist nämlich die Kollineationsgruppe des klassischen Unitals, und die Menge der Punkte sowie die Menge der Geraden führen zu je einem Permutationsmodul dieser Gruppe über einem Körper der Charakteristik ℓ. Die Inzidenzmatrix beschreibt gewisse Unter- bzw. Faktormoduln davon. Kennt man alle diese, dann kann der Rang von I bestimmt werden. Das vorliegende Beispiel kann allerdings mit dieser Methode nicht vollständig gelöst werden, da für gewisse ℓ nicht alle Untermoduln des Permutationsmoduls auf den Punkten bekannt sind. Dafür wird in dieser Arbeit das Reesche Unital behandelt, für das mit der Methode alle ℓ-Ränge der Inzidenzmatrix bestimmt werden.

Schließlich sei noch erwähnt, daß mit Hilfe der Darstellungstheorie endlicher Gruppen Klassifikationssätze für andere mathematische Strukturen, etwa topologische Mannigfaltigkeiten gewonnen werden können.

1.1 Die Ergebnisse

Die vorliegende Arbeit untersucht modulare Darstellungen endlicher Gruppen vom Lie-Typ in nicht-definierender Charakteristik. Eine endliche Gruppe G vom Lie-Typ besteht aus den Fixpunkten einer sogenannten Frobenius-Ab-bildung auf einer zusammenhängenden, reduktiven algebraischen Gruppe G. Diese sei über einem Körper der Charakteristik p definiert. Dann heißt p die definierende oder natürliche Charakteristik von G. Für die Zwecke dieser Einführung will ich annehmen, daß G ein zusammenhängendes Zentrum hat. Zunächst wurden modulare Darstellungen solcher Gruppen nur in der definierenden Charakteristik p untersucht. J. E. Humphreys gibt in [56, Seite 259] einen Grund dafür an.

“For p we always take the prime defining the group of Lie type, since for other primes (except possibly 2) we cannot hope to say much about an entire Lie family.”

Diese Einschätzung hat sich seither als unnötig pessimistisch erwiesen. Beginnend mit den Arbeiten von Fong und Srinivasan über die Blöcke und Brauerbäume der linearen und unitären Gruppen, über die Arbeiten von Dipper und James über die Zerlegungszahlen der linearen Gruppen bis hin zur Arbeit von Broué und Michel über die Blockeinteilung hat sich gezeigt, daß es sehr wohl einheitliche Beschreibungen für die modularen Darstellungen einer Gruppe vom Lie-Typ in nicht-definierender Charakteristik gibt. Die Theorie scheint sogar einfacher als in definierender Charakteristik zu sein, weil sie sich mehr an die Theorie für Charakteristik 0 anlehnen läßt. Darüberhinaus können viele der Aussagen nicht nur für einzelne Lie-Familien, sondern sogar für alle Gruppen vom Lie-Typ formuliert werden. Davon soll in dieser Arbeit ein Eindruck vermittelt werden.

Im zweiten Kapitel meiner Arbeit werden zunächst einige ganz allgemeine Konzepte aus der modularen Charaktertheorie endlicher Gruppen bereitgestellt. Diese wurden bei dem Unternehmen entwickelt, Zerlegungsmatrizen von sporadisch einfachen Gruppen mit Computern auszurechnen. Das dabei entstandene Programmsystem MOC, von Parker, Lux und mir in Aachen entwickelt, baut seine Algorithmen im wesentlichen auf dem Konzept der Basissysteme von Brauer- und projektiven Charakteren auf. Dieses wird in Kapitel 2 beschrieben. Es ist bemerkenswert, daß sich dieses Konzept, obwohl ursprünglich nur für die Behandlung der sporadisch einfachen Gruppen entwickelt, auch in der modularen Darstellungstheorie der Gruppen vom Lie-Typ in einer Weise anwenden läßt, als wäre es speziell zu diesem Zwecke geschaffen worden. Außerdem wird in diesem Kapitel der von Broué stammende Begriff der perfekten Isometrie zwischen Charaktergruppen vorgestellt, da er wesentlich für die folgende Theorie ist.

Im dritten Kapitel werden zunächst die notwendigen Grundlagen für das Studium der endlichen Gruppen vom Lie-Typ bereitgestellt. Einen wesentlichen Platz nimmt hier die Beschreibung der Deligne–Lusztig-Theorie, also die Theorie der gewöhnlichen Darstellungen, ein. Es wird jedoch nur soviel Material bereitgestellt, wie es für die folgenden Kapitel erforderlich ist.

In den nun folgenden Ausführungen sei G eine endliche Gruppe vom Lie-Typ der Charakteristik p. Hervorragende Beschreibungen dieser Gruppen und ihrer Charaktere finden sich in den Büchern von Srinivasan [87] und Carter [10]. Die gewöhnlichen Charaktere von G werden zu geometrischen Konjugiertenklassen E(G, s) zusammengefaßt (siehe Abschnitt 3.4). Hierbei ist s ein halbeinfaches Element einer G zugeordneten sogenannten dualen Gruppe G^{∗}. Die Elemente aus E(G, 1) spielen eine besondere Rolle. Sie heißen unipotente Charaktere. Sei nun ℓ eine von p verschiedene Primzahl. In Kapitel 4 werden die ℓ-Blöcke von G unter einem einheitlichen Gesichtspunkt beschrieben. Dieser geht auf die Arbeit von Broué und Michel zurück. Zwar liefert ihre Methode nicht die einzelnen Blöcke. Sie geben jedoch Teilmengen E_{ℓ}(G, s) von gewöhnlichen Charakteren an, die in natürlicher Weise aus geometrischen Konjugiertenklassen zusammengesetzt sind, und zeigen, daß diese Mengen Vereinigungen von ℓ-Blöcken sind. Für die meisten Untersuchungen ist diese etwas gröbere Einteilung der Charaktere vollkommen ausreichend. In Anlehnung an die Begriffsbildung der gewöhnlichen Darstellungstheorie nenne ich die Mengen E_{ℓ}(G, s) geometrische Konjugiertenklassen von Blöcken.

In jeder geometrischen Konjugiertenklasse E(G, s) gibt es zwei ausgezeichnete Charaktere, die halbeinfach bzw. regulär genannt werden. Ich zeige, daß eine analoge Begriffsbildung auch für geometrische Konjugiertenklassen von ℓ-Blöcken möglich ist: Alle regulären Charaktere aus E_{ℓ}(G, s) liegen in einem einzigen Block, der deshalb der reguläre Block von E_{ℓ}(G, s) genannt wird. Eine vergleichbare Aussage gilt für die halbeinfachen Charaktere. Diese Aussagen folgen aus dem auch für sich allein interessanten Ergebnis, daß der Gelfand– Graev-Charakter (vgl. Abschnitt 3.5), wegen der ungleichen Charakteristik projektiv, bei Einschränkung auf E_{ℓ}(G, s) einen projektiv Unzerlegbaren ergibt. Eine andere Folgerung aus den dazu verwendeten Methoden betrifft den Steinberg-Charakter im Fall einer zyklischen Defektgruppe. Es wird gezeigt, daß dieser am Brauerbaum stets mit dem exzeptionellen Knoten verbunden ist, vorausgesetzt, es gibt einen solchen.

Weitere Ergebnisse dieses Kapitels betreffen die Frage nach geeigneten und natürlichen Basissystemen (vgl. Kapitel 2) für die Blöcke. Deren Existenz, die in wichtigen Spezialfällen bewiesen wird, würde die Berechnung der Zerlegungsmatrizen erheblich erleichtern. Desweiteren wird eine Vermutung aufgestellt, die die Zerlegungsmatrizen von E_{ℓ}(G, s) mit denen von kleineren Gruppen in Verbindung bringt, wenn s nicht zentral ist. Diese Vermutung wird in einem Spezialfall bewiesen.

Das fünfte Kapitel stellt Methoden vor, die aus der Kenntnis geeigneter Hecke-Algebren Aussagen über die Zerlegungszahlen von G ermöglichen. Zunächst wird der kürzlich von Dipper für diesen Zweck formulierte Satz vorgestellt. Ich gebe dafür einen von W. Plesken vorgeschlagenen einfachen Beweis. Danach beweise ich die Formeln von Iwahori und Matsumoto für die Hecke-Algebra einer Gruppe mit BN-Paar auf eine, wie ich glaube, neue und einfache Weise. Diese Methoden werden dann angewandt, um für jede Gruppe mit BN-Paar und jede Charakteristik ℓ die Vielfachheit des trivialen Charakters im ℓ-modularen Steinberg-Charakter zu bestimmen. Schließlich wird die Hecke-Algebra zur Weylgruppe D_{12} etwas genauer untersucht, weil diese für spätere Beispiele benötigt wird. Lusztigs Isomorphismus zwischen der Hecke-Algebra und der Gruppenalgebra der Weylgruppe, wobei beide über einem ausreichend großen Körper der Charakteristik 0 definiert sind, wird für diesen Fall explizit angegeben. Dieser wird verwendet um zu untersuchen, über welchen Koeffizientenbereichen die beiden Algebren noch isomorph sind.

Das sechste Kapitel enthält Ergebnisse für spezielle Primzahlen ℓ, die ich streng linear genannt habe. Ist G eine Chevalley-Gruppe über dem Körper mit q Elementen, dann ist ℓ genau dann streng linear für G, wenn ℓ ein Teiler von q − 1, aber nicht von der Ordnung der Weylgruppe von G ist. Für streng lineare Primzahlen ℓ können die ℓ-Blöcke und die Zerlegungszahlen bestimmt werden. Desweiteren wird gezeigt, daß für streng lineare Primzahlen Brauers Höhenvermutung, Alperins Gewichtsvermutung und die Alperin– McKay-Vermutung erfüllt sind. Die Ergebnisse dieses Kapitels sind nicht alle neu. Einige können aus Arbeiten von Puig abgeleitet werden, in denen er die Quellen-Algebren für Blöcke in streng linearer Charakteristik bestimmt. Meine Beweise benutzen jedoch viel klassischere Methoden, im wesentlichen nur die Green-Korrespondenz und sind so allgemeiner zugänglich.

Die Arbeit besitzt einen umfangreichen Anhang, der selbst aus sechs Kapiteln besteht. In Anhang A wird die benötigte gruppentheoretische Information über die Gruppen vom Typ G_{2} bereitgestellt, da diese als wichtige Beispiele in fast allen Kapiteln vorkommen.

Anhang B enthält die explizite Charaktertafel von G_{2}(q) für ungerades, nicht durch 3 teilbares q. Diese wurde von Chang und Ree in [11] berechnet. Dort sind jedoch nur die Deligne–Lusztig-Charaktere angegeben sowie Formeln, wie daraus die Irreduziblen gewonnen werden können. Für die vielen, expliziten Rechnungen der vorliegenden Arbeit ist es jedoch unumgänglich, die Charaktertafel in der vorliegenden Form zur Verfügung zu haben.

Kapitel C enthält die Zerlegungsmatrizen von G_{2}(q) in nicht-definierender Charakteristik, soweit sie bestimmt werden konnten. In jedem Block bleiben höchstens zwei Brauercharaktere unbekannt. Die Ergebnisse reichen aus, um die minimalen Grade der treuen Darstellungen von G_{2}(q) zu finden.

Bei der Berechnung der Zerlegungszahlen wurden einige Tensorprodukte verwendet. Deshalb sind in Anhang E die numerischen Ergebnisse angegeben, aus denen sich diese Tensorprodukte bestimmen lassen. Allerdings enthält Anhang E mehr Information, als tatsächlich benötigt wurde. Die zusätzliche Information wurde einerseits aus Gründen der Vollständigkeit und andererseits in der Hoffnung aufgenommen, sie könnte für zukünftige Untersuchungen einmal nützlich werden.

Als weiteres Ergebnis werden in meiner Arbeit die Brauerbäume der Ree-Gruppen bestimmt. Feit stellte in [29] das Problem, die Brauerbäume aller endlichen einfachen Gruppen sowie deren Überlagerungsgruppen zu finden. Für klassische Gruppen wurde diese Aufgabe von Fong und Srinivasan gelöst. Für alternierende Gruppen ist es eine Übungsaufgabe. Bis auf einige wenige Ausnahmen sind auch die sporadisch einfachen Gruppen erledigt (siehe [50]), so daß nur die Behandlung der exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ noch offen ist. Als Beitrag zu diesem Problem enthält Kapitel D die Brauerbäume der Ree-Gruppen vom Typ ^{2}G_{2} und ^{2}F_{4}.

Die Beweise für die Zerlegungsmatrizen von G_{2}(q) finden sich in Kapitel 7 meiner Arbeit. Sie benützen die wesentlichen Ergebnisse der bis dahin entwickelten Theorie. In Kapitel 8 werden die Brauerbäume der Ree-Gruppen bestimmt. Hier werden nur die Ergebnisse von Kapitel 4 benötigt. Die übrigen Beweise folgen Argumenten aus [50].

Schließlich werden in Kapitel 9 einige weitere Beispiele bzw. Anwendungen der Ergebnisse vorgestellt. Zunächst wird anhand eines Blockes der G_{2}(q) eine Vermutung von Broué getestet. Es wird gezeigt, daß der ℓ-Hauptblock von G_{2}(q) im Falle ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2, 3 isotypisch zum Hauptblock im Normalisator der ℓ-Sylowgruppe von G_{2}(q) ist.

Danach werden die minimalen Grade der treuen Darstellungen von G_{2}(q) in jeder Charakteristik ℓ angegeben. Als Anwendung der Blockeinteilung wird schließlich nachgewiesen, daß in G_{2}(q) für jede nicht-definierende Charakteristik sowohl Brauers Höhenvermutung als auch die Alperin–McKay-Vermutung erfüllt ist.

Endlich wird die Kenntnis der Brauerbäume der Ree-Gruppen vom Typ 2G_{2} dazu verwendet, den ℓ-Rang der Inzidenzmatrix des Ree-Unitals für jede Primzahl ℓ zu bestimmen.

1.2 Die Jordan-Zerlegung

Als ordnendes Konzept der Theorie erweist sich der Begriff der Jordan-Zerle-gung. Jedes Element x aus der linearen algebraischen Gruppe G besitzt eine eindeutige Zerlegung in einen halbeinfachen Anteil s und einen damit kommutierenden unipotenten Anteil u, so daß also x = su = us gilt. Ursprünglich auf die Elemente von G beschränkt, wurde dieser Begriff von Lusztig auch in der gewöhnlichen Charaktertheorie der zugehörigen endlichen Gruppe G eingeführt. Er schlägt sich nieder in der Parametrisierung der irreduziblen Charaktere von G. Jeder solche Charakter χ ist parametrisiert durch ein Paar (s, λ), wobei s ein halbeinfaches Element der zu G dualen Gruppe G^{∗} und λ ein unipotenter Charakter von C_{G^{∗}}(s)^{∗} ist. Viele Eigenschaften des Charakters χ, so etwa sein Grad, lassen sich aus dieser Parametrisierung ablesen.

Fong und Srinivasan haben dann bemerkt, daß sich der Begriff der Jordan-Zerlegung auch auf die Blöcke von G anwenden läßt, wenn G eine klassische Gruppe und ℓ ungerade ist. Broué gab dafür einen einfachen, konzeptionellen Beweis, der allerdings noch technische Zusatzvoraussetzungen benötigt. Die Jordan-Zerlegung von ℓ-Blöcken liest sich folgendermaßen: Sei s ∈ G^{∗} ein ℓ′-Element. Dann ist nach Broué und Michel E_{ℓ}(G, s) eine Vereinigung von ℓ-Blöcken. Aus der Jordan-Zerlegung der Charaktere erhält man zunächst eine Bijektion zwischen E_{ℓ}(G, s) und E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1). Diese Bijektion bildet in allen bekannten Fällen Blöcke auf Blöcke ab und induziert somit eine Bijektion zwischen den Blöcken in E_{ℓ}(G, s) und den unipotenten Blöcken in C_{G^{∗}}(s)^{∗}. Dabei heißt ein Block unipotent, wenn er unipotente Charaktere enthält. Diese Eigenschaft der Bijektion führt zu einer Parametrisierung der Blöcke, die man Jordan-Zerlegung von ℓ-Blöcken nennt. Es gibt nur noch sehr wenige Fälle, in denen nicht bekannt ist, ob eine Jordan-Zerlegung von Blöcken existiert.

Diese Analogie setzt sich schließlich in folgender, zuerst am Beispiel der G_{2}(q) erfolgten Beobachtung fort. In allen Fällen, in denen die Zerlegungsmatrix bekannt ist, gilt: Die obige Bijektion erhält nicht nur die Blöcke, sondern auch die Zerlegungsmatrizen. Dies führt zu einer Jordan-Zerlegung von Brauercharakteren: Jeder irreduzible Brauercharakter ist parametrisiert durch ein Paar (s, ϑ), wobei s ein halbeinfaches ℓ′-Element von G^{∗} und ϑ ein unipotenter irreduzibler Brauercharakter von C_{G^{∗}}(s)^{∗} ist. Dabei heißt ein Brauercharakter unipotent, wenn er in einem unipotenten Block liegt. Aus dieser Parametrisierung der Brauercharaktere lassen sich insbesondere ihre Grade ablesen. Eine weitere wichtige Folgerung ist: Wenn die Zerlegungsmatrizen der unipotenten Blöcke von C_{G^{∗}}(s)^{∗} bekannt sind, dann auch die von E_{ℓ}(G, s). Es würde also genügen, die Zerlegungsmatrizen von E_{ℓ}(G, s) für zentrale s zu bestimmen. Die Jordan-Zerlegung der Brauercharaktere ist bisher bekannt für Blöcke mit zyklischen Defektgruppen durch die Arbeiten von Fong und Srinivasan, und für die GL_{n}(q) durch die Arbeiten von Dipper und James. In der vorliegenden Schrift wird sie für den Spezialfall, daß C_{G^{∗}}(s) eine Standard-Levi-Untergruppe ist, nachgewiesen. Broué kennt einen Beweis für den Fall, daß dieser Zentralisator ein maximaler Torus ist.

1.3 Computer-Methoden

Die in der Arbeit verwendeten theoretischen Methoden werden an den betreffenden Stellen ausführlich erläutert. Hier sollen nun anhand des Beispiels der G_{2}(q) ein paar Bemerkungen zu den umfangreichen rechnerischen Methoden gemacht werden. Sämtliche Rechnungen mit den gewöhnlichen Charaktertafeln wurden mit dem Formelmanipulationssystem MAPLE (siehe [12]) ausgeführt. Dazu muß die Charaktertafel zunächst in einem geeigneten Format gespeichert werden. M. Geck hat in seiner Diplomarbeit [38] ausführlich beschrieben, wie und welche Manipulationen mit den Charakteren durchgeführt werden können. Dazu hat er etliche Prozeduren in der Programmiersprache von MAPLE geschrieben. Die rechnerischen Ergebnisse dieser Arbeit machen ausführlichen Gebrauch davon. Das Bemerkenswerte dabei ist, daß die Rechnungen nicht, wie etwa im MOC-System, auf individuelle Gruppen beschränkt sind, sondern simultan für alle Gruppen einer ganzen Lie-Serie durchgeführt werden können.

So können beispielsweise Charaktere tensoriert, Skalarprodukte und Klassenmultiplikationskonstanten sowie zentrale Charaktere und deren Reduktion modulo einer Primzahl ℓ zur Bestimmung der ℓ-Blöcke berechnet werden. Ein weiterer, in meinen Augen überaus wichtiger Aspekt der elektronischen Speicherung ist die leichte Verfügbarkeit und der einfache Zugriff auf Teile der Tafel. Ist die im Anhang abgedruckte Charaktertafel gerade noch in dieser Form handhabbar, so werden die Beispiele aus dem Bereich der exzeptionellen Gruppen sehr schnell so groß, daß sie in gedruckter Form unbrauchbar sind. Trotzdem ist es für viele Untersuchungen hilfreich, mit einer Charaktertafel umgehen zu können. Am Rande sei erwähnt, daß die im Anhang abgedruckten Tafeln einem Ausdruck von MAPLE entstammen, der durch einfache MAPLE-Programme in eine schon fast für das Textverarbeitungssystem TEX brauchbare Form gebracht worden war.

Die elektronische Speicherung einer Charaktertafel erleichtert natürlich das Experimentieren in großem Maße. Dieser Aspekt ist deshalb so wichtig, weil etwa beim Erzeugen von projektiven Charakteren durch Tensorprodukte kein Kriterium zur Verfügung steht, das einem von vorneherein die Auswahl der Faktoren erleichtern würde. Oft erhält man eine gesuchte Information erst nach systematischem Durchspielen aller Fälle. Diese Vorgehensweise wäre unmöglich, müßte man in Tafeln dieser Größe von Hand rechnen. Die diesbezügliche Analogie zwischen den exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ und den sporadisch einfachen Gruppen hat überhaupt erst zu der Idee geführt, auch für erstere den Computer zu benutzen.

Aber die Computer-Methoden erschöpfen sich nicht im Hantieren mit Charaktertafeln. Auch beim Berechnen von Lusztigs kanonischem Isomorphismus zwischen der Hecke-Algebra und der Gruppenalgebra der Weylgruppe war MAPLE sehr hilfreich. Gerade im Bereich der Hecke-Algebren sehe ich wichtige zukünftige Anwendungen von Programmsystemen wie MAPLE.

1.4 Ausblick

Eines der Ziele der vorliegenden Arbeit ist es, zu zeigen, wie mit geeigneten Begriffen die Theorie der modularen Darstellungen der endlichen Gruppen vom Lie-Typ vereinfacht und vereinheitlicht werden kann. Dabei kann man sich etwa an den erwähnten Vermutungen orientieren. Es wäre ein erster Erfolg der Theorie, könnte etwa die oben angesprochene Richtung von Brauers Höhenvermutung für alle einfachen Gruppen nachgewiesen werden. Nach meiner Einschätzung steht dieser Erfolg kurz bevor.

Die Untersuchung modularer Charaktere ist stets von der Hoffnung begleitet, diese könnten sich auch auf die gewöhnliche Theorie auswirken. Noch sind nicht alle unipotenten Charaktere für die exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ bekannt. Erst kürzlich hat Malle diese für die Ree-Gruppen vom Typ ^{2}F_{4} in mühsamer Rechenarbeit bestimmt. Die ausgesprochen starke Theorie der Blöcke mit zyklischen Defektgruppen könnte hier zumindest einige Relationen für die unbekannten Charakterwerte liefern. Dies umso mehr, da es möglich ist, große Teile der Brauerbäume allein aus der Kenntnis der Charaktergrade zu gewinnen.

Das umfangreiche Tabellenmaterial in den Anhängen des Buches [10] von Carter sowie der vorliegenden Arbeit läßt es geraten erscheinen, diese Information zu sammeln und in geeigneter Weise zu speichern. Vorstellbar wäre ein Atlas für die endlichen Gruppen vom Lie-Typ, für den sich aus Gründen, die ich weiter oben schon ausgeführt habe, eine elektronische Speicherung anbieten würde. In jedem Fall wäre dieser eine wertvolle Ergänzung zum wohlbekannten Cambridger ”Atlas of Finite Groups“ [13].

Nicht alle Zerlegungszahlen für die G_{2}(q) konnten in dieser Arbeit bestimmt werden. Meiner Ansicht nach ist der Hauptgrund dafür im Auftreten kuspidaler, unipotenter Charaktere zu suchen. Deshalb sind die Hecke-Algebra Methoden, im Gegensatz zur Situation bei der allgemeinen linearen Gruppe, nicht ausreichend, alle Zerlegungszahlen zu bestimmen. Es ist nahezu sicher, daß keine der in dieser Arbeit vorgestellten Methoden diese Probleme in allgemeiner Art zu lösen vermag. Zur Beantwortung dieser Fragen sind also neue Verfahren gefordert. Diese werden dann auch vergleichbare Probleme bei anderen Gruppen vom Lie-Typ lösen können.

10 EINLEITUNG

Basissysteme und perfekte Isometrien

In diesem Kapitel sollen zunächst die Begriffe Basissystem und Atomsystem eingeführt sowie einige grundlegende Eigenschaften und Anwendungen davon vorgeführt werden. Dieses Konzept wurde von R. Parker, K. Lux und mir als Grundlage des Computersystems MOC (\underline{Mo}dular \underline{C}haracters) entwickelt. Es bildet das Fundament für die in MOC verwendeten Algorithmen; insbesondere jener, die die Irreduzibilität eines Brauercharakters oder die Unzerlegbarkeit eines projektiven Charakters zu beweisen suchen. Es erlaubt, die bei der Berechnung von modularen Charakteren auftretenden Aufgaben in die Sprache der Linearen Algebra zu übersetzen. Außerdem werden die bisher in der Literatur verwendeten elementaren Methoden systematisiert und mechanisiert, so daß sie leicht von elektronischen Rechenmaschinen übernommen werden können.

Es stellte sich heraus, daß diese Methoden—ursprünglich für sporadische Gruppen unter dem Gesichtspunkt der Algorithmisierung erdacht—auch äußerst fruchtbar in der modularen Darstellungstheorie der Gruppen vom Lie-Typ angewandt werden können. Sie erleichtern die simultane Behandlung der Gruppen einer ganzen Lie-Serie, indem sie den Einfluß des zugrundeliegenden Körpers auf die Zerlegungsmatrizen in den Hintergrund drängen.

Da eine Beschreibung des MOC-Systems zwar geplant ist, aber noch nicht vorliegt, werde ich hier mit Erlaubnis meiner beiden Mitautoren R. Parker und K. Lux die für die Theorie der Gruppen vom Lie-Typ wichtigsten Gesichtspunkte dieser Maschinerie erörtern.

Perfekte Isometrien zwischen Charaktergruppen wurden von Broué eingeführt. Sie finden bisher ihre wichtigste Anwendung in der modularen Charaktertheorie der endlichen Gruppen vom Lie-Typ. Das zweite Ziel dieses Kapitels ist es deshalb, den Begriff der perfekten Isometrie zu definieren und seine wichtigsten Eigenschaften zu diskutieren.

2.1 Allgemeine Theorie der Basissysteme

In diesem Kapitel sei G eine endliche Gruppe, ℓ eine Primzahl und (K, R, k) ein ℓ-modulares Zerfällungssystem für G. Es sei weiter e ein für das gesamte Kapitel fest gewähltes zentrales Idempotent von RG. Dann ist eRG eine Summe von ℓ-Blöcken von G. Die Menge der gewöhnlichen irreduziblen Charaktere von eRG wird hier stets mit {χ_{1}, …, χ_{n}} bezeichnet. Die Gruppe der gewöhnlichen verallgemeinerten Charaktere von eRG sei R_{K}(G, e), die Gruppe der verallgemeinerten Brauercharaktere sei R_{k}(G, e). Schließlich bezeichne R_{k}^{pr}(G, e) die verallgemeinerten projektiven Charaktere von eRG. Die Menge der echten Charaktere von eRG sei R_{K}(G, e)^{+}. Eine analoge Notation wird für die echten Brauercharaktere und die echten projektiven Charaktere verwendet. Die übrigen Bezeichnungen können der Liste der Notationen entnommen werden.

Definition 2.1.1 (a) Ein Basissystem von Brauercharakteren BS ist eine ℤ-Basis von R_{k}(G, e), die aus echten Brauercharakteren besteht.

(b) In analoger Weise ist ein Basissystem von projektiven Charakteren PS definiert.

(c) Eine ℤ-Basis BA von R_{k}(G, e) heißt Atomsystem von Brauercharakteren, falls jeder echte Brauercharakter eine Linearkombination mit nichtnegativen Koeffizienten von Elementen aus BA ist. Ein Braueratom ist ein verallgemeinerter Brauercharakter, der Mitglied eines Atomsystems ist.

(d) In analoger Weise ist ein Atomsystem von projektiven Charakteren PA und ein projektives Atom definiert.

Im Gegensatz zu dem gelegentlichen Gebrauch in der Literatur verlangen wir von einem Basissystem ausdrücklich, daß es aus echten projektiven oder Brauercharakteren besteht. Es wird dagegen nicht verlangt, daß die Elemente eines Atomsystems echt sind. Es stellt sich nun die Frage, wie man feststellen kann, ob eine gegebene Menge von Brauercharakteren ein Basissystem ist.

Lemma 2.1.2 Sei S ⊂ R_{k}(G, e)^{+}. Dann ist S genau dann ein Basissystem, wenn S über ℤ linear unabhängig ist, und sich jeder gewöhnliche irreduzible Charakter, eingeschränkt auf die ℓ′-Klassen, als ℤ-Linearkombination in S schreiben läßt.

Beweis: Die Notwendigkeit der Bedingung ist klar. Die Umkehrung folgt aus der Surjektivität des Zerlegungshomomorphismus.

Das nächste Ergebnis zeigt, wie man etwa aus einem Basissystem von Brauercharakteren ein System von projektiven Atomen erhält.

Lemma 2.1.3 Sei BS ein Basissystem von Brauercharakteren. Ist PA die zu BS bezüglich des Skalarproduktes ⟨ , ⟩′ duale Basis von R_{k}^{pr}(G, e), dann ist PA ein System von projektiven Atomen. Die analoge Aussage gilt natürlich auch für die Beziehung zwischen einem Basissystem PS von projektiven Charakteren und der dazu dualen Basis BA.

Beweis: Der Einfachheit halber werde mit BS bzw. PA auch die zugehörige Charaktertafel bezeichnet. Weiter seien Pr bzw. Br die Charaktertafeln der projektiv unzerlegbaren bzw. der irreduziblen Brauercharaktere. Es ist dann

BS = U Br,

wobei die Einträge von U nicht-negative ganze Zahlen sind, und detU = ±1 ist. Es sei C eine Diagonalmatrix, die in der Diagonalen die Kehrwerte der Zentralisatorordnungen eines Repräsentantensystems der ℓ′-Konjugiert-enklassen von G enthält. Aus

PA C (\overline{BS})^{t} = E

und den Orthogonalitätsrelationen folgt nun

Pr = (U^{t}) PA,

und daraus die Behauptung.

Für praktische Rechnungen ist es nicht nötig, bei gegebenem BS die Elemente der dualen Basis PA explizit als Klassenfunktionen vorliegen zu haben. Dies wird im folgenden deutlich werden.

Wir haben schon gesehen, wie von einer gegebenen Menge von Brauercharakteren nachgewiesen werden kann, daß sie ein Basissystem bildet. Es stellt sich nun die Frage, wie man auf der anderen Seite von einer Menge von projektiven Charakteren nachweist, daß sie ein Basissystem bildet. Im Unterschied zu Brauercharakteren, die durch Einschränkung von gewöhnlichen gewonnen werden können, ist es nicht unmittelbar klar, wie projektive Charaktere konstruiert werden können. In dieser Arbeit geschieht dies im wesentlichen auf zwei Arten. Zum einen erhält man Projektive durch Induzieren von Projektiven von Untergruppen. Zum anderen kann man Charaktere vom Defekt 0 mit anderen, gewöhnlichen Charakteren tensorieren. Das Tensorieren mit Projektiven, die nicht Defekt 0 haben, liefert zwar wieder Projektive, die aber in den meisten Fällen wertlos sind, da einer der Faktoren einen zu großen Grad besitzt.

Die folgende wohlbekannte Tatsache ist oft hilfreich, einen zu ”dicken“ Projektiven zu verdünnen. Sie wird nur für projektive Charaktere formuliert, obwohl sie sinngemäß auch für Brauercharaktere gilt. Der Leser möge das Ergebnis mit der etwas stärkeren Fassung in [58, Corollary 6.3.8] vergleichen.

Lemma 2.1.4 Es seien Φ_{1}, …, Φ_{m} ∈ R_{k}^{pr}(G, e) verallgemeinerte projektive Charaktere und

Φ = ∑_{i=1}^{m} z_{i} Φ_{i}

ein echter Projektiver. Ist d eine natürliche Zahl mit d | z_{i} für alle i, dann ist \frac{1}{d}Φ ein echter projektiver Charakter. Dabei wird nicht verlangt, daß die Φ_{i} eine Basis bilden.

Beweis: Ist Ψ ∈ R_{k}^{pr}(G, e), so daß d Ψ für eine natürliche Zahl d > 0 in R_{k}^{pr}(G, e)^{+} liegt, dann ist Ψ selbst schon in R_{k}^{pr}(G, e)^{+}.

Wir haben also eine Menge von projektiven Charakteren konstruiert, und wählen daraus eine linear unabhängige Teilmenge PS von größtmöglichem Rang aus. Wie können wir feststellen, ob PS ein Basissystem ist? Dies ist sehr einfach.

Lemma 2.1.5 Seien BS und PS zwei gleichmächtige Mengen von echten Brauercharakteren bzw. echten Projektiven. Wir nehmen an, daß die Anzahl ihrer Elemente gleich der Anzahl der irreduziblen Brauercharaktere ist. Identifizieren wir die Mengen mit den zugehörigen Charaktertafeln, und ist C wieder eine Diagonalmatrix wie im Beweis von Lemma 2.1.3, dann ist

U = BS C (\overline{PS})^{t}  (2.1)

die Matrix ihrer paarweisen Skalarprodukte. Dies ist eine quadratische Matrix mit nicht-negativen Einträgen. Dann sind BS und PS genau dann Basissysteme, wenn U über ℤ invertierbar ist.

Beweis: Seien Br und Pr die Menge der irreduziblen Brauercharaktere bzw. der projektiv Unzerlegbaren. Dann können wir schreiben:

BS = U_{1} Br,  U_{1} ≥ 0  (2.2)

und

PS = U_{2}^{t} Pr,  U_{2} ≥ 0.  (2.3)

(Die Schreibweise U ≥ 0 bedeutet, daß alle Einträge von U nicht-negativ sind.) Aus den Orthogonalitätsrelationen folgt dann:

U = BS C (\overline{PS})^{t} = U_{1}Br C (\overline{Pr})^{t}U_{2} = U_{1}U_{2}.

Nun sind BS bzw. PS genau dann Basen, wenn U_{1} und U_{2} über ℤ invertierbar sind, woraus die Behauptung folgt.

Wir nehmen an, daß uns zwei Basissysteme BS und PS gegeben sind. Die zugehörigen dualen Basen von Atomen seien PA und BA. Wir wollen uns einen Überblick über alle Matrizen verschaffen, die in der gegebenen Situation Zerlegungsmatrizen sein könnten. Wir berechnen zunächst die Matrix U der Skalarprodukte der Charaktere von PS mit den Charakteren von BS gemäß (2.1). Dann haben wir mit den Bezeichnungen von (2.2) und (2.3)

U = U_{1} U_{2}.  (2.4)

Da die Zerlegung der gewöhnlichen Charaktere in die Basis BS als bekannt vorausgesetzt werden kann, ist die Kenntnis von U_{1} gleichbedeutend mit der Kenntnis der gesuchten Zerlegungsmatrix. Alle mit den gegebenen Basissystemen BS und PS verträglichen Zerlegungsmatrizen erhält man somit aus den Lösungen von

U = U_{1} U_{2}, U_{1}, U_{2} unimodular , U_{1}, U_{2} ≥ 0.  (2.5)

In vielen Fällen sind allerdings Nebenbedingungen gegeben, die die Anzahl der Lösungen von (2.5) erheblich einschränken. Ist nämlich eine Menge von Brauercharakteren B sowie eine Menge von projektiven Charakteren P gegeben, so können wir, wenn wir wieder ihre Charaktertafeln mit den gleichen Symbolen bezeichnen, schreiben:

B = V BS = (V U_{1}) Br

und

P = W PS = (W U_{2}^{t}) Pr

mit ganzzahligen Matrizen V und W. Die Lösungen U_{1} und U_{2} von (2.5) müssen also die beiden Nebenbedingungen erfüllen:

V U_{1} ≥ 0, und W U_{2}^{t} ≥ 0.  (2.6)

Im Idealfall ist die Matrix U in (2.1) die Einheitsmatrix. Dann ist unser Problem gelöst.

Proposition 2.1.6 Seien BS und PS zwei Basissysteme, so daß die Matrix der Skalarprodukte U zwischen den Elementen aus BS und denen aus PS die Einheitsmatrix ist. Dann besteht BS aus den irreduziblen Brauercharakteren und PS aus den projektiv unzerlegbaren Charakteren.

Beweis: Dies folgt sofort aus (2.4), (2.2) und (2.3).

Das Programm MOC versucht, diesen Idealzustand zu erreichen, indem es die Basissysteme BS und PS Schritt für Schritt verbessert, wobei die Nebenbedingungen (2.6) ausgenützt werden.

2.2 Spezielle Basissysteme und Rechentechniken

Wir behalten weiterhin die Notation aus dem vorigen Abschnitt bei. Bevor wir uns der Frage nach speziellen Basissystemen zuwenden, soll eine kleine, aber doch recht nützliche Anwendung der bisher eingeführten Begriffe vorgestellt werden.

Proposition 2.2.1 Gegeben sei ein System von projektiven Atomen PA. Ist Φ ∈ PA ∩ R_{k}^{pr}(G, e)^{+}, d.h. ist Φ ein echter projektiver Charakter und ein Atom, so ist Φ unzerlegbar.

Beweis: Sei PA = (Φ_{1}, …, Φ_{m}) mit Φ = Φ_{1}. Seien weiter Ψ_{1}, …, Ψ_{m} die projektiv unzerlegbaren Charaktere. Wir schreiben

Ψ_{i} = ∑_{j=1}^{m} z_{ij}Φ_{j}.

Dann sind alle z_{ij} ≥ 0, und ihre Matrix ist invertierbar. Da Φ ein echter Projektiver ist, können wir schreiben

Φ = ∑_{i=1}^{m} x_{i}Ψ_{i}

mit x_{i} ≥ 0. Also ist

Φ = ∑_{j=1}^{m} (∑_{i=1}^{m} x_{i}z_{ij}) Φ_{j} = Φ_{1}.

Daraus folgt nun x_{i} = 0 für alle i ≠ i_{0} und x_{i_{0}} = 1, d.h. Φ = Ψ_{i_{0}}.

Natürlich ist eine analoge Aussage auch für Brauercharaktere richtig. Diese Beobachtung erlaubt Unzerlegbarkeits- bzw. Irreduzibilitätsbeweise, wovon gleich ein erstes Beispiel (2.2.3) gegeben werden soll. Sie ist allerdings nur der Trivialfall eines viel allgemeineren Verfahrens, welches später noch zu besprechen sein wird.

Die Situation wird erheblich vereinfacht, wenn spezielle Basissysteme vorliegen.

Lemma 2.2.2 Sei BS = (φ_{1}, …, φ_{m}) ein Basissystem von Brauercharakteren, so daß die φ_{i} Einschränkungen von gewöhnlichen Charakteren sind, d.h. φ_{i} = χ̆_{i}, 1 ≤ i ≤ m. Sei PA = (Φ_{1}, …, Φ_{m}) die zu BS duale Basis. Ist nun Φ ∈ R_{k}^{pr}(G, e), etwa

Φ = ∑_{i=1}^{n} z_{i} χ_{i},

dann ist

Φ = ∑_{i=1}^{m} z_{i} Φ_{i}.

Mit anderen Worten: Stellt man einen verallgemeinerten projektiven Charakter Φ als ℤ-Linearkombination von gewöhnlichen Charakteren dar, und läßt dann diejenigen Koeffizienten weg, die nicht zu Charakteren aus BS gehören, so erhält man seine Darstellung im zugehörigen dualen System PA.

Beweis: Sei Φ = ∑_{i=1}^{m} z′_{i}Φ_{i}. Dann ist für 1 ≤ j ≤ m:

⟨Φ, φ_{j}⟩′ = ∑_{i=1}^{m} z′_{i}⟨Φ_{i}, φ_{j}⟩′ = z′_{j}

und

⟨Φ, φ_{j}⟩′ = ⟨Φ, χ_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} z_{i}⟨χ_{i}, χ_{j}⟩ = z_{j},

woraus die Behauptung folgt.

Diese Beobachtung erlaubt es nun—vorausgesetzt es existiert ein Basissystem wie oben—die Zerlegungsmatrix zunächst auf dieses einzuschränken, und sodann den Spalten eine neue Interpretation zu geben: Es sind dies die projektiv unzerlegbaren Charaktere, ausgedrückt in der zum gegebenen Basissystem dualen Basis der Atome.

Beispiel 2.2.3 Dieses Beispiel dient ausschließlich zur Illustration der bisher eingeführten Begriffe und Methoden. Die darin aufgestellten Behauptungen werden deshalb an dieser Stelle nicht alle bewiesen. Sei G = G_{2}(q), ℓ eine Primzahl mit ℓ |̸ q, und e das Idempotent eines ℓ-Blockes. Ist Γ_{e} die Einschränkung des Gelfand–Graev-Charakters (siehe Abschnitt 3.5) auf diesen Block, dann ist Γ_{e} projektiv unzerlegbar. Zum Beweis beobachtet man, daß R_{k}(G, e) ein Basissystem BS besitzt, das aus Einschränkungen gewöhnlicher Charaktere auf die ℓ′-Klassen besteht. Dies wird in Kapitel 7 gezeigt. Weiterhin beobachtet man, daß genau ein Charakter aus BS in Γ_{e} vorkommt. Aus Lemma 2.2.2 folgt nun, daß Γ_{e} ein Atom ist. Mit Proposition 2.2.1 ergibt sich die Behauptung.

Dieses Beispiel läßt sich verallgemeinern auf jede Gruppe vom Lie-Typ, für die der Gelfand–Graev-Charakter definiert ist. Der Beweis hiervon benötigt nichts weiter als eine leichte Erweiterung der eben skizzierten Methode. Er wird in einem späteren Kapitel erbracht werden.

Will man—was eine verbreitete Methode ist—die Zerlegungsmatrix bestimmen, indem man projektive Charaktere als Klassenfunktionen berechnet und diese dann in den gewöhnlichen ausdrückt, so genügt es, die Skalarprodukte dieser Projektiven mit den Charakteren des Basissystems zu kennen. Bei den Blöcken der Gruppen vom Lie-Typ, die im folgenden behandelt werden sollen, ist dies ein entscheidender Vorteil. Hier erhält man im allgemeinen ein Basissystem das aus Charakteren mit verhältnismäßig wenigen Irrationalitäten besteht. Die übrigen Charaktere, die viele Irrationalitäten aufweisen, können zunächst aus der Betrachtung ausgeklammert werden.

Beispiel 2.2.4 Sei G = G_{2}(q), q ≡ 1(mod 4), und 3 |̸ q. Die Charaktere von G sind in Anhang B wiedergegeben. Jeder Charakter χ vom Typ X_{3} ist vom 2-Defekt 0. Das Tensorprodukt Φ := χ ⊗ X_{32} ist das gleiche für jeden beliebigen Charakter χ vom Typ X_{3} und ist projektiv modulo 2. Schränken wir Φ auf den Hauptblock B_{1} ein, so erhalten wir:

Φ = (q − 1)X_{12} + X_{15} + X_{17} +
(q − 1)X_{21} + X_{23} + X_{24} +
∑_{X′_{1a}∈B_{1}} X′_{1a} + q ∑_{X_{1a}∈B_{1}} X_{1a} +
∑_{X′_{1b}∈B_{1}} X′_{1b} + q ∑_{X_{1b}∈B_{1}} X_{1b} +
(q − 1) ∑_{X_{a}∈B_{1}} X_{a} + (q − 1) ∑_{X_{b}∈B_{1}} X_{b} +
(q + 1) ∑_{X_{1}∈B_{1}} X_{1}.

Es wäre sehr aufwendig aus der gegebenen Klassenfunktion Φ die obige Zerlegung vollständig auszurechnen. Stattdessen genügen in diesem Fall die Skalarprodukte mit den 7 Charakteren eines Basissystems.

Es ist leider nicht klar, ob es immer ein Basissystem gibt, welches aus den Einschränkungen gewöhnlicher Charaktere besteht. Bei ℓ-auflösbaren Gruppen folgt eine positive Antwort aus dem Satz von Fong–Swan. Bei Blöcken mit zyklischer Defektgruppe existiert immer ein solches nach den Ergebnissen von Dade. Trotz der großen Anzahl der behandelten Beispiele ist auch bei Gruppen vom Lie-Typ noch kein Block aufgetreten, der kein derartiges Basissystem hat. Ebensowenig liefern die sporadischen Gruppen negative Beispiele. Am ehesten wäre ein Gegenbeispiel bei Gruppen vom Lie-Typ in definierender Charakteristik p zu erwarten.

Ist ein Basissystem von Brauercharakteren gegeben, und sind die Zerlegungen der Charaktere des Basissystems in die irreduziblen Brauercharaktere bekannt, so läßt sich daraus natürlich sofort die gesamte Zerlegungsmatrix rekonstruieren. Wir wollen in diesem Zusammenhang noch eine Bezeichnungsweise festlegen.

Definition 2.2.5 Eine Relation ist eine lineare Abhängigkeit über ℤ zwischen Brauercharakteren. Spezieller: Ist ein Basissystem BS von Brauercharakteren gegeben, und ist φ ∈ R_{k}(G, e), so heißt die Darstellung von φ in BS eine Relation bezüglich BS.

Will man von einer Teilmenge BS von irreduziblen gewöhnlichen Charakteren, die man auf die ℓ′-Klassen eingeschränkt hat, nachweisen, daß diese ein Basissystem bilden, so genügt es, wie wir oben gesehen hatten, jeden anderen, auf die ℓ′-Klassen eingeschränkten, gewöhnlichen irreduziblen Charakter als ℤ-Linearkombination von BS zu schreiben. Gelingt dies, so hat man gleichzeitig auch diejenigen Relationen gefunden, mit denen man die vollständige Zerlegungsmatrix herstellen kann. Diese Relationen erlauben aber auch noch eine weitere Interpretation, die zum Test der Irreduzibilität verwendet werden kann.

Lemma 2.2.6 Sei BS = (φ_{1}, …, φ_{m}) ein Basissystem von Brauercharakteren und dualem System von projektiven Atomen PA = (Φ_{1}, …, Φ_{m}). Ist φ ein verallgemeinerter Brauercharakter, etwa

φ = ∑_{i=1}^{m} z_{i}φ_{i},

so können aus dieser Relation die Skalarprodukte von φ mit den Elementen aus PA abgelesen werden: Es ist nämlich ⟨Φ_{j}, φ⟩′ = z_{j}. Ist Φ ein verallgemeinerter projektiver Charakter, etwa

Φ = ∑_{i=1}^{m} z′_{i} Φ_{i},

so ist ⟨Φ, φ⟩′ = ∑_{i=1}^{m} z′_{i}z_{i}.

Es gibt nun ein sehr einfaches, und auch mechanisch durchführbares Verfahren, die Irreduzibilität eines Brauercharakters bzw. die Unzerlegbarkeit eines Projektiven zu testen und womöglich auch zu beweisen. Da die beiden Methoden dual zueinander sind, soll nur eine davon vorgestellt werden.

Proposition 2.2.7 (PIM-Test): Gegeben sei ein System von projektiven Atomen PA = (Φ_{1}, …, Φ_{m}), ein projektiver Charakter Φ = ∑_{i=1}^{m} z_{i}Φ_{i} und eine Menge R von echten Brauercharakteren. Für alle (0, …, 0) ≠ (z′_{1}, …, z′_{m}) ≠ (z_{1}, …, z_{m}), 0 ≤ z′_{i} ≤ z_{i}, und Φ′ = ∑_{i=1}^{m} z′_{i}Φ_{i} gebe es stets einen Brauercharakter φ ∈ R mit ⟨Φ′, φ⟩′ < 0 oder ⟨Φ − Φ′, φ⟩′ < 0. Dann ist Φ unzerlegbar.

Je mehr Brauercharaktere in R liegen, desto stärker ist diese Methode. Üblicherweise nehmen wir für R die Menge der auf die ℓ′-Klassen eingeschränkten gewöhnlichen Charaktere. Das folgende Beispiel möge dieses Verfahren illustrieren.

Beispiel 2.2.8 Sei G = G_{2}(q), q ≡ −1(mod 3), ℓ = 3. Der Hauptblock besitzt ein Basissystem BS bestehend aus den Charakteren X̆_{11}, X̆_{12}, X̆_{14}, X̆_{16}, X̆_{17}, X̆_{18}, X̆_{19} (siehe Kapitel 7). Da im vorliegenden Fall die Boreluntergruppe B eine ℓ′-Gruppe ist, ist Φ = 1_{B}^{G} ein projektiver Charakter. Wir benötigen drei Relationen, um die Unzerlegbarkeit von Φ gemäß obigem Verfahren zu zeigen. Natürlich wurden zunächst auch alle gewöhnlichen Charaktere in die Testmenge R aufgenommen. Es stellt sich jedoch im nachhinein heraus, daß die drei angegebenen genügen. Die relevanten Koeffizienten sind in folgender Tabelle zusammengefaßt, wobei wie üblich fehlende Einträge durch 0 zu ersetzen sind. Die erste Zeile enthält die Koeffizienten von Φ, ausgedrückt in den projektiven Atomen zu BS. Die folgenden drei Zeilen enthalten die Koeffizienten bezüglich BS der verwendeten Brauercharaktere.

X_{11} X_{12} X_{14} X_{16} X_{17} X_{18} X_{19}
Φ  1 1 1 2
X̆_{31}  1 −1  1
X̆_{32} −1  −1 1  1
X̆′_{2a} −1  1  1 1

Ein PIM-Test könnte etwa folgendermaßen verlaufen. Sei Φ′ ein möglicher direkter Summand von Φ, der X_{11} enthält. Die dritte Relation zeigt, daß dann auch X_{14} in Φ′ vorkommt. Aus der zweiten Relation entnehmen wir sodann, daß X_{16} zweimal in Φ′ steckt, und aus der ersten, daß auch X_{12} vorkommt. Deshalb ist Φ unzerlegbar.

Ein gewöhnlicher Charakter ist genau dann ein verallgemeinerter Projektiver, wenn er auf allen ℓ-singulären Klassen den Wert 0 hat. Dies ermöglicht den folgenden Teilsummentest, der gelegentlich in der Literatur verwendet wird, um die Unzerlegbarkeit eines Projektiven zu zeigen. Sei

Φ = ∑_{i=1}^{n} z_{i} χ_{i}

ein projektiver Charakter, ausgedrückt in den gewöhnlichen Irreduziblen. Eine Teilsumme von Φ ist ein Charakter

Φ′ = ∑_{i=1}^{n} z′_{i} χ_{i},

mit 0 ≤ z′_{i} ≤ z_{i} und (0, …, 0) ≠ (z′_{1}, …, z′_{n}) ≠ (z_{1}, …, z_{n}). Beim Teilsummentest werden nun alle Teilsummen eines projektiven Φ durchlaufen und getestet, ob eine davon ein verallgemeinerter Projektiver ist. Trifft dies nicht zu, so ist Φ unzerlegbar.

Der Vollständigkeit wegen soll nun dieser herkömmliche Teilsummentest mit dem oben angegebenen PIM-Test verglichen werden.

Proposition 2.2.9 Es gebe ein Basissystem BS bestehend aus gewöhnlichen Charakteren und PA sei das zugehörige duale System von projektiven Atomen. Weiter sei Φ ein projektiver Charakter. Dann gilt:

Der Test aus Proposition 2.2.7 beweist die Unzerlegbarkeit von Φ, wobei als Menge R der Brauercharaktere nur die Einschränkungen der gewöhnlichen Charaktere auf die ℓ′-Klassen zugelassen sind, genau dann, wenn keine Teilsumme von Φ ein verallgemeinerter Projektiver ist.

Beweis: Ist Ψ irgendein verallgemeinerter projektiver Charakter, und

Ψ = ∑_{i=1}^{n} x_{i} χ_{i}

seine Darstellung in den gewöhnlichen irreduziblen Charakteren, dann folgt ⟨Ψ, χ̆_{j}⟩′ = ⟨Ψ, χ_{j}⟩ = x_{j}. Seien nun Φ′ und Φ′′ = Φ − Φ′ wie in Proposition 2.2.7. Dann sind Φ′, Φ′′ ∈ R_{k}^{pr}(G, e). Wenn nun keine Teilsumme von Φ ein verallgemeinerter projektiver Charakter ist, dann ist weder Φ′ noch Φ′′ eine Teilsumme. Mindestens einer der beiden hat dann in seiner Darstellung in den gewöhnlichen Charakteren einen negativen Koeffizienten x_{j}, der nach obiger Vorbemerkung gerade sein Skalarprodukt mit χ̆_{j} angibt. Das heißt, daß unser PIM-Test die Unzerlegbarkeit von Φ auch beweisen kann.

Sei umgekehrt Φ′ eine Teilsumme von Φ, die in R_{k}^{pr}(G, e) liegt. Dann ist ⟨Φ′, χ̆_{j}⟩ ≥ 0 für alle 1 ≤ j ≤ n. Weil unser Basissystem so speziell gewählt ist, wird Φ′ nach Lemma 2.2.2 auch von unserem PIM-Test in Betracht gezogen, der somit nicht entscheiden kann, ob Φ unzerlegbar ist.

In diesem Sinne stellt der obige PIM-Test eine Verallgemeinerung des Teilsummentests dar, denn wir können alle vorhandenen Brauercharaktere als Testvektoren benutzen. Unser Test ist im allgemeinen mit weniger Arbeit verbunden, denn die zu durchlaufenden Koeffizientenvektoren sind kürzer als beim Teilsummentest, da wir von vorneherein schon diejenigen Koeffizienten vergessen, die zu Charakteren außerhalb des Basissystems gehören. Zudem ist die Berechnung der Skalarprodukte nichts weiter als die Berechnung des Standardskalarproduktes zwischen Zeilen ganzer Zahlen.

Die Lösung des Problems 2.5 unter den Nebenbedingungen 2.6 wird erheblich vereinfacht, wenn die Matrix U eine untere Dreiecksmatrix ist. Da U unimodular ist, sind dann die Einträge auf der Hauptdiagonalen alle gleich 1. Die beiden Matrizen U_{1} und U_{2} sind dann ebenfalls unimodulare Dreiecksmatrizen. Man erhält etwa U_{1}, indem man U von rechts her verdünnt, d.h. sukzessive von rechts her Spalten subtrahiert. Mit diesem Spezialfall hängt eng der Begriff der Dreiecksgestalt einer Zerlegungsmatrix zusammen.

Definition 2.2.10 Die Zerlegungsmatrix von A hat Dreiecksgestalt, wenn die irreduziblen gewöhnlichen, und die irreduziblen Brauercharaktere so angeordnet werden können, daß die Zerlegungsmatrix von folgender Form ist:

( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & . \\ & ∗ & & & . \\ & & & & & . \\ & & & & & & 1 \\ & & & ∗ \end{matrix} ) ,

wobei die Einträge oberhalb der Diagonalen alle 0 sind.

In der symmetrischen Gruppe hat jede Zerlegungsmatrix Dreiecksgestalt (siehe z.B. [58, Theorem 6.3.60]), ebenso, wie Dipper in [19] gezeigt hat, in den allgemeinen linearen Gruppen in nicht-definierender Charakteristik.

Offensichlich gilt der folgende Zusammenhang.

Lemma 2.2.11 Die Zerlegungsmatrix hat dann und nur dann Dreiecksgestalt, wenn ein Basissystem BS, bestehend aus gewöhnlichen Charakteren, sowie ein Basissystem PS von projektiven Charakteren existiert, so daß die Matrix U aus (2.1) eine untere Dreiecksmatrix ist.

Ist eine solche Situation erreicht, und ist Φ ein Projektiver aus PS, so sind im PIM-Test aus Proposition 2.2.7 erheblich weniger mögliche Summanden Φ′ zu untersuchen. Die einzigen Kandidaten für Φ′ erhält man aus Φ durch sukzessives Subtrahieren von rechts (vgl. [58, 6.3.22] sowie die danach folgende Bemerkung).

2.3 Perfekte Isometrien

In diesem letzten Abschnitt des Kapitels fassen wir im wesentlichen den Abschnitt 1 aus Broués Arbeit [3] zusammen. Sei H eine weitere endliche Gruppe und f ein zentrales Idempotent von RH. Wir setzen voraus, daß K und k auch Zerfällungskörper für H sind. Sei μ ∈ R_{K}(G × H, (e, f)). Diesem μ sind zwei Gruppenhomomorphismen

I_{μ} : R_{K}(H, f) ⟶ R_{K}(G, e) und R_{μ} : R_{K}(G, e) ⟶ R_{K}(H, f)

zugeordnet. Sie sind durch die folgenden Formeln definiert:

\begin{aligned}I_{μ}(β)(g) & = & \frac{1}{|H|} ∑_{h∈H} μ(g, h^{−1})β(h) \\ R_{μ}(α)(h) & = & \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} μ(g^{−1}, h)α(g) \end{aligned}  (2.7)

Dabei sind α und β beliebige Klassenfunktionen mit Werten in K, d.h. wir fassen I_{μ} und R_{μ} auch als Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen der Klassenfunktionen auf. Die beiden Homomorphismen sind adjungiert bezülich des Skalarproduktes ⟨ , ⟩, d.h. ⟨I_{μ}(β), χ⟩_{G} = \overline{⟨β, R_{μ}(χ)⟩}_{H}. Jeder Homomorphismus von R_{K}(H, f) nach R_{K}(G, e) ist von der Form I_{μ} für einen verallgemeinerten Charakter μ ∈ R_{K}(G × H, (e, f)).

Wir kommen nun zu der wichtigen Definition der Perfektheit eines solchen verallgemeinerten Charakters μ.

Definition 2.3.1 (Broué [3, DÉFINITION 1.1]): Der Charakter μ heißt perfekt, wenn er die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

(a) Für alle g ∈ G und h ∈ H sind μ(g, h)/|C_{G}(g)| und μ(g, h)/|C_{H}(h)| in R.

(b) Ist μ(g, h) ≠ 0, dann ist g genau dann ein ℓ′-Element, wenn h ein solches ist.

In die Formeln 2.7 kann man insbesondere Brauercharaktere einsetzen. Für perfekte Charaktere μ erhält man dann wieder Brauercharaktere.

Proposition 2.3.2 (Broué [3, PROPOSITION 1.3]): Sei μ perfekt. Die Anwendung der Formeln (2.7) liefert dann adjungierte Homomorphismen I_{μ} : R_{k}(H, f) → R_{k}(G, f) und R_{μ} : R_{k}^{pr}(G, e) → R_{k}^{pr}(H, f), und, dual dazu: R_{μ} : R_{k}(G, e) → R_{k}(H, f) sowie I_{μ} : R_{k}^{pr}(H, f) → R_{k}^{pr}(G, f).

Wir kommen nun zur Definition der perfekten Isometrie.

Definition 2.3.3 (Broué [3, DÉFINITION 1.4]): Eine Isometrie zwischen R_{K}(H, f) und R_{K}(G, e) heißt perfekt, wenn sie von der Form I_{μ} mit einem perfekten Charakter μ ist.

Die Bedeutung einer perfekten Isometrie I_{μ} liegt darin, daß sie einen Algebrenisomorphismus zwischen Z(fRH) und Z(eRG) induziert, und die wesentlichen blocktheoretischen Invarianten überträgt. Insbesondere erhält sie die Anzahl und die Höhen der gewöhnlichen Irreduziblen sowie die Anzahl der irreduziblen Brauercharaktere (siehe [3, THÉORÈME 1.5]). Im allgemeinen bildet eine perfekte Isometrie echte Charaktere nicht auf echte ab. Deshalb kann man auch nicht erwarten, daß sie die Zerlegungszahlen erhält. Ist dies jedoch der Fall, so werden insbesondere echte Brauercharaktere auf echte Brauercharaktere abgebildet. Eine analoge Aussage gilt dann auch für echte projektive Charaktere. Es ist nicht schwer zu sehen, daß auch die Umkehrung richtig ist.

Proposition 2.3.4 Sei I_{μ} eine perfekte Isometrie zwischen R_{K}(H, f) und R_{K}(G, e). Durch I_{μ} werde R_{k}(H, f)^{+} auf R_{k}(G, e)^{+} sowie R_{k}^{pr}(H, f)^{+} auf R_{k}^{pr}(G, e)^{+} abbildet. Dann bildet I_{μ} die irreduziblen Brauercharaktere auf die irreduziblen Brauercharaktere ab und erhält somit die Zerlegungsmatrix.

Beweis: Sei BS das Bild der Menge der irreduziblen Brauercharaktere unter I_{μ}. Dann ist BS ein Basissystem im Sinne von Definition 2.1.1. Das gleiche gilt für das Bild PS der Menge der projektiv unzerlegbaren Charaktere. Da I_{μ} eine Isometrie ist, ist die Matrix der Skalarprodukte zwischen den Elementen von BS und PS die Einheitsmatrix. Die Behauptung folgt nun aus Proposition 2.1.6.

24 PERFEKTE ISOMETRIEN

Deligne–Lusztig-Theorie

In diesem Kapitel sollen diejenigen Begriffe der Deligne–Lusztig-Theorie wiederholt werden, die bei der Untersuchung der Blöcke und Zerlegungsmatrizen der Gruppen vom Lie-Typ wesentlich eingehen. Soweit möglich folgen die hier verwendeten Bezeichnungen dem Buch von Carter [10].

3.1 Die endlichen Gruppen vom Lie-Typ

Wir beginnen mit einer linearen algebraischen Gruppe G über einem algebraisch abgeschlossenen Körper 𝔽 endlicher Charakteristik p. Wir sagen, daß p die natürliche oder definierende Charakteristik von G ist. Meistens betrachten wir nur zusammenhängende und reduktive Gruppen G. Dies stellt keine wesentliche Beschränkung der Theorie dar. Oft fordern wir jedoch zusätzlich, daß das Zentrum von G zusammenhängend ist. Dann wird zwar die Formulierung der meisten Sätze vereinfacht, dafür aber die angestrebte Allgemeinheit etwas eingeschränkt. Eine zusammenhängende, reduktive Gruppe G ist das Produkt G = [G, G]Z(G)^{∘}, wobei Z(G)^{∘} für die Zusammenhangskomponente der 1 im Zentrum von G steht. Die Kommutatorgruppe [G, G] ist halbeinfach, und der Durchschnitt [G, G] ∩ Z(G)^{∘} ist endlich. Schließlich läßt sich [G, G] in eine zusammenhängende, lineare algebraische Gruppe mit zusammenhängendem Zentrum einbetten. In diesem Sinne ist der Fall von Gruppen mit zusammenhängendem Zentrum ein natürlicher Ausgangspunkt der Theorie.

Eine lineare algebraische Gruppe G ist stets isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe von GL_{n}(𝔽). Die Elemente von G besitzen eine Zerlegung in ein Produkt aus einem halbeinfachen und einem unipotenten Element. Diese sogenannte Jordan-Zerlegung der Elemente ist von grundlegender Bedeutung, und soll deshalb besonders herausgestellt werden.

Zu diesem Zwecke folgt eine Zusammenfassung von [10, Section 1.4]. Sei φ ein injektiver Homomorphismus φ : G → GL_{n}(𝔽), so daß das Bild von φ abgeschlossen ist.

Definition 3.1.1 Ein Element s aus G heißt halbeinfach (semisimple), wenn φ(s) diagonalisierbar ist. Diese Eigenschaft ist unabhängig von der Einbettung φ.

Ein Element u aus G heißt unipotent, wenn alle Eigenwerte von φ(u) gleich 1 sind. Auch diese Eigenschaft ist unabhängig von φ.

Es gilt nun:

Proposition 3.1.2 (Jordan-Zerlegung der Elemente): Sei x ∈ G. Dann existiert ein halbeinfaches Element x_{s} ∈ G und ein unipotentes Element x_{u} ∈ G mit

x = x_{s} x_{u} = x_{u} x_{s}.

Darüberhinaus sind x_{s} und x_{u} durch diese Bedingungen eindeutig festgelegt.

Der Begriff der Frobenius-Abbildung liegt der Einführung der endlichen Gruppen vom Lie-Typ zugrunde und soll deshalb an dieser Stelle aus [10, Section 1.17] übernommen werden. Es sei G isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe von GL_{n}(𝔽). Weiter sei q = p^{e}, e ≥ 1 eine Potenz von p und F_{q} der Endomorphismus von GL_{n}(𝔽), der gegeben ist durch

F_{q} : (a_{ij}) ⟼ (a_{ij}^{q}).

Definition 3.1.3 Ein Homomorphismus F : G → G heißt Standard Frobenius-Abbildung, wenn eine Einbettung φ : G → GL_{n}(𝔽) existiert mit

φ(F (g)) = F_{q}(φ(g))

für ein q = p^{e} und alle g ∈ G. Ein Homomorphismus F : G → G heißt Frobenius-Abbildung, wenn eine Potenz von F eine Standard Frobenius-Abbildung ist.

Ist die G zugrundeliegende algebraische Varietät definiert über dem endlichen Körper 𝔽_{q} ⊂ 𝔽, dann ist der dazugehörige Frobenius-Morphismus (siehe z.B. [87, S. 8]) eine Standard Frobenius-Abbildung. Von den wichtigen Eigenschaften einer Frobenius-Abbildung von G sei besonders hervorgehoben, daß die Menge ihrer Fixpunkte G^{F} = {g ∈ G | F (g) = g} endlich ist. Wir schreiben auch G = G^{F}. Wir können nun die endlichen Gruppen vom Lie-Typ definieren.

Definition 3.1.4 (a) Eine Gruppe heißt endliche Gruppe vom Lie-Typ, wenn sie von der Form G = G^{F} ist, wobei G eine zusammenhängende, reduktive algebraische Gruppe, und F eine Frobenius-Abbildung von G ist.

Endliche Gruppen vom Lie-Typ werden gelegentlich auch endliche reduktive Gruppen genannt.

(b) Sei G eine einfache algebraische Gruppe. Operiert F trivial auf dem Dynkin-Diagramm von G (vgl. [10, Abschnitt 1.19]), dann heißt G Chevalley-Gruppe. Haben alle einfachen Wurzeln von G die gleiche Länge, werden aber nicht alle von F festgehalten, dann heißt G Steinberg-Gruppe. In den übrigen Fällen ist G eine Suzuki- oder Ree-Gruppe.

(c) Die definierende oder natürliche Charakteristik von G ist die Charakteristik des G zugrundeliegenden Körpers.

Die Bedeutung der endlichen Gruppen vom Lie-Typ rührt vor allem daher, daß bis auf die alternierenden und die 26 sporadischen Gruppen, jede endliche einfache Gruppe in leicht überschaubarer Weise aus einer endlichen Gruppe vom Lie-Typ hervorgeht. Bis auf die Suzuki- und Ree-Gruppen erhält man diese sogar mittels Standard Frobenius-Abbildungen.

Da wir vorher die Jordan-Zerlegung der Elemente besonders hervorgehoben haben, ist ein kleiner Kommentar zur Jordan-Zerlegung in den endlichen Gruppen vom Lie-Typ angebracht. Die unipotenten Elemente in G sind genau die p-Elemente, die halbeinfachen die p′-Elemente, so daß die Jordan-Zerlegung eines Elementes in G nichts anderes ist als seine Zerlegung in den pund den p′-Anteil.

Eine endliche Gruppe vom Lie-Typ erfüllt das Axiomensystem von Tits für eine Gruppe mit zerfallendem (split) BN-Paar (siehe z.B. [14, Definitions 65.1, 69.1]). Viele Eigenschaften der endlichen Gruppen vom Lie-Typ, insbesondere auch solche ihrer Darstellungstheorie, können direkt aus diesen Axiomen hergeleitet werden. Dies erspart oft eine Fall-zu-Fall Analyse, die auf der anderen Seite bei einigen Aussagen bisher noch nicht umgangen werden kann. Die üblichen Bezeichnungen rund um Gruppen mit BN-Paaren, z.B. W für die Weylgruppe, werden übernommen.

Beispiel 3.1.5 Sei G vom Typ G_{2}. Das Dynkin-Diagramm von G ist

[figure: a; b]

In Anhang A ist das Wurzelsystem von G abgebildet. Alle ständig benötigten Diagramme, Tabellen und sonstigen Aussagen über G_{2} sind dort gesammelt, um eine einfache Referenz darauf zu ermöglichen.

Die Weylgruppe von G wird von den beiden (fundamentalen) Spiegelungen w_{a} und w_{b} erzeugt und ist isomorph zu einer Diedergruppe mit 12 Elementen.

Die zu einer Standard Frobenius-Abbildung F = F_{q} gehörige endliche Gruppe der Fixpunkte G wird mit G_{2}(q) bezeichnet. Es ist

|G_{2}(q)| = q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1).

Die Boreluntergruppe von G_{2}(q) hat die Ordnung q^{6}(q − 1)^{2}.

Sei G eine zusammenhängende, reduktive Gruppe und F eine Frobenius-Abbildung von G. Dann existiert eine zu G duale Gruppe G^{∗}, die wieder zusammenhängend und reduktiv ist, und eine zu F duale Frobenius-Abbildung F^{∗}. Die zu G duale Gruppe G^{∗} entsteht aus G durch Übergang zum dualen Wurzel-Datum. Zwischen zwei zu G dualen Gruppen existiert eine natürliche Klasse von Isomorphismen, von denen je zwei durch Komposition mit einem inneren Automorphismus auseinander hervorgehen (siehe [66, § 7]). Die Definition der dualen Gruppe und der dualen Frobenius-Abbildung, sowie auch die wichtigsten Eigenschaften zweier Paare (G, F) und (G^{∗}, F^{∗}) in Dualität finden sich in den Abschnitten 4.2–4.5 des Buches von Carter [10]. Sind zwei duale Paare wie oben gegeben, dann sagen wir für die zugehörigen endlichen Gruppen G = G^{F} und G^{∗} = G^{∗}^{F^{∗}}, daß sie dual zueinander seien.

Beispiel 3.1.6 Die Gruppen G_{2}(q) und ^{2}F_{4}(2^{2m+1}) sind jeweils selbstdual. Die spezielle lineare Gruppe SL_{n}(q) ist dual zur projektiven linearen Gruppe P GL_{n}(q), die symplektische Gruppe Sp_{2n}(q) dual zur speziellen orthogonalen SO_{2n+1}(q).

Die Beispiele zeigen, daß sich die Eigenschaft, ein zusammenhängendes Zentrum zu haben, nicht notwendig auf die duale Gruppe überträgt.

3.2 Maximale Tori und reguläre Untergruppen

Definition 3.2.1 Ein maximaler Torus von G ist eine Untergruppe von der Form T = T^{F}, wobei T ein F -stabiler maximaler Torus von G ist. Ein F - stabiler maximaler Torus T von G heißt maximal zerfallend (maximally split), wenn T in einer F -stabilen Boreluntergruppe von G liegt.

Eine Untergruppe L von G heißt regulär, wenn L ein F -stabiles Levi-Komplement einer parabolischen Untergruppe von G ist, die ihrerseits nicht F -stabil sein muß. Die Gruppe der Fixpunkte L = L^{F} heißt dann auch reguläre Untergruppe von G. Ein reguläre Untergruppe L von G heißt maximal zerfallend (maximally split), wenn L in einer F -stabilen parabolischen Untergruppe von G liegt. In diesem Falle ist L ein Levi-Komplement einer parabolischen Untergruppe von G.

Die G-Konjugiertenklassen maximaler Tori von G sind durch die F -Konju-giertenklassen der Weylgruppe W (vgl. [10, Section 3.3]) parametrisiert. Sei Π ein Fundamentalsystem von Wurzeln. Die G-Klassen regulärer Untergruppen sind dann parametrisiert durch Äquivalenzklassen von Paaren (Δ, w), wobei Δ ⊆ Π und w ∈ W mit (wF)(Δ) = Δ ist. Dabei sind zwei solche Paare (Δ, w) und (Δ′, w′) äquivalent, wenn ein x ∈ W existiert mit x(Δ) = Δ′ und xwF (x^{−1}) = w′ (siehe [66, § 7]).

Beispiel 3.2.2 In G_{2} sei Π = {a, b}. Die für dieses Beispiel relevante Information über W = D_{12}, sowie die Operation von W auf dem Wurzelsystem, kann leicht aus den Tabellen des Anhangs A abgeleitet werden.

Die Frobenius-Abbildung operiert trivial auf der Weylgruppe, so daß die F -Konjugiertenklassen nichts anderes als gewöhnliche Konjugiertenklassen sind. Die leere Teilmenge von Π führt zu den 6 maximalen Tori, die mit H_{1}, H_{2}, H_{a}, H_{b}, H_{3} und H_{6} bezeichnet werden, ensprechend den 6 Repräsentanten {1 = w_{1}, w_{2}, w_{a}, w_{b}, w_{3}, w_{6}} der Konjugiertenklassen von W.

Die Teilmenge {a} von Π führt zu den zwei regulären Untergruppen GL_{2}(q)_{a} und U_{2}(q)_{a}, die den beiden Elementen 1 bzw. w_{3a+2b} des Stabilisators von {a} entsprechen. Dabei ist GL_{2}(q)_{a} das Levi-Komplement einer parabolischen Untergruppe von G_{2}(q). Diese wird mit P_{{a}} bezeichnet und hat die Ordnung q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1).

Analog führt die Teilmenge {b} ⊂ Π zu zwei regulären Untergruppen vom Isomorphietyp GL_{2}(q)_{b} respektive U_{2}(q)_{b}, wobei wieder eine davon, nämlich GL_{2}(q)_{b} das Levi-Komplement der parabolischen Untergruppe P_{{b}} ist. Die ganze Menge Π führt natürlich zur Gruppe G_{2}(q).

Wir sehen an diesem Beispiel, daß die regulären Untergruppen allesamt Zentralisatoren gewisser halbeinfacher Elemente von G_{2}(q) sind. Auf der anderen Seite ist nicht jeder Zentralisator eines halbeinfachen Elementes eine reguläre Untergruppe. Ist q nicht durch 3 teilbar, dann existiert ein Element h(ω, ω, ω), dessen Zentralisator, entsprechend der Kongruenz von q modulo 3, entweder zu SL_{3}(q) oder zu SU_{3}(q^{2}) isomorph ist. Keine dieser Untergruppen ist regulär.

Die maximalen Tori bzw. die regulären Untergruppen von G können mit denen der dualen Gruppe G^{∗} verglichen werden. Dazu wählen wir zunächst einen Isomorphismus

𝔽^{∗} ⟶ ℚ_{p′}/ℤ  (3.1)

(vgl. [10, Proposition 3.1.3]), den wir für den Rest der Arbeit festhalten. Wir erhalten dann für jeden F -stabilen maximalen Torus T eine N_{G}(T)^{F} /T^{F} - Klasse von Gruppenisomorphismen

T^{∗} ⟶ Irr(T),  (3.2)

wobei T^{∗} der zu T duale Torus in G^{∗} ist (siehe [10, Proposition 4.4.1]).

Wir betrachten nun Paare (T, ϑ), T maximaler F -stabiler Torus und ϑ ∈ Irr(T). Für die Bahn von (T, ϑ) unter G schreiben wir dann [T, ϑ]. Auf der anderen Seite operiert G^{∗} auf den Paaren (T^{∗}, t), wobei T^{∗} ein maximaler F^{∗}- stabiler Torus von G^{∗} und t ∈ T^{∗} ist. Die Bahn eines solchen Paares werde mit [T^{∗}, t] bezeichnet. Die Isomorphismen (3.2) liefern nun eine Bijektion:

{[T, ϑ] | T F -stabiler maximaler Torus, ϑ ∈ Irr(T)} ↕ {[T^{∗}, t] | T^{∗} F^{∗}-stabiler maximaler Torus, t ∈ T^{∗}}.

(3.3)

Wir schreiben [T^{∗}, t] ↔ [T, ϑ], wenn die beiden Klassen gemäß (3.3) korrespondieren. Weil diese Bijektion mittels der Gruppenisomorphismen (3.2) definiert wurde, gilt offensichtlich der folgende Sachverhalt, der später von Bedeutung sein wird.

Lemma 3.2.3 (Hiss [49]):

(a) Ist [T, ϑ] ↔ [T^{∗}, t], dann ist |ϑ| = |t|.

(b) Ist [T, ϑ] ↔ [T^{∗}, t], dann ist [T, ϑ^{n}] ↔ [T^{∗}, t^{n}] für jede natürliche Zahl n.

(c) Seien s, t ∈ G^{∗} mit ts = st und ggT(|s|, |t|) = 1. Es gelte [T^{∗}, st] ↔ [T, στ], mit |σ| = |s| und |τ| = |t|. Dann ist [T^{∗}, s] ↔ [T, σ].

Die beiden Mengen, die die regulären Untergruppen von G bzw. G^{∗} parametrisieren, können offensichtlich identifiziert werden. Also existiert eine Bijektion (vgl. [66, § 7])

{L | L ≤ G regulär }/G
↕
{L′ | L′ ≤ G^{∗} regulär }/G^{∗}

(3.4)

Ähnlich wie oben schreiben wir L ↔ L′, wenn die G-Bahn von L gemäß (3.4) zu der G^{∗}-Bahn von L′ korrespondiert. Sind L und L′ reguläre Untergruppen von G bzw. G^{∗}, und ist L ↔ L′, so ist L′ in natürlicher Weise zu L^{∗} isomorph (vgl. [66, § 7]).

Beispiel 3.2.4 Da G_{2}(q) eine selbstduale Gruppe ist, werden die regulären Untergruppen unter der Dualität permutiert. Wir erhalten:

H_{1} ↔ H_{1}
H_{2} ↔ H_{2}
H_{a} ↔ H_{b}
H_{3} ↔ H_{3}
H_{6} ↔ H_{6}
GL_{2}(q)_{a} ↔ GL_{2}(q)_{b}
U_{2}(q)_{a} ↔ U_{2}(q)_{b}

3.3 Deligne–Lusztig-Charaktere

Sei G eine zusammenhängende, reduktive algebraische Gruppe der Charakteristik p und F eine Standard Frobenius-Abbildung von G. Wir wählen ein Primzahl ℓ ≠ p und setzen K = ℚ̄_{ℓ}, den algebraischen Abschluß der ℓadischen Zahlen ℚ_{ℓ}. Sei weiter L eine reguläre Untergruppe von G, und P eine parabolische Untergruppe, die L enthält. In seiner Arbeit (siehe [65, Abschnitt 1]) definiert Lusztig den Funktor

R_{L,P}^{G} : R_{K}(L) ⟶ R_{K}(G).  (3.5)

Die Erweiterung dieses Funktors auf Klassenfunktionen C(L) werde mit dem gleichen Symbol bezeichnet. Es wird vermutet, daß dieser Funktor von der speziellen parabolischen Untergruppe P, die L enthält, unabhängig ist. Diese Vermutung ist aber bisher nur für gute Primzahlen p und große q bewiesen. Wenn die Unabhängikeit von P klar ist, dann schreiben wir einfach R_{L}^{G} statt R_{L,P}^{G}. Falls L = T ein maximaler Torus ist, dann ist R_{T}^{G} = R_{T,P}^{G} unabhängig von P. In diesem Fall ist es der berühmte Deligne–Lusztig-Funktor, den sie in [15] eingeführt haben. Falls L maximal zerfallend ist, ist R_{L}^{G} die Harish-Chandra-Induktion. Die Abbildung R_{L,P}^{G} heißt deshalb auch verschränkte Induktion (twisted induction). Wir wollen nun einige ihrer wichtigsten Eigenschaften auflisten. Zunächst haben wir die

(1) Gradformel (siehe [18, Proposition 3.10]):

ε_{G}ε_{L}R_{L,P}^{G}(ϑ)(1) = ϑ(1) |G : L|_{p′}.  (3.6)

Hierbei steht ε_{G} für (−1)^{ρ_{G}}, wobei ρ_{G} den relativen Rang von G bezeichnet (vgl. [10, Seite 197]). Das Skalarprodukt eines Deligne–Lusztig-Charakters mit einem durch verschränkte Induktion erhaltenen ist gegeben durch die folgende

(2) Skalarpoduktformel (siehe [16, (7.1)]):

⟨R_{L,P}^{G}(μ), R_{T}^{G}(ϑ)⟩_{G} = \frac{1}{|L|} ∑ ; \begin{matrix}x ∈ G \\ x^{−1}Tx ≤ L \end{matrix} ⟨μ, R_{x^{−1}T x}^{L}(^{x}ϑ)⟩_{L}.  (3.7)

Für den Fall, daß L ein maximaler Torus ist, erhalten wir hieraus die bekannte Formel für das Skalarprodukt zweier Deligne–Lusztig-Charaktere:

⟨R_{T}^{G}(ϑ), R_{T′}^{G}(ϑ′)⟩ = |T |^{−1}|{g ∈ G | T^{g} = T′,^{g}ϑ′ = ϑ}|.  (3.8)

Aus dieser Skalarproduktformel sieht man sofort, daß ±R_{T}^{G}(ϑ) ein irreduzibler Charakter ist, wenn ϑ in allgemeiner Lage ist, d.h. wenn die Bahn von ϑ unter N_{G}(T)^{F} /T^{F} regulär ist.

Weiter benötigen wir des öfteren die folgende Regel der

(3) Transitivität (siehe [18, Proposition 1.9]):

R_{L,P}^{G}(R_{M,Q∩L}^{L}(ϑ)) = R_{M,Q}^{G}(ϑ),  (3.9)

wenn M ⊆ L zwei reguläre Untergruppen sind, die in den parabolischen Untergruppen Q ⊆ P liegen.

Schließlich benötigen wir noch eine Vertauschungsregel, wie sie ähnlich für die gewöhnliche Induktion und die Einschränkung von Charakteren gilt.

(4) Produktregel (siehe [18, Proposition 3.8]):

R_{L,P}^{G}(ζ) · ϑ = R_{L,P}^{G}(ζ · Res_{L}^{G}(ϑ)),  (3.10)

wenn ζ irgendeine Klassenfunktion von L und ϑ eine p-konstante Klassenfunktion von G ist. Dabei heißt eine Klassenfunktion ϑ p-konstant, wenn für alle g ∈ G gilt: ϑ(g) = ϑ(g_{s}), wobei g_{s} den halbeinfachen Anteil von g bezeichnet.

In den folgenden Anwendungen werden wir für den Funktor R_{L,P}^{G} einfach nur R_{L}^{G} schreiben, wenn keine Unklarheiten zu befürchten sind. Zur Einführung der Deligne–Lusztig-Charaktere R_{T}^{G} benötigt man nicht, daß F Standard ist. Sämtliche oben angeführte Regeln sind dann in diesem etwas allgemeineren Zusammenhang gültig. Wir werden deshalb von jetzt an nicht mehr grundsätzlich annehmen, daß F eine Standard Frobenius-Abbildung ist, sondern dies gegebenenfalls stillschweigend voraussetzen.

Um später die geometrischen Konjugiertenklassen von Charakteren bequemer einführen zu können, wählen wir eine andere Bezeichnung für die Deligne–Lusztig-Charaktere R_{T}^{G}(ϑ). Offensichtlich hängt R_{T}^{G}(ϑ) nur von der G-Klasse [T, ϑ] von (T, ϑ) ab, und nicht von dem speziell daraus gewählten Repräsentanten. Ist nun [T, ϑ] ↔ [T^{∗}, t], so schreiben wir statt R_{T}^{G}(ϑ) auch R_{T^{∗}}^{G}(t). Für die R_{T^{∗}}^{G}(t) gilt eine zu (3.8) analoge Skalarproduktformel ([66, (7.51)]). Weiter gilt: Haben R_{T_{1}^{∗}}^{G}(t_{1}) und R_{T_{2}^{∗}}^{G}(t_{2}) einen gemeinsamen Konstituenten, so sind t_{1} und t_{2} in G^{∗} konjugiert ([66, (7.5.2)]).

3.4 Charaktere in geometrischen Konjugiertenklassen

Definition 3.4.1 Sei s ∈ G^{∗} ein halbeinfaches Element.

(a) (vgl. [66])

E(G, s) = ⋃_{T^{∗}}{χ ∈ Irr(G) | ⟨χ, R_{T^{∗}}^{G}(s)⟩_{G} ≠ 0},

wobei T^{∗} die maximalen F^{∗}-stabilen Tori von G^{∗} durchläuft, die s enthalten. Diese Menge, die nur von der G^{∗}-Konjugiertenklasse von s abhängt, heißt rationale Klasse von Charakteren.

(b)

⋃_{s′∈((s))∩G^{∗}} E(G, s′)

heißt geometrische Konjugiertenklasse von Charakteren. Dabei steht ((s)) für die G^{∗}-Konjugiertenklasse von s.

Ist das Zentrum von G zusammenhängend, so sind alle F -stabilen Elemente aus der G^{∗}-Konjugiertenklasse von s bereits in G^{∗} konjugiert ([10, Theorem 4.5.9]), und die geometrischen Konjugiertenklassen von Charakteren stehen in Bijektion zu den G^{∗}-Konjugiertenklassen halbeinfacher Elemente von G^{∗}. Ist der irreduzible Charakter ϑ des maximalen Torus T in allgemeiner Lage, dann ist ±R_{T}^{G}(ϑ) ein irreduzibler Charakter von G und bildet eine geometrische Konjugiertenklasse für sich.

Die Elemente in E(G, 1) heißen unipotente Charaktere. Sie spielen eine herausragende Rolle in der Deligne–Lusztig-Theorie, bilden sie doch in gewisser Weise die Bausteine für alle irreduziblen Charaktere.

Beispiel 3.4.2 Sei G = G_{2}(q). Die zehn Charaktere X_{11}, X_{12}, …, X̄_{19} sind die unipotenten Charaktere von G_{2}(q).

Falls q ungerade ist, bilden die Charaktere X_{21}, …, X_{24} die geometrische Konjugiertenklasse E(G, h(−1, −1, 1)).

Für jede Klasse vom Typ h_{1a} gibt es eine zweielementige geometrische Konjugiertenklasse bestehend aus je einem Charakter vom Typ X_{1b} bzw. X′_{1b}.

Bemerkung 3.4.3 Der Lusztig-Funktor erhält rationale Klassen von Charakteren. Sei L eine reguläre Untergruppe von G und s ∈ L^{∗} ≤ G^{∗} ein halbeinfaches Element. Liegt ϑ in E(L, s), dann ist R_{L}^{G}(ϑ) eine ℤ-Linear-kombination von Charakteren aus E(G, s). Insbesondere werden unipotente Charaktere auf ℤ-Linearkombinationen von unipotenten abgebildet.

Ein Beweis dieser Bemerkung wird in [65] skizziert. Diesen Literaturhinweis verdanke ich J. Michel.

3.5 Der Gelfand–Graev-Charakter

Wir setzen voraus, daß das Zentrum von G zusammenhängend ist. Sei U die maximale unipotente Untergruppe von G. Der Gelfand–Graev-Charakter Γ von G ist ein Charakter der Form Γ = Ind_{U}^{G}(σ). Dabei ist σ ein bis auf die Operation von N_{G}(U) wohldefinierter 1-dimensionaler Charakter von U. Für die exakte Definition von σ sowie die wichtigsten Eigenschaften von Γ wird der Leser auf [10, Section 8.1] verwiesen. Es stellt sich heraus, daß Γ vielfachheitsfrei ist. Aus jeder geometrischen Konjugiertenklasse von Charakteren E(G, s) enthält Γ genau einen Konstituenten. Dieser heißt regulärer Charakter von E(G, s). Der reguläre Charakter darf nicht verwechselt werden mit dem Charakter der regulären Darstellung von G.

Neben dem regulären gibt es einen weiteren ausgezeichneten Charakter in jeder geometrischen Konjugiertenklasse, den halbeinfachen Charakter. Im generischen Fall ist der halbeinfache derjenige eindeutig bestimmte Charakter von E(G, s), dessen Grad nicht durch p geteilt wird. Der Leser möge diese Charakterisierung mit der Definition der halbeinfachen Elemente von G vergleichen. Von dieser generischen Beschreibung der halbeinfachen Charaktere gibt es allerdings Ausnahmen, wie in untenstehenden Beispielen gezeigt wird. Die präzise Definition des halbeinfachem Charakters findet sich in [10, Section 8.4].

Dort findet sich auch die genaue Definition des regulären Charakters, der generisch dadurch gekennzeichnet ist, daß sein Grad unter allen Graden der Elemente von E(G, s) den höchsten p-Anteil besitzt.

Beispiel 3.5.1 (a) In der geometrischen Konjugiertenklasse der unipotenten Charaktere ist der triviale Charakter der halbeinfache, der Steinbergcharakter der reguläre.

(a) Die generische Kennzeichnung der halbeinfachen bzw. regulären Charaktere ist in Ordnung für die Gruppe G_{2}(q), wenn q weder von 2 noch von 3 geteilt wird. Dagegen ist z.B. für q = 3 der Charakter X_{13} ein weiterer unipotenter mit zu p teilerfremdem Grad.

Für unsere Zwecke ist der Gelfand–Graev-Charakter deshalb von Bedeutung, weil er der Charakter eines projektiven Moduls der Charakteristik ℓ ist, wenn nur ℓ und p verschieden sind. In der Tat ist in diesem Fall σ der Charakter eines projektiven Moduls für U, also Γ = Ind_{U}^{G}(σ) ein solcher für G.

Kawanaka hat in [59] verallgemeinerte Gelfand–Graev-Charaktere definiert, die im allgemeinen ebenfalls projektiv sind. Diese hat M. Geck in [40] verwendet, um zu zeigen, daß die Zerlegungsmatrizen in GL_{n}(q) und U_{n}(q^{2}) für ℓ ≠ p immer Dreiecksgestalt haben (siehe die Definition von Dreiecksgestalt in Kapitel 2). Es ist durchaus denkbar, daß sich seine Methoden auf andere Gruppen vom Lie-Typ übertragen lassen um analoge Aussagen zu erzielen.

3.6 Die Jordan-Zerlegung der Charaktere

Wir behalten weiter unsere Voraussetzung bei, daß G ein zusammenhängendes Zentrum hat. Dann sind die Zentralisatoren von halbeinfachen Elementen der dualen Gruppe auch zusammenhängend (siehe [10, Theorem 4.5.9]). In vollständiger Analogie zur Jordan-Zerlegung der Elemente in einer linearen algebraischen Gruppe existiert nun eine sogenannte Jordan-Zerlegung der Charaktere in einer endlichen reduktiven Gruppe. Diese ergibt sich für Standard Frobenius-Abbildungen aus dem Hauptergebnis (Theorem 4.23) sowie für die Suzuki- und Ree-Gruppen aus dem abschließenden Kapitel von Lusztigs Buch [68].

Satz 3.6.1 (Jordan-Zerlegung der Charaktere, Lusztig): Sei Z(G) zusammenhängend und s ∈ G^{∗} halbeinfach. Dann existiert eine Bijektion

L′_{s} : E(G, s) ⟶ E(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1).  (3.11)

Ist χ ∈ E(G, s) und ist T^{∗} ein maximaler Torus von G^{∗}, der s enthält, dann gilt

⟨χ, R_{T^{∗}}^{G}(s)⟩ = ε_{G}ε_{C_{G^{∗}}(s)}⟨L′_{s}(χ), R_{T^{∗}}^{C_{G^{∗}}(s)^{∗}}(1)⟩  (3.12)

und

χ(1) = L′_{s}(χ)(1)|G^{∗} : C_{G^{∗}}(s)|_{p′}.  (3.13)

Ist L′_{s}(χ) = λ, dann schreiben wir χ = χ_{s,λ}.

Beispiel 3.6.2 (a) Die Parametrisierung der irreduziblen Charaktere von G_{2}(q) mittels der ”Jordan-Zerlegung der Charaktere“ ist in Anhang B.4 dargestellt.

(b) Der reguläre Charakter in E(G, s) ist χ_{s,St}, wobei St den Steinbergcharakter von C_{G^{∗}}(s)^{∗} bezeichnet. Der halbeinfache Charakter ist χ_{s,1}.

Im allgemeinen ist die Bijektion (3.11) schwierig zu beschreiben. Sie wurde von Lusztig in [68] bewiesen, und zwar Fall für Fall. In einem Spezialfall gibt es aber eine sehr einfache Beschreibung dieser Bijektion, nämlich dann, wenn C_{G^{∗}}(s) ein reguläre Untergruppe von G^{∗} ist.

Satz 3.6.3 (Siehe z.B. [18, Proposition 6.6–6.8]): Es sei Z(G) zusammenhängend und F eine Standard Frobenius-Abbildung von G. Sei s ein halbeinfaches Element aus G^{∗}, so daß C_{G^{∗}}(s) eine reguläre Untergruppe von G^{∗} ist. Unter der Bijektion (3.4) korrespondiere C_{G^{∗}}(s) zu G(s) ≤ G. Sei T^{∗} der maximal zerfallende Torus von C_{G^{∗}}(s). Wegen s ∈ Z(C_{G^{∗}}(s)) korrespondiert zu s ein linearer Charakter ŝ, so daß gilt [T, ŝ] ↔ [T^{∗}, s]. Dann ist

\begin{matrix}E(G(s)^{F} , 1) & ⟶ & E(G, s) \\ λ & ⟼ & ε_{G}ε_{G(s)}R_{G(s)^{F}}^{G} (ŝλ) \end{matrix}  (3.14)

eine Bijektion und induziert somit eine Isometrie zwischen den zugehörigen Charaktergruppen.

36 DELIGNE–LUSZTIG-THEORIE

Blöcke

Die Einteilung der gewöhnlichen Charaktere in Brauer-Blöcke ist heute für die meisten Serien der ”einfachen“ Gruppen vom Lie-Typ bekannt. Die klassischen Gruppen wurden von Fong und Srinivasan in mehreren Arbeiten behandelt [33, 34, 36]. Auch für die kleinen Serien der exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ liegen vollständige Ergebnisse vor, die jedoch noch nicht alle veröffentlicht sind ([71, 32, 80, 81, 82, 83, 17, 70]).

Es zeigt sich, daß in allen diesen Fällen die Blockeinteilung der Charaktere in bemerkenswerter Weise mit der Einteilung in rationale Serien von Charakteren verträglich ist. Dies hat Broué und Michel dazu motiviert, der Frage nach den Brauer-Blöcken ganz allgemein nachzugehen, also losgelöst von einer speziellen Serie. In [5] geben sie einen einfachen, allgemeinen Beweis für diese Verträglichkeit der beiden Partitionen. Weitere Resultate von Broué reduzieren dann in vielen Fällen die Frage nach der genauen Einteilung auf die entsprechende Frage bei unipotenten Blöcken. Zuvor hatte schon Schewe in seiner Dissertation [78] vergleichbare Ergebnisse bei den exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ erzielt. Seine Aussagen beruhen allerdings zum Teil auf noch unbewiesenen Vermutungen, und sollten deshalb vorwiegend als Leitfaden benutzt werden.

In diesem Kapitel möchte ich erstens diese bekannten Ergebnisse ohne Beweis vorstellen, und zweitens einige weitere Resultate ganz allgemeiner Natur herleiten. Diese sollen später bei der Bestimmung der Zerlegungsmatrizen der G_{2}(q) und der Brauerbäume der Ree-Gruppen angewendet werden. Desweiteren werden einige noch offenen Fragen durch die Behandlung von Spezialfällen beleuchtet.

Die meisten der hier von mir bewiesenen Ergebnisse sowie der offenen Fragen wurden zuerst am Beispiel der G_{2}(q) beobachtet. Später erkannte ich dann, auf welche Art viele Beweise verallgemeinert werden konnten, oder wie sich sinnvolle Fragen für alle Gruppen vom Lie-Typ ergaben. So hat also die Behandlung eines substantiellen Beispiels, in diesem Falle der G_{2}(q), viele allgemeine Ergebnisse und Probleme motiviert. Dies rechtfertigt meiner Meinung nach die Bearbeitung solcher Beispiele, auch, wie es im vorliegenden Fall teilweise geschehen ist, unter Zuhilfenahme von Computern.

Die im vorigen Kapitel eingeführten Bezeichnungen werden beibehalten. Stets sei (K, R, k) ein ℓ-modulares Zerfällungssystem für die endliche reduktive Gruppe G und deren Untergruppen. Dabei seien ℓ und p, die definierende Charakteristik von G, verschieden. Ist χ ∈ C(G), dann wird mit χ̆ die Einschränkung von χ auf die ℓ′-Klassen von G bezeichnet.

4.1 Die Basisrelation

Sei L eine reguläre Untergruppe von G und σ, σ′ ∈ C(L) mit σ̆ = σ̆′. Für die Einschränkung der Deligne–Lusztig-Charaktere auf die ℓ′-Klassen von G gilt nun:

R̆_{L}^{G}(σ) = R̆_{L}^{G}(σ′).  (4.1)

Diese Beobachtung folgt etwa aus der Produktformel (3.10), indem man für die p-konstante Funktion ϑ die charakteristische Funktion auf den ℓ′-Klassen von G nimmt. Diese ist p-konstant, weil ℓ ≠ p ist.

Eine leicht veränderte Formulierung dieser Relation für maximale Tori unter Berücksichtigung der Bijektion (3.3) soll im folgenden die Basisrelation heißen.

Proposition 4.1.1 (Hiss [49]): Sei s ein halbeinfaches ℓ′-Element aus G^{∗} und t ein ℓ-Element aus C_{G^{∗}}(s). Ist T^{∗} ein F -stabiler Torus von G^{∗}, der st enthält, dann ist

R̆_{T^{∗}}^{G}(st) = R̆_{T^{∗}}^{G}(s).  (4.2)

Beweis: Sei [T^{∗}, st] ↔ [T, στ], mit |σ| = |s| und |τ| = |t|. Dies kann man nach Lemma 3.2.3 immer annehmen. Nach dem gleichen Lemma haben wir [T^{∗}, s] ↔ [T, σ]. Also

R̆_{T^{∗}}^{G}(st) = R̆_{T}^{G}(στ)
= R̆_{T}^{G}(σ)
= R̆_{T^{∗}}^{G}(s)

wobei die zweite Gleichung aus (4.1) folgt.

4.2 Blöcke in geometrischen Konjugiertenklassen

Die Charaktere in E(G, s) sind per Definition genau die Konstituenten von R_{T^{∗}}^{G}(s) mit s ∈ T^{∗}. Für ein ℓ′-Element s ∈ G^{∗} und ein ℓ-Element t ∈ C_{G^{∗}}(s) ist nach der Basisrelation R̆_{T^{∗}}^{G}(st) = R̆_{T^{∗}}^{G}(s). Dies legt folgende Definition nahe.

Definition 4.2.1 (Broué–Michel [5]): Für ein halbeinfaches ℓ′-Element s ∈ G^{∗} sei

E_{ℓ}(G, s) = ⋃_{t∈C_{G^{∗}}(s)_{ℓ}} E(G, st),  (4.3)

wobei H_{ℓ} die Menge der ℓ-Elemente einer Gruppe H bezeichnet.

Der folgende Satz präzisiert nun die in der Einleitung zu diesem Kapitel angedeutete Verträglichkeit der rationalen Serien von Charakteren mit der Einteilung der Charaktere in ℓ-Blöcke.

Satz 4.2.2 (Broué–Michel [5]): Ist F eine Standard Frobenius-Abbildung, dann ist E_{ℓ}(G, s) eine Vereinigung von ℓ-Blöcken.

In Analogie zum Begriff der geometrischen Konjugiertenklasse von Charakteren nennen wir die Vereinigung von Blöcken

⋃_{s′∈((s))∩G^{∗}} E_{ℓ}(G, s′)

eine geometrische Konjugiertenklasse von ℓ-Blöcken. Zum Beweis des obigen Satzes sei nur erwähnt, daß Broué und Michel zeigen, daß das zu E_{ℓ}(G, s) gehörige zentrale Idempotent von KG bereits in RG liegt. Es sei weiter betont, daß dieses Ergebnis vollkommen allgemein ist, also nicht nur etwa für Gruppen mit zusammenhängendem Zentrum gilt. Auch für die Suzuki- und Ree-Gruppen ist eine analoge Aussage richtig, wie später noch skizziert werden soll. Wir werden also für den Rest des Kapitels voraussetzen, daß E_{ℓ}(G, s) eine Vereinigung von ℓ-Blöcken ist.

Nach den Ausführungen in Kapitel 2 erhebt sich nun die Frage nach geeigneten Basissystemen für E_{ℓ}(G, s). Die zahlreichen Beispiele und die Basisrelation lassen die folgende Aussage plausibel erscheinen:

Aussage 4.2.3 Die Elemente aus

{χ̆ | χ ∈ E(G, s)}  (4.4)

erzeugen den ℤ-Modul der Brauercharaktere von E_{ℓ}(G, s).

Bei den allgemeinen linearen und den unitären Gruppen ist es sogar so, daß die Charaktere (4.4) ein Basissystem im Sinne von Kapitel 2 bilden (siehe [34, Theorem (8A)]). Das gleiche gilt auch für G_{2}(q) im Falle ℓ > 3. Für ℓ = 2 oder 3 läßt sich aus (4.4) immerhin noch ein Basissystem auswählen. Auch für die anderen, bisher behandelten Gruppen ist die Aussage 4.2.3 richtig, insbesondere für ^{3}D_{4}(q^{3}) [41] und ^{2}F_{4}(q^{2}), wie Malle gezeigt hat. Aussage 4.2.3 ist dagegen nicht richtig für den Hauptblock von Sp_{4}(q), q ungerade und ℓ = 2 (siehe White [93]). Es erhebt sich also die Frage, unter welchen Zusatzvoraussetzungen aus Aussage 4.2.3 ein Satz wird. Eine Möglichkeit wäre es, für G nur Gruppen mit zusammenhängendem Zentrum zu betrachten. Dies wird etwa nahegelegt durch das obige Gegenbeispiel in der Sp_{4}(q), die eben nicht von einer algebraischen Gruppe mit zusammenhängendem Zentrum herkommt. M. Geck hat vorgeschlagen, einen Beweis von Aussage 4.2.3 unter der Voraussetzung zu versuchen, daß ℓ eine ”sehr gute Primzahl“ (siehe [10, Seite 29]) für G ist. Bei der GL_{n}(q) lassen sich die Charaktere des Basissystems (4.4) so anordnen, daß ihre Zerlegungsmatrix Dreiecksgestalt hat [20, Theorem 3.8]. Die Ordnung ist dabei auf natürliche Weise durch eine zugrundeliegende kombinatorische Struktur, nämlich Partitionen von n, vorgegeben. Auch in der G_{2}(q) läßt sich für jeden Block ein Basissystem finden und so anordnen, daß Dreiecksgestalt entsteht.

In [40] benutzt Geck die verallgemeinerten Gelfand–Graev-Charaktere, um die Zerlegungsmatrizen der U_{n}(q^{2}) auf Dreiecksgestalt zu bringen. Die dazu notwendige Anordnung der Charaktere entspringt einer Abbildung ξ, die Lusztig definiert hat: Jedem irreduziblen Charakter χ von G wird eine F -stabile unipotente Konjugiertenklasse ξ(χ) von G zugeordnet. Die Menge dieser Klassen besitzt eine natürliche Halbordnung, die auf Irr(G) mittels ξ zurückgezogen wird. Ließen sich seine Methoden auf beliebige Gruppen vom Lie-Typ verallgemeinern, dann hätte man nicht nur ein Basissystem gefunden, sondern darüberhinaus noch die Dreiecksgestalt der Zerlegungsmatrix erreicht.

Es wäre wünschenswert, die Aussage 4.2.3 nicht nur Fall-für-Fall zu beweisen, sondern allgemein. Weiterhin wären allgemeine Resultate über die Relationen in E_{ℓ}(G, s) nützlich. Bevor wir in einem wichtigen Spezialfall die Aussage 4.2.3 beweisen, betrachten wir zunächst die irreduziblen Brauercharaktere in E_{ℓ}(G, s).

Proposition 4.2.4 (Hiss [49]): Jeder irreduzible ℓ-modulare Charakter von E_{ℓ}(G, s) ist ein Konstituent eines gewöhnlichen Charakters von E(G, s).

Beweis: Sei φ ein irreduzibler Brauercharakter in E_{ℓ}(G, s), und Φ_{φ} der zugehörige projektiv unzerlegbare Charakter. Weil E_{ℓ}(G, s) eine Vereinigung von ℓ-Blöcken ist, ist Φ_{φ} eine Linearkombination von Charakteren aus E_{ℓ}(G, s). Also ist ⟨Φ_{φ}, R_{T^{∗}}^{G}(x)⟩ = 0, außer x ist in G^{∗} zu st für ein t ∈ C_{G^{∗}}(s)_{ℓ} konjugiert.

Sei χ_{reg} der Charakter der regulären Darstellung von G, der nach [10, Corollary 7.5.6] eine Linearkombination von Deligne–Lusztig-Charakteren ist. Wegen ⟨Φ_{φ}, χ_{reg}⟩ ≠ 0, existiert also ein F -stabiler maximaler Torus T und ϑ ∈ Irr(T), so daß ⟨Φ_{φ}, R_{T}^{G}(ϑ)⟩ ≠ 0. Sei [T, ϑ] ↔ [T^{∗}, x]. Nach obiger Bemerkung ist x konjugiert zu st für ein F^{∗}-stabiles ℓ-Element t, welches s zentralisiert. Unter Ausnützung der Basisrelation (4.2) und der Projektivität von Φ_{φ} erhalten wir also:

0 ≠ ⟨Φ_{φ}, R_{T^{∗}}^{G}(st)⟩

= ⟨Φ̆_{φ}, R̆_{T^{∗}}^{G}(st)⟩′
= ⟨Φ̆_{φ}, R̆_{T^{∗}}^{G}(s)⟩′
= ⟨Φ_{φ}, R_{T^{∗}}^{G}(s)⟩.

Also gibt es einen irreduziblen Charakter χ in E(G, s) mit ⟨Φ_{φ}, χ⟩ ≠ 0. Es folgt daß φ ein Konstituent von χ̆ ist. Damit ist der Satz bewiesen.

Definition 4.2.5 Ein ℓ-Block von G heißt unipotent, wenn er mindestens einen unipotenten Charakter enthält.

Auf die nachstehenden Folgerungen aus Proposition 4.2.4 wurde ich von M. Geck aufmerksam gemacht.

Korollar 4.2.6 (a) Ein ℓ-Block von G ist genau dann unipotent, wenn er in E_{ℓ}(G, 1) liegt.

(b) Ist A ⊆ E_{ℓ}(G, s) ein ℓ-Block mit E(G, s) ⊆ A, dann ist A = E_{ℓ}(G, s).

Beweis: (a) Sei A ein unipotenter ℓ-Block. Da A in einem E_{ℓ}(G, s) liegt und unipotente Charaktere enthält, muß s = 1 sein.

Sei umgekehrt A ein Block in E_{ℓ}(G, 1) und φ ein irreduzibler Brauercharakter in A. Nach Proposition 4.2.4 existiert ein unipotenter Charakter χ, der φ als modularen Konstituenten enthält. Dann liegt auch χ in A, welcher somit ein unipotenter Block ist.

(b) Sei χ ∈ E_{ℓ}(G, s) und φ ein irreduzibler Konstituent von χ̆. Nach Proposition 4.2.4 existiert ein ψ ∈ E(G, s) ⊆ A, so daß φ ein Konstituent von ψ̆ ist. Damit liegt auch χ in A.

Es stellt sich nun natürlich die Frage nach den Defektgruppen der Blöcke in E_{ℓ}(G, s), auf die aber in dieser Arbeit nicht näher eingegangen wird.

4.3 Jordan-Zerlegung von Blöcken

Für den Rest des Kapitels nehmen wir nun an, daß Z(G) zusammenhängend ist. Mit dem Schlagwort ”Jordan-Zerlegung der Charaktere“ hatten wir die Existenz der Bijektion (3.11) zwischen E(G, s) und E(C_{G^{∗}}(s), 1) bezeichnet. Diese induziert in natürlicher Weise eine Bijektion zwischen den Mengen E_{ℓ}(G, s) und E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1): Zunächst haben wir

E_{ℓ}(G, s) = ⋃_{t∈C_{G^{∗}}(s)_{ℓ}} E(G, st)

und

E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1) = ⋃_{t∈C_{G^{∗}}(s)_{ℓ}} E(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, t).

Nach (3.11) gibt es für jedes t ∈ C_{G^{∗}}(s)_{ℓ} Bijektionen:

E(G, st) ⟷ E(C_{G^{∗}}(st)^{∗}, 1) ⟷ E(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, t)  (4.5)

Aussage 4.3.1 (Jordan-Zerlegung von Blöcken): Die Bijektionen (4.5) sind mit der Einteilung in ℓ-Blöcke verträglich. Mit anderen Worten: Sie bilden Blöcke auf Blöcke ab.

Ist diese Aussage richtig, dann heißt die Bijektion zwischen den ℓ-Blöcken von E_{ℓ}(G, s) und den unipotenten Blöcken von C_{G^{∗}}(s)^{∗} die ”Jordan-Zerlegung von Blöcken“. Es soll aber noch einmal betont werden, daß es sich hierbei noch nicht um einen Satz handelt, sondern nur um eine Beobachtung, die jedoch schon in den meisten Fällen bestätigt ist. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an den Zentralisator von s hat Broué einen sehr schönen, einfachen Beweis für diese Jordan-Zerlegung von Blöcken gegeben.

Ist C_{G^{∗}}(s) eine reguläre Untergruppe von G^{∗}, so korrespondiert dazu bis auf Konjugation mit Elementen aus G eine reguläre Untergruppe G(s) von G und ein linearer Charakter ŝ von G(s)^{F}. Für G(s)^{F} schreiben wir im folgenden einfach G(s). Mit dieser Notation gilt nun der folgende bemerkenswerte Satz:

Satz 4.3.2 (Broué [3], Jordan-Zerlegung von Blöcken): Sei F eine Standard Frobenius-Abbildung. Die Zuordnung λ ↦ R_{G(s)}^{G}(ŝλ) zwischen E_{ℓ}(G(s), 1) und E_{ℓ}(G, s) induziert eine perfekte Isometrie zwischen den zugehörigen Charaktergruppen. Insbesondere bildet sie Blöcke auf Blöcke ab, und erhält die Anzahl der irreduziblen gewöhnlichen und die Anzahl der irreduziblen Brauercharaktere. Außerdem bleiben die Höhen der gewöhnlichen Charaktere erhalten.

Satz 4.3.2 reduziert das Problem der Blockeinteilung von E_{ℓ}(G, s) auf das entsprechende Problem in E_{ℓ}(G(s), 1) (oder, falls sich die Jordan-Zerlegung als allgemeines Ergebnis erweisen sollte, auf das entsprechende Problem in E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1)).

Die Jordan-Zerlegung von Blöcken wurde zuerst von Fong und Srinivasan im Falle der GL_{n}(q) und der U_{n}(q^{2}) beobachtet [34]. Auch bei den übrigen klassischen Gruppen stellt sie sich als richtig heraus [36]. Schewe hat in seiner Dissertation [78] unter zusätzlichen Voraussetzungen an ℓ für die exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ die Richtigkeit der Aussage 4.3.1 bewiesen. Bei der G_{2}(q) folgt diese durch direktes Bestimmen der Blöcke mittels zentraler Charaktere (siehe [80, 81, 82, 83]). Weiter ist die Jordan-Zerlegung von Blöcken vollständig bekannt für die Gruppen ^{3}D_{4}(q^{3}) durch die Arbeit von Deriziotis und Michler [17], für die Ree-Gruppen^{2}F_{4}(q^{2}) durch die Arbeit von Malle [70], für die Suzuki-Gruppen durch Burkhardt [7] und Martineau [71] und schließlich für die Ree-Gruppen ^{2}G_{2}(q^{2}) in Charakteristik 2 durch Fong [32]. Es ist leicht zu sehen, daß sie für diese Gruppen auch in ungerader Charakteristik ℓ ≠ 3 richtig ist. Die einzigen Gruppen, für die die Richtigkeit von Aussage 4.3.1 noch nicht bekannt ist, sind also F_{4}(q), ^{2}E_{6}(q^{2}), E_{6}(q), E_{7}(q) und E_{8}(q). Nach Satz 4.3.2 besteht das Problem in der Bestimmung der Blöcke innerhalb E_{ℓ}(G, s), wenn s = 1 oder ein halbeinfaches Element ist, dessen Zentralisator keine reguläre Untergruppe ist.

Wir sind nun auch in der Lage, Aussage 4.2.3 in wichtigen Spezialfällen zu beweisen.

Satz 4.3.3 Es sei Z(G) zusammenhängend und F eine Standard Frobenius-Abbildung. Für ein halbeinfaches ℓ′-Element s ∈ G^{∗} und jedes ℓ-Element t aus C_{G^{∗}}(s) sei C_{G^{∗}}(st) eine reguläre Untergruppe von G^{∗}. Sei G(s) die nach (3.4) zu C_{G^{∗}}(s) korrespondierende reguläre Untergruppe von G, und ŝ der lineare Charakter von G(s), der s wie in Satz 3.6.3 zugeordnet ist. Sei weiter L ↔ C_{G^{∗}}(st) für ein halbeinfaches ℓ-Element t ∈ C_{G^{∗}}(s). Dann gilt:

(a) Jeder Brauercharakter von E_{ℓ}(G, s) ist eine ℤ-Linearkombination von Charakteren aus {χ̆ | χ ∈ E(G, s)}, d.h. in diesem Fall ist Aussage 4.2.3 richtig.

(b) Ist λ ein unipotenter Charakter von L, so ergibt die Zerlegung von ε_{G}ε_{L}R_{L}^{G}(ŝλ) in die Charaktere von E(G, s) eine Relation. (Dabei wird zur Vereinfachung der Notation die Einschränkung von ŝ von G(s) auf L mit dem gleichen Symbol bezeichnet.)

Beweis: Sei χ ∈ E_{ℓ}(G, s). Nach Satz 4.3.2 ist χ von der Gestalt

χ = εR_{G(s)}^{G}(ŝψ),

mit einem Charakter ψ ∈ E_{ℓ}(G(s), 1) und einem Vorzeichen ε. Sei γ die charakteristische Funktion auf den ℓ′-Klassen von G. Um eine unnötig komplizierte Notation zu vermeiden benutzen wir das gleiche Symbol auch für die Einschränkungen von γ auf verschiedene Untergruppen von G. Da γ eine p-konstante Funktion ist, haben wir nach der Produktregel (3.10):

χγ = εR_{G(s)}^{G}(ŝγψ).

Sei ψ ∈ E(G(s), t) mit einem ℓ-Element t ∈ G(s)^{∗} = C_{G}(s). Da C_{G^{∗}}(st) ≤ G^{∗} eine reguläre Untergruppe von G^{∗} ist, existiert G(st) ≤ G(s) mit G(st) = C_{G^{∗}}(st)^{∗}. Nach Satz 3.6.3 ist

ψ = σR_{G(st)}^{G(s)}(t̂λ)

mit einem unipotenten Charakter λ von G(st) und einem Vorzeichen σ. Damit gilt nun:

χγ = εσR_{G(s)}^{G}(ŝγR_{G(st)}^{G(s)}(t̂λ))
= εσR_{G(s)}^{G}(ŝR_{G(st)}^{G(s)}(γt̂λ))
= εσR_{G(s)}^{G}(ŝR_{G(st)}^{G(s)}(γλ))
= εσγR_{G(s)}^{G}(ŝR_{G(st)}^{G(s)}(λ)).

Aus der Bemerkung 3.4.3 folgt, daß sich R_{G(st)}^{G(s)}(λ) als ℤ-Linearkombinati-on von unipotenten Charakteren von G(s) schreiben läßt. Also ist, wiederum nach Satz 3.6.3, R_{G(s)}^{G}(ŝR_{G(st)}^{G(s)}(λ)) eine ℤ-Linearkombination von Charakteren aus E(G, s). Damit sind beide Teile des Satzes bewiesen.

In analoger Art beweisen Fong und Srinivasan Satz (8A) von [34]. Da sie ihr Resultat jedoch von vorneherein blockweise formulieren und beweisen, ist ihr Beweis etwas komplizierter. Die blockweise Fassung des obigen Ergebnisses ist eine leichte Folgerung. M. Geck hat mittlerweile gezeigt, daß Aussage 4.2.3 unter erheblich schwächeren Voraussetzungen als oben richtig ist. Weiter kann er beweisen, daß (4.4) unter geeigneten Bedingungen sogar ein Basissystem ist. Dies soll an anderer Stelle veröffentlicht werden.

Korollar 4.3.4 Es gelten die Voraussetzungen von Satz 4.3.3. Ist A ein ℓ-Block in E_{ℓ}(G, s), dann sind die Brauercharaktere in A ℤ-Linearkombination-en von {χ̆ | χ ∈ A ∩ E(G, s)}. Bezeichnet l(A) die Anzahl der irreduziblen Brauercharaktere in A, dann ist l(A) ≤ |A ∩ E(G, s)|.

Es ist nun an der Zeit, den Geltungsbereich der Sätze 4.3.2 und 4.3.3 etwas zu beleuchten. Wie wir bereits in Kapitel 3 gesehen hatten, ist nicht jeder Zentralisator eines halbeinfachen Elementes eine reguläre Untergruppe. In der GL_{n}(q) oder der U_{n}(q^{2}) ist dies allerdings immer richtig. Allgemeiner gilt (siehe etwa [78, Lemma 1.1]): Ist s ein halbeinfaches Element von G, dessen Ordnung durch keine schlechte Primzahl teilbar ist, dann ist C_{G}(s) eine reguläre Untergruppe von G. Die schlechten Primzahlen sind in [10, Seite 28] aufgelistet. Eine Primzahl größer 5 ist gut für jede algebraische Gruppe. Für die klassischen Gruppen ist nur 2 eine schlechte Primzahl.

4.4 Jordan-Zerlegung der Brauercharaktere

Wie wir zu Beginn des letzten Abschnittes gesehen haben, induzieren die Bijektionen (4.5) eine Bijektion zwischen E_{ℓ}(G, s) und E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1). Es liegt nun nahe, die Zerlegungsmatrizen dieser beiden Blockvereinigungen zu vergleichen. Der vermutete Zusammenhang ist sehr einfach:

Aussage 4.4.1 (Jordan-Zerlegung von Zerlegungsmatrizen): Die aus (3.11) und (4.5) resultierende Bijektion zwischen E_{ℓ}(G, s) und E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1). erhält die Zerlegungsmatrizen. Mit anderen Worten: Sie bildet die projektiv unzerlegbaren Charaktere auf ebensolche ab.

Die Gleichheit der Zerlegungsmatrizen von E_{ℓ}(G, s) und E_{ℓ}(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1), aus der natürlich die Jordan-Zerlegung von Blöcken folgt, soll in Analogie zu den bisherigen Begriffsbildungen die ”Jordan-Zerlegung von Zerlegungsmatrizen“ genannt werden. Sie wurde zum ersten Mal in [47] beobachtet. Sie wurde ebenfalls bestätigt am Beispiel der Sp_{4}(q), q ungerade, ℓ = 2, durch D. White in [93]. Dies ist vor allem deshalb bemerkenswert, weil die Sp_{4} in ungerader Charakteristik kein zusammenhängendes Zentrum hat. Aussage 4.4.1 ist außerdem richtig in klassischen Gruppen, wenn die Blöcke eine zyklische Defektgruppe haben (siehe [37, 35]). Außerdem folgt sie aus [22, Theorem 6.2] für alle Blöcke der allgemeinen linearen Gruppe.

In einem Spezialfall kann die Jordan-Zerlegung von Zerlegungsmatrizen allgemein bewiesen werden. Bevor wir dies zeigen, stellen wir zwei Hilfssätze bereit.

Lemma 4.4.2 Sei L ein F -stabiles Levi-Komplement einer F -stabilen parabolischen Untergruppe P von G, d.h. L ist eine maximal zerfallende reguläre Untergruppe von G. Dann erhält der Funktor R_{L}^{G} Brauercharaktere. Sei weiter χ ein verallgemeinerter Charakter von L, so daß χ̆ ein echter Brauercharakter ist. Dann ist auch R̆_{L}^{G}(χ) ein solcher.

Beweis: Der Funktor ”Harish-Chandra-Induktion“ ist auch für Brauercharaktere definiert, und bildet echte Brauercharaktere auf ebensolche ab. Die Einschränkung auf ℓ-reguläre Klassen ist mit der Harish-Chandra-Induktion vertauschbar.

Lemma 4.4.3 Sei L ein F -stabiles Levi-Komplement einer F -stabilen parabolischen Untergruppe P von G. Dann erhält der Funktor R_{L}^{G} projektive Charaktere, d.h. ist Φ der Charakter eines projektiven RL-Moduls, dann ist auch R_{L}^{G}(Φ) ein solcher.

Beweis: Im vorliegenden Fall ist R_{L}^{G}(Φ) identisch zur Harish-Chandra-Induk-tion Ind_{P}^{G}(Φ̃), wobei Φ̃ für die Inflation von Φ von L auf P steht. Es genügt also zu zeigen, daß Φ̃ der Charakter eines projektiven RP -Moduls ist. Dies ist jedoch klar, denn Φ̃ ist wegen |P : L| = p^{m} relativ L-projektiv, also ein direkter Summand von Ind_{L}^{P}(Res_{L}^{P}(Φ̃)) = Ind_{L}^{P}(Φ).

Satz 4.4.4 Sei F eine Standard Frobenius-Abbildung und s ein halbeinfaches ℓ′-Element von G^{∗}, so daß C_{G^{∗}}(s) das Levi-Komplement einer F^{∗}-stabilen parabolischen Untergruppe von G^{∗} ist. Die korrespondierende reguläre Untergruppe von G werde wieder mit G(s) bezeichnet. Dann induziert die Zuordnung λ ↦ R_{G(s)}^{G}(ŝλ) eine Bijektion zwischen den projektiv unzerlegbaren Charakteren von E_{ℓ}(G(s), 1) und denen von E_{ℓ}(G, s), und erhält somit nicht nur die Blöcke, sondern auch die Zerlegungsmatrizen.

Beweis: Seien φ_{1}, …, φ_{m} die irreduziblen Brauercharaktere von E_{ℓ}(G(s), 1). Die zugehörigen projektiv unzerlegbaren Charaktere werden mit Φ_{1}, …, Φ_{m} bezeichnet. Außerdem wählen wir verallgemeinerte Charaktere χ_{1}, …, χ_{m} mit χ̆_{i} = φ_{i}. Weil ŝ ein linearer Charakter von G(s) ist, sind sowohl die (ŝχ̆_{j}) echte Brauercharaktere, als auch die ŝΦ_{j} echte Projektive.

Wir setzen ϑ_{j} = R̆_{G(s)}^{G}(ŝχ_{j}), 1 ≤ j ≤ m, und Λ_{j} = R_{G(s)}^{G}(ŝΦ_{j}), 1 ≤ j ≤ m. Dann sind nach Lemma 4.4.2 die ϑ_{j} echte Brauercharaktere von E_{ℓ}(G, s). Analog sind nach Lemma 4.4.3 die Λ_{j} echte projektive Charaktere von E_{ℓ}(G, s).

Da die Zuordnung λ ↦ R_{G(s)}^{G}(ŝλ) eine perfekte Isometrie ist, folgt die Behauptung nun aus Proposition 2.3.4.

In [3] geht Broué sogar soweit zu vermuten, daß die Isometrie aus (3.14) eine Morita-Äquivalenz bewirkt. In [4] beweist er diese Vermutung für den Fall, daß G(s) ein Torus ist. Es ist übrigens nicht allzu schwer, den Beweis aus Satz 4.4.4 dahingehend zu modifizieren, um in diesem Spezialfall tatsächlich die Morita-Äquivalenz zu zeigen.

Sei nun wieder s ∈ G^{∗} ein halbeinfaches ℓ′-Element, für das Aussage 4.3.1 richtig ist. Weiter seien A und a dadurch korrespondierende Blöcke. Die Vermutung, daß dann A und a nicht nur Morita-äquivalent sind, sondern sogar isomorphe Quellen-Algebren haben, erweist sich leider als falsch. L. Puig hat ein Gegenbeispiel dafür angegeben. Allerdings sind in seinem Beispiel die beiden Quellen-Algebren von A und a eng miteinander verknüpft.

Sollte sich aufgrund allgemeiner Überlegungen herausstellen, daß die Jordan-Zerlegung von Zerlegungsmatrizen allgemeingültig ist dann müßte man diese nur noch für unipotente Blöcke berechnen.

Man hätte dann auch eine ”Jordan-Zerlegung der Brauercharaktere“ in folgendem Sinne. Sei B(G, s) die Menge der irreduziblen Brauercharaktere in E_{ℓ}(G, s). Die Elemente aus B(G, 1) mögen unipotente Brauercharaktere heißen. Nach Proposition 4.2.4 sind die unipotenten Brauercharaktere genau die modularen Konstituenten der unipotenten Charaktere. Mit diesen Bezeichnungen haben wir dann den folgenden

Satz 4.4.5 (Jordan-Zerlegung der Brauercharaktere): Es sei Z(G) zusammenhängend und s ∈ G^{∗} ein halbeinfaches ℓ′-Element. Es gelte die Jordan-Zerlegung von Zerlegungsmatrizen für E_{ℓ}(G, s). Dann existiert eine Bijektion

B(G, s) ⟷ B(C_{G^{∗}}(s)^{∗}, 1).  (4.6)

Sind φ ∈ B(G, s) und ϑ ∈ B(C_{G^{∗}}(s), 1) in dieser Bijektion einander zugeordnet, dann gilt:

φ(1) = ϑ(1)|G^{∗} : C_{G^{∗}}(s)|_{p′},  (4.7)

4.5 Unipotente Blöcke

Nach den Ausführungen des vorstehenden Abschnittes liegt es nahe, die unipotenten Blöcke bevorzugt zu behandeln. Für GL_{n}(q) und U_{n}(q^{2}) haben Fong und Srinivasan in [34] eine sehr elegante Beschreibung davon gegeben. In völliger Analogie zur sogenannten Nakayama-Vermutung bei symmetrischen Gruppen werden hier die Blöcke mittels kombinatorischer Objekte, den Kernen von Partitionen, parametrisiert und bestimmt. Im Falle der unipotenten Blöcke der GL_{n}(q) ist dieses Verfahren am leichtesten zu beschreiben, und soll deshalb hier nur für diesen Fall vorgeführt werden.

Beispiel 4.5.1 (Fong, Srinivasan): Die unipotenten Charaktere von GL_{n}(q) sind parametrisiert durch die Partitionen von n (siehe [34, S. 115]). Viele Eigenschaften eines unipotenten Charakters können aus dieser Parametrisierung abgelesen werden, so z.B. sein Grad.

Sei nun ℓ eine Primzahl und e die Ordnung von q modulo ℓ. Das heißt e ist die kleinste natürliche Zahl, so daß q^{e} − 1 durch ℓ teilbar ist.

Eine Partition λ heißt e-Kern, wenn das zugehörige Young-Diagramm keinen e-Haken besitzt (siehe [58, Abschnitt 2.7]). Eine beliebige Partition μ besitzt einen eindeutig bestimmten e-Kern. Dieser ensteht aus dem Young-Diagramm von μ durch sukzessives Entfernen von e-Haken, bis ein e-Kern erreicht ist.

Die unipotenten Blöcke von GL_{n}(q) sind nun parametrisiert durch die e-Kerne vom Inhalt höchstens n. Zwei unipotente Charaktere liegen genau dann im gleichen Block, wenn die zugehörigen Partitionen den gleichen e-Kern haben.

Eine ähnliche, jedoch wesentlich kompliziertere, Beschreibung existiert für die unipotenten Blöcke der anderen klassischen Gruppen [36]. Die Schwierigkeiten sind teilweise darauf zurückzuführen, daß die kombinatorischen Objekte, die die unipotenten Charaktere beschreiben, die sogenannten Symbole, nicht mehr ganz so leicht zu handhaben sind. Für die exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ, wie z.B. G_{2}(q) müssen die unipotenten Blöcke bisher noch mittels der zentralen Charaktere bestimmt werden.

Für einige der exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ hat Schewe unter zusätzlichen Voraussetzungen an ℓ und p, wovon ℓ |̸ |W | eine ist, die folgende Beschreibung der unipotenten Blöcke gegeben, die sich für die klassischen Gruppen übrigens auch aus der Arbeit von Fong und Srinivasan ergibt. Sei A ein unipotenter ℓ-Block mit Defektgruppe D. Dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(T) für einen maximalen Torus T. Weiter ist C_{G}(D) = L eine reguläre Untergruppe von G. Es gibt einen unipotenten Charakter ρ von L, der modulo D den Defekt Null hat. Die unipotenten Charaktere in A sind genau die Konstituenten von R_{L}^{G}(ρ). Zur Klärung des Geltungsbereichs dieser Aussagen sei der Leser auf [78] verwiesen.

Die perfekte Isometrie zwischen E_{ℓ}(G, s) und E_{ℓ}(G(s), 1) aus Satz 4.3.2 erhält nicht nur die Blöcke, sondern auch die Höhen von Charakteren. Das ergibt eine erhebliche Erleichterung, will man z.B. für E_{ℓ}(G, s) die Brauersche Höhenvermutung nachweisen. Es genügt in diesem Fall, die unipotenten Blöcke von E_{ℓ}(G(s), 1) zu betrachten. Dies ist vor allem im Hinblick auf eine mögliche Induktion interessant.

4.6 Reguläre und halbeinfache Blöcke

In diesem Abschnitt wollen wir die Analogie zwischen ℓ-Blöcken von G und Konjugiertenklassen halbeinfacher ℓ′-Klassen, die wir durch das Schlagwort der ”Jordan-Zerlegung“ erfaßt haben, um eine weitere Zutat bereichern. Zu diesem Zwecke setzen wir wieder voraus, daß das Zentrum von G zusammenhängend ist. Wie wir weiter oben gesehen haben, besitzt jede geometrische Konjugiertenklasse E(G, s) von Charakteren zwei Extreme, einen regulären und einen halbeinfachen Charakter. Wir wollen zeigen, daß auch jede Konjugiertenklasse E_{ℓ}(G, s) von ℓ-Blöcken zwei Extreme besitzt, einen Block, der alle regulären, sowie einen, der alle halbeinfachen Charaktere enthält.

Der Schlüssel zum Beweis dieses Ergebnisses ist der Nachweis, daß die Einschränkung des Gelfand–Graev-Charakters auf E_{ℓ}(G, s) der Charakter eines projektiv unzerlegbaren Moduls ist. Dieses Ergebnis hat noch andere Konsequenzen, wovon zwei dargestellt werden sollen. Mit Γ werde im folgenden der Gelfand–Graev-Charakter bezeichnet.

Satz 4.6.1 (Hiss [49]): Sei Γ_{ℓ,s} die Einschränkung von Γ auf E_{ℓ}(G, s). Dann ist Γ_{ℓ,s} der Charakter eines projektiv unzerlegbaren Moduls.

Beweis: Weil E_{ℓ}(G, s) eine Vereinigung von ℓ-Blöcken ist, ist Γ_{ℓ,s} der Charakter eines projektiven Moduls M. Wenn M zerlegbar wäre, könnten wir schreiben:

Γ_{ℓ,s} = Φ + Φ_{0},

mit dem Charakter Φ eines projektiv unzerlegbaren Moduls, so daß ⟨Φ, χ_{s,St}⟩ nicht 0 ist. Dabei steht χ_{s,St} für den eindeutig bestimmten Konstituenten von Γ in E(G, s). Weil Γ vielfachheitsfrei ist, haben wir ⟨Φ_{0}, χ⟩ = 0, für alle χ ∈ E(G, s).

Wegen Φ_{0} ≠ 0, existiert ein t ∈ C_{G^{∗}}(s)_{ℓ} mit ⟨Φ_{0}, χ_{st,St}⟩ ≠ 0. Nach [10, Proposition 8.4.7] ist χ_{st,St} eine Linearkombination von Deligne–Lusztig-Cha-rakteren der Form R_{T^{∗}}^{G}(st) mit st ∈ T^{∗}. Also ist ⟨Φ_{0}, R_{T^{∗}}^{G}(st)⟩ ≠ 0 für ein T^{∗} welches st enthält. Weil Φ_{0} projektiv ist, können wir mit Hilfe der Basisrelation (4.2) schließen:

0 ≠ ⟨Φ_{0}, R_{T^{∗}}^{G}(st)⟩
= ⟨Φ̆_{0}, R̆_{T^{∗}}^{G}(st)⟩′
= ⟨Φ̆_{0}, R̆_{T^{∗}}^{G}(s)⟩′
= ⟨Φ_{0}, R_{T^{∗}}^{G}(s)⟩.

Also ist ⟨Φ_{0}, χ⟩ ≠ 0 für einen Konstituenten von R_{T^{∗}}^{G}(s). Dieser Widerspruch beschließt den Beweis.

Korollar 4.6.2 (Hiss [49]): Die Charaktere der Form χ_{st,St}, t ∈ C_{G^{∗}}(s)_{ℓ} liegen in einem einzigen ℓ-Block von E_{ℓ}(G, s).

Beweis: Diese Charaktere sind genau die gewöhnlichen irreduziblen Konstituenten von Γ_{ℓ,s}.

Weil dies genau die regulären Charaktere in E_{ℓ}(G, s) sind, nennen wir den Block, den sie nach obigem Korollar definieren, den regulären Block in E_{ℓ}(G, s).

Korollar 4.6.3 (Hiss [49]): Die Charaktere der Form χ_{st,1}, t ∈ C_{G^{∗}}(s)_{ℓ}, liegen in einem einzigen ℓ-Block von E_{ℓ}(G, s). Zwischen diesem und dem halbeinfachen Block besteht eine perfekte Isometrie.

Beweis: Nach [3, Théorèm 2.4], permutiert die Curtis–Alvis-Dualität die ℓ-Blöcke. Sie ist eine perfekte Isometrie, also haben zwei konjugierte Blöcke die gleichen Invarianten. Der Duale eines Charakters χ_{st,St} ist ±χ_{st,1}. Damit ist das Korollar bewiesen.

Die Charaktere der Form χ_{st,1} sind genau die halbeinfachen Charaktere. Also nennen wir den Block, den sie bestimmen, den halbeinfachen Block von E_{ℓ}(G, s). Der halbeinfache Block von E_{ℓ}(G, 1) ist gerade der Hauptblock.

Natürlich können der halbeinfache und der reguläre Block einer geometrischen Konjugiertenklasse von ℓ-Blöcken zusammenfallen. In der Tat ist dies bei den ℓ-Blöcken der G_{2}(q) immer der Fall. Wenn p ungerade und ℓ = 2 ist, liegt der Steinberg-Charakter immer im Hauptblock. (Dies folgt etwa aus Fongs Lemma, welches impliziert, daß ein reellwertiger gewöhnlicher Charakter ungeraden Grades stets den trivialen Charakter als 2-modularen Konstituenten enthält.) Also sind auch in diesem Fall der reguläre und der halbeinfache Block identisch.

Auf der anderen Seite ist es leicht, Beispiele zu finden, wo die beiden Blöcke nicht zusammenfallen.

Beispiel 4.6.4 Sei G = GL_{5}(q) und ℓ eine Primzahl, so daß die Ordnung von q modulo ℓ gerade 3 ist (also z.B. q = 2, ℓ = 7). Dann liegen der triviale und der Steinberg-Charakter von G in verschiedenen ℓ-Blöcken. Dies folgt aus der Beschreibung der unipotenten Blöcke von GL_{n}(q), weil die beiden Partitionen (1^{5}) und (5) verschiedenen 3-Kern haben.

Wir beschließen das Kapitel mit einem Ergebnis über den Brauerbaum des regulären Blocks, falls dieser eine zyklische Defektgruppe besitzt. Für eine umfassende Zusammenstellung der Eigenschaften von Blöcken mit zyklischen Defektgruppen und Brauerbäumen verweisen wir den Leser auf [28, Chapter VII].

Satz 4.6.5 (Hiss [49]): Der reguläre Block in E_{ℓ}(G, s) besitze eine zyklische Defektgruppe und mehr als einen irreduziblen Brauercharakter. Dann gilt für den Brauerbaum dieses Blockes:

(a) Besitzt Γ_{ℓ,s} nur zwei Konstituenten, so sind diese am Brauerbaum verbunden.

(b) Besitzt Γ_{ℓ,s} mindestens 3 irreduzible Konstituenten, dann existieren exzeptionelle Charaktere. Dies sind dann genau die Charaktere der Form χ_{st,St}, 1 ≠ t ∈ C_{G^{∗}}(s)_{ℓ}. Der exzeptionelle Knoten des Brauerbaumes ist mit χ_{s,St} verbunden.

Beweis: Teil (a) folgt sofort aus der Projektivität von Γ_{ℓ,s}. Wir können also im folgenden annehmen, daß Γ_{ℓ,s} mindestens 3 irreduzible Konstituenten besitzt. Nach (3.13) haben wir

χ_{st,St}(1) = |C_{G^{∗}}(st)|_{p}|G^{∗} : C_{G^{∗}}(st)|_{p′}.

Weil in einem Block mit zyklischer Defektgruppe jeder Charakter die Höhe 0 hat, und weil |G^{∗}| = |G| ist, hat die Defektgruppe des Blockes die Ordnung |C_{G^{∗}}(s)|_{ℓ}. Insbesondere hat der Block Defekt größer 0 dann und nur dann, wenn |C_{G^{∗}}(s)|_{ℓ} ≠ 1 ist.

Weil

Γ_{ℓ,s} = ( ∑_{(1)≠(t)} χ_{st,St}) + χ_{s,St}

der Charakter eines projektiv unzerlegbaren Moduls ist und nach Voraussetzung mehr als zwei Konstituenten enthält, muß Γ_{ℓ,s} die Summe sein aus der Summe der exzeptionellen Charaktere und genau einem nicht exzeptionellen Charakter. Es bleibt zu zeigen, daß in der obigen Summe χ_{s,St} der nicht exzeptionelle Charakter ist. Dies folgt jedoch aus [37, (3A)].

Korollar 4.6.6 (Hiss [49]): Ist die ℓ-Sylowgruppe von G zyklisch, dann gilt für den regulären unipotenten Block von G:

(a) Sind alle ℓ-Elemente in G konjugiert, und ist t ein solches, dann ist der Steinberg-Charakter zu χ_{t,St} am Brauerbaum verbunden.

(b) Sind nicht alle ℓ-Elemente von G konjugiert, dann gibt es exzeptionelle Charaktere, und der Steinberg-Charakter ist am Brauerbaum mit dem exzeptionellen Knoten verbunden.

Beweis: Die Voraussetzung, daß alle ℓ-Elemente in G konjugiert sind, ist gleichbedeutend damit, daß Γ_{ℓ,1} genau zwei irreduzible Konstituenten besitzt.

Hecke-Algebra Methoden

Sei A ein noetherscher Ring mit 1 und X ein endlich erzeugter A-Modul. Die Methode, Aussagen über die unzerlegbaren direkten Summanden von X über den Ring End_{A}(X) herzuleiten, geht bis auf Schur [79] zurück. Fitting hat in [30] die Zusammenhänge zwischen X und End_{A}(X) systematisch untersucht. Einen hervorragenden Abriß dieser Theorie findet der Leser in Grabmeiers Dissertation [42, Abschnitt 8]. Deshalb möchte ich an dieser Stelle nur sehr kurz die im folgenden benötigten Begriffe einführen und ihre Anwendungsmöglichkeiten skizzieren. Danach werden die vorgestellten Methoden verwendet, um Aussagen über die Zerlegungszahlen von endlichen reduktiven Gruppen zu erhalten.

5.1 Zerlegungsmatrizen

Sei also zuerst A ein kommutativer, noetherscher Ring mit 1, und X ein endlich erzeugter A-Rechtsmodul. Wir setzen E = End_{A}(X). Ist nun

X = X_{1} ⊕ … ⊕ X_{n}

eine Zerlegung von X in unzerlegbare direkte Summanden, dann besitzt E eine korrespondierende Zerlegung

E = E_{1} ⊕ … ⊕ E_{n}

in die E-Linksmoduln

E_{i} = Hom_{A}(X_{i}, X).

Die E_{i} sind unzerlegbar und es ist X_{i} ≅ X_{j} als A-Rechtsmoduln, genau dann, wenn E_{i} ≅ E_{j} als E-Linksmoduln. Diesen Zusammenhang zwischen den X_{i} und den E_{i} wollen wir im folgenden mit dem Begriff Fitting-Korrespondenz bezeichnen.

Wir verlassen sogleich diese allgemeine Situation, und wählen ein ℓ-modul-ares System (K, R, k). Sei weiter A eine endlich erzeugte R-Ordnung und X ein endlich erzeugtes A-Gitter. Dann ist E = End_{A}(X) eine endlich erzeugte R-Ordnung. Mit X^{K} wird die Konstantenerweiterung X ⊗_{R} K bezeichnet, und für die Reduktion modulo π schreiben wir X̄ = X ⊗_{R} k. Diese Bezeichnungen werden natürlich insbesondere auf die Ordnung A angewendet. Wir vermerken, daß unter den gegebenen Voraussetzungen der Satz von Krull-Schmidt-Azumaya für die A-Gitter erfüllt ist.

Wir setzen zusätzlich voraus, daß A^{K} eine halbeinfache K-Algebra ist, und daß K groß genug, nämlich ein Zerfällungskörper für A^{K} ist. In dieser Situation definieren wir zunächst die Zerlegungsmatrix des A-Gitters X (siehe [21, Definition 4.1]).

Definition 5.1.1 Sei {X_{1}, …, X_{s}} ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen der unzerlegbaren direkten Summanden von X und {Y_{1}, …, Y_{t}} ein System von Repräsentanten der einfachen A^{K}-Moduln, die in X^{K} vorkommen. Sei

d_{ij} = [Y_{i}, X_{j}^{K}]_{A^{K}},

also die Vielfachheit von Y_{i} im KG-Modul X_{j}^{K}. Dann heißt die Matrix D_{X} = (d_{ij}) die Zerlegungsmatrix von X. Sie ist bis auf Vertauschen von Zeilen und Spalten eindeutig durch X bestimmt.

Die Zerlegungsmatrix D_{A} der Algebra A erlaubt nach Brauers Reziprozitätsgesetz eine weitere Interpretation. Sei X = A und die Bezeichnungen wie in obiger Definition. Dann sind X̄_{1}, …, X̄_{s} Repräsentanten der projektiv unzerlegbaren Ā-Moduln. Deren einfache Köpfe sollen mit M_{1}, …, M_{s} bezeichnet werden. Für jedes Y_{i} wählen wir ein volles A-Gitter Z_{i} in Y_{i} d.h. Z_{i} ⊆ Y_{i} und Z_{i}^{K} = Y_{i}. Dann ist d_{ij} die Vielfachheit von M_{j} als Kompositionsfaktor in Z̄_{i}. Also ist obige Definition der Zerlegungsmatrix von A identisch mit der klassischen Definition von Brauer.

Ist X ein projektives A-Gitter, dann ist die Zerlegungsmatrix von X in folgendem Sinne in der Zerlegungsmatrix von A enthalten: Bei geeigneter Numerierung der Zeilen und Spalten hat D_{A} die Gestalt:

D_{A} = ( \frac{D_{X}}{0} D′ ) .

Die Zerlegungsmatrix von X kann mit derjenigen von E = End_{A}(X) verglichen werden. Sind die Bezeichnungen wie in Definition 5.1.1, dann sind aufgrund der Fitting-Korrespondenz die E-Gitter E_{i} = Hom_{A}(X_{i}, X), 1 ≤ i ≤ s, ein Repräsentantensystem für die Isomorphietypen unzerlegbarer direkter Summanden von E. Die Anwendung der Fitting-Korrespondenz auf die Moduln X^{K} und E^{K} = End_{A^{K}}(X^{K}) liefert analog, daß Hom_{A^{K}}(Y_{j}, X^{K}), 1 ≤ j ≤ t, ein Repräsentantensystem der einfachen E^{K}-Moduln ist. Ist nun D_{E} = (d′_{ij}) die Zerlegungsmatrix von E bezüglich dieser beiden Repräsentantensysteme, dann gilt offensichtlich (d_{ij}) = (d′_{ij}). Mit anderen Worten:

Die Zerlegungsmatrix eines A-Gitters X ist gleich der Zerlegungsmatrix von End_{A}(X), wenn Repräsentantensysteme in Fitting-Korrespondenz zugrundeliegen.

Wie wir oben gesehen haben, enthalten die Zerlegungsmatrizen spezieller A-Gitter, etwa projektiver, Information über die Zerlegungszahlen von A. An diesen ist man in erster Linie interessiert. Man versucht nun diese Information mittels der Zerlegungsmatrix von E = End_{A}(X) zu erhalten. Diese Methode ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn E bestimmt werden kann und leichter zu handhaben ist als A. Daß dies bei den endlichen Gruppen vom Lie-Typ in der Tat der Fall ist, wurde in eindrucksvoller Weise schon bei der Bestimmung der gewöhnlichen Charaktere dieser Gruppen bewiesen. Daß mit dieser Methode auch Ergebnisse in der modularen Darstellungstheorie erzielt werden können, haben Sawada, Dipper und James gezeigt; Sawada im Fall gleicher Charakteristik ℓ = p in [77] und Dipper und James im Fall ungleicher Charakteristik ℓ ≠ p in ihren Arbeiten über die Zerlegungsmatrizen der GL_{n}(q).

Die Projektivität von X ist nicht unbedingt notwendig, um brauchbare Resultate zu erzielen. Das folgende Ergebnis zeigt, wie diese Voraussetzung erheblich abgeschwächt werden kann. Es erscheint in dieser Formulierung zum ersten Mal bei Dipper [21, Corollary 4.10], dürfte aber schon vorher in der einen oder anderen Version bekanntgewesen und auch benutzt worden sein. Ich gebe hier einen einfachen Beweis an, der von W. Plesken vorgeschlagen wurde.

Satz 5.1.2 (Dipper, [21]): Sei G eine endliche Gruppe und (K, R, k) ein ℓmodulares Zerfällungssystem für G. Seien Y, X RG-Gitter mit:

(i) Y ist projektiv.

(ii) Es gibt einen Epimorphismus β : Y → X.

(iii) [(Kern β)^{K}, X^{K}] = 0.

Sei E = End_{RG}(X). Dann gilt:

(a) Ist Z ein unzerlegbarer direkter Summand von X, dann ist Z ein Faktormodul eines unzerlegbaren direkten Summandes von Y und Z̄ ist unzerlegbar.

(b) Sei {V_{1}, …, V_{t}} ein Vertretersystem der einfachen KG-Moduln, die in X^{K} vorkommen. Sei weiter D_{E} die Zerlegungsmatrix von E, deren Zeilen indiziert sind durch die E^{K}-Moduln Hom_{KG}(V_{i}, X^{K}). Bezeichnet D_{RG} die Zerlegungsmatrix von RG gemäß der Numerierung (V_{1}, …, V_{t}, V_{t+1}, …, V_{n}) der Zeilen, dann gilt bei geeigneter Anordnung der Spalten:

D_{RG} = ( \frac{D_{E}}{∗} D′ ) .

(c) Seien Z_{1} und Z_{2} direkte Summanden von X. Dann sind die kG-Homomorphismen zwischen Z̄_{1} und Z̄_{2} liftbar.

Beweis: (Nach W. Plesken): Wir denken uns Y und X in Y^{K} bzw. X^{K} eingebettet. Nach Voraussetzung (iii) existiert ein zentrales Idempotent f von KG, welches (Kern β)^{K} annulliert und auf X^{K} als Identität operiert. Dann ist Xf = X. Aus der Surjektivität von β folgt darüberhinaus: Y f ≅ X.

Sei nun Y = Y_{1} ⊕ … ⊕ Y_{s} eine direkte Zerlegung von Y in unzerlegbare Summanden. Da Y_{i} projektiv unzerlegbar ist, also einen einfachen Kopf hat, ist Y_{i}f unzerlegbar. Seien Y_{1}, …, Y_{u} diejenigen direkten Summanden von Y, die nicht von f annulliert werden. Dann ist X ≅ Y_{1}f ⊕ … ⊕ Y_{u}f eine direkte Zerlegung von X in unzerlegbare. Daraus folgt Teil (a).

Die Zerlegungsmatrix von E ist nach den vorangehenden Betrachtungen gleich der Zerlegungsmatrix von X. Sei nun V ein einfacher KG-Modul in X^{K}. Nach Voraussetzung (iii) ist die Vielfachheit von V als direkter Summand von (Y_{i}f)^{K} gleich der Vielfachheit von V als direkter Summand von Y_{i}^{K}. Da die Y_{i} projektiv unzerlegbare RG-Gitter sind, ist die Zerlegungsmatrix von RG von der angegebenen Gestalt. Dies beweist Teil (b).

Zum Beweis von (c) setzen wir A = RGf. Dann sind Z_{1} und Z_{2} projektive A-Moduln. Damit haben wir:

Hom_{RG}(Z_{1}, Z_{2}) ⊗_{R} k = Hom_{A}(Z_{1}, Z_{2}) ⊗_{R} k
≅ Hom_{A⊗_{R}k}(Z̄_{1}, Z̄_{2})
= Hom_{A}(Z̄_{1}, Z̄_{2})
= Hom_{RG}(Z̄_{1}, Z̄_{2})
= Hom_{kG}(Z̄_{1}, Z̄_{2})

Damit ist auch Teil (c) bewiesen.

5.2 Zerlegungszahlen und Harish-Chandra-In-duktion

Wir wollen uns nun überlegen, daß Satz 5.1.2 besonders gut bei endlichen Gruppen mit BN-Paar angewendet werden kann. Hier sind nämlich seine Voraussetzungen in der Situation der Harish-Chandra-Induktion von kuspidalen Charakteren erfüllt. Genau dieser Funktor spielte schon eine herausragende Rolle bei der Bestimmung der gewöhnlichen Charaktere der endlichen Gruppen vom Lie-Typ.

Sei G eine beliebige endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar der Charakteristik p. Wir schreiben auch G = (G, B, N, U, H, W), wenn wir die ausgezeichneten Untergruppen bzw. Sektionen von G besonders hervorheben möchten. In den folgenden Ausführungen verwenden wir diese Begriffe stets im Sinne von [14, Definitions 65.1, 69.1]. Insbesondere ist B ∩ N = H ein Normalteiler in N, W = N/H, B = UH ist das semidirekte Produkt der sogenannten unipotenten Untergruppe U mit H. Darüberhinaus ist U eine p-Sylowgruppe und H ist abelsch. Das Wurzelsystem von G werde mit Φ bezeichnet und ein fest gewähltes Fundamentalsystem daraus mit Π. Die Weylgruppe W werde erzeugt von den fundamentalen Spiegelungen {s_{α} | α ∈ Π}. Für die Länge eines Elementes w ∈ W schreiben wir l(w). Es sei w_{0} das längste Element in W. Für jedes w ∈ W wählen wir ein beliebiges, aber festes Element ẇ ∈ N mit Hẇ = w. Für α ∈ Φ sei X_{α} = U ∩ U^{ẇ_{0}ṡ_{α}} die zu α gehörige Wurzeluntergruppe von U.

Sei Π = {α_{1}, …, α_{n}} und I = {1, …, n}. Für jede Teilmenge J ⊆ I setzen wir

Π_{J} = {α_{j} | j ∈ J},
W_{J} = ⟨s_{α_{j}} | j ∈ J⟩,
Φ_{J} = W_{J}(Π_{J}) = {w(α) | w ∈ W_{J}, α ∈ Π_{J}},
L_{J} = ⟨H, X_{α} | α ∈ Φ_{J}⟩.

Die Gruppen L_{J} heißen Standard-Levi-Untergruppen von G. Bezeichnet w_{J} das längste Element in W_{J}, dann setzen wir U_{J} = U ∩ U ẇ_{J}. Dann ist U_{J} das unipotente Radikal der parabolischen Standard-Untergruppe P_{J} = ⟨B, X_{α} | α ∈ Φ_{J}⟩. Für die Menge der Standard-Levi-Untergruppen von G schreiben wir L. Für L_{J} ∈ L setzen wir M_{J} = N_{N}(L_{J})L_{J}.

Wir wollen nun den Begriff der Harish-Chandra-Serie von Charakteren einführen. Ein irreduzibler Charakter χ von G heißt kuspidal, wenn ⟨χ, 1_{U_{J}}^{G} ⟩ = 0 ist, für alle J ≠ I. Die Weylgruppe operiert auf den Paaren (J, ϑ), wobei J ⊆ I und ϑ ein kuspidaler Charakter von L_{J} ist (siehe [10, Proposition 9.2.3 (i)]). Für die Inflation von ϑ auf P_{J} schreiben wir ϑ̃. Der Funktor, der ϑ auf ϑ̃^{G} abbildet, heißt Harish-Chandra-Induktion. Eine analoge Bezeichnung wird für L_{J}-Moduln verwendet.

Definition 5.2.1 Sei J ⊆ I und ϑ ein kuspidaler Charakter von L_{J}.

(a) Die Harish-Chandra-Serie zum Paar (J, ϑ) ist die folgende Menge von Charakteren:

E(G, (J, ϑ)) = {χ ∈ Irr(G) | ⟨χ, ϑ̃^{G}⟩_{G} ≠ 0}.

(b) Ein irreduzibler Charakter χ liegt in der J-Serie, wenn ein kuspidaler Charakter ϑ von L_{J} existiert, so daß χ in E(G, (J, ϑ)) liegt. Wir schreiben

E(G, J) = ⋃ ; ϑ ∈ Irr(L_{J}) ; ϑ kuspidal E(G, (J, ϑ)).

Der Satz von Harish-Chandra (siehe [10, Theorem 9.2.3]) besagt, daß die Mengen E(G, (J, ϑ)) und E(G, (J′, ϑ′)) genau dann übereinstimmen, wenn (J, ϑ) und (J′, ϑ′) unter W konjugiert sind. Andernfalls sind sie disjunkt. Jeder irreduzible Charakter von G liegt in genau einer J-Serie.

Für die folgenden Betrachtungen wählen wir ein ℓ-modulares Zerfällungssystem (K, R, k) für G mit ℓ ≠ p. Zunächst geben wir eine kleine Anwendung des Begriffes des kuspidalen Charakters. Es erklärt in gewisser Weise, warum kuspidale Charaktere die Tendenz haben, bei der Reduktion modulo ℓ irreduzibel zu bleiben.

Lemma 5.2.2 Sei χ ein gewöhnlicher, irreduzibler, nicht-kuspidaler Charakter, dessen Einschränkung χ̆ auf die ℓ-regulären Klassen ebenfalls irreduzibel sei. Ist ψ ein kuspidaler Charakter, dann ist χ̆ kein Konstituent von ψ̆.

Beweis: Sei μ = ψ̆ − χ̆ ein verallgemeinerter Brauercharakter. Da χ nichtkuspidal ist, existiert eine Untergruppe V = U_{J} mit ⟨χ_{V} , 1_{V} ⟩ > 0. Da ψ kuspidal ist, ist ⟨ψ_{V} , 1_{V} ⟩ = 0. Nun ist V eine p-Untergruppe und ℓ ≠ p, so daß χ̆_{V} = χ_{V} und ψ̆_{V} = ψ_{V} ist. Dann ist ⟨μ_{V} , 1_{V} ⟩ < 0, d.h. μ kann kein echter Brauercharakter sein.

Wir untersuchen nun, unter welchen Voraussetzungen die Ergebnisse des vorigen Abschnittes anwendbar sind.

Lemma 5.2.3 Sei G eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar, P = QL eine parabolische Standard-Untergruppe von G. Dabei sei Q das unipotente Radikal und L das Standard-Levi-Komplement von P. Sei χ_{0} ein gewöhnlicher, irreduzibler Charakter von L mit χ_{0} ∈ E(L, (J, ϑ)). Es gebe einen projektiven Charakter Φ_{0} von L mit:

(i) ⟨χ_{0}, Φ_{0}⟩ = 1.

(ii) Ist ψ ∈ Irr(L), etwa ψ ∈ E(L, (J′, ϑ′)), und ist ψ ≠ χ_{0} und ⟨ψ, Φ_{0}⟩ ≠ 0, dann sind (J, ϑ) und (J′, ϑ′) nicht in W konjugiert.

Sei Y_{0} das RL-Gitter mit Charakter Φ_{0}. Dann existiert ein RL-Gitter X_{0} mit Charakter χ_{0}, so daß das Paar Y = Ind_{P}^{G}(Ỹ_{0}) und X = Ind_{P}^{G}(X̃_{0}) die Voraussetzungen von Satz 5.1.2 erfüllt.

Beweis: Wegen ⟨χ_{0}, Φ_{0}⟩ ≠ 0 existiert ein RL-Gitter X_{0} mit Charakter χ_{0} und ein surjektiver RL-Homomorphismus

β_{0} : Y_{0} ⟶ X_{0}.

Nach Lemma 4.4.2 ist Y projektiv und wir erhalten einen surjektiven Homomorphismus

β : Y ⟶ X.

Es ist (Kern β)^{K} = Ind_{P}^{G}(Infl_{L}^{P}((Kern β_{0})^{K})). Wegen der Transitivität der Harish-Chandra-Induktion liegt jeder Konstituent von (Kern β)^{K} in einem E(G, (J′, ϑ′)), während jeder Konstituent von X^{K} in E(G, (J, ϑ)) enthalten ist; nach Voraussetzung (ii) ist dabei (J′, ϑ′) nicht zu (J, ϑ) in W konjugiert. Daraus folgt die Behauptung.

Korollar 5.2.4 Die Bezeichnungen seien wie in Lemma 5.2.3. Sei zusätzlich χ_{0} kuspidal. Statt der Voraussetzung (ii) gelte:

(ii′) ⟨χ_{0}^{x}, Φ_{0}⟩ = 0 für alle x ∈ N_{G}(L) mit χ_{0}^{x} ≠ χ_{0}.

Sei Y_{0} das RL-Gitter mit Charakter Φ_{0}. Dann existiert ein RL-Gitter X_{0} mit Charakter χ_{0}, so daß das Paar Y = Ind_{P}^{G}(Ỹ_{0}) und X = Ind_{P}^{G}(X̃_{0}) die Voraussetzungen von Satz 5.1.2 erfüllt.

Beweis: Da χ_{0} kuspidal ist, impliziert Voraussetzung (ii′), daß die Voraussetzung (ii) von Lemma 5.2.3 erfüllt ist.

Die Voraussetzungen in Korollar 5.2.4 sind insbesondere erfüllt für den trivialen Charakter von H, dem Levi-Komplement der Boreluntergruppe B = UH. In allen bisher bekannten Beispielen ist es übrigens so, daß zu jedem kuspidalen irreduziblen Charakter χ_{0} von L immer mindestens ein projektiv Unzerlegbarer Φ_{0} existiert, der die Voraussetzungen von Korollar 5.2.4 erfüllt.

Wenn χ_{0} kuspidal ist, kann man hoffen, mit Hilfe der Howlett–Lehrer-Theorie etwas über End_{RG}(Ind_{P}^{G}(X̃_{0})) auszusagen. Daraus kann man mit Hilfe von Satz 5.1.2 Aussagen über die Zerlegungsmatrix von G gewinnen. Ist χ_{0} nicht kuspidal, kann man sich mit der in Kapitel 2 entwickelten Theorie der Basissysteme wie folgt behelfen.

Proposition 5.2.5 Sei G eine zusammenhängende algebraische Gruppe mit Frobenius-Abbildung F. Sei L^{∗} eine Standard-Levi-Untergruppe von G^{∗} und s ein halbeinfaches ℓ′-Element in L^{∗}. Sei L die zu L^{∗} gehörige Standard-Levi-Untergruppe von G.

Wir nehmen an, daß E(G, s) ein Basissystem BS = {χ_{1}, …, χ_{n}} von E_{ℓ}(G, s) enthält. Sei PA = {Φ_{1}, …, Φ_{n}} das dazu duale System von projektiven Atomen.

Sei Φ_{0} ein projektiver Charakter von E_{ℓ}(L, s) und χ_{0} ∈ E(L, s) mit

(i) ⟨χ_{0}, Φ_{0}⟩ = 1.

(ii) ⟨ψ, Φ_{0}⟩ = 0 für alle χ_{0} ≠ ψ ∈ E(L, s).

Setzen wir χ = χ̃_{0}^{G}, dann ist

Φ = ∑_{i=1}^{n}⟨χ, χ_{i}⟩Φ_{i}

ein projektiver Charakter. Mit anderen Worten: Wir erhalten aus χ_{0} einen projektiven Charakter, ausgedrückt in PA, indem wir die Skalarprodukte der Harish-Chandra-Induktion von χ_{0} mit den Charakteren des Basissystems BS bilden.

Beweis: Nach Lemma 4.4.2 ist R_{L}^{G}(Φ_{0}) = Φ̃_{0}^{G} projektiv. Aus den Voraussetzungen folgt, daß jeder Konstituent von Φ_{0} − χ_{0} in einer rationalen Klasse E(L, st) liegt, wobei 1 ≠ t ein ℓ-Element in C_{L^{∗}}(s) ist. Keines dieser Elemente st ist in G^{∗} zu s konjugiert. Da nach Bemerkung 3.4.3 die Harish-Chandra-Induktion die rationalen Klassen erhält, sind also R_{L}^{G}(χ_{0}) und R_{L}^{G}(Φ_{0} − χ_{0}) disjunkt. Die Behauptung ergibt sich nun aus Lemma 2.2.2.

Beispiel 5.2.6 In folgenden Spezialfällen sind die Voraussetzungen von Proposition 5.2.5 erfüllt:

(a) s = 1, χ_{0} = St_{L} und Φ_{0} = Γ_{ℓ,1} der Gelfand–Graev-Charakter, eingeschränkt auf die unipotenten Blöcke.

(b) s = 1, und jeder unipotente Charakter von L ist irreduzibel modulo ℓ (im nächsten Kapitel werden spezielle Primzahlen ℓ betrachtet, für die dies immer gilt).

Beispiel 5.2.7 Sei G = G_{2}(q), q ungerade, und ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2. Sei s = h(−1, −1, 1) und B_{2} = E_{ℓ}(G, s). Es ist leicht zu sehen, daß B_{2} in der Tat ein ℓ-Block ist. Er besitzt das Basisystem BS = {X_{21}, X_{22}, X_{23}, X_{24}}. Wir betrachten die drei echten Levi-Untergruppen H_{1}, L_{{2a+b}} und L_{{b}}. Sei L eine davon. Zu s ∈ Z(L) korrespondiert ein linearer Charakter ŝ_{L} von L. Es ist E_{ℓ}(L, s) = ŝ_{L} ⊗ E_{ℓ}(L, 1). Für χ_{L} = ŝ_{L} · St_{L} sind die Voraussetzungen von Proposition 5.2.5 erfüllt. Daraus erhalten wir die folgende Menge von projektiven Charakteren von E_{ℓ}(G, s), die wir gleich im zu BS dualen System der projektiven Atome ausgedrückt haben. Der letzte davon ist der Gelfand–Graev-Charakter von G. Die Reihenfolge der ersten drei Projektiven entspricht obiger Reihenfolge der Levi-Untergruppen.

Char. Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3} Φ_{4}
X_{22} 1
X_{23} 1 1
X_{24} 1  1
X_{21} 1 1 1 1

Bemerkung 5.2.8 Dipper und James betrachten in G = GL_{n}(q) die Charaktere S̃t_{L}^{G}, wobei sie L die Menge der Standard-Levi-Untergruppen durchlaufen lassen. Auf diese Weise erhalten sie eine Menge Information über die Zerlegungsmatrix von G, z.B. deren Dreiecksgestalt.

Die bisher entwickelte Theorie macht es insbesondere notwendig, Endomorphismenringe von RG-Gittern X zu bestimmen, wobei X die Harish-Chandra-Induktion eines Gitters ist, das die Voraussetzungen von Korollar 5.2.4 erfüllt. Dank der Theorie von Howlett und Lehrer sind die Endomorphismenringe der Moduln X^{K} bekannt. Es stellt sich nun die Frage, inwieweit man die Theorie von Howlett–Lehrer auf RG-Gitter X der obigen Form verallgemeinern kann. Erste Ansätze dazu finden sich bei Dipper in seiner Arbeit über die Zerlegungszahlen der GL_{n}(q) (siehe [19, Theorem 3.6]). Da nach Satz 5.1.2 (c) End_{kG}(X̄) liftbar ist, ist es ziemlich wahrscheinlich, daß sich die Theorie von Howlett–Lehrer direkt auf die kG-Moduln X̄ anwenden läßt. Mit anderen Worten: Es sieht so aus, als wäre die Reduktion modulo ℓ der Howlett–Lehrer-Algebra zu X^{K}, deren Strukturkonstanten bekanntlich in R liegen, nichts anderes als End_{kG}(X̄). Es ist sogar denkbar, daß die Howlett–Lehrer-Algebra über R gerade End_{RG}(X) ist.

Der Spezialfall X = Ind_{B}^{G}(R) wurde schon von Iwahori [57] und Matsumoto [72] in der notwendigen Allgemeinheit behandelt. Im nächsten Abschnitt möchte ich einen kurzen Beweis für diesen Fall geben.

5.3 Hecke-Algebren

Hier sei G wieder eine beliebige endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar. Wir behalten die zu Beginn des vorigen Abschnitts eingeführten Bezeichnungen bei. Allerdings werden noch eine Reihe von Ergänzungen benötigt:

\begin{aligned}U^{−} & = & U ẇ_{0}, \\ U_{w} & = & U ∩ U^{ẇ_{0}ẇ}, w ∈ W, \\ U′_{w} & = & U_{w_{0}w} = U ∩ U ẇ, w ∈ W, \\ X_{α} & = & U_{s_{α}}, α ∈ Π, \\ p_{w} & = & |U_{w}|, w ∈ W, \\ p_{α} & = & |X_{α}|, α ∈ Π. \end{aligned}  (5.1)

Wir erwähnen, daß für jedes w ∈ W gilt:

U = U_{w}U′_{w}, U_{w} ∩ U′_{w} = 1.  (5.2)

Wir haben die Bruhat-Zerlegung von G:

G = ⋃_{w∈W} BwB,  (5.3)

die mit (5.2) noch verfeinert werden kann zu:

G = ⋃_{w∈W} BwU_{w}.  (5.4)

Nun sind wir in der Lage, die berühmten Formeln von Iwahori für die Hecke-Algebra auf recht einfache Weise herzuleiten.

Satz 5.3.1 (Iwahori, Matsumoto): Sei G eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar. Sei X = Ind_{B}^{G}(ℤ) der Permutationsmodul auf den Nebenklassen von B über ℤ. Dann besitzt End_{ℤG}(X) eine ℤ-Basis T_{w}, w ∈ W. Es gelten die folgenden Multiplikationsformeln:

(i) T_{s_{α}}T_{w} = \{ \begin{matrix}T_{s_{α}w}, & falls l(s_{α}w) > l(w) \\ p_{α}T_{s_{α}w} + (p_{α} − 1)T_{w}, & falls l(s_{α}w) < l(w) \end{matrix}

(ii) T_{w}T_{s_{α}} = \{ \begin{matrix}T_{ws_{α}}, & falls l(s_{α}w) > l(w) \\ p_{α}T_{ws_{α}} + (p_{α} − 1)T_{w}, & falls l(s_{α}w) < l(w) \end{matrix}

Beweis: Nach der Bruhat-Zerlegung bilden die Elemente aus W ein Vertretersystem der (B, B)-Doppelnebenklassen. Sei Ω = G/B. Einem Element w ∈ W ordnen wir nun eine Matrix S_{w}, deren Zeilen und Spalten durch die Elemente von Ω indiziert sind, wie folgt zu. Zu w ∈ W betrachten wir die Doppelnebenklasse BẇB. Dieser entspricht in natürlicher Weise eine Bahn O_{w} von G auf Ω × Ω. Die Matrix S_{w} ist nun diejenige (0, 1)-Matrix, die an Position (ω_{1}, ω_{2}) genau dann den Wert 1 hat, wenn (ω_{1}, ω_{2}) in O_{w} liegt. Identifizieren wir X mit der zugehörigen Matrixdarstellung bezüglich der Basis Ω, dann bilden die S_{w}, w ∈ W die Schurbasis oder Standardbasis von End_{ℤG}(X) (siehe [44, Theorem 2.1]). Wir setzen T_{w} = S_{w}^{t}. Da das Transponieren ein Automorphismus des ℤ-Gitters End_{ℤG}(X) ist, bildet {T_{w} | w ∈ W } wieder eine ℤ-Basis. Schreiben wir

T_{x}T_{y} = ∑_{z∈W} a_{xyz}T_{z},

dann ist nach [44, S. 21]

a_{xyz} = |Bx^{−1}Bz ∩ ByB : B|.

Damit können wir nun im vorliegenden Fall die Strukturkonstanten berechnen.

(i) Sei zuerst l(s_{α}w) > l(w). Wir suchen |Bs_{α}Bv ∩ BwB : B| für alle v ∈ W. Es ist Bs_{α}Bv∩BwB ⊆ (Bs_{α}vB∪BvB)∩BwB. Also ist Bs_{α}Bv∩BwB ≠ ∅ höchstens für v = w oder s_{α}v = w.

Sei zunächst v = w. Wegen l(s_{α}w) > l(w) ist Bs_{α}Bw ⊆ Bs_{α}wB, also Bs_{α}Bw ∩ BwB ⊆ Bs_{α}wB ∩ BwB = ∅. Also bleibt nur v = s_{α}w übrig. Wir haben

Bs_{α}Bs_{α}w ∩ BwB = (Bs_{α}Bs_{α})w ∩ BwB
⊆ (B ∪ Bs_{α}B)w ∩ BwB
= (Bw ∪ Bs_{α}Bw) ∩ BwB,

also hat Bs_{α}Bs_{α}w mit BwB nur eine Nebenklasse von B, nämlich Bw gemeinsam. Damit ist der Beweis für den Fall l(s_{α}w) > l(w) erbracht.

Als nächstes betrachten wir T_{s_{α}}T_{s_{α}} und haben dazu a_{s_{α}s_{α}v} = |Bs_{α}Bv ∩ Bs_{α}B : B| zu berechnen. Es ist Bs_{α}Bv ∩ Bs_{α}B ⊆ (Bs_{α}vB ∪ BvB) ∩ Bs_{α}B. Also ist a_{s_{α}s_{α}v} ≠ 0 höchstens für v = 1 oder v = s_{α}. Wir haben

a_{s_{α}s_{α}1} = |Bs_{α}B : B|
= |B : B ∩ B^{s_{α}}|
= |U : U ∩ U^{s_{α}}|
= |U : U′_{s_{α}}|
= |U_{s_{α}}|
= p_{α}.

Offensichtlich enthält Bs_{α}Bs_{α} genau p_{α} Nebenklassen von B, wovon B selbst eine ist. Wegen Bs_{α}Bs_{α} ⊆ B ∪ Bs_{α}B, ist also a_{s_{α}s_{α}s_{α}} = |Bs_{α}Bs_{α} ∩ Bs_{α}B : B| = p_{α} − 1 . Wir haben demnach

T_{s_{α}}T_{s_{α}} = p_{α}T_{1} + (p_{α} − 1)T_{s_{α}}.

Sei nun w ∈ W mit l(s_{α}w) < l(w). Dann ist l(w′) < l(w) = l(s_{α}w′) für w′ = s_{α}w, also

T_{s_{α}}T_{w} = T_{s_{α}}T_{s_{α}w′}
= T_{s_{α}}T_{s_{α}}T_{w′}
= p_{α}T_{w′} + (p_{α} − 1)T_{s_{α}}T_{w′}
= p_{α}T_{s_{α}w} + (p_{α} − 1)T_{w}.

(ii) Sei w ∈ W und s_{α} mit l(ws_{α}) > l(w). Wir beweisen durch Induktion über l(w) und mit Hilfe von Teil (i), daß T_{w}T_{s_{α}} = T_{ws_{α}} ist:

Für l(w) = 0 ist nichts zu beweisen. Sei also l(w) ≥ 1. Dann ist w = s_{β}w′ mit l(w′) < l(w) und l(w′s_{α}) > l(w′). Wir schließen

T_{w}T_{s_{α}} = T_{s_{β}w′}T_{s_{α}}
= T_{s_{β}}T_{w′}T_{s_{α}}
= T_{s_{β}}T_{w′s_{α}}
= T_{s_{β}w′s_{α}}
= T_{ws_{α}}.

Die Gleichung für den Fall l(ws_{α}) < l(w) wird analog zu (i) bewiesen.

Für den Rest des Abschnittes halten wir wieder ein ℓ-modulares System (K, R, k) fest.

Korollar 5.3.2 (Puig [74], Hiss [46], Fleischmann [31]): Sei ℓ eine Primzahl mit ℓ |̸ |W | und p_{α} ≡ 1(mod ℓ) für alle α ∈ Π. Dann sind die direkten Summanden X_{i} von Ind_{B}^{G}(R) irreduzible RG-Gitter (d.h. daß die X_{i}^{K} irreduzible KG-Moduln sind). Enthalten diese darüberhinaus ein Basissystem im Sinne von Kapitel 2, dann bleiben sie bei der Reduktion modulo ℓ irreduzibel.

Beweis: Nach Satz 5.1.2 (b), dessen Voraussetzungen nach Korollar 5.2.4 erfüllt sind, ist die Zerlegungsmatrix von X ein Teil der Zerlegungsmatrix von RG. Die Zerlegungsmatrix von X ist gleich der Zerlegungsmatrix von End_{RG}(X). Da p_{α} ≡ 1(mod ℓ) für alle α, ist nach Satz 5.3.1 End_{kG}(X̄) ≅ kW. Wegen ℓ |̸ |W | ist kW halbeinfach, d.h. die Cartanmatrix von End_{kG}(X̄) ist die Einheitsmatrix. Dann ist auch die Zerlegungsmatrix von End_{RG}(X) eine Einheitsmatrix.

Die Behauptung über die Irreduzibilität der X̄_{i} folgt aus Satz 5.1.2 (b). Die Voraussetzung, daß die Menge der X_{i}^{K} ein Basissystem enthält, impliziert nämlich, daß die in jenem Satz auftretende Matrix D′ die Nullmatrix ist.

Sei nun G = G(q) eine Chevalley-Gruppe über dem Körper 𝔽_{q}. Dann sind die Parameter aus Satz 5.3.1 alle gleich q. Sei θ ein kommutativer Ring mit 1. Wir definieren

H_{θ,q}(W) = End_{θG}(Ind_{B}^{G}(θ)).

Dabei wird der triviale θG-Modul mit θ bezeichnet. Die Algebra H_{θ,q}(W) heißt Hecke-Algebra über θ zur Weylgruppe W und zum Parameter q.

Wir benötigen noch den Begriff der generischen Hecke-Algebra zur Weylgruppe W (oder allgemeiner zur Coxeter-Gruppe W). Dies ist eine assoziative Algebra H_{X}(W) über θ = ℤ [X^{1/2}, X^{−1/2}], wobei X eine Unbestimmte ist. Die generische Hecke-Algebra besitzt eine ℤ -Basis {e_{w} | w ∈ W }, so daß die Multiplikationsformeln aus Satz 5.3.1 mit e_{w} statt T_{w} und X statt q erfüllt sind. Manche Autoren (z.B. Dipper und James) betrachten die generische Hecke-Algebra über dem Grundring ℤ [X, X^{−1}]. Lusztig hat einen kanonischen Isomorphismus zwischen H_{X}(W) ⊗ ℚ [X^{1/2}, X^{−1/2}] und ℚ [X^{1/2}, X^{−1/2}]W angegeben, der nicht ohne den Koeffizienten X^{1/2} auskommt. Da wir später diesen Isomorphismus anwenden wollen, ist die hier gewählte Definition für unsere Zwecke günstiger.

Unter der Voraussetzung q ≡ 1(mod ℓ) gilt insbesondere H_{k,q}(W) ≅ kW. Es ist wohlbekannt, daß stets H_{K,q}(W) ≅ KW ist. Wir werden später ein Beispiel sehen, wo zwar H_{k,q}(W) ≅ kW und H_{K,q}(W) ≅ KW ist, aber H_{R,q}(W) nicht zu RW isomorph ist. Unter der zusätzlichen Voraussetzung ℓ |̸ |W | gilt natürlich immer, daß H_{R,q}(W) ≅ RW ist. Dies folgt aus der Tatsache, daß dann sowohl H_{R,q}(W) als auch RW die Einheitsmatrix als Zerlegungsmatrix haben. Also sind beide Algebren isomorph zu einer Summe von vollen Matrixringen über R, ist doch in diesem Fall jeder Block ein Defekt Null Block. Aus der Tatsache, daß sie über K isomorph sind, folgt dann, daß sie schon über R isomorph sind.

TRIVIALE KOMPOSITIONSFAKTOREN IM STEINBERG-MODUL 63

An dieser Stelle sei erwähnt, daß Fleischmann in [31] ein Kriterium angegeben hat, wann ein gewöhnlicher irreduzibler Charakter der Hecke-Algebra H_{K,q}(W) in einem Block vom Defekt Null liegt. Dieses Kriterium benutzt die sogenannten generischen Grade der generischen Hecke-Algebra. Im Falle einer Chevalley-Gruppe G = G(q) kann aus Fleischmanns Satz das Ergebnis 5.3.2 gewonnen werden. Falls ℓ ein Teiler von |G : B| ist, ist ein Konstituent von Ind_{B}^{G}(K) genau dann vom ℓ-Defekt Null, wenn die korrespondierende K-Darstellung von H_{K,q}(W) in einem Block vom Defekt Null liegt. Im Falle, daß ℓ kein Teiler von |G : B| ist, können mit Hilfe von Fleischmanns Ergebnissen und Satz 5.1.2 weitere Erkenntnisse über die Zerlegungsmatrix von G gewonnen werden. Fleischmann gibt weiterhin ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür an, daß H_{k,q}(W) halbeinfach ist.

5.4 Die Anzahl der trivialen Kompositionsfaktoren im Steinberg-Modul

Sei weiterhin G eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar der Charakteristik p und sei ℓ eine Primzahl (die hier sogar gleich p sein kann). In diesem Abschnitt bestimmen wir die Vielfachheit des trivialen Moduls im Steinberg-Modul über einem Körper der Charakteristik ℓ. Als Beispiel bestimmen wir diese Vielfachheit für jede endliche Gruppe vom Lie-Typ, die von einer einfachen algebraischen Gruppe herkommt. Die Ergebnisse sind dann auch für die einfachen Varianten dieser Gruppen gültig.

Sei (K, R, k) ein ℓ-modulares System. Obwohl das Ergebnis vollständig innerhalb der Kategorie der kG-Moduln formuliert werden kann, benutzt der Beweis die Charakteristik 0 Theorie mittels Satz 5.1.2. Der Brauercharakter des Steinberg-Moduls in Charakteristik ℓ, so wie er von Steinberg in [88] eingeführt wurde, ist der Steinberg-Charakter, eingeschränkt auf die ℓ′-Klassen. Mit anderen Worten: Wir bestimmen die Zerlegungszahl d_{St,1} in jeder Charakteristik ℓ. Nach Brauers Reziprozitätsgesetz ist die Vielfachheit des trivialen Moduls im Steinberg-Modul gleich der Vielfachheit des Steinberg-Charakters in der projektiven Hülle des trivialen Moduls.

Das Problem, die modularen Konstituenten des Steinberg-Charakters zu finden, ergab sich aus der Frage nach den Zerlegungszahlen der G_{2}(q) [47]. Könnte man alle modularen Bestandteile des Steinberg-Charakters sowie deren Vielfachheiten bestimmen, dann könnte man auch die dort noch offenen Fragen lösen. Die Bestimmung der trivialen Konstituenten ist ein erster Schritt in diese Richtung. Allerdings kann hiermit keines der offenen Probleme aus [47] gelöst werden.

Die folgende Beobachtung ergibt sich aus der Betrachtung der Zerlegungszahlen von G_{2}(q) (siehe Anhang C): Der triviale Charakter kommt im Steinberg-Charakter modulo ℓ genau dann vor, wenn ℓ die Zahl q + 1 teilt. In diesem Falle ist seine Vielfachheit gleich 1. Das folgende Ergebnis zeigt, daß diese Aussage für alle Chevalley-Gruppen richtig ist. Es ist eine weitere Anwendung von Satz 5.1.2.

Wir behalten die Notation aus den vorstehenden Abschnitten bei. Ferner setzen wir [B] = ∑_{b∈B} b. Sei e das Steinberg-Element im ganzzahligen Gruppenring von G:

e = [B] ∑_{w∈W}(−1)^{l(w)}ẇ.

Ohne weitere Bemerkungen werden wir e als Element von θG für jeden Ring θ von Koeffizienten auffassen.

Der Steinberg-Modul von kG ist das Rechtsideal I = ekG. In [88] zeigt Steinberg, daß I die Dimension |U| hat, und daß I genau dann irreduzibel ist, wenn ℓ relativ prim zu |G : B| = ∑_{w∈W} p_{w} ist.

Mit d_{ℓ} bezeichnen wir die Vielfachheit des trivialen kG-Moduls als Kompositionsfaktor von I. Da I über dem Primkörper 𝔽_{ℓ} definiert ist, hängt d_{ℓ} nur von ℓ und nicht von der Größe von k ab. Wir werden deshalb im folgenden annehmen, daß (K, R, k) ein Zerfällungssystem für G ist. Wir können nun das erste Ergebnis dieses Abschnittes formulieren.

Satz 5.4.1 (Hiss, [48, Theorem A]): Sei G eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar. Mit den obigen Bezeichnungen gilt dann:

(a) d_{ℓ} ∈ {0, 1}.

(b) d_{ℓ} = 1 genau dann, wenn p_{α} ≡ −1(mod ℓ) ist, für alle α ∈ Π.

(c) Ist d_{ℓ} = 1, dann besteht der Sockel von I aus dem trivialen Modul.

Beweis: In Charakteristik p ist der Steinberg-Charakter vom Defekt Null, d.h. d_{p} = 0, und der Satz ist richtig für ℓ = p. Wir können also ℓ ≠ p annehmen.

(a) Es ist ⟨1_{U}^{G}, St⟩_{G} = ⟨1, St_{U}⟩_{U} = 1, weil St_{U} der reguläre Charakter von U ist. Auf der anderen Seite ist 1_{U}^{G} der Charakter eines projektiven Moduls, der die projektive Hülle des trivialen Moduls enthält. Hieraus folgt d_{ℓ} ≤ 1. (Dasselbe Argument kann natürlich auch für andere Konstituenten χ von 1_{U}^{G} angewendet werden, um die Schranke d_{χ,1} ≤ χ(1) zu erhalten.)

(b) Sei H = H_{R} = End_{RG}(Ind_{B}^{G}(R)) (wobei wir den trivialen RB-Modul mit R bezeichnet haben). Wir wollen Satz 5.1.2 anwenden. Dazu müssen wir diejenigen K-Darstellungen von H^{K} = End_{KG}(Ind_{B}^{G}(K)) bestimmen, die unter der Fitting-Korrespondenz dem Steinberg-Charakter und dem trivialen Charakter entsprechen. Nach [14, §§ 67A, 67B]) hat H zwei 1-dimensionale Darstellungen, nämlich:

ind : H → R (T_{w_{α}} ↦ p_{α})

und

sgn : H → R (T_{w_{α}} ↦ −1).

Dabei korrespondiert ind zum trivialen und sgn zum Steinberg-Charakter.

Nun ist d_{ℓ} genau dann gleich 1, wenn die Zerlegungsmatrix von RG eine Spalte wie folgt besitzt:

\begin{matrix}1_{G} & 1 \\ St & 1 \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}

Nach Satz 5.1.2 (b) ist dies genau dann der Fall, wenn die Zerlegungsmatrix von H eine Spalte wie folgt besitzt:

ind 1
sgn 1
⋮ ⋮

Weil sowohl ind als auch sgn 1-dimensional sind, ist dies genau dann der Fall, wenn ind und sgn modulo ℓ gleich sind. Dies beweist (b).

(c) Es gelte p_{α} ≡ −1(mod ℓ) für alle α ∈ Π. Dann sind die beiden k-Charaktere \overline{ind} und \overline{sign} von H ⊗_{R} k identisch und wir haben in k:

(−1)^{l(w)} = p_{w} = |U_{w}|, für alle w ∈ W.

Damit gilt nun in kG:

∑_{u∈U} eu = [B] ∑_{w∈W} ∑_{u∈U}(−1)^{l(w)}ẇu
= ∑_{w∈W} |U_{w}| ∑_{u′∈U_{w_{0}w}} ∑_{u′′∈U_{w}}[B]ẇu′ẇ^{−1}ẇu′′
= ∑_{w∈W} |U_{w}| ∑_{u′∈U_{w_{0}w}} ∑_{u′′∈U_{w}}[B]ẇu′′
= |U| ∑_{w∈W} ∑_{u∈U_{w}}[B]ẇu

Nach Theorem 4.10 und dessen Beweis in [90] ist der Sockel des Steinberg-Moduls einfach und wird von ∑_{u∈U} eu erzeugt. Auf der anderen Seite erzeugt nach der Bruhat-Zerlegung 5.4 das Element ∑_{w∈W} ∑_{u∈U_{w}}[B]ẇu den trivialen Modul. Das vorliegende Argument kann auch verwendet werden, um eine Richtung von Teil (b) zu zeigen.

Wir wenden nun Satz 5.4.1 auf die endlichen Gruppen vom Lie-Typ an.

Satz 5.4.2 (Hiss, [48, Theorem B]): Sei G = G(q) eine endliche Gruppe vom Lie-Typ, die von einer einfachen algebraischen Gruppe G herrührt.

Wird d_{ℓ} wie oben definiert, dann ist d_{ℓ} ∈ {0, 1}. Ist G eine Chevalley-Gruppe, dann ist d_{ℓ} genau dann gleich 1, wenn ℓ ein Teiler von q + 1 ist.

Ist G eine Steinberg-, eine Suzuki- oder Ree-Gruppe, dann ist d_{ℓ} = 0 außer für die Paare (G, ℓ) in der folgenden Liste.

G(q)  ℓ teilt
2A_{2}(q^{2})  q^{3} + 1
2A_{n}(q^{2}), n ≥ 3  ggT(2, q + 1)
2D_{n}(q^{2}), n ≥ 4  ggT(2, q + 1)
3D_{4}(q^{3})  q + 1
2E_{6}(q^{2})  ggT(2, q + 1)
2B_{2}(q^{2}), q^{2} = 2^{2m+1}  q^{4} + 1
2G_{2}(q^{2}), q^{2} = 3^{2m+1}  q^{6} + 1

Beweis: Nach Satz 5.4.1 müssen wir die Zahlen p_{α} für die verschiedenen Möglichkeiten von G(q) berechnen. Dies kann so geschehen, wie es Carter in [10, Section 2.9] vorgeführt hat. Ist G eine Chevalley-Gruppe, so sind alle p_{α} gleich q, womit der Satz in diesem Fall bewiesen ist. Die p_{α} für die übrigen Gruppen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.

G(q)  p_{α} Anzahl von p_{α}
2A_{2}(q^{2})  q^{3}  1
2A_{2m+1}(q^{2}), m ≥ 1 \begin{matrix}q \\ q^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}1 \\ m \end{matrix}

2A_{2m}(q^{2}), m ≥ 2  \begin{matrix}q^{3} \\ q^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}1 \\ m − 1 \end{matrix}

2D_{n}(q^{2}), n ≥ 4  \begin{matrix}q^{2} \\ q \end{matrix}  \begin{matrix}1 \\ n − 2 \end{matrix}

3D_{4}(q^{3})  \begin{matrix}q^{3} \\ q \end{matrix}  {1 \atop 1}

2E_{6}(q^{2})  \begin{matrix}q^{2} \\ q \end{matrix}  {2 \atop 2}
2B_{2}(q^{2}), q^{2} = 2^{2m+1} q^{4}  1
2G_{2}(q^{2}), q^{2} = 3^{2m+1} q^{6}  1
2F_{4}(q^{2}), q^{2} = 2^{2m+1}  \begin{matrix}q^{4} \\ q^{2} \end{matrix}  {1 \atop 1}

Damit ist der Beweis vollständig erbracht.

DIE HECKE-ALGEBRA ZUR WEYLGRUPPE D_{12} 67

Bemerkung 5.4.3 (a) In einer Ree-Gruppe vom Typ ^{2}F_{4} ist der triviale Charakter niemals ein Konstituent des Steinberg-Charakters. Die Ree-Grup-pen dieses Typs sind die einzigen einfachen Gruppen vom Lie-Typ mit dieser Eigenschaft.

(b) Sei ℓ = 2. Nach Fongs Lemma hat dann ein nichttrivialer, selbstdualer, irreduzibler kG-Modul eine gerade Dimension. Wenn p ungerade ist, hat der Steinberg-Charakter eine ungerade Dimension. Da er außerdem einen reellen Brauercharakter hat, muß er mindestens einen trivialen Konstituenten enthalten. Ist dagegen p = 2, dann ist der Steinberg-Charakter natürlich irreduzibel modulo 2. Dies ist eine andere Erklärung für die Tatsache, daß 2 immer in der obigen Liste auftaucht, wenn q ungerade ist.

(c) Das Ergebnis von Satz 5.4.2 war bekannt im Falle von ^{2}A_{2} durch die Untersuchungen von M. Geck in [39] und im Falle der Suzuki-Gruppen durch Burkhardt [7]. In diesen beiden Fällen kann es allerdings auch ebenso leicht aus der Tatsache abgeleitet werden, daß hier die Permutationsdarstellung auf den Nebenklassen der Boreluntergruppe zweifach transitiv ist.

5.5 Die Hecke-Algebra zur Weylgruppe D_{12}

Im letzten Abschnitt dieses Kapitels bestimmen wir an dem Beispiel der Weylgruppe W von G_{2} für jeden Ring R, wann die Hecke-Algebra H_{R,q}(W) isomorph zum Gruppenring RW ist. Die Weylgruppe von G_{2} ist eine Diedergruppe der Ordnung 12. Sie wird im folgenden mit D_{12} bezeichnet. Die Elemente von W sind im Anhang aufgelistet. Daraus kann man ohne Schwierigkeiten die reguläre Darstellung von H = H_{ℤ,q}(W) berechnen. Das Aufstellen der Matrizen für T_{a} und T_{b} wird dem Leser überlassen.

Mit Hilfe dieser beiden Matrizen können wir nun die Diskriminante von H berechnen. Diese ist definiert durch δ(H) = det[(Spur T_{v}T_{w})_{v,w∈W}]. Wir finden:

δ(H) = 2^{16} · 3^{6} · q^{20}(q + 1)^{8}(q^{4} + q^{2} + 1)^{6}.

Sei (K, R, k) ein ℓ-modulares System. Wir nehmen an, daß R eine Quadratwurzel \sqrt{q} von q enthält. Wir bestimmen nun diejenigen Tripel (p, q, ℓ), für die H_{R,q}(D_{12}) isomorph zu RD_{12} ist.

Satz 5.5.1 Genau in den folgenden Fällen ist H_{R,q}(D_{12}) ≅ RD_{12}:

(a) ℓ = 2 und 4 | q − 1.

(b) ℓ > 2 und ℓ | q − 1.

(c) ℓ |̸ |G_{2}(q)|.

Beweis: Die Diskriminante von RD_{12} ist 12^{12} = 2^{24} · 3^{12}. Ist H_{R,q}(D_{12}) ≅ RD_{12}, dann ist der Quotient der Diskriminanten

\frac{1}{2^{8} · 3^{6}} q^{20}(q + 1)^{8}(q^{4} + q^{2} + 1)^{6}

das Quadrat einer Einheit in R. Das zeigt sofort, daß die beiden Algebren höchstens in den angegebenen Fällen isomorph sein können. Den Beweis, daß sie in diesen Fällen auch tatsächlich isomorph sind, führen wir mit Hilfe von Lusztigs kanonischem Isomorphismus.

In [67] definiert Lusztig für jede endliche Weylgruppe W einen kanonischen Isomorphismus zwischen den Algebren H_{X}(W) ⊗ ℚ [X^{1/2}, X^{−1/2}] und ℚ [X^{1/2}, X^{−1/2}]W. Es ist nicht allzu schwierig, diesen Isomorphismus ϕ für den Fall W = D_{12} zu berechnen (siehe die Beispiele im Buch von Shi [84, Examples 2.2.5]). Für beliebige endliche Diedergruppen wurden diese Isomorphismen explizit auch in [27] angegeben. Wir finden:

ϕ(T_{a}) = \frac{1}{2}(X − 1) 1 + \frac{1}{2}(X + 1)w_{a} +

\frac{1}{3}(X^{1/2} − 1)^{2}(−w_{b} + w_{a}w_{b} − w_{b}w_{a} + w_{a}w_{b}w_{a}) +

\frac{1}{6}(X^{1/2} − 1)^{2}(−w_{b}w_{a}w_{b} + w_{a}w_{b}w_{a}w_{b} − w_{b}w_{a}w_{b}w_{a} + w_{a}w_{b}w_{a}w_{b}w_{a}).

Aus Symmetriegründen haben wir ebenso:

ϕ(T_{b}) = \frac{1}{2}(X − 1) 1 + \frac{1}{2}(X + 1)w_{b} +

\frac{1}{3}(X^{1/2} − 1)^{2}(−w_{a} + w_{b}w_{a} − w_{a}w_{b} + w_{b}w_{a}w_{b}) +

\frac{1}{6}(X^{1/2} − 1)^{2}(−w_{a}w_{b}w_{a} + w_{b}w_{a}w_{b}w_{a} − w_{a}w_{b}w_{a}w_{b} + w_{b}w_{a}w_{b}w_{a}w_{b}).

Daraus läßt sich ϕ vollständig bestimmen. Sei M_{ϕ} die Matrix von ϕ bezüglich der kanonischen Basen der beiden betrachteten Algebren. Für die Determinante von M_{ϕ} erhalten wir

det(M_{ϕ}) = \frac{1}{2^{4} · 3^{3}} X^{10}(X + 1)^{4}(X^{4} + X^{2} + 1)^{3},

und bemerken:

det(M_{ϕ}) = [\frac{δ(H_{X}(D_{12}))}{δ(RD_{12})}]^{1/2} .

Spezialisieren wir X^{1/2} zu \sqrt{q} oder −\sqrt{q}, dann erhalten wir einen Isomorphismus zwischen H_{K,q}(D_{12}) und KD_{12}.

Sei ℓ > 3 und ℓ | q − 1 oder ℓ |̸ |G_{2}(q)|. Dann liegt jeder Eintrag von M_{ϕ} nach Spezialisieren von X^{1/2} zu \sqrt{q} in R. Die Determinante von M_{ϕ} ist in R invertierbar. Also liefert ϕ einen Isomorphismus zwischen H_{R,q}(D_{12}) und RD_{12}.

Im Falle ℓ = 3 betrachten wir zunächst den Ring der ganzen Zahlen R_{0} von ℚ_{3}(\sqrt{q}). Wegen 3 | q − 1 folgt aus q − 1 = (\sqrt{q} − 1)(\sqrt{q} + 1), daß 3 in R_{0} ein Teiler von \sqrt{q} − 1 oder von \sqrt{q} + 1 ist. Im ersten Fall spezialisieren wir X^{1/2} zu \sqrt{q}, im zweiten Fall zu −\sqrt{q}. In jedem Fall liegen dann die Einträge von M_{ϕ} in R, det(M_{ϕ}) ist eine Einheit in R, und wir erhalten den gewünschten Isomorphismus.

Sei nun ℓ = 2 und 4 | q − 1. Dann ist M_{ϕ} wieder invertierbar in R. Auch liegt \frac{\sqrt{q}−1}{2} in R. Somit liegen wieder alle Einträge von M_{ϕ} nach Spezialisieren in R, und ϕ ist ein Isomorphismus über R.

Bemerkung 5.5.2 Im Falle ℓ = 2 und 4 | q + 1, sind H_{K,q}(D_{12}) und H_{k,q}(D_{12}) jeweils isomorph zu den Gruppenringen über den entsprechenden Körpern, aber H_{R,q}(D_{12}) ist nicht isomorph zu RD_{12}.

70 HECKE-ALGEBRA METHODEN

Spezielle Charakteristik

Beim Betrachten der bekannten Beispiele von Zerlegungsmatrizen endlicher Gruppen vom Lie-Typ in nicht-definierender Charakteristik fällt auf, daß die Zerlegungsmatrizen für gewisse Primzahlen ℓ eine besonders einfache Gestalt haben. So ist z.B. in speziellen Charakteristiken jeder irreduzible Brauercharakter liftbar.

Zur Beschreibung dieser Phänomene sei zunächst G = G(q) eine klassische Gruppe über dem endlichen Körper 𝔽_{q}. Sei ℓ eine Primzahl mit ℓ | q −1. Fong und Srinivasan haben bemerkt, daß dann jeder ℓ-Block eine Vereinigung von Harish-Chandra-Serien ist. Sie vermissen jedoch einen direkten Beweis, der ohne Fall-zu-Fall-Analyse auskommt. Gilt zusätzlich auch noch, daß ℓ nicht die Ordnung der Weylgruppe teilt, dann soll ℓ hier streng linear heißen. (Die allgemeinen Definitionen folgen.) Für streng lineare Primzahlen können die Zerlegungsmatrizen ausgerechnet werden.

Als erstem ist dies L. Puig in einem Spezialfall gelungen [74]: Er konnte die Quellen-Algebren für Blöcke mit maximalem Defekt in streng linearer Charakteristik ausrechnen. Später verallgemeinerte er seine Resultate auch auf Blöcke mit nicht-maximalem Defekt [76]. Bekanntlich enthalten die Quellen-Algebren alle blocktheoretische Information, insbesondere die Zerlegungszahlen (siehe [75]).

Unabhängig von Puig entdeckte ich etwas später einen anderen Zugang zu den Zerlegungszahlen von Blöcken in streng linearer Charakteristik. Zwar erhalte ich nicht alle Folgerungen, die die Kenntnis der Quellen-Algebra nach sich zieht. Dafür macht die relative Bescheidenheit der verwendeten Hilfsmittel meine Ergebnisse allgemeiner zugänglich.

Ich wähle hier einen axiomatischen Aufbau. Zunächst werden streng lineare Primzahlen für Gruppen mit zerfallendem BN-Paar eingeführt. Mit Hilfe eines Induktionsarguments werden dann sämtliche Blöcke für diese Primzahlen bestimmt. Es zeigt sich, daß jeder solche Block die Vereinigung von Harish-Chandra-Serien ist. Die Blockeinteilung für streng lineare Primzahlen kann auch aus Schewes Dissertation [78, Theorem 5.1] abgeleitet werden. Ebenso erlauben Puigs Ergebnisse die Bestimmung der Blöcke.

Der zweite Abschnitt behandelt dann Blöcke, wie sie für streng lineare Primzahlen auftreten. Es werden insbesondere die Zerlegungsmatrizen bestimmt. Dazu wird Green-Korrespondenz verwendet. Als weiteres Ergebnis erhält man die Green-Korrespondenten der einfachen Moduln.

Im dritten Abschnitt schließlich werden die Ergebnisse auf endliche Gruppen vom Lie-Typ angewandt. Diese Anwendungen ergeben sich im wesentlichen daraus, daß die streng linearen Primzahlen für solche Gruppen bestimmt werden. Weiterhin werden Brauers Höhenvermutung und Alperins Gewichtsvermutung in dieser speziellen Situation bewiesen.

6.1 Lineare Primzahlen für Gruppen mit BN-Paar

In diesem Abschnitt sei G = (G, B, N, U, H, W) eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar der Charakteristik p. Für die verwendeten Bezeichnungen siehe Abschnitt 5.3 sowie das Buch von Carter, [10, Section 1.10, und Chapter 2].

Definition 6.1.1 Eine Primzahl ℓ heißt linear für G, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

(1) Für alle J ⊆ I und D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L_{J})) ist C_{G}(D) = L_{J}.

(2) Für alle J ⊆ I und und alle ℓ-Untergruppen D ≤ H ist C_{L_{J}} (D) in N_{J} konjugiert zu L_{J′} für ein J′ ⊆ J.

Gilt zusätzlich ℓ |̸ |W |, dann heißt ℓ streng linear für G.

Der hier verwendete Begriff der linearen Primzahl ist ein Spezialfall des von Fong und Srinivasan in [36, S. 142] eingeführten.

Lemma 6.1.2 Die Bedingung (2) ist äquivalent zu

(2′) Für alle J ⊆ I und alle ℓ-Elemente t ∈ H ist C_{L_{J}} (t) in N_{J} konjugiert zu L_{J′} für ein J′ ⊆ J.

Beweis: Sei D ≤ H eine ℓ-Gruppe. Es gelte (2′). Wir beweisen (2) durch Induktion über den ℓ-Rang rank_{ℓ}(D) von D. Ist rank_{ℓ}(D) = 0, dann ist nichts zu beweisen. Sei also rank_{ℓ}(D) ≥ 1. Dann ist D = D_{1} × ⟨t⟩, mit rank_{ℓ}(D_{1}) < rank_{ℓ}(D). Wir haben dann:

C_{L_{J}} (⟨t⟩ × D_{1}) = C_{L_{J}} (t) ∩ C_{L_{J}} (D_{1})
= [C_{L_{J}} (^{n}t) ∩ C_{L_{J}} (^{n}D_{1})]^{n}
= [L_{J′} ∩ C_{L_{J}} (^{n}D_{1})]^{n}
= [C_{L_{J′}}(^{n}D_{1})]^{n}
= L_{J′′}^{mn}.

Dabei ist n ∈ N_{J} und m ∈ N_{J′}, also mn ∈ N_{J}.

LINEARE PRIMZAHLEN FÜR GRUPPEN MIT BN-PAAR 73

Wir vermerken als nächstes, daß sich die Bedingungen (1)–(3) auf Standard-Levi-Untergruppen von G vererben.

Lemma 6.1.3 Sei L = L_{M} eine Standard-Levi-Untergruppe von G, und ℓ eine lineare Primzahl für G. Dann ist ℓ auch linear für L. Eine analoge Aussage gilt auch für streng lineare Primzahlen.

Beweis: Hier gibt es nichts zu beweisen.

Wir werden im übernächsten Abschnitt sehen, welche Primzahlen für endliche reduktive Gruppen streng linear sind. Bevor wir fortfahren, stellen wir nun die erste Grundvoraussetzung heraus, die für den Rest dieses Abschnittes gelten soll.

Voraussetzung 6.1.4 Sei G eine Gruppe mit zerfallendem BN-Paar der Charakteristik p. Wir halten eine Teilmenge J ⊆ I und eine Primzahl ℓ ≠ p fest. Sei (K, R, k) ein ℓ-modulares Zerfällungssystem für G.

(a) Sei P = P_{J} = V_{J}L_{J} = V L eine parabolische Standard-Untergruppe von G. Dabei bezeichne V das unipotente Radikal und L die Standard-Levi-Untergruppe von P.

(b) Sei D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L)) mit C_{G}(D) = L.

Lemma 6.1.5 Es ist N_{P} (D) = L und N_{G}(D) = N_{G}(L).

Beweis: Sei x ∈ N_{P} (D) und t ∈ D. Wir schreiben x = sv, mit s ∈ L = C_{G}(D) und v ∈ V. Dann haben wir [sv, t] = [v, t] ∈ D ∩ V = 1, also x ∈ C_{G}(D) = L.

Da D charakteristisch in L ist, ist N_{G}(L) ≤ N_{G}(D). Andererseits ist L = C_{G}(D) ⊲ N_{G}(D), d.h. N_{G}(D) ≤ N_{G}(L).

Sei θ ∈ {K, R, k}. Die Inflation eines θL-Moduls X auf P werde im folgenden mit X̃ bezeichnet. Eine analoge Bezeichnung verwenden wir für Charaktere.

Lemma 6.1.6 Sei θ ∈ {R, k}. Es bezeichne f, g die Green-Korrespondenz bezüglich (θ, P, D, L = N_{P} (D)). Damit gilt:

(a) Ist Y ein unzerlegbarer θL-Modul mit vtx(Y) = D, dann ist g(Y) = Ỹ.

(b) Ist X ein unzerlegbarer θP -Modul mit vtx(X) = D, dann ist X = Ỹ mit einem geeigneten θL-Modul Y, und es gilt f(X) = Y.

Beweis:

(a) Sei Y ein unzerlegbarer θL-Modul mit vtx(Y) = D. Wegen Res_{L}^{P}(Ỹ) = Y, hat auch Ỹ den Vertex D (siehe Landrock, [62, Theorem II 3.10]). Damit ist f(Ỹ) = Y und g(Y) = g(f(Ỹ)) = Ỹ.

(b) Sei nun X ein unzerlegbarer θP -Modul mit vtx(X) = D. Dann ist Y = f(X) ein unzerlegbarer θL-Modul mit Vertex D und es gilt nach Teil (a): X = g(f(X)) = g(Y) = Ỹ.

Lemma 6.1.7 Sei D die Defektgruppe eines ℓ-Blockes A von G. Sei X ein unzerlegbares RG-Gitter in A mit vtx(X) = D. Der Charakter von X sei χ. Dann existiert ψ ∈ Irr(L) mit folgenden Eigenschaften:

(a) ψ liegt in einem Block a mit Defektgruppe D; a ist eine Wurzel von A.

(b) χ ist ein Konstituent von ψ̃^{G}.

Beweis: Sei b der Brauer-Korrespondent von A in N_{G}(D). Ist Z der Green-Korrespondent von X in N_{G}(D) = N_{G}(L), dann liegt Z in b und es ist vtx(Z) = D (siehe [43, Corollary to Conlon’s Theorem]). Sei Y ein unzerlegbarer direkter Summand von Res_{L}^{N_{G}(L)}(Z) mit Vertex D. Ein solcher existiert immer (siehe Landrock, [62, Theorem II 3.3(iii)]). Der Charakter von Y liege in einem Block a. Da a von b überlagert wird, ist a eine Wurzel von A in C_{G}(D).

Nach Konstruktion ist Y | Res_{L}^{G}(X) und nach Lemma 6.1.5 ist N_{P} (D) = L. Nach einem Satz von Burry [8, Theorem 1.1] existiert nun ein unzerlegbarer direkter Summand Y_{0} | Res_{P}^{G}(X) mit vtx(Y_{0}) = D und f(Y_{0}) = Y, wobei f die Green-Korrespondenz bezüglich (R, P, D, L = N_{P} (D)) bezeichnet. Aus Lemma 6.1.6 folgt nun Y_{0} = Ỹ.

Sei ψ ein irreduzibler Konstituent des Charakters von Y. Dann ist ψ̃ ein Konstituent des Charakters von Ỹ = Y_{0}. Das heißt aber 0 ≠ ⟨ψ̃, χ_{P} ⟩_{P} = ⟨ψ̃^{G}, χ⟩_{G}. Damit ist das Lemma bewiesen.

Lemma 6.1.8 Sei ψ ein irreduzibler kuspidaler Charakter von L, der in einem Block mit Defektgruppe D liegt. Es sei weiter χ ∈ Irr(G) ein Konstituent von ψ̃^{G}. Die Defektgruppe des ℓ-Blockes, der χ enthält, sei D_{0} (D_{0} = 1 ist zugelassen). Dann ist entweder G = L oder D_{0} ≰ Z(G).

Beweis: Wir nehmen an, daß G ≠ L ist, und daß D_{0} in Z(G) liegt. Dann ist D_{0} ≤ Z(L) ≤ P.

Sei X ein RG-Gitter mit Charakter χ. Da ψ̃ ein Konstituent von χ_{P} ist, existiert ein unzerlegbarer direkter Summand Z von Res_{P}^{G}(X) mit ch(Z) = ζ, so daß gilt: ⟨ψ̃, ζ⟩_{P} ≠ 0. Da Z unzerlegbar ist, liegt Z, und damit auch alle Konstituenten von ζ, in demjenigen Block ã von P, der auch ψ̃ enthält. Da V ein ℓ′-Normalteiler von P ist, ist jeder Modul aus ã die Inflation eines Moduls von L, der mit ψ in einem Block a von L liegt. (siehe Feit, [28, Lemma V 4.3]). Also ist ζ = ξ̃, wobei jeder Konstituent von ξ in a liegt.

Nun liegt χ, und damit auch X, in einem Block von G mit Defektgruppe D_{0}. Damit ist vtx(X) ≤ D_{0}. Dann gilt aber auch vtx(Z) ≤ D_{0} (siehe Landrock, [62, Theorem II 3.3(i)]). Wegen D_{0} ≤ Z(G) ist kein Element t ∈ D \ D_{0} zu einem Element aus D_{0} konjugiert. Aus einem bekannten Ergebnis über Vertizes (siehe Landrock, [62, Proposition II 3.6]) folgt nun ζ(t) = ξ(t) = 0 für alle t ∈ D \ D_{0}.

Da D eine zentrale Defektgruppe von a ist, können die Charaktere von a leicht beschrieben werden (siehe Feit, [28, Theorem V 4.7]). Sei zuerst ψ der kanonische Charakter von a und t ∈ D \ D_{0}. Dann ist ψ(t) = ψ(1). Wegen ξ(t) = 0 existieren weitere, von ψ verschiedene Konstituenten von ξ. Sei ξ_{0} ein solcher. Da ψ der kanonische Charakter in a ist, ist ξ_{0} nicht zu ψ konjugiert in N_{G}(L). Da ξ̃_{0} ein Konstituent von ξ̃ = ζ ist, haben wir ⟨χ, ξ̃_{0}^{G}⟩_{G} ≠ 0. Dies widerspricht der Theorie von Harish-Chandra (vgl. den Beweis von Proposition 5.2.4).

Sei nun ψ_{0} der kanonische Charakter von a und ψ ≠ ψ_{0}. Immer noch gilt ψ̆ = ψ̆_{0}, wenn ψ̆ die Einschränkung von ψ auf die ℓ′-Klassen von L bezeichnet. Dann gilt aber auch (ψ̃^{G})˘ = (ψ̃_{0}^{G})˘ . Es folgt, daß ψ̃_{0}^{G} einen gewöhnlichen irreduziblen Konstituenten χ_{0} besitzt, der im gleichen Block wie χ liegt. Wie oben erhalten wir nun einen Widerspruch mit dem Paar (ψ_{0}, χ_{0}). Damit ist das Lemma bewiesen.

Lemma 6.1.9 Es sei ℓ eine streng lineare Primzahl für G. Weiter nehmen wir an, daß N_{G}(H) = N ist. Dann ist eine ℓ-Sylowgruppe S von H auch eine ℓ-Sylowgruppe von G. Für jede Standard-Levi-Untergruppe L = L_{J} ist N_{G}(L) = N_{N}(L)L.

Beweis: Die Nummern (n) in den folgenden Ausführungen beziehen sich auf die entsprechenden Nummern in Definition 6.1.1. Nach (1) ist C_{G}(S) = H, und nach Voraussetzung ist N_{G}(H) = N. Aus Lemma 6.1.5 folgt daraus N_{G}(S) = N. Wegen ℓ |̸ |W | ist nun S ∈ Syl_{ℓ}(N) = Syl_{ℓ}(N_{G}(S)). Also ist S ∈ Syl_{ℓ}(G).

Der zweite Teil des Lemmas folgt aus dem Frattiniargument: Sei x ∈ N_{G}(L). Da S, und damit auch S^{x} ℓ-Sylowgruppen von L sind, existiert z ∈ L mit S^{xz} = S. Damit ist xz ∈ N_{G}(S) ∩ N_{G}(L) = N_{N}(L).

Wir können nun das Hauptergebnis dieses Abschnittes beweisen. Es zeigt, daß für streng lineare Primzahlen ℓ die Einteilung in ℓ-Blöcke mit der Einteilung in Harish-Chandra-Serien verträglich ist. Für die Menge der Standard-Levi-Untergruppen von G schreiben wir L. Für L_{J} ∈ L setzen wir M_{J} = N_{G}(L_{J}).

Satz 6.1.10 Sei G eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar und ℓ eine streng lineare Primzahl für G. Zusätzlich sei N_{G}(H) = N erfüllt. Dann gilt:

(a) Ist D Defektgruppe eines ℓ-Blocks, dann ist D zu einer Untergruppe von H konjugiert.

(b) Ist D ≤ H Defektgruppe eines ℓ-Blocks, dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L_{J})) für ein L ∈ L, und C_{G}(D) = L.

(c) Ist L = L_{J} ∈ L und D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L_{J})), dann ist D genau dann Defektgruppe eines ℓ-Blocks, wenn L_{J} kuspidale Charaktere enthält. Sei A = A_{J} die Summe der ℓ-Blöcke mit Defektgruppe D. Dann sind die gewöhnlichen Charaktere in A genau die Charaktere der J-Serie. Insbesondere gilt für J = I: Die Blöcke mit Defektgruppe D ∈ Syl_{ℓ}(Z(G)) enthalten genau die kuspidalen Charaktere. Ist ℓ kein Teiler von |Z(G)|, dann sind die kuspidalen Charaktere genau die Defekt Null Charaktere.

(d) Sei A = A_{J} wie oben. Dann permutiert M = M_{J} = N_{G}(L_{J}) die kuspidalen Charaktere von L. Die Blöcke in A stehen in Bijektion zu den M-Bahnen auf den kuspidalen Charakteren von L, die D im Kern haben. Sei O_{0} eine solche Bahn, ψ_{0} ein Repräsentant daraus und a_{0} der Block, der ψ_{0} enthält. Ist A_{0} der zu O_{0} korrespondierende Block in A, dann ist

A_{0} = ⋃_{ϑ∈Irr(a_{0})} E(G, (J, ϑ)).

Beweis: Der Beweis erfolgt über den Rang von G. Ist dieser gleich 0, dann ist G eine abelsche p′-Gruppe, und alle Aussagen sind trivialerweise erfüllt. Weiter ist zu beachten, daß sich die Voraussetzungen auf jede Standard-Levi-Untergruppe vererben (Lemma 6.1.3).

(a) Dies ist klar, da H nach Lemma 6.1.9 eine ℓ-Sylowgruppe von G enthält.

(b) Sei D ≤ S ≤ H Defektgruppe eines ℓ-Blocks. Die Nummern in den folgenden Ausführungen beziehen sich wieder auf die entsprechenden Nummern in Definition 6.1.1. Nach (2) können wir C_{G}(D) = L_{J} = L ∈ L annehmen. Insbesondere ist D ≤ Z(L). Da D auch Defektgruppe für einen Block von L ist, muß D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L)) sein. Nach (1) ist C_{G}(D) = L.

(c) Sei zuerst L = L_{J} ≠ G, d.h. J ≠ I. Sei D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L)). Da L = C_{G}(D) eine ℓ-Sylowgruppe von G enthält, ist N_{G}(D)/C_{G}(D) eine ℓ′-Gruppe. Nach Brauers erweitertem 1. Hauptsatz hat G genau dann Blöcke mit Defektgruppe D, wenn L solche hat. Nach Induktionsvoraussetzung ist dies genau dann der Fall, wenn L kuspidale Charaktere enthält.

Wir setzen nun voraus, daß L kuspidale Charaktere enthält. Nach Induktionsvoraussetzung liegen alle diese in ℓ-Blöcken mit Defektgruppe D. Sei A die Vereinigung der Blöcke von G mit Defektgruppe D und χ ∈ Irr(A). Da D abelsch ist, hat nach einem Satz von Knörr (siehe Landrock, [62, Corollary III 9.7]) jedes RG-Gitter X mit Charakter χ den Vertex D. Nach Lemma 6.1.7 liegt χ in der J-Serie. Sei nun ϑ ein beliebiger Charakter der J-Serie. Sei D_{0} die Defektgruppe des Blockes, der ϑ enthält. Nach Teil (b) ist D_{0} ∈ Syl_{ℓ}(Z(L_{0})) für ein L_{0} = L_{J_{0}} ∈ L. Nach Lemma 6.1.8 ist D_{0} ≰ Z(G), d.h. L_{0} = C_{G}(D_{0}) ≠ G. Aus der Induktionsvoraussetzung, auf L_{0} angewandt, und Lemma 6.1.7 folgt nun, daß ϑ in der J_{0}-Serie liegt. Dann ist aber J_{0} zu J assoziiert, d.h. L_{0} zu L konjugiert. Folglich ist D_{0} zu D konjugiert, also liegt ϑ in A.

Für jedes L_{J} ∈ L mit L_{J} ≠ G bilden die Charaktere der J-Serie gerade die Summe der Blöcke mit Defektgruppe D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L_{J})). Jede J-Serie ist somit eine Vereinigung von ℓ-Blöcken, falls J ≠ I ist. Dann bilden aber auch die kuspidalen Charaktere eine Vereinigung von ℓ-Blöcken. Nach dem bereits bewiesenen ist deren Defektgruppe die ℓ-Sylowgruppe des Zentrums von G.

(d) Sei L = L_{J} ∈ L, J ≠ I. Sei D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L)). Die Blöcke mit Defektgruppe D stehen in Bijektion zu N_{G}(L)-Bahnen von Blöcken von L mit Defektgruppe D. Die Blöcke von L mit Defektgruppe D bestehen gerade aus den kuspidalen Charakteren. Sie werden bestimmt durch ihren kanonischen Charakter.

Sei nun A_{0} ein Block in A und χ ∈ Irr(A_{0}). Nach Lemma 6.1.7 (a) ist ⟨ψ̃^{G}, χ⟩ ≠ 0, wobei ψ in einer Wurzel von A_{0} liegt. Diese bilden eine Bahn O_{0} unter N_{G}(L). Sind zwei Charaktere aus O_{0} unter N_{N}(L)L konjugiert, dann liefert deren Harish-Chandra–Induktion denselben Charakter ([10, Proposition 9.1.5]). Nach Lemma 6.1.9 ist aber N_{G}(L) = N_{N}(L)L. Damit ist auch der letzte Teil des Satzes bewiesen.

6.2 Blöcke in streng linearer Charakteristik

Wir wollen nun solche ℓ-Blöcke von G untersuchen, die in Satz 6.1.10 vorkommen. Dazu erweitern wir zunächst Voraussetzung 6.1.4.

Voraussetzung 6.2.1 Es gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen aus 6.1.4. Wir setzen M = N_{G}(L). Weiter setzen wir voraus, daß N_{G}(L) = N_{N}(L)L ist. Für ψ ∈ Irr(L) schreiben wir M_{ψ} = {x ∈ M | ψ^{x} = ψ} für die Trägheitsgruppe von ψ in M. Wir setzen W_{ψ} = M_{ψ}/L. Es sei a ein ℓ-Block von L mit Defektgruppe D, der die folgenden beiden Bedingungen erfülle:

(a) Jeder irreduzible Charakter aus a ist kuspidal.

(b) Jeder irreduzible Charakter ψ aus a ist auf M_{ψ} fortsetzbar.

Wir bemerken, daß wegen N_{G}(L) = N_{N}(L)L für ψ ∈ Irr(a) die Verzweigungsgruppe W^{J,ψ} gleich M_{ψ}/L ist (siehe Carter [10, Proposition 9.2.4]). Puig beweist die Ergebnisse von [74, 76] unter den Voraussetzungen 6.2.1. Deshalb können die Ergebnisse dieses Abschnittes auch aus seinen Sätzen gewonnen werden. Hier kommen wir jedoch mit wesentlich klassischeren Methoden aus. Dafür erhält Puig zusätzliche Informationen, etwa über die verallgemeinerten Zerlegungszahlen.

Definition 6.2.2 Es gelte die Voraussetzung 6.2.1. Sei ψ der kanonische Charakter von a. Dann setzen wir

E_{ℓ}(G, (J, ψ)) = ⋃_{ϑ∈Irr(a)} E(G, (J, ϑ)).

Lemma 6.2.3 Die Voraussetzungen 6.2.1 seien erfüllt. Es sei ψ ∈ Irr(a) und Z ein irreduzibles RL-Gitter mit Charakter ψ. Dann ist vtx(Z) = D. Sei zusätzlich eine der beiden folgenden Voraussetzungen erfüllt:

(a) ψ(1) = 1, M_{ψ} ⊲ M und |M : M_{ψ}| ist ℓ-Potenz.

(b) ℓ |̸ |W_{ψ}|.

Dann gilt:

Ind_{L}^{M}(Z) = ⨁_{φ∈IBr(W_{ψ})} φ(1) Y_{φ,ψ}.  (6.1)

Die Y_{φ,ψ} sind nicht isomorph für verschiedene φ. (Die Schreibweise n X bezeichnet die direkte Summe von n Kopien des Moduls X.) Weiter gilt: vtx(Y_{φ,ψ}) = D, und rank_{R}(Y_{φ,ψ})_{ℓ} = |M : D|_{ℓ} für alle φ. Im Falle (b) sind die Charaktere der Y_{φ,ψ} irreduzibel.

Beweis: Da ψ in einem Block mit zentraler Defektgruppe liegt, hat ψ die Höhe Null, woraus vtx(Z) = D folgt. Sei Z′ eine Fortsetzung von Z auf M_{ψ}. Wir haben dann:

Ind_{L}^{M_{ψ}}(Z) = Z′ ⊗_{R} Ind_{L}^{M_{ψ}}(R)
= ⨁_{φ∈IBr(W_{ψ})} φ(1) (Z′ ⊗_{R} Y′_{φ,ψ}),

wobei R wie üblich den trivialen Modul über R bezeichnet, und Y′_{φ,ψ} das projektiv unzerlegbare RW_{ψ}-Gitter, welches zum Brauercharakter φ gehört.

Im Falle (a) ist Z′⊗_{R}Y′_{φ,ψ} unzerlegbar, weil Z′ den Rang 1 hat. Im Falle (b) folgt dies aus dem Satz von Clifford der gewöhnlichen Charaktertheorie. Wir setzen

Y_{φ,ψ} = Ind_{M_{ψ}}^{M}(Z′ ⊗ Y′_{φ,ψ}).  (6.2)

Im Falle (a) ist Y_{φ,ψ} nach dem Satz von Green unzerlegbar, im Falle (b) wieder nach dem Satz von Clifford. Dieser zeigt darüberhinaus, daß die Y_{φ,ψ} irreduzible Charaktere haben.

Aus der Konstruktion folgt sofort rank_{R}(Y_{φ,ψ})_{ℓ} = |M : D|_{ℓ}. Da jedes Y_{φ,ψ} einen Vertex in D hat, ist vtx(Y_{φ,ψ}) = D.

Lemma 6.2.4 Die Voraussetzungen 6.2.1 seien erfüllt. Die übrige Notation sei wie in Lemma 6.2.3. Wir setzen Z̃ = Infl_{L}^{P}(Z). Dann ist vtx(Z̃) = D und es gilt:

Ind_{P}^{G}(Z̃) = [ ⨁_{φ∈IBr(W_{ψ})} φ(1) X_{φ,ψ}] ⊕ Y  (6.3)

mit vtx(X_{φ,ψ}) = D für alle φ, und vtx(Y_{i}) ≠ D für alle direkten Summanden Y_{i} von Y. Weiter ist X_{φ,ψ} der Green-Korrespondent von Y_{φ,ψ} bezüglich (R, G, D, N_{G}(D) = M).

Beweis: Nach Lemma 6.1.5 ist N_{G}(D) = M und N_{P} (D) = L. Nach Lemma 6.1.6 ist vtx(Z̃) = D. Wir verwenden nun einen Satz von Burry (siehe [8, Theorem 4.2 (1)]). Danach induziert die Green-Korrespondenz eine vielfachheitserhaltende Bijektion zwischen den direkten Summanden von Ind_{P}^{G}(Z̃) mit Vertex D, und denen von Ind_{N_{P} (D)}^{N_{G}(D)}(Res_{N_{P} (D)}^{P}(Z̃)) = Ind_{L}^{M}(Res_{L}^{P}(Z̃)) = Ind_{L}^{M}(Z) mit Vertex D. Die letzteren haben wir bereits in Lemma 6.2.3 bestimmt.

Lemma 6.2.5 Es gelten die Voraussetzungen von Lemma 6.2.3 (b). Dann ist Y = 0 in Lemma 6.2.4, d.h.

Ind_{P}^{G}(Z̃) = ⨁_{φ∈Irr(W_{ψ})} φ(1) X_{φ,ψ}.  (6.4)

Die X_{φ,ψ} sind irreduzible RG-Gitter.

Beweis: Da ℓ |̸ |W_{ψ}|, ist IBr(W_{ψ}) = Irr(W_{ψ}). Aus (6.3) folgt nun:

⟨ψ̃^{G}, ψ̃^{G}⟩ = rank_{R}(End_{RG}(Ind_{P}^{G}(Z̃)))
≥ ∑_{φ∈Irr(W_{ψ})} φ(1)^{2} + rank(End(Y))
≥ |W_{ψ}| = |W^{J,ψ}| = ⟨ψ̃^{G}, ψ̃^{G}⟩.

Die letzte Gleichung ergibt sich aus Carter, [10, Proposition 9.2.4]. Es folgt, daß überall Gleichheit gilt. Insbesondere ist rank(End(X_{φ,ψ})) = 1, d.h. X_{φ,ψ} ist irreduzibel.

Lemma 6.2.6 Es gelte Voraussetzung 6.2.1. Sei ψ der kanonische und ψ_{1} irgendein irreduzibler Charakter von a. Dann ist M_{ψ_{1}} ≤ M_{ψ}.

Beweis: Nach [28, Theorem V 4.7] ist ψ_{1}(xy) = ψ(x)ζ_{1}(y), wobei xy = yx, y ein ℓ-Element in D ist, x ein ℓ′-Element in L und ζ_{1} ein irreduzibler Charakter von D. Daraus folgt offensichtlich M_{ψ_{1}} ≤ M_{ψ}.

Korollar 6.2.7 Sei ψ der kanonische Charakter von a. Es gelte die Voraussetzung von Lemma 6.2.5. Dann ist A = E_{ℓ}(G, (J, ψ)) ein ℓ-Block mit Wurzel a.

Beweis: Weil |N_{M}(a)/L| = |W_{ψ}| nicht von ℓ geteilt wird, ist b = a^{M} ein Block von M mit Defektgruppe D. Sei A = b^{G} der Brauer-Korrespondent von b. Dann ist A = E_{ℓ}(G, (J, ψ)):

Sei χ ∈ Irr(A). Nach dem Satz von Knörr und Lemma 6.1.7 ist χ ein Konstituent von ψ̃_{1}^{G}, wobei ψ_{1} in einer Wurzel von A liegt. Da diese unter M konjugiert sind, können wir ψ_{1} in a hineinkonjugieren. Konjugation mit M = N_{N}(L)L führt kuspidale Charaktere in kuspidale (siehe [10, Lemma 9.1.4]). Deshalb liegt χ in E_{ℓ}(G, (J, ψ)).

Sei umgekehrt χ ∈ E_{ℓ}(G, (J, ψ)), etwa ⟨χ, ψ̃_{1}^{G}⟩_{G} ≠ 0. Nach Lemma 6.2.6 ist W_{ψ_{1}} ≤ W_{ψ}, d.h. die Voraussetzungen von Lemma 6.2.3 (b) sind auch für ψ_{1} erfüllt. Nach Lemma 6.2.5 ist χ der Charakter eines RG-Gitters der Form X_{ϑ,ψ_{1}}, wobei ϑ ein irreduzibler Charakter von W_{ψ_{1}} ist. Bezeichnet g die Green-Korrespondenz bezüglich (R, G, D, M = N_{G}(D)), dann ist X_{ϑ,ψ_{1}} = g(Y_{ϑ,ψ_{1}}). Da Y_{ϑ,ψ_{1}} in b liegt, ist X_{ϑ,ψ_{1}} in A (siehe [43, Corollary to Conlon’s Theorem]). Damit ist das Korollar bewiesen.

Dieses Korollar erlaubt offensichtlich einen anderen Beweis für Satz 6.1.10. Sein Vorteil gegenüber jenem Satz besteht darin, daß hier ℓ nicht unbedingt eine streng lineare Primzahl für G zu sein braucht. Es genügt, wenn ℓ streng linear für L ist. Im nachfolgenden Satz werden die irreduziblen Brauercharaktere von E_{ℓ}(G, (J, ψ)) in dieser Situation bestimmt.

Satz 6.2.8 Es gelten die Voraussetzungen von Lemma 6.2.3 (b). Es sei ψ der kanonische Charakter von a. Dann bilden die Charaktere in E(G, (J, ψ)) ein Basissystem von A = E_{ℓ}(G, (J, ψ)). Sie bleiben bei der Reduktion modulo ℓ irreduzibel. Die kG-Moduln X̄_{φ,ψ}, φ ∈ Irr(W_{ψ}), sind genau die einfachen Moduln in A. Der Green-Korrespondent von X̄_{φ,ψ} ist der einfache kM/D-Modul Ȳ_{φ,ψ}, wobei Y_{φ,ψ} durch (6.2) definiert ist.

Beweis: Da D unter N_{G}(L) = M invariant bleibt, ist ψ^{x} für x ∈ M entweder gleich ψ, oder liegt in einem anderen ℓ-Block. Bezeichnet Φ_{ψ} den PIM zu ψ, dann sind die Voraussetzungen von 5.2.4 für das Paar (ψ, Φ_{ψ}) erfüllt. Nach Satz 5.1.2 ist die Zerlegungsmatrix von Ind_{P}^{G}(Z̃) in der Zerlegungsmatrix von G enthalten. Nach Lemma 6.2.5 ist dies die Einheitsmatrix. Außerdem sind, ebenfalls nach Satz 5.1.2, die X̄_{φ,ψ} unzerlegbar.

Sei nun ψ_{1} ein weiterer Charakter aus a und Z_{1} ein RL-Gitter von ψ_{1}. Dann gilt Ind_{P}^{G}(¯Z̃) = Ind_{P}^{G}( ¯Z̃_{1}). Aus Lemma 6.2.5 folgt

⨁_{φ∈Irr(W_{ψ})} X̄_{φ,ψ} = ⨁_{ϑ∈Irr(W_{ψ_{1}})} X̄_{ϑ,ψ_{1}}.

Da die X̄_{φ,ψ} unzerlegbar sind, ist X̄_{ϑ,ψ_{1}} eine direkte Summe von solchen. Es folgt, daß sich jeder Konstituent von ψ̃_{1}^{G}, eingeschränkt auf die ℓ′-Klassen, durch die Konstituenten von ψ̃^{G} ausdrücken läßt. Da alle Charaktere in A Konstituenten von solchen ψ̃_{1}^{G} sind, bildet also E(G, (J, ψ)) ein Basissystem. Aus Satz 5.1.2 folgt nun auch, daß die X̄_{φ,ψ} einfache kG-Moduln sind.

Die Aussage über die Green-Korrespondenten und die Vertizes der X̄_{φ,ψ} folgt aus dem nachfolgenden Lemma 6.2.9.

Lemma 6.2.9 Die Voraussetzungen seien wie in Satz 6.2.8. Sei Y ein unzerlegbarer direkter Summand von Ind_{L}^{M}(Z_{1}). Dann ist Ȳ halbeinfach. Jeder direkte Summand davon hat Vertex D. Mit g bezeichnen wir die Green-Korrespondenz bezüglich (R, G, D, M), mit ḡ diejenige bezüglich (k, G, D, M). Wir setzen ḡ linear auf solche kM-Moduln fort, deren Komponenten sämtliche den Vertex D haben. Dann ist \overline{g(Y)} = ḡ(Ȳ).

Beweis: Nach Lemma 6.2.3 hat Y den Vertex D. Wir schreiben zunächst

Ind_{M}^{G}(Y) = g(Y) ⊕ Summanden mit Vertex < D.

Aufgefaßt als kL/D-Modul, hat Z̄ den Defekt Null. Deshalb ist Ind_{L}^{M}(Z̄) halbeinfach. Jeder direkte Summand davon hat Vertex D. Wir verwenden wieder den Satz von Burry ([8, Theorem 4.2 (1)]), um zu zeigen, daß dann auch jeder direkte Summand von Ind_{P}^{G}(¯Z̃) den Vertex D hat.

Nun ist Z̄_{1} = Z̄, also Ȳ ein direkter Summand von Ind_{L}^{M}(Z̄), demnach halbeinfach. Jede Komponente davon hat Vertex D. Schreiben wir

Ȳ = S_{1} ⊕ … ⊕ S_{n},

dann ist

Ind_{M}^{G}(Ȳ) = ḡ(S_{1}) ⊕ … ⊕ ḡ(S_{n}) ⊕ Summanden mit Vertex < D.

Auf der anderen Seite ist

Ind_{M}^{G}(Ȳ) = \overline{Ind_{M}^{G}(Y)} = \overline{g(Y)} ⊕ Summanden mit Vertex < D.

Nach Lemmas 6.2.4, und 6.2.5 ist g(Y) ein direkter Summand von Ind_{P}^{G}(Z̃_{1}). Damit ist \overline{g(Y)} ein direkter Summand von Ind_{P}^{G}(¯Z̃). Jeder direkte Summand davon hat Vertex D. Daraus folgt nun die Behauptung.

Gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 6.2.8, dann schreiben wir μ_{φ,ψ} für den Brauercharakter des einfachen kG-Moduls X̄_{φ,ψ} von E_{ℓ}(G, (J, ψ)). Wir können nun die Zerlegungsmatrizen von E_{ℓ}(G, (J, ψ)) beschreiben.

Satz 6.2.10 Es gelten die gleichen Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in Satz 6.2.8. Sei χ ∈ E_{ℓ}(G, (J, ψ)), etwa χ ∈ E(G, (J, ψ_{1})). Dann ist W_{ψ_{1}} ≤ W_{ψ}. Es existiert ein eindeutig bestimmter Charakter ϑ ∈ Irr(W_{ψ_{1}}), so daß X_{ϑ,ψ_{1}} den Charakter χ hat. Sei

Ind_{W_{ψ_{1}}}^{W_{ψ}}(ϑ) = ∑_{φ∈Irr(W_{ψ})} d_{ϑφ} φ.  (6.5)

Dann ist

χ̆ = ∑_{φ∈Irr(W_{ψ})} d_{ϑφ} μ_{φ,ψ}.  (6.6)

Beweis: Die Inklusion W_{ψ_{1}} ≤ W_{ψ} wurde schon in Lemma 6.2.6 bewiesen.

Seien Z_{1} und Z wieder die zu ψ_{1} bzw. ψ gehörigen RG-Gitter. Wir wählen Fortsetzungen Z′_{1} von Z_{1} auf M_{ψ_{1}} und Z′ von Z auf M_{ψ} derart, daß Z̄′ eine Fortsetzung von Z̄′_{1} ist. Dies ist möglich, da W_{ψ_{1}} eine ℓ′-Gruppe ist, und jede Fortsetzung Z′′_{1} von Z_{1} auf M_{ψ_{1}} entsteht, indem Z′_{1} mit einem linearen Charakter von M_{ψ_{1}} multipliziert wird, der L im Kern hat.

Nach Lemma 6.2.5 ist g(Y_{ϑ,ψ_{1}}) = X_{ϑ,ψ_{1}}, und nach Lemma 6.2.9 haben wir \overline{g(Y_{ϑ,ψ_{1}})} = ḡ(Ȳ_{ϑ,ψ_{1}}). Damit gilt nun mit den Bezeichnungen aus Lemma 6.2.3:

X̄_{ϑ,ψ_{1}} = ḡ(Ind_{M_{ψ_{1}}}^{M}(Z̄′_{1} ⊗ Ȳ′_{ϑ,ψ_{1}}))
= ḡ(Ind_{M_{ψ}}^{M}(Z̄′ ⊗ Ind_{M_{ψ_{1}}}^{M_{ψ}}(Ȳ′_{ϑ,ψ_{1}})))
= ⨁_{φ∈Irr(W_{ψ})} d_{ϑφ} ḡ(Ind_{M_{ψ}}^{M}(Z̄′ ⊗ Ȳ′_{φ,ψ}))
= ⨁_{φ∈Irr(W_{ψ})} d_{ϑφ} ḡ(Ȳ_{φ,ψ})
= ⨁_{φ∈Irr(W_{ψ})} d_{ϑφ} X̄_{φ,ψ}

Beispiel 6.2.11 Sei G = G_{2}(q), L = H = H_{1}, P = B, ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2, 3. Betrachte den Charakter X_{1a} aus dem Hauptblock von G. Dies ist ein Konstituent von Ind_{B}^{G}(λ̃_{a}), wobei λ_{a} ein irreduzibler Charakter von H mit Trägheitsgruppe ⟨H, ẇ_{a}⟩ in N_{G}(H) ist. Der gemäß Lemma 6.2.5 zu X_{1a} korrespondierende Charakter von ⟨w_{a}⟩ ist der alternierende ¯1, (der andere Konstituent X′_{1a} von Ind_{B}^{G}(λ̃_{a}) korrespondiert zum Trivialen). Wir finden

¯1_{⟨w_{a}⟩}^{W} = ϕ_{1,6} + ϕ_{1,3}′′ + ϕ_{1,2} + ϕ_{2,2}.

Nach Satz 6.2.10 ist somit

X̆_{1a} = X̆_{12} + X̆_{14} + X̆_{15} + X̆_{16}.

6.3 Lineare Primzahlen bei Gruppen vom Lie-Typ

Im letzten Abschnitt dieses Kapitels wollen wir bestimmen, welche Primzahlen für die endlichen Gruppen vom Lie-Typ linear sind. Dazu benötigen wir die im Buch von Carter, [10, Section 1.18] eingeführten Begriffe. Sei G eine lineare algebraische Gruppe über 𝔽 und F eine Frobenius-Abbildung von G. Wir halten ferner einen maximal zerfallenden Torus T und eine ihn enthaltende F -stabile Boreluntergruppe B fest. Sei Φ das Wurzelsystem und Π das Fundamentalsystem positiver Wurzeln bezüglich T ⊂ B. Weil F die Wurzeluntergruppen permutiert, induziert F eine Permutation ρ auf den positiven Wurzeln von Φ. Diese läßt Π invariant. Weiter sei X = Hom(T, 𝔽^{∗}). Dann ist Φ ⊂ X. Auf dem ℝ-Vektorraum X_{ℝ} = X ⊗_{ℤ} ℝ operiert dann F als F = qF_{0}, mit einer reellen Zahl q > 0 und einem Automorphismus F_{0} von endlicher Ordnung δ.

Eine Teilmenge Φ_{1} von Φ heißt symmetrisch, wenn Φ_{1} = −Φ_{1} ist. Sie heißt abgeschlossen, wenn aus α, β ∈ Φ_{1} und α + β ∈ Φ stets folgt, daß schon α + β ∈ Φ_{1} ist. Ist Φ_{1} symmetrisch und abgeschlossen, dann ist

L = ⟨T, X_{α} | α ∈ Φ_{1}⟩  (6.7)

eine zusammenhängende, reduktive Untergruppe von G, die das Wurzelsystem Φ_{1} besitzt. Es ist L genau dann F -invariant, wenn Φ_{1} stabil unter ρ ist; L ist regulär, wenn L invariant unter F ist, und Φ_{1} in W zu einer Teilmenge der Form Φ_{Δ} mit Δ ⊆ Π konjugiert ist. Läßt sich diese Konjugation sogar in W^{F} erreichen, dann ist L maximal zerfallend, d.h. L ist eine Levi-Untergruppe in G.

Ist t ∈ T, dann ist C_{G}(t)^{0} = ⟨T, X_{α} | α(t) = 1⟩. Setzen wir Φ_{1} = {α ∈ Φ | α(t) = 1}, dann ist Φ_{1} symmetrisch und abgeschlossen. Liegt t in G, dann ist Φ_{1} invariant unter ρ.

Lemma 6.3.1 Sei Φ_{1} eine symmetrische, abgeschlossene und ρ-stabile Teilmenge von Φ und L wie in (6.7) definiert. Dann ist zunächst Φ_{1} ein Wurzelsystem in ⟨Φ_{1}⟩ ⊆ X_{ℝ}. Sei Π_{1} = {α ∈ Φ_{1} ∩ Φ^{+} | α unzerlegbar in Φ_{1} ∩ Φ^{+}}. Dann ist Π_{1} ein ρ-stabiles Fundamentalsystem von Φ_{1}. Für die Ordnung von T erhalten wir:

|T | = |Z(L)^{0}^{F} | ∏_{Δ′}(q^{|Δ′|} − 1),

wobei Δ′ die Bahnen von ρ auf Π_{1} durchläuft.

Beweis: In [2, Proposition 23] wird bewiesen, daß Φ_{1} ein Wurzelsystem in ⟨Φ_{1}⟩ ist. Alle Elemente aus Π_{1} liegen auf der gleichen Seite einer Hyperebene von ⟨Φ_{1}⟩. Aus [9, Proposition 2.1.2] folgt nun, daß Π_{1} ein Fundamentalsystem von Φ_{1} ist. Die ρ-Stabilität von Π_{1} ist klar.

Wenden wir die Ausführungen aus Carter, [10, Section 2.9] auf L statt auf G an, so erhalten wir die Formel für |T |.

Lemma 6.3.2 Seien Φ_{1} und Π_{1} wie oben. Dann existiert eine ρ-stabile Teilmenge Δ ⊆ Π und ein v ∈ W^{F} mit v(Φ_{1}) ⊆ Φ_{Δ}. Die Anzahl der Bahnen von ρ auf v(Π_{1}) ist gleich der Anzahl der Bahnen von ρ auf Δ.

Beweis: Wir setzen V = X_{ℝ}^{F_{0}}, der Raum der Fixpunkte von F_{0}. Sei θ die Projektion von X_{ℝ} auf V, d.h.

θ : X_{ℝ} ⟶ V

mit θ(x) = \frac{1}{δ}(x+F_{0}(x)+…+F_{0}^{δ−1}(x)). Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf Φ. Es seien zwei Wurzeln α und β äquivalent, wenn θ(α) ein positives Vielfaches von θ(β) ist. Die Äquivalenzklassen sind von der Form v(Φ_{Δ}^{+}), wobei Δ eine Bahn von ρ auf Π ist, und v ∈ W^{F}. Diese Aussagen stehen in [10, Section 1.18].

Wir betrachten nun eine Abbildung

μ : Φ ⟶ V,

die auf Steinberg zurückgeht. Es sei μ(α) = θ(α′) genau dann, wenn θ(α′) die größte Länge hat unter allen Projektionen auf V von zu α äquivalenten Wurzeln. Eine alternative Definition von μ(α) gibt Steinberg in [89, S. 14]: Sei α ∈ v(Φ_{Δ}^{+}). Wähle irgendeine Wurzel β von größter Höhe in Φ_{Δ}^{+} und setze μ(α) = v(θ(β)). Hieraus folgt insbesondere, daß W^{F} die Menge

μ(Φ) = {μ(α) | α ∈ Φ}

permutiert. Es gilt nun (siehe Steinberg [89, 1.32]):

(1) μ(Φ) ist ein Wurzelsystem für die Coxetergruppe W^{F}.

(2) μ(Π) ist ein Fundamentalsystem von μ(Φ).

Darüberhinaus zeigt die Definition von μ:

(3) μ(vα) = vμ(α), α ∈ Φ, v ∈ W^{F}.

(4) Ist Δ ⊆ Π stabil unter ρ, so ist μ(Φ_{Δ}) = μ(Φ)_{μ(Δ)}.

(5) Jede Teilmenge von μ(Π) ist von der Form μ(Δ) für eine ρ-stabile Teilmenge Δ von Π.

Wir setzen V_{1} = ⟨μ(Φ_{1})⟩ und \overline{μ(Φ_{1})} = V_{1} ∩ μ(Φ). Dann gilt offensichtlich V_{1} = ⟨\overline{μ(Φ_{1})}⟩.

Nun ist also \overline{μ(Φ_{1})} eine Teilmenge von μ(Φ) mit den Eigenschaften \overline{μ(Φ_{1})} = V_{1} ∩ μ(Φ) und V_{1} = ⟨\overline{μ(Φ_{1})}⟩. Wir behaupten, daß ein v ∈ W^{F} existiert mit v(\overline{μ(Φ_{1})}) = μ(Φ)_{μ(Δ)} für eine ρ-stabile Teilmenge Δ von Π. Dazu können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß V irreduzibel ist, d.h. daß μ(Φ) ein unzerlegbares Wurzelsystem ist. Erfüllt μ(Φ) die kristallographische Bedingung, ist also das Wurzelsystem einer einfachen Lie-Algebra, dann ist der behauptete Sachverhalt wohlbekannt (siehe [2, Chapitre VI, Proposition 24]). Erfüllt μ(Φ) jedoch nicht die kristallographische Bedingung, dann ist μ(Φ) das Wurzelsystem einer Diedergruppe der Ordnung 16 (siehe Steinbergs Klassifikation [89, 11.6]). Hier ist die Behauptung jedoch offensichtlich: Es ist nur etwas zu zeigen, wenn V_{1} die Dimension 1 hat. Da aber jede Wurzel zu einer fundamentalen unter W^{F} konjugiert ist, gilt auch in diesem Fall die Behauptung.

Offensichtlich ist Φ_{1} ⊆ μ^{−1}(\overline{μ(Φ_{1})}), wobei mit μ^{−1} das volle Urbild unter μ bezeichnet ist. Damit haben wir

v(Φ_{1}) ⊆ v [μ^{−1}(\overline{μ(Φ_{1})})]
= μ^{−1} [v(\overline{μ(Φ_{1})})]
= μ^{−1} [μ(Φ)_{μ(Δ)}]
= Φ_{Δ}.

Damit ist die erste Behauptung des Lemmas bewiesen.

Weiter haben wir

⟨μ(v(Φ_{1}))⟩ = v⟨μ(Φ_{1})⟩
= v⟨\overline{μ(Φ_{1})}⟩
= ⟨μ(Φ_{Δ})⟩.

Die Anzahl der Bahnen von ρ auf Δ ist gleich der Dimension von ⟨μ(Φ_{Δ})⟩. Diese ist wiederum gleich der Dimension von ⟨μ(v(Φ_{1}))⟩, und diese ist gleich der Anzahl der Bahnen von ρ auf v(Π_{1}). Damit ist das Lemma vollständig bewiesen.

Beispiel 6.3.3 Sei 𝔽 ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik p und q eine p-Potenz. Sei G = GL_{5}(𝔽), T die Menge der Diagonalund B die Menge der oberen Dreiecksmatrizen. Sei weiter

w_{0} = ( \begin{matrix}& & & & 1 \\ & & & 1 \\ & & 1 \\ & 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Für (a_{ij}) ∈ G sei F (a_{ij}) = w_{0}^{−1} (a_{ij}^{q})^{t} w_{0}. Dann ist F eine Frobenius-Abbildung von G und es ist G = U_{5}(q^{2}). Offensichtlich sind T und B F -invariant. Die Gruppe der Fixpunkte T besteht aus {diag(t_{1}, t_{2}, t_{0}, t_{2}^{−q}, t_{1}^{−q}) | t_{i}^{q^{2}−1} = 1, i = 1, 2, t_{0}^{q+1} = 1}. Es ist Π = {α_{1}, …, α_{4}} mit

\begin{aligned}α_{i} : & T & ⟶ & 𝔽^{∗} \\ & diag(t_{1}, …, t_{5}) & ⟼ & t_{i}t_{i+1}^{−1} \end{aligned}

Dann hat ρ auf Π die Bahnen {α_{1}, α_{4}} und {α_{2}, α_{3}}. Die Menge Φ_{1} = {α_{2} + α_{3}, −α_{2} − α_{3}, α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}, −α_{1} − α_{2} − α_{3} − α_{4}} ist symmetrisch und abgeschlossen. Das zugehörige Fundamentalsystem ist Π_{1} = {α_{2} + α_{3}, α_{1} + α_{2} +α_{3} +α_{4}}. Für jedes w ∈ W^{F} hat w(Π_{1}) mit Π einen leeren Durchschnitt. Das obige Ergebnis ist nur mit Δ = Π und w = 1 zu erhalten.

Sei L die gemäß (6.7) mit Φ_{1} gebildete Untergruppe. Da L eine reguläre Untergruppe von G ist (wir überlassen es dem Leser, ein Element w ∈ W mit w(Π_{1}) ⊆ Π zu finden), ist das Zentrum von L zusammenhängend ([78, 1.2 Lemma]). Wir bestimmen nun noch Z(L)^{F}. Dies besteht aus all denjenigen Elementen von T, auf denen die beiden Wurzeln aus Π_{1} verschwinden. Sei t = diag(t_{1}, t_{2}, t_{0}, t_{2}^{−q}, t_{1}^{−q}). Dann ist (α_{2} + α_{3})(t) = 1 genau dann, wenn t_{2}^{q+1} = 1 ist. Ähnlich verschwindet die andere Wurzel aus Π_{1} genau dann, wenn t_{1}^{q+1} = 1 ist. Wir finden also Z(L)^{F} ≅ ℤ_{q+1} × ℤ_{q+1} × ℤ_{q+1}. Ist t ein nichttriviales Element aus Z(L)^{F}, mit paarweise verschiedenen t_{0}, t_{1} und t_{2}, dann ist C_{G}(t) zu keiner Standard-Levi-Untergruppe von G konjugiert, obwohl t im maximal zerfallenden Torus T liegt. Dieses Phänomen kann nur bei verschränkten Gruppen auftreten.

Proposition 6.3.4 Es sei Z(G) zusammenhängend. Sei ℓ eine Primzahl mit folgenden Eigenschaften:

(a) Es gibt eine natürliche Zahl d > 0 mit ℓ^{d} | q^{|Δ|} − 1 für alle Bahnen Δ von ρ auf Φ.

(b) Es gibt keine Bahn Δ von ρ auf Φ, so daß ℓ^{d+1} | q^{|Δ|} − 1.

(c) ℓ ist eine gute Primzahl für G.

Dann ist ℓ eine lineare Primzahl für G.

Beweis: Wir beweisen zunächst die Bedingung (2′) aus Lemma 6.1.2. Sei t ∈ T ein ℓ-Element. Die Bedingungen (a)–(c) an ℓ gelten für jede F -stabile Standard-Levi-Untergruppe L_{Δ} von G. Zum Nachweis von (2′) genügt es also, L_{Δ} = G anzunehmen. Da ℓ eine gute Primzahl für G ist, ist C_{G}(t) = L regulär (siehe Schewe, [78, 1.1 Lemma]). Insbesondere ist L zusammenhängend, reduktiv und hat ein zusammenhängendes Zentrum (Schewe, [78, 1.2 Lemma]). Sei Φ_{1} = {α ∈ Φ | α(t) = 1}. Dann ist Φ_{1} offensichtlich symmetrisch, abgeschlossen und ρ-invariant. Nach Lemma 6.3.2 existiert ein w ∈ W^{F} mit w(Φ_{1}) ⊆ Φ_{Δ} für eine ρ-stabile Teilmenge Δ ⊆ Π. Setzen wir Π_{1} = {α ∈ Φ_{1} ∩ Φ^{+} | α unzerlegbar in Φ_{1} ∩ Φ^{+}}, dann ist Anzahl der Bahnen von ρ auf Δ gleich der Anzahl der Bahnen von ρ auf w(Π_{1}). Ersetzen wir t durch ẇt ∈ T, dann können wir also Φ_{1} ⊆ Φ_{Δ} annehmen.

Wir wollen Φ_{1} = Φ_{Δ} beweisen. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist t ∈ Z(L) \ Z(L_{Δ}), d.h. tZ(L_{Δ}) ist ein nichttriviales ℓ-Element in Z(L)/Z(L_{Δ}). Aus Lemma 6.3.1 erhalten wir:

|Z(L)/Z(L_{Δ})| = \frac{∏_{Δ′}(q^{|Δ′|} − 1)}{∏_{Π′_{1}}(q^{|Π′_{1}|} − 1)},

wobei sich die Produkte über die ρ-Bahnen auf Δ bzw. Π_{1} erstrecken. Da die Anzahl der Faktoren in Zähler und Nenner des obigen Produktes gleich ist, ergibt sich aus unserer Voraussetzung an ℓ, daß auf der rechten Seite eine ℓ′-Zahl steht. Dieser Widerspruch beweist L = L_{Δ}. Wir bemerken schließlich noch, daß wir t nur mit einem Element der Form ẇ mit w ∈ W^{F} konjugiert haben. Da T zusammenhängend ist, können wir annehmen, daß ẇ wie gewünscht in der monomialen Untergruppe N von G liegt.

Sei nun eine ρ-stabile Teilmenge Δ ⊆ Π gegeben und D ∈ Syl_{ℓ}(Z(L_{Δ})). Sei L = C_{G}(D). Da D ≤ Z(L) = Z(L)^{F} eine ℓ-Sylowgruppe von Z(L_{Δ}) = Z(L_{Δ})^{F} ist, ist |Z(L_{Δ})|/|Z(L)| eine ℓ′-Zahl. Sei Φ_{1} = {α ∈ Φ | α(t) = 1 für alle t ∈ D}. Ist wieder Π_{1} = {α ∈ Φ_{1} ∩ Φ^{+} | α unzerlegbar in Φ_{1} ∩ Φ^{+}}, dann ist Π_{1} ein Fundamentalsystem für Φ_{1}. Offensichtlich ist Δ ⊆ Π_{1}. Wir erhalten:

|Z(L_{Δ})/Z(L)| = \frac{∏_{Π′_{1}}(q^{|Π′_{1}|} − 1)}{∏_{Δ′}(q^{|Δ′|} − 1)}.

Da dies eine ℓ′-Zahl ist, ist die Anzahl der Bahnen von ρ auf Δ gleich der Anzahl der Bahnen von ρ auf Π_{1}. Also ist Δ = Π_{1} und Φ_{1} = Φ_{Δ}. Damit ist auch C_{G}(D) = L_{Δ} bewiesen.

Bemerkung 6.3.5 Hat G kein zusammenhängendes Zentrum, dann ist ℓ linear für G, wenn außer den obigen Bedingungen (a)–(c) zusätzlich noch gilt: ℓ |̸ |Z(L)^{F} /Z(L)^{0}^{F} | für alle zusammenhängenden, reduktiven und F -stabilen Untergruppen L von G.

Beispiel 6.3.6 Die Bezeichnungen seien wie in Beispiel 6.3.3. Zunächst zeigt das Beispiel, daß es nicht genügt, in Bedingung (a) aus Satz 6.3.4 für ℓ zu fordern ℓ | q^{|Δ|} − 1 für alle Bahnen Δ von ρ auf Π. In diesem Beispiel haben wir 2 Bahnen der Länge jeweils 2. Aber Primteiler von q+1 sind offensichtlich nicht linear.

Wir zeigen weiter, daß auf die Bedingung (b) nicht verzichtet werden kann. Sei q ungerade. Dann ist t = diag(−1, −1, 1, −1, −1) ein Element aus T mit t^{q−1} = 1. Der Zentralisator von t ist nicht zu einer Standard-Levi-Untergruppe konjugiert.

Schließlich zeigen Beispiele aus der G_{2}(q), daß auch auf die Bedingung (c) nicht verzichtet werden kann. Für schlechte Primzahlen hat C_{G}(t) nicht mehr notwendigerweise ein zusammenhänges Zentrum.

Wir fassen die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.

Satz 6.3.7 Sei G eine lineare algebraische Gruppe mit zusammenhängendem Zentrum und F eine Frobenius-Abbildung von G. Sei ℓ eine Primzahl, die die Bedingungen (a)–(c) aus Proposition 6.3.4 erfüllt. Außerdem sei ℓ kein Teiler von |W |. Dann gilt:

(1) Die ℓ-Blöcke von G sind Vereinigungen von Harish-Chandra-Serien der Form A = E_{ℓ}(G, (J, ψ)).

(2) Gilt zusätzlich ℓ |̸ |Z(G)|, dann hat ein irreduzibler Charakter genau dann den ℓ-Defekt Null, wenn er kuspidal ist.

(3) Alle einfachen kG-Moduln sind liftbar.

(4) Alle gewöhnlichen irreduziblen Charaktere aus A haben die Höhe 0.

(5) Die Green-Korrespondenz bildet irreduzible RG-Gitter auf irreduzible RL_{J}-Gitter ab. Sie induziert somit ein Isometrie zwischen R_{K}(A) und R_{K}(a), wobei a den Brauer-Korrespondenten von A in N_{G}(L_{J}) bezeichnet.

(6) Die Anzahlen der gewöhnlichen irreduziblen Charaktere von A und a stimmen überein. Mit anderen Worten: A erfüllt die Alperin–McKay-Vermutung.

(7) Die Green-Korrespondenz bildet einfache kG-Moduln auf einfache Moduln ab.

(8) Ist S ein unzerlegbarer kG-Modul, dessen Green-Korrespondent (im Normalisator seines Vertex) einfach ist, so ist S selbst einfach.

Beweis: Nach Proposition 6.3.4 ist ℓ eine streng lineare Primzahl für G. Sei T ein maximal zerfallender Torus von G. Aus C_{G}(T) = T folgt mit Carter, [10, Proposition 3.6.4], daß N_{G}(T) = N ist. Damit ist die zusätzliche Voraussetzung aus Satz 6.1.10 erfüllt, und die Aussage über die Blöcke klar.

Um die Voraussetzung 6.2.1 nachzuweisen, betrachten wir eine Standard-Levi-Untergruppe L_{J}, und einen kuspidalen Charakter ψ von L_{J}. Die übrigen Bezeichnungen seien wie im letzten Abschnitt. Nach einem Ergebnis von Howlett und Lehrer [54, Corollary 6.2], sind die Vielfachheiten der Konstituenten in ψ^{M_{ψ}} die gleichen wie in ψ̃^{G}. Es genügt also, zu zeigen, daß ψ̃^{G} Konstituenten mit der Vielfachheit 1 besitzt. Dies folgt, weil der Endomorphismenring dieses Moduls 1-dimensionale Darstellungen besitzt, wie Lusztig in [68, 8.6] gezeigt hat. Aus den Ergebnissen der ersten beiden Abschnitte dieses Kapitels folgen nun alle Behauptungen mit Ausnahme von (4) und (8).

Der folgende Beweis von (4) wurde mir von B. Külshammer mitgeteilt. Sei X ein irreduzibles RG-Gitter in A. Dann ist X direkter Summand von Ind_{N_{G}(L_{J})}^{G}(Y), wobei Y, der Green-Korrespondent von X, ein irreduzibles Gitter in a der Höhe 0 ist. Aus [62, Theorem II 4.1] folgt, daß jeder von X verschiedene direkte Summand von Ind_{N_{G}(L_{J})}^{G}(Y) einen Vertex hat, der echt in D enthalten ist. Hierbei bezeichnet D die ℓ-Sylowgruppe von Z(L_{J}). Da |G : N_{G}(L_{J})| eine ℓ′-Zahl ist, folgt hieraus, daß X die Höhe 0 hat.

Wir müssen noch die letzte Ausage beweisen. Sei dazu S ein unzerlegbarer kG-Modul mit Vertex D. Da ℓ streng linear ist, können wir C_{G}(D) = L_{J} annehmen. Wenn nun der Green-Korrespondent ḡ(S) von S in N_{G}(L_{J}) einfach ist, dann liegt die ℓ-Sylowgruppe von Z(L_{J}) im Kern von ḡ(S). Es folgt, daß D eine ℓ-Sylowgruppe von Z(L_{J}) ist. Da D abelsch ist, ergibt sich aus dem Satz von Knörr, daß D die Defektgruppe des Blockes ist, der ḡ(S) enthält. Aus (7) folgt nun, daß S selbst einfach ist. Damit ist auch der letzte Teil des Satzes bewiesen.

Bemerkung 6.3.8 Unter den Experten ist wohlbekannt, daß Alperins Gewichtsvermutung folgendermaßen formuliert werden kann: Die Anzahl der einfachen kG-Moduln ist gleich der Anzahl der unzerlegbaren kG-Moduln, deren Green-Korrespondent im Normalisator ihres Vertex einfach ist. Aus der letzten Aussage des obigen Satzes ergibt sich also die Richtigkeit von Alperins Vermutung für streng lineare Primzahlen bei endlichen Gruppen vom Lie-Typ.

Bemerkung 6.3.9 Sei A der RG-Block, der die Charaktere E(G, (J, ψ)) enthält. Weiter sei D die ℓ-Sylowgruppe von Z(L_{J}). Es bezeiche DW_{ψ} das semidirekte Produkt mit Normalteiler D, auf dem W_{ψ} operiert wie in G (DW_{ψ} ist im allgemeinen weder eine Untergruppe noch eine Sektion von G). Dann folgt aus Puigs Ergebnissen:

(9) RDW_{ψ} ist die Quellen-Algebra von A.

(10) A ist Morita-äquivalent zu RDW_{ψ}.

Fong und Srinivasan bemerkten, daß in klassischen Gruppen schon für lineare Primzahlen ℓ jeder ℓ-Block die Vereinigung von Harish-Chandra Serien ist. Diese Beobachtung gilt auch am Beispiel der G_{2}(q). Es ist nicht klar, ob mit den hier verwendeten Methoden diese schärfere Aussage bewiesen werden kann.

90 SPEZIELLE CHARAKTERISTIK

Zerlegungszahlen der G_{2}(q): Beweise

In diesem Kapitel werden die Beweise für die Zerlegungsmatrizen der G_{2}(q), die im Anhang C abgedruckt sind, erbracht. Zunächst möchte ich die verwendeten Methoden skizzieren. Als erstes werden die Blöcke bestimmt. Dazu erfolgt zuerst eine grobe Einteilung mittels Broués und Michels Ergebnis, daß die Mengen E_{ℓ}(G, s) Vereinigungen von Blöcken sind. Läßt man die Defekt Null Charaktere hieraus weg, dann erhält man in jedem Fall echte Blöcke, die mit E_{ℓ}(G, s)′ bezeichnet werden. Dies kann etwa mit Hilfe zentraler Charaktere bewiesen werden. Es ergibt sich aber auch aus den hier angegebenen Zerlegungsmatrizen, deren Beweis an keiner Stelle verwendet, daß die betrachteten Vereinigungen von Blöcken auch wirklich Blöcke sind. Die Blöcke wurden zum erstenmal von J. Shamash in einer Reihe von Arbeiten bestimmt.

Ist ℓ eine streng lineare Primzahl für G = G_{2}(q), dann zitieren wir die Ergebnisse von Kapitel 6, um die Zerlegungsmatrizen zu erhalten. Ich beschränke mich in den folgenden einleitenden Bemerkungen also auf den Fall, wo ℓ keine streng lineare Primzahl für G ist.

Sei A ein ℓ-Block (oder eine Vereinigung von ℓ-Blöcken) von G = G_{2}(q) der Form A = E_{ℓ}(G, s)′. Der nächste Schritt besteht darin, ein Basissystem BS für A zu finden. Dies geschieht dadurch, daß die gewöhnlichen Charaktere von A auf die ℓ′-Klassen eingeschränkt werden. Danach wird eine maximale linear unabhängige Teilmenge BS der Einschränkungen aus E(G, s)′ bestimmt, so daß alle anderen Einschränkungen ℤ-Linearkombinationen von BS sind. Nach Lemma 2.1.2 haben wir damit ein Basissystem gefunden. Die Zerlegungen der Charaktere aus A in BS merken wir uns als Relationen. (Die Relationen wurden bei der ersten Bestimmung für die jeweils kleinste Gruppe G_{2}(q) ausgerechnet. Danach wurde nachgewiesen, daß sie unabhängig von q sind. Sie ergeben sich in den meisten Fällen aber auch mittels Satz 4.3.3. Die dazu nötigen Zerlegungen von Deligne–Lusztig-Charakteren finden sich im Anhang von Schewes Dissertation [78].)

92 ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q): BEWEISE

Im nächsten Schritt bestimmen wir eine Menge von projektiven Charakteren, die wir in dem zu BS dualen System PA von projektiven Atomen ausdrücken. Das bedeutet technisch, daß wir die Projektiven zunächst als Klassenfunktionen ausrechnen, und dann die Skalarprodukte mit den Elementen aus BS bilden (vgl. Lemma 2.2.2). Wenn nötig werden diese Skalarprodukte durch einen gemeinsamen Faktor dividiert (vgl. Lemma 2.1.4). Die meisten der benützten Skalarprodukte sind im Anhang aufgeführt. Den größten Teil der Projektiven erhalten wir aus Tensorprodukten mit Defekt Null Charakteren. Andere sind induziert von Untergruppen.

Die Relationen werden dann verwendet, um mittels des PIM-Tests Proposition 2.2.7 wie in Beispiel 2.2.8 die Unzerlegbarkeit einiger der gefundenen Projektiven zu beweisen. Zusätzliche Projektive werden benötigt, um einige der Vorhandenen zu zerlegen. Es verbleibt ein Basissystem von Projektiven. Diese sind entweder unzerlegbar oder liefern obere Schranken für die Zerlegungszahlen. Die Relationen liefern untere Schranken. Mittels der Relationen können nun die fehlenden Zeilen der Zerlegungsmatrizen aufgefüllt werden.

7.1 Die Hauptblöcke

7.1.1 Der Fall ℓ = 2

Wir schreiben q ≡ δ(mod 4). Wir haben die folgenden Relationen auf 2regulären Klassen (der Einfachheit halber weichen wir hier und im folgenden von unserer üblichen Schreibweise ab, indem wir statt χ̆ einfach nur χ schreiben):

\begin{aligned}X_{16} & = & X_{15} − X_{17} + X_{18} \\ X_{21} & = & X_{12} + X_{15} − X_{17} \\ X_{22} & = & X_{11} + X_{15} − X_{17} \\ X_{23} & = & X_{14} + X_{15} + X_{18} \\ X_{24} & = & X_{13} + X_{15} + X_{18} \end{aligned}

Für δ = −1 haben wir darüberhinaus:

X′_{2a} = −X_{11} + X_{14} + X_{17} + X_{18}
X_{2a} = X_{12} − X_{13} − X_{17} − X_{18}
X′_{2b} = −X_{11} + X_{13} + X_{17} + X_{18}
X_{2b} = X_{12} − X_{14} − X_{17} − X_{18}
X_{a} = −X_{11} + X_{12} − X_{13} + X_{14}
= X_{2a} + X′_{2a}

X_{b} = −X_{11} + X_{12} + X_{13} − X_{14}
= X_{2b} + X′_{2b}
X_{2} = X_{11} + X_{12} − X_{13} − X_{14} − 2X_{17} − 2X_{18}
= X_{2a} − X′_{2a}
= X_{2b} − X′_{2b}

Für δ = 1 werden diese ersetzt durch:

X′_{1a} = X_{11} + X_{13} + 2X_{15} − X_{17} + X_{18}
X_{1a} = X_{12} + X_{14} + 2X_{15} − X_{17} + X_{18}
X′_{1b} = X_{11} + X_{14} + 2X_{15} − X_{17} + X_{18}
X_{1b} = X_{12} + X_{13} + 2X_{15} − X_{17} + X_{18}
X_{a} = −X_{11} + X_{12} − X_{13} + X_{14}
= X_{1a} − X′_{1a}
X_{b} = −X_{11} + X_{12} + X_{13} − X_{14}
= X_{1b} − X′_{1b}
X_{1} = X_{11} + X_{12} + X_{13} + X_{14} + 4X_{15} − 2X_{17} + 2X_{18}
= X_{1a} + X′_{1a}
= X_{1b} + X′_{1b}

Weil X_{11}, X_{12}, X_{13}, X_{14}, X_{15}, X_{17}, and X_{18} auf den 2-regulären Klassen linear unabhängig sind, bilden sie nach Lemma 2.1.2 ein Basissystem BS. Wir haben die folgende Menge von projektiven Charakteren, die wir im zu BS dualen System PA ausdrücken:

Char. Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3} Φ_{4} Φ_{5} Φ_{6} Φ_{7}  Φ_{7}′  Φ_{8} Φ_{9}
X_{11} 1  1
X_{17}  1  q
X_{18}  1  q/3
X_{13} 1  1  u  2q/3  1
X_{14} 1  1  v  2q/3  1
X_{15} 2  1 1  1  q
X_{12} 1 x 1 1 1 w q − 1 2(q^{2} + 1) y z

wobei u, v, w, x, y und z nicht-negative ganze Zahlen sind (auf deren genauen Wert es im Moment nicht ankommt). Die Herkunft der einzelnen Projektiven ist in der folgenden Tabelle dokumentiert. Hier und in den nachfolgenden Tafeln wird der Gelfand–Graev-Charakter stets mit G-G abgekürzt.

Char.  Ursprung  Bemerkungen
Φ_{1}  1_{U}^{G}
Φ_{2}  X_{19} ⊗ X_{19}  X_{19} Defekt 0
Φ_{3}  S̃t_{b}^{G}  Beispiel 5.2.6
Φ_{4}  S̃t_{a}^{G}  Beispiel 5.2.6
Φ_{5}  G-G
Φ_{6}  X_{19} ⊗ X̄_{19}  X_{19} Defekt 0
Φ_{7}  X_{3} ⊗ X_{32}  3 |̸ q, X_{3} Defekt 0
Φ_{7}′ (X_{3} + X_{6}) ⊗ X_{22} 3 | q, X_{3}, X_{6} Defekt 0
Φ_{8}  X_{19} ⊗ X_{14}  X_{19} Defekt 0
Φ_{9}  X_{19} ⊗ X_{13}  X_{19} Defekt 0

Sei Φ_{11} die projektive Hülle des trivialen Brauercharakters. Zunächst zeigt Φ_{6}, daß X_{15} kein Konstituent von Φ_{11} ist. Auf der anderen Seite zeigt Fongs Lemma (Theorem 6.3.86 in [58]), daß X_{13}, X_{14} and X_{12} in Φ_{11} enthalten sind. Es gibt also nur eine Möglichkeit, wie Φ_{1} in eine Summe von Projektiven zerfallen kann: Φ_{1} = Φ_{11} + 2Φ_{15}, wobei Φ_{15} einen Projektiven bezeichnet, der aus BS nur X_{15} als Konstituenten enthält. Also ist Φ_{15} ein Atom, und deshalb nach Proposition 2.2.1 sogar unzerlegbar.

Sei Φ derjenige projektiv unzerlegbare Charakter, der in Φ_{7} bzw. Φ_{7}′ vorkommt, und der X_{17} enthält. Aus den bisher gefundenen Projektiven folgt die Dreiecksgestalt der Zerlegungsmatrix. Deshalb kommt X_{17} nur einmal in Φ vor. Wir bemerken, daß Φ_{11}, Φ, Φ_{2}, …, Φ_{5} and Φ_{15} ein Basissystem von projektiven Charakteren bilden. Die beiden Projektiven Φ_{8} und Φ_{9} zeigen, daß Φ_{15} sowohl in Φ_{3} als auch in Φ_{4} enthalten ist.

Wir erhalten die folgende verbesserte Menge von Projektiven:

Char. Φ_{11} Φ Φ_{2} Φ_{13} Φ_{14} Φ_{15} Φ_{12} Φ_{7}  Φ_{7}′
X_{11} 1
X_{17}  1  1  q
X_{18}  a 1  q/3
X_{13} 1 b  1  2q/3
X_{14} 1 c  1  2q/3
X_{15}  d  1  1  q
X_{12} 1 e x 1 1  1 q − 1 2(q^{2} + 1)

Im Falle 3 | q ist Φ genau q mal in Φ_{7}′ enthalten. Es folgt a = b = c = 0, d ≤ 1 und e ≤ 2q. Diese Aussagen sind natürlich wegen Φ_{7} im Falle 3 |̸ q trivial. Die Relation X_{16} = X_{15} −X_{17} +X_{18} auf 2-regulären Klassen zeigt nun d = 1. Die Zerlegungen der Charaktere, die nicht in BS liegen, können aus den Relationen berechnet werden.

Wir beweisen nun noch die oberen Schranken für die nicht bestimmten Zerlegungszahlen. das Tensorprodukt X_{19} ⊗ X_{19} zeigt x ≤ (q + 2)/3. Im Falle 3 |̸ q erhalten wir mit Φ_{7} die Schranke e ≤ q. Zusammen mit x ≤ q, erhalten wir die untere Schranke für φ_{12}(1), die im Anschluß an die Zerlegungsmatrix angegeben ist. Im Falle 3 | q und q > 3, erhalten wir von Φ′_{7}, daß 3e + x ≤ 6q ist. Dies liefert die angegebene untere Schranke für φ_{12}(1) in diesem Fall. Damit ist der Beweis für den Hauptblock in Charakteristik ℓ = 2 vollständig erbracht.

7.1.2 Der Fall ℓ = 3 und 3 | q − 1

Wir haben die folgenden Relationen auf 3-regulären Klassen:

X_{13} = −X_{14} + X_{16} + X_{18} + X_{19}
X̄_{19} = X_{19}
X_{31} = X_{12} + X_{14} − X_{19}
X_{32} = X_{11} − X_{14} + X_{16} + X_{18}
X_{33} = X_{15} + X_{16} + X_{19}
X′_{1a} = X_{11} − X_{14} + X_{15} + 2X_{16} + X_{18} + X_{19}
X_{1a} = X_{12} + X_{14} + X_{15} + X_{16}
X′_{1b} = X_{11} + X_{14} + X_{15} + X_{16}
X_{1b} = X_{12} − X_{14} + X_{15} + 2X_{16} + X_{18} + X_{19}
X_{1} = X_{11} + X_{12} + 2X_{15} + 3X_{16} + X_{18} + X_{19}
= X_{1a} + X′_{1a}
= X_{1b} + X′_{1b}

Weil X_{11}, X_{12}, X_{14}, X_{15}, X_{16}, X_{18}, und X_{19} auf 3-regulären Klassen linear unabhängig sind, bilden sie nach Lemma 2.1.2 ein Basissystem.

Sei (K, R, k) ein 3-modulares Zerfällungssystem für G. Sei W die Weylgruppe von G. Es ist W isomorph zu D_{12}, der Diedergruppe mit 12 Elementen. Die Charaktertafel aus Carters Buch [10, S. 412] ist im Anhang wiedergegeben. Wir beabsichtigen, Satz 5.1.2 auf 1_{B}^{G} anzuwenden. Für θ ∈ {K, R, k} sei dazu H_{θ} = H_{θ,q}(W) = End_{θG}(Ind_{B}^{G}(θ)) die Hecke-Algebra. Wir müssen die Zerlegungsmatrix von H_{R} bestimmen.

Aus der Isomorphie zwischen H_{K} und KW ergibt sich eine Korrespondenz zwischen den irreduziblen Charakteren von W und den irreduziblen, unipotenten Charakteren der Hauptserie von G. Legen wir Lusztigs Isomorphismus zugrunde, dann ist diese in unserem Beispiel wie folgt (siehe [10, S. 449f]):

\begin{matrix}ϕ_{1,0} & ϕ_{1,6} & ϕ_{1,3}′ & ϕ_{1,3}′′ & ϕ_{2,1} & ϕ_{2,2} \\ X_{11} & X_{12} & X_{13} & X_{14} & X_{16} & X_{15} \end{matrix}  (7.1)

Wegen 3 | q−1 liefert die Einschränkung von Lusztigs Abbildung auf H_{R} nach Satz 5.5.1 einen Isomorphismus zwischen H_{R} und RW. Die 3-Zerlegungs-matrix von RW ist also die gleiche wie diejenige von H_{R} und damit nach Satz 5.1.2 ein Teil der Zerlegungsmatrix von G. Die Zeilen sind dabei gemäß (7.1) einander zugeordnet. Die 3-modulare Zerlegungsmatrix von W ist wie folgt (fehlende Einträge sind 0):

ϕ_{1,0} 1
ϕ_{1,6}  1
ϕ_{1,3}′  1
ϕ_{1,3}′′  1
ϕ_{2,1}  1 1
ϕ_{2,2} 1 1

Mit Satz 5.1.2 erhalten wir 4 unzerlegbare direkte Summanden von Ind_{U}^{G}(R) im Hauptblock. Diese werden in der folgenden Tabelle entsprechend ihrer obigen Reihenfolge mit Φ_{11}, Φ_{15}, Φ_{16} und Φ_{14} bezeichnet. Desweiteren steht Φ_{12} für die Einschränkung des Gelfand–Graev-Charakters auf den Hauptblock. Sei M = SU_{3}(q^{2}). Für die Charaktere von M verwenden wir die Bezeichnungen aus Gecks Diplomarbeit [38], die im wesentlichen mit denjenigen von Simpson und Frame übereinstimmen [86]. Die folgenden von M induzierten Charaktere sind im Anhang A.5 aufgeführt. Mit Φ_{19} bezeichnen wir die

Einschränkung des Charakters [χ_{(q+1)^{2}(q−1)}^{(u)}]_{M}^{G} auf den Hauptblock. Es ist leicht zu sehen, daß die Einschränkung von X_{18} auf M gerade die Summe der Charaktere χ_{(q−1)(q^{2}−q+1)}^{(u,v,w)} ist, und deshalb projektiv. Demnach ist Φ = (χ_{1}^{G}) ⊗ X_{18} = (X_{18})_{M}^{G} der Charakter eines projektiven Moduls. Jeder gewöhnliche Charakter von BS tritt mit einer Vielfachheit darin auf, die durch \frac{1}{6}q(q − 1) teilbar ist. Nach Lemma 2.1.4 können wir durch diesen gemeinsamen Faktor teilen. Das Resultat wird mit Φ_{18} bezeichnet. Wir haben nun das folgende Basissystem von Projektiven gefunden:

Char. Φ_{11} Φ_{18} Φ_{19} Φ_{14} Φ_{15} Φ_{16} Φ_{12}
X_{11} 1
X_{18}  1
X_{19}  1
X_{14} 2 1
X_{15} 1  1
X_{16}  1  1  1
X_{12}  q − 2 q + 1  1  1

Nun ist Φ_{14} höchstens einmal in Φ_{18} enthalten, während Φ_{12} höchstens q − 2 mal in Φ_{18}, höchstens q + 1 mal und mindestens einmal in Φ_{19} enthalten ist (wegen der Relation für X_{31}).

Ist q gerade, dann existiert ein projektiver Charakter vom Grad \frac{1}{2}q(q −1)^{2} in der parabolischen Untergruppe Q = P_{{b}}. Dieser wird in [24] mit ϑ_{4}(1) bezeichnet. Der induzierte Charakter ϑ_{4}(1)^{G} enthält X_{18}, aber weder X_{12} noch X_{16} (siehe [24, S. 344]). Dies zeigt, daß α = β = 0 ist für gerades q. Der Charakter ϑ_{4}(1) von Q entsteht durch das Induzieren eines linearen Charakters von U, der U_{1} nicht im Kern hat (siehe [24, pp. 331–339]). Solch ein Charakter steht für ungerades q nicht zur Verfügung, da dann U_{1} = U′ ist. Damit ist der Beweis für den Hauptblock im Fall ℓ = 3 und 3 | q −1 erbracht.

7.1.3 Der Fall ℓ = 3 und 3 | q + 1

Wir haben die folgenden Relationen auf 3-regulären Klassen:

X_{13} = −X_{14} + X_{16} + X_{18} + X_{19}
X̄_{19} = X_{19}
X_{31} = X_{12} − X_{14} + X_{19}
X_{32} = −X_{11} − X_{14} + X_{16} + X_{18}
X_{33} = X_{17} + X_{18} + X_{19}
X′_{2a} = −X_{11} + X_{14} + X_{17} + X_{18}
X_{2a} = X_{12} + X_{14} − X_{16} − X_{17} − 2X_{18} − X_{19}
X′_{2b} = −X_{11} − X_{14} + X_{16} + X_{17} + 2X_{18} + X_{19}
X_{2b} = X_{12} − X_{14} − X_{17} − X_{18}
X_{2} = X_{11} + X_{12} − X_{16} − 2X_{17} − 3X_{18} − X_{19}
= X_{2a} − X′_{2a}
= X_{2b} − X′_{2b}

Weil X_{11}, X_{12}, X_{14}, X_{16}, X_{17}, X_{18}, und X_{19} auf den 3-regulären Klassen linear unabhängig sind, bilden sie nach Lemma 2.1.2 ein Basissystem. Wir erhalten folgende Menge von projektiven Charakteren:

Char. Φ_{11} Φ_{18} Φ_{19} Φ_{14} Φ_{17} Φ_{16} Φ_{12}
X_{11} 1
X_{18}  1
X_{19}  1
X_{14} 1 1 1
X_{17}  1
X_{16} 2 1 1
X_{12} 1 q + 1 q − 1 1 z 1 1

wobei z ∈ {q/2, (q − 1)/2}. Die Herkunft der einzelnen Projektiven ist in der folgenden Tabelle dokumentiert. Die von L = SL_{3}(q) induzierten Charaktere sind im Anhang A.5 aufgeführt.

Char.  Ursprung  Bemerkungen
Φ_{11}  1_{B}^{G}
Φ_{18} (χ_{1} + χ_{q^{3}})_{L}^{G} − Φ_{11} χ_{1} + χ_{q^{3}} projektiv in L
Φ_{19}  [χ_{(q−1)^{2}(q+1)}^{(u)}]_{L}^{G} χ_{(q−1)^{2}(q+1)}^{(u)} Defekt 0 von L
Φ_{14}  \frac{1}{2}χ_{q(q+1)}_{L}^{G}  χ_{q(q+1)} Defekt 0 von L
Φ_{17}  X_{15} ⊗ X_{17}  X_{15} Defekt 0
Φ_{16}  X_{15} ⊗ X_{32}  X_{15} Defekt 0
Φ_{12}  G-G

Die Relationen zeigen wie in Beispiel 2.2.8, daß Φ_{11}, Φ_{14}, Φ_{16} und Φ_{12} unzerlegbar sind. Die Schranken für α, β und γ ergeben sich sofort aus den obigen Projektiven. Damit ist der Beweis für den Hauptblock im Fall ℓ = 3 und 3 | q + 1 erbracht.

7.1.4 Der Fall ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2, 3

Wir haben die folgenden Relationen auf ℓ-regulären Klassen:

X′_{1a} = X_{11} + X_{13} + X_{15} + X_{16}
X_{1a} = X_{12} + X_{14} + X_{15} + X_{16}
X′_{1b} = X_{11} + X_{14} + X_{15} + X_{16}
X_{1b} = X_{12} + X_{13} + X_{15} + X_{16}
X_{1} = X_{11} + X_{12} + X_{13} + X_{14} + 2X_{15} + 2X_{16}
= X_{1a} + X′_{1a}
= X_{1b} + X′_{1b}

Im vorliegenden Fall ist ℓ eine streng lineare Primzahl für G nach Satz 6.3.4. Damit können wir den Hauptsatz 6.3.7 verwenden, um zu sehen, daß die Charaktere X_{11}, X_{13}, X_{14}, X_{15}, X_{16} und X_{12} modulo ℓ irreduzibel bleiben. Aus den Relationen oder Satz 6.2.10 (vgl. auch Beispiel 6.2.11) folgt nun die Zerlegungsmatrix.

7.1.5 Der Fall ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2, 3

Wir haben die folgenden Relationen auf ℓ-regulären Klassen:

X′_{2a} = −X_{11} + X_{14} + X_{17} + X_{18}
X_{2a} = X_{12} − X_{13} − X_{17} − X_{18}
X′_{2b} = −X_{11} + X_{13} + X_{17} + X_{18}
X_{2b} = X_{12} − X_{14} − X_{17} − X_{18}
X_{2} = X_{11} + X_{12} − X_{13} − X_{14} − 2X_{17} − 2X_{18}
= X_{2a} − X′_{2a}
= X_{2b} − X′_{2b}

Weil X_{11}, X_{12}, X_{13}, X_{14}, X_{17} und X_{18} auf ℓ-regulären Klassen linear unabhängig sind, bilden sie nach Lemma 2.1.2 ein Basissystem. Wir betrachten die folgende Menge von projektiven Charakteren:

Char. Φ_{11} Φ_{13} Φ_{14} Φ_{17} Φ_{18} Φ_{12}
X_{11} 1
X_{13} 1 1
X_{14} 1  1
X_{17}  1
X_{18}  1
X_{12} 1 1 1 α β 1

Die Herkunft der einzelnen Projektiven ist in der folgenden Tabelle dokumentiert.

Char. Ursprung Bemerkungen
Φ_{11}  1_{U}^{G}
Φ_{13}  S̃t_{b}^{G}  Beispiel 5.2.6
Φ_{14}  S̃t_{a}^{G}  Beispiel 5.2.6
Φ_{17} X_{15} ⊗ X_{17} X_{15} Defekt 0
Φ_{18} X_{16} ⊗ X_{18} X_{16} Defekt 0
Φ_{12}  G-G

Die Relationen zeigen nun nicht nur, daß die obigen Projektiven bis auf Φ_{4} und Φ_{5} unzerlegbar sind, sondern sie liefern auch die angegebenen Schranken für α und β.

7.1.6 Der Fall ℓ | q^{4} + q^{2} + 1, ℓ ≠ 3

Ein Beweis für die Brauerbäume in diesen beiden Fällen wurden von J. Shamash zum erstenmal veröffentlicht. Er ergibt sich sehr einfach aus den Graden der Charaktere sowie aus dem Projektiven

Ind_{B}^{G}(1) = X_{11} + X_{12} + X_{13} + X_{14} + 2X_{15} + 2X_{16}.

Damit sind die Beweise für die Hauptblöcke vollständig.

7.2 Die Blöcke B_{3}

Bei diesen Blöcken ist es in Hinsicht auf die vielen Fälle günstig, die Fallunterscheidung nach der Kongruenz von q modulo 3 vorzunehmen. Hier ist stets ℓ ≠ 3.

7.2.1 Der Fall 3 | q − 1

Betrachten wir zunächst den Fall ℓ | q^{2} +q +1. Dann ist die Defektgruppe zyklisch. Wir haben nur die folgenden zwei Möglichkeiten für den Brauerbaum:

[figure: X_{32}; X_{33}; X_{31}; {X_{3}}]

[figure: X_{32}; X_{33}; X_{31}; {X_{3}}]

Die letzte Möglichkeit widerspricht jedoch Lemma 5.2.2, da X_{32} nicht-kusp-idal, X_{3} dagegen kuspidal ist.

Im Falle ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2, liegt wieder ein Block mit einer zyklischen Defektgruppe vor. Dessen Brauerbaum hat nur zwei Kanten und ist deshalb trivial zu bestimmen.

Im Falle ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2 ist ℓ eine streng lineare Primzahl für G. Die Zerlegungsmatrix ergibt sich deshalb aus der Theorie in Kapitel 6.

Es bleibt der Fall ℓ = 2 zu betrachten. Wir haben die folgenden Relationen auf 2′-Klassen:

DIE BLÖCKE B_{3} 101

X′_{1a} = X_{32} + X_{33}
X_{1a} = X_{31} + X_{33}
X_{a} = X_{31} − X_{32}
= X_{1a} − X′_{1a}
X_{1} = X_{31} + X_{32} + 2X_{33}
= X_{1a} + X′_{1a}

Natürlich macht die letzte Relation nur Sinn falls 4 | q − 1, weil sonst X_{1} gar nicht im Block enthalten ist. Wir sehen, daß X_{31}, X_{32}, X_{33} ein Basissystem bilden. Wir betrachten die folgenden projektiven Charaktere:

Char. Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3}
X_{32} 1
X_{33} 2 1
X_{31} 1 x 1

Die Herkunft der Projektiven ist in der folgenden Tabelle dokumentiert. Dabei sei λ ein Charakter der Ordnung 3 des maximal zerfallenden Torus H = H_{1}, so daß

Ind_{B}^{G}(λ̃) = X_{31} + X_{32} + 2X_{33}

ist. Der PIM, der λ enthält, enthält keinen konjugierten von λ, so daß wir Korollar 5.2.4 und Satz 5.1.2 anwenden können.

Char. Herkunft Bemerkungen
Φ_{1}  Ind_{B}^{G}(λ̃) Korollar 5.2.4
Φ_{2} X_{19} ⊗ X_{14} X_{19} Defekt 0
Φ_{3}  G-G

Die Defektgruppe von B_{3} ist enthalten in SL_{3}(q). Für 4 | q + 1 ist dies eine Semidiedergruppe der Ordnung 2^{d+2}. In [26, Section 11] zählt K. Erdmann alle möglichen Zerlegungsmatrizen für Blöcke auf, deren Defektgruppe eine Semidiedergruppe ist, und die genau 3 irreduzible Brauercharaktere enthalten. Ein Vergleich mit ihren Tabellen ergibt, daß Φ_{3} genau x mal in Φ_{2} enthalten ist. Der resultierende PIM Φ_{2} − xΦ_{3} ist 2 mal in Φ_{1} enthalten. Daraus ergibt sich die Zerlegungsmatrix.

Sei nun 4 | q −1. Wir werden zeigen, daß auch in diesem Fall X_{33} irreduzibel modulo 2 ist. Dies wird den Beweis vervollständigen, da es dann nur eine Möglichkeit gibt, wie Φ_{1} in projektiv unzerlegbare aufspalten kann. Sei S die 2-Sylowgruppe von H. Wegen 4 | q − 1, ist C_{G}(S) = H. Die Trägheitsgruppe von λ in N = N_{G}(H) ist modulo H isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{3}.

Nach [53, Theorem 2.18] ist λ auf seine Trägheitsgruppe fortsetzbar. Damit ist Voraussetzung 6.2.1 erfüllt.

Sei (K, R, k) ein 2-modulares Zerfällungssystem für G. Sei weiter Z ein RG-Gitter für λ. Offensichtlich ist die Voraussetzung (a) von Lemma 6.2.3 erfüllt. Nach Lemma 6.2.4 ist

Ind_{B}^{G}(Z̃) = X_{1} ⊕ 2X_{2} ⊕ Y,

wobei X_{1} und X_{2} jeweils den Vertex S haben. Da aus Dimensionsgründen kein RG-Gitter in X_{31} oder X_{32} den Vertex S haben kann, ist Y = 0, ch(X_{1}) = X_{31} + X_{32} und ch(X_{2}) = X_{33}. Aus Satz 5.1.2 folgt nun die Behauptung.

7.2.2 Der Fall 3 | q + 1

Wir betrachten zunächst den Fall ℓ | q^{2} − q + 1. Wieder hat der Block eine zyklische Defektgruppe, und einfache allgemeine Überlegungen lassen nur die folgenden beiden Brauerbäume zu:

[figure: X_{32}; X_{31}; {X_{6}}; X_{33}]

[figure: X_{32}; X_{33}; {X_{6}}; X_{31}]

Wieder ist der zweite Fall wegen Lemma 5.2.2 ausgeschlossen, da X_{33} kuspidal ist, X_{32} dagegen nicht.

Der Fall ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2 folgt aus der Theorie in Kapitel 6. Wir erledigen nun den Fall ℓ | q + 1 (ℓ = 2 eingeschlossen). Wir haben hier die folgenden Relationen auf 2′-Klassen:

X′_{2b} = X_{32} + X_{33}
X_{2b} = X_{31} − X_{33}
X_{b} = X_{31} + X_{32}
= X_{2b} + X′_{2b}
X_{2} = X_{31} − X_{32} − 2X_{33}
= X_{2b} − X′_{2b}

Die Relation für X_{b} ist nur gültig im Fall ℓ = 2. Die Relation für X_{2} ist nicht gültig im Falle ℓ = 2 und 4 | q − 1. In den Ausnahmefällen liegen diese Charaktere nicht in B_{3}. Wieder bilden X_{31}, X_{32}, X_{33} ein Basissystem. Wir betrachten die folgenden projektiven Charaktere:

Char. Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3}
X_{32} 1
X_{33}  1
X_{31} 1 γ 1

Die Herkunft der Projektiven ist in folgender Tabelle dokumentiert. Sei μ ein kuspidaler Charakter vom Grad q − 1 des Levikomplements L_{{b}} = GL_{2}(q)_{b} mit Ind_{L_{{b}}}^{G}(μ̃) = X_{31} + X_{32}. Wieder können wir auf μ das Korollar 5.2.4 anwenden.

Char. Herkunft Bemerkungen
Φ_{1} Ind_{L_{{b}}}^{G}(μ̃) Korollar 5.2.4
Φ_{2} X_{19} ⊗ X_{14} X_{19} Defekt 0
Φ_{3}  G-G

Wenn X_{2} im Block liegt, sind wir mit der Relation für X_{2} fertig. Die Schranke für γ folgt aus dem Tensorprodukt X_{14} ⊗ X_{19}. Wir müssen also nur noch den Fall ℓ = 2 und 4 | q − 1 betrachten. In diesem Fall ist die Defektgruppe von B_{3} eine 2-Sylowgruppe von SU_{3}(q^{2}). Sie ist deshalb ein Semidiedergruppe der Ordnung 2^{d+2}. Die Zerlegungsmatrizen in [26, Section 11] zeigen nun γ = 1, und daß X̆_{32} ein modularer Konstituent von X̆_{31} ist. Damit ist der Beweis für die Blöcke B_{3} vollständig erbracht.

7.3 Die Blöcke B_{2}

Wir unterscheiden die beiden Fälle ℓ | q − 1 und ℓ | q + 1, wobei wir jeweils ℓ = 3 einschließen. Es ist leicht zu sehen, daß für ℓ ≥ 3 und ℓ | q − 1 die Voraussetzungen 6.2.1 erfüllt sind. Damit sind die Ergebnisse von Kapitel 6 anwendbar und wir erhalten die Zerlegungsmatrix.

Sei nun ℓ | q+1, ℓ ≥ 3. Wir haben die folgenden Relationen auf ℓ′-Klassen:

X′_{2a} = −X_{22} + X_{23}
X_{2a} = X_{21} − X_{24}
X′_{2b} = −X_{22} + X_{24}
X_{2b} = X_{21} − X_{23}
X_{2} = X_{21} + X_{22} − X_{23} − X_{24}
= X_{2a} − X′_{2a}
= X_{2b} − X′_{2b}

Wieder bilden X_{21}, X_{22}, X_{23}, X_{24} ein Basissystem. In Beispiel 5.2.7 haben wir bereits ein Basissystem von Projektiven angegeben. Die Relationen zeigen nun wie in Beispiel 2.2.8, daß alle diese Projektiven unzerlegbar sind. Damit ist der Beweis für die Blöcke B_{2} erbracht.

7.4 Die Blöcke B_{1a} und B_{1b}

Der Fall ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2 ergibt sich wie oben aus Kapitel 6. Wir betrachten nun den Fall ℓ | q + 1 (den Fall ℓ = 2 eingeschlossen). Wir haben die Relation X_{a} = X_{1a} − X′_{1a}. Für ℓ = 2 haben wir darüberhinaus X_{1} = X_{1a} + X′_{1a}. Wir sehen, daß X_{1a} und X′_{1a} ein Basissystem bilden. Wir betrachten die folgenden beiden projektiven Charaktere:

Char. Φ_{1} Φ_{2}
X_{1a} 1
X′_{1a} 1 1

Dabei ensteht Φ_{1} durch Harish-Chandra-Induktion eines geeigneten projektiven Charakters von der Levi-Untergruppe L_{{b}}, und Φ_{2} ist der Gelfand– Graev-Charakter. Die Relationen zeigen die Unzerlegbarkeit dieser beiden Projektiven. Der Beweis für die Blöcke B_{1b} verläuft völlig analog.

7.5 Die Blöcke B_{2a} und B_{2b}

Hier sind die Beweise ähnlich wie für die Blöcke B_{1a} und B_{2a}. Wir müssen nur die Relationen sinngemäß abändern, und von L_{{a}} statt L_{{b}} induzieren.

Die Brauerbäume der Ree-Gruppen: Beweise

Im vorliegenden Kapitel werden die Beweise für die Brauerbäume der Ree-Gruppen, die in Anhang D abgedruckt sind, erbracht. Die Beweise verwenden zum Teil die Methoden aus [50].

8.1 Green-Korrespondenz

Bevor wir beginnen, wiederholen wir einige Begriffe aus der Theorie der Blöcke mit zyklischer Defektgruppe. Sei G eine endliche Gruppe, A ein Block mit zyklischer Defektgruppe D = ⟨t⟩ der Ordnung ℓ^{d} und χ ∈ A ein nichtexzeptioneller Charakter. Dann ist χ(t) eine von 0 verschiedene ganze Zahl. Wir sagen, daß χ vom Typ Kreuz ist, wenn χ(t) > 0 ist. Im anderen Fall sagen wir, χ habe den Typ Kringel. Die Knoten vom Typ Kreuz werden am Brauerbaum mit dem Zeichen , diejenigen vom Typ Kringel mit dem Zeichen ^{}dargestellt. Am Brauerbaum können nur Charaktere verschiedenen Typs verbunden sein.

Ist die Defektgruppe eine zyklische T I-Menge, dann können die Methoden aus [50] angewendet werden. Dazu sei zunächst (K, R, k) ein ℓ-modulares Zerfällungssystem für G. Sei ¯ : R → k der natürliche Epimorphismus. Wir setzen N = N_{G}(D) und definieren den Homomorphismus α : N → k durch x ↦ \overline{α(x)}, wobei α(x) ∈ ℤ definiert ist durch t^{x} = t^{α(x)}, x ∈ N. Hier werden wir die Methoden nur für Hauptblöcke anzuwenden haben. Die irreduziblen kN-Moduln im Hauptblock sind gerade die Moduln mit Charakter α^{i}, 1 ≤ i ≤ e. Für α^{i} schreiben wir 1Ai. Ein beliebiger unzerlegbarer Modul V im Hauptblock von N ist bis auf Isomorphie durch seinen Sockel und seine Länge festgelegt. Hat V die Länge n und den Sockel 1Ai, so schreiben wir nAi für V.

Wir betrachten im folgenden nur Green-Korrespondenten von Moduln mit trivialer oder mit ko-trivialer Quelle. Diese sind von der Form 1Ai beziehungsweise (ℓ^{d} − 1)Aj. Ist der Brauerbaum bekannt, dann können die Green-Korrespondenten der Moduln mit trivialer und ko-trivialer Quelle bestimmt werden, indem die Kanten des Baumes in geeigneter Weise numeriert werden (siehe Section 4.4, insbesondere Lemma 4.4.14 und Remark 4.4.15 in [50]). Wir sagen dann, daß die Kanten des Brauerbaumes gemäß Green-Korrespon-denz numeriert sind.

Für die Tensorprodukte zweier solcher Green-Korrespondenten wiederholen wir aus [50, Lemma 4.3.2]:

\begin{matrix}1Ai ⊗ 1Aj = 1A(i + j), \\ (ℓ^{d} − 1)Ai ⊗ (ℓ^{d} − 1)Aj = 1A(i + j − 1), \end{matrix}  (8.1)

wobei modulo e zu rechnen ist.

Bevor wir die Brauerbäume der Ree-Gruppen bestimmen, beweisen wir ein technisches Lemma, welches es ermöglicht, die Methoden aus [50] anzuwenden.

Lemma 8.1.1 Sei G eine endliche Gruppe vom Lie-Typ, und T ein maximaler Torus von G. Ist ℓ eine Primzahl mit ℓ | |T | und D eine ℓ-Sylowgruppe von T, so daß jedes nichttriviale Element von D regulär ist, dann ist D eine T I-Menge.

Beweis: Sei g ∈ G und 1 ≠ t ∈ D ∩ D^{g}. Dann ist T^{g} = C_{G}(D)^{g} = C_{G}(D^{g}) ≤ C_{G}(t) = T, also T^{g} = T. Da D eine ℓ-Sylowgruppe von T ist, folgt auch D^{g} = D.

8.2 Die Brauerbäume von ^{2}G_{2}(q^{2})

In diesem Abschnitt sei G = ^{2}G_{2}(q^{2}) mit q^{2} = 3^{2n+1}, n ≥ 0. Die im folgenden aufgezählten Eigenschaften von G finden sich in Wards Arbeit [92] bewiesen. Die Bezeichnungen für die maximalen Tori seien wie in Anhang D. Zunächst stellen wir einige Aussagen über die halbeinfachen Elemente von G, deren Zentralisatoren und Normalisatoren zusammen.

Lemma 8.2.1 (a) T_{2} enthält genau 3 Involutionen {u, u′, uu′}, die in G alle konjugiert sind. Dies sind die einzigen nichttrivialen irregulären halbeinfachen Elemente in ∪_{i=1}^{4}T_{i}.

(b) Für die Durchschnitte der maximalen Tori haben wir:

T_{i} ∩ T_{j} = \{ \begin{matrix}⟨u⟩,  falls \{i, j\} = \{1, 2\}, \\ ⟨1⟩,  falls i ≠ j, und \{i, j\} ≠ \{1, 2\}. \end{matrix}

DIE BRAUERBÄUME VON ^{2}G_{2}(q^{2}) 107 Lemma 8.2.2 (a) Wir haben die folgenden Zentralisatoren:

C_{G}(t_{1}) = T_{1}, für alle t_{1} ∈ T_{1} \ ⟨u⟩,
C_{G}(t_{2}) = T_{2}, für alle t_{2} ∈ T_{2} \ ⟨u, u′⟩,
C_{G}(t_{3}) = T_{3}, für alle 1 ≠ t_{3} ∈ T_{3},
C_{G}(t_{4}) = T_{4}, für alle 1 ≠ t_{4} ∈ T_{4},
C_{G}(u) = ⟨u⟩ × P SL_{2}(q^{2}).

(b) Wir haben die folgenden Normalisatoren:

N_{G}(⟨t_{1}⟩) = T_{1} :ℤ_{2}, für alle t_{1} ∈ T_{1} \ ⟨u⟩,
N_{G}(⟨t_{2}⟩) = T_{2} :ℤ_{6}, für alle t_{2} ∈ T_{2} \ ⟨u, u′⟩,
N_{G}(⟨t_{3}⟩) = T_{3} :ℤ_{6}, für alle 1 ≠ t_{3} ∈ T_{3},
N_{G}(⟨t_{4}⟩) = T_{4} :ℤ_{6}, für alle 1 ≠ t_{4} ∈ T_{4}.

Als nächstes vergleichen wir Wards Bezeichnung der Charaktere mit Lusztigs Jordan-Zerlegung von Charakteren. Lemma 8.2.3 (a) Wir haben die folgenden unipotenten Charaktere in G:

Bez. Wards Bez.  Grad  Bemerkung
ξ_{1}  ζ_{1}  1  1_{G}
ξ_{2}  ζ_{3}  q^{6}  St_{G}
\begin{matrix}ξ_{3} \\ ξ_{4} \end{matrix}  \begin{matrix}ζ_{9} \\ ζ_{10} \end{matrix}  \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} + 1) \\ \frac{1}{\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} + 1) \end{matrix}  ξ_{3} = ξ̄_{4}
\begin{matrix}ξ_{5} \\ ξ_{6} \end{matrix}  \begin{matrix}ζ_{6} \\ ζ_{8} \end{matrix}  \begin{matrix}\frac{1}{2\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1) \\ \frac{1}{2\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1) \end{matrix}  ξ_{5} = ξ̄_{6}
\begin{matrix}ξ_{7} \\ ξ_{8} \end{matrix}  \begin{matrix}ζ_{5} \\ ζ_{7} \end{matrix}  \begin{matrix}\frac{1}{2\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} + \sqrt{3}q + 1) \\ \frac{1}{2\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} + \sqrt{3}q + 1) \end{matrix}  ξ_{7} = ξ̄_{8}

(b) Wir haben zwei irreduzible Charaktere:

Bez. Wards Bez.  Grad
χ_{u,1}  ζ_{2}  (q^{2} + \sqrt{3}q + 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1)
χ_{u,q^{2}}  ζ_{4}  q^{2}(q^{2} + \sqrt{3}q + 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1)

(c) Die übrigen irreduziblen Charaktere sind bis auf Vorzeichen Deligne– Lusztig-Charaktere. Schreiben wir T_{1} = ⟨u⟩ × T′_{1} und T_{2} = ⟨u, u′⟩ × T′_{2}, dann haben wir im einzelnen:

Bez. Wards Bez.  Grad  Parameter  Anzahl
χ_{t_{1}}  η_{r}  (q^{2} + 1)(q^{4} − q^{2} + 1) t_{1} ∈ T′_{1} \ \{1\} \frac{1}{4}(q^{2} − 3)
χ_{ut_{1}}  η′_{r}  (q^{2} + 1)(q^{4} − q^{2} + 1) t_{1} ∈ T′_{1} \ \{1\} \frac{1}{4}(q^{2} − 3)
χ_{t_{2}}  η_{t}  (q^{2} − 1)(q^{4} − q^{2} + 1) t_{2} ∈ T′_{2} \ \{1\} \frac{1}{24}(q^{2} − 3)
χ_{ut_{2}}  η′_{t}  (q^{2} − 1)(q^{4} − q^{2} + 1) t_{2} ∈ T′_{2} \ \{1\} \frac{1}{8}(q^{2} − 3)
χ_{t_{3}}  η_{i}^{+}  (q^{4} − 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1) t_{3} ∈ T_{3} \ \{1\} \frac{1}{6}(q^{2} + \sqrt{3}q)
χ_{t_{4}}  η_{i}^{−}  (q^{4} − 1)(q^{2} + \sqrt{3}q + 1) t_{4} ∈ T_{4} \ \{1\} \frac{1}{6}(q^{2} − \sqrt{3}q)

Zur Abkürzung ist dabei χ_{t} = χ_{t,1} gesetzt.

Bevor wir nun die Beweise für die Brauerbäume von G erbringen, führen wir noch die folgende nützliche Notation ein:

E_{ℓ}(G, s)′ = E_{ℓ}(G, s) \ {χ ∈ Irr(G) | χ hat ℓ-Defekt 0}.

Damit ist es nun sehr leicht, für ungerades ℓ ≠ 3 die Blockeinteilung der Charaktere vorzunehmen: Die Defektgruppe ist in jedem Fall zyklisch, aus der Kenntnis ihres Normalisators folgt die Anzahl der irreduziblen gewöhnlichen und Brauercharaktere im Block. Man kann nun mit Hilfe der Charaktertafel einsehen, daß E_{ℓ}(G, s)′ in jedem Fall ein ℓ-Block ist. Wir bestimmen nun die Brauerbäume in den nichttrivialen Fällen. Beweis von Satz D.2.1: Aus einem Satz von Humphreys [55] folgt, daß es keine 3-Blöcke mit zyklischer Defektgruppe gibt. Die 2-Sylowgruppe von G ist elementarabelsch von der Ordnung 8. Eine zyklische Defektgruppe ist also zu ⟨u⟩ konjugiert. Dies ist eine 2-Sylowgruppe von T_{1}. Für ungerades ℓ gibt es nichts zu beweisen.

Beweis von Satz D.2.3: Die Typen der nicht-exzeptionellen Charaktere sind wie folgt:

Charakter: ξ_{1} ξ_{2} ξ_{5} ξ_{6} ξ_{7} ξ_{8}
[figure: Typ:]

Da nur Charaktere verschiedenen Typs verbunden sein können, haben wir für den Brauerbaum nur die folgenden drei Möglichkeiten:

DIE BRAUERBÄUME VON ^{2}G_{2}(q^{2}) 109

[figure: 0; 2; 1; 5; 3; 4; ξ_{1}; χ_{t}; ξ_{2}; μ; μ̄; ξ_{5}; ξ_{6}]

[figure: 0; 3; 1; 4; 2; 5; ξ_{1}; χ_{t}; ξ_{2}; μ; μ̄; ξ_{5}; ξ_{6}]

[figure: ξ_{1}; χ_{t}; ξ_{2}; ϑ; ϑ̄; ξ_{7}; ξ_{8}]

Dabei ist μ ∈ {ξ_{7}, ξ_{8}} und ϑ ∈ {ξ_{5}, ξ_{6}}. Der letze Fall scheidet sofort wegen ξ_{7}(1) > ϑ(1) aus. Die Kanten der ersten beiden möglichen Bäume sind schon gemäß Green-Korrespondenz wie in [50, Section 4.4] numeriert. Angenommen, der zweite Fall ist richtig. Dann hat ξ_{5} den Green-Korrespondenten (ℓ^{d}−1)A2. Der Green-Korrespondent von ξ_{5} ⊗ ξ_{5} ist dann 1A3 nach (8.1). Der einzige Knoten vom Typ Kreuz an einer Kante mit Nummer 3 ist der exzeptionelle.

Es folgt, daß

ξ_{5} ⊗ ξ_{5} − ∑_{(t)∈D^{#}} χ_{t}  (8.2)

der Charakter eines projektiven Moduls ist. Wir haben die folgenden Skalarprodukte von ξ_{5} ⊗ ξ_{5} mit den nicht-exzeptionellen Charakteren im Block:

\begin{matrix}χ & ξ_{2} & ξ_{5} & ξ_{6} & ξ_{7} & ξ_{8} \\ ⟨ξ_{5} ⊗ ξ_{5}, χ⟩ & \frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{3}}q − 1)^{2} & 0 & \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}q + 1) & 0 & \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}q − 1) \end{matrix}

Die obigen Skalarprodukte, sowie die weiter unten verwendeten, wurden von M. Geck ausgerechnet. Nach der Form des Baumes ist ξ_{6} ein Blatt, d.h. ein Knoten am Ende des Baumes, welches zu ξ_{7} oder ξ_{8} verbunden ist. Dies ist ein Widerspruch, denn in (8.2) kommt ξ_{6} stets häufiger vor als ξ_{7}, oder ξ_{8}.

Also ist der erste Baum richtig, und ξ_{5} hat den Green-Korrespondenten (ℓ^{d} − 1)A3. Dann hat ξ_{5} ⊗ ξ_{5} den Green-Korrespondenten 1A5. Der einzige Knoten vom Typ Kreuz an der Kante mit der Nummer 5 ist μ̄. Es folgt, daß

ξ_{5} ⊗ ξ_{5} − μ̄

der Charakter eines projektiven Moduls ist. Da ξ_{7} in ξ_{5} ⊗ ξ_{5} gar nicht vorkommt, ist μ̄ = ξ_{8}. Damit ist auch die planare Einbettung des Brauerbaumes festgelegt.

Beweis von Satz D.2.4: Die Form des Brauerbaumes des Hauptblockes folgt aus der Tatsache, daß alle nicht-exzeptionellen Charaktere außer ξ_{2}, dem Steinberg-Charakter, vom Typ Kreuz sind. Für die Einbettung jedoch gibt es die folgenden Möglichkeiten:

[figure: 0; 3; 1; 5; 2; 4; ξ_{1}; ξ_{2}; χ_{t}; ξ_{5}; ϑ; ξ_{6}; ϑ̄]

DIE BRAUERBÄUME VON ^{2}F_{4}(q^{2}) 111

[figure: 0; 3; 1; 5; 2; 4; ξ_{1}; ξ_{2}; χ_{t}; ϑ; ξ_{5}; ϑ̄; ξ_{6}]

mit ϑ ∈ {ξ_{3}, ξ_{4}}. Die Kanten der beiden möglichen Brauerbäume sind wieder wie oben gemäß der Green-Korrespondenz durchnumeriert. Im ersten Fall hat ξ_{5} den Green-Korrespondenten 1A1. Also hat ξ_{5} ⊗ ξ_{5} den Green-Korrespondenten 1A2. Daraus folgt, daß

ξ_{5} ⊗ ξ_{5} − ϑ

der Charakter eines projektiven Moduls ist. Es ist jedoch

⟨ξ_{5} ⊗ ξ_{5}, ξ_{3}⟩ = 0 = ⟨ξ_{5} ⊗ ξ_{5}, ξ_{4}⟩,

d.h. weder ξ_{3} noch ξ_{4} kommt in ξ_{5} ⊗ ξ_{5} vor. Dieser Widerspruch zeigt, daß der zweite Baum richtig ist. Wegen ⟨ξ_{3} ⊗ ξ_{3}, ξ_{5}⟩ = 0 muß ϑ = ξ_{4} sein. (Zur Beruhigung: ⟨ξ_{4} ⊗ ξ_{4}, ξ_{5}⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}}q.)

Beweis von Satz D.2.5: Die Form des Brauerbaumes des Hauptblockes folgt aus der Tatsache, daß alle nicht-exzeptionellen Charaktere außer ξ_{1}, dem trivialen Charakter, vom Typ Kringel sind. Die Einbettung kann in diesem Fall nicht bestimmt werden.

8.3 Die Brauerbäume von ^{2}F_{4}(q^{2})

In diesem Abschnitt sei schließlich G = ^{2}F_{4}(q^{2}), q^{2} = 2^{2n+1}, n ≥ 0. Wir geben zunächst den Permutationscharakter auf den Nebenklassen der Borelgruppe an.

Lemma 8.3.1 Sei B die Boreluntergruppe G. Dann gilt:

Ind_{B}^{G}(1) = ξ_{1} + ξ_{2} + ξ_{3} + ξ_{4} + 2ξ_{9} + 2ξ_{10} + 2ξ_{11}.

Der Hilfssatz D.3.1 über die Primteiler von |G| ist klar, und die Aussagen von Lemma D.3.2 folgen leicht aus [85, Table IV] und [69, Proposition 1.3].

Beweis von Satz D.3.3: Sei D = ⟨t⟩ die Defektgruppe eines ℓ-Blockes. Zunächst ist wieder nach dem Satz von Humphreys [55] die Charakteristik ℓ ≠ 2. Wir unterscheiden zwei Fälle nach der Struktur des Zentralisators von t.

Fall I: C_{G}(t) = T ist ein maximaler Torus.

Lemma 8.3.2 Unter den obigen Voraussetzungen ist T aus {T_{9}, T_{10}, T_{11}}. Weiter ist D eine ℓ-Sylowgruppe von T und eine T I-Menge.

Beweis: Die abelsche Gruppe T/D hat nur für ℓ |̸ |T/D| Defekt 0 Charaktere. Also ist D eine ℓ-Sylowgruppe von T. Ist T nicht zyklisch, dann ist T von der Gestalt T = S × S, und D kann als Sylowgruppe davon nicht zyklisch sein.

Angenommen, T = T_{i} mit i ∈ {2, 3, 4, 5}. Dann ist T = T_{i1} × T_{i2} mit ggT(|T_{i1}|, |T_{i2}|) = 1. Wegen |t| = ℓ^{d} folgt aus t ∈ T, daß t ∈ T_{i1} oder t ∈ T_{i2} ist. In jedem dieser Fälle ist die ℓ-Sylowgruppe von G zwar abelsch, aber nicht zyklisch. Also kann auch C_{G}(t) nicht zyklisch sein. Es folgt T ∈ {T_{9}, T_{10}, T_{11}}. Nach Veldkamp [91, Proposition 4] ist jedes nichttriviale Element von T regulär. Aus Lemma 8.1.1 folgt schließlich, daß D eine T I-Menge ist.

Fall II: C_{G}(t) ist kein maximaler Torus.

Verwenden wir die Bezeichnungen von Shinoda für die halbeinfachen Elemente von G, dann folgt aus [85, Table IV], daß t von einem der Typen t_{1}, t_{2}, t_{4}, t_{5}, t_{7} oder t_{9} ist. Diese Elemente haben die folgenden Zentralisatoren:

C_{G}(t_{1}) = ℤ_{q^{2}−1} × Suz(q^{2}),
C_{G}(t_{2}) = ℤ_{q^{2}−1} × SL_{2}(q^{2}),
C_{G}(t_{4}) = SU_{3}(q^{4}),
C_{G}(t_{5}) = ℤ_{q^{2}+1} × SL_{2}(q^{2}),
C_{G}(t_{7}) = ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1} × Suz(q^{2}),
C_{G}(t_{9}) = ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1} × Suz(q^{2}).

Damit es überhaupt Blöcke mit Defektgruppe D gibt, muß in jedem dieser Fälle D eine ℓ-Sylowgruppe von ⟨t_{i}⟩ sein. Die Struktur von N_{G}(D) folgt aus [69, Proposition 1.3]. Damit ist der Beweis von Satz D.3.3 erbracht.

Beweis von Lemma D.3.4: Sei χ ∈ Irr(A). Dann ist χ(1)_{ℓ} = |G : D|_{ℓ}. Ist χ = χ_{v,λ} mit einem halbeinfachen Element v und einem unipotenten Charakter λ von C_{G}(v), so haben wir χ(1) = λ(1)|G : C_{G}(v)|_{p′}. Wir betrachten zunächst den Fall ℓ |̸ λ(1). Dann gilt:

|D|_{ℓ} = |C_{G}(v)|_{ℓ}.  (8.3)

Sei T ein zyklischer Torus von G mit D ∈ Syl_{ℓ}(T). Wegen (8.3) können wir T ≤ C_{G}(v) annehmen. Dann ist v ∈ T.

Sei v = st_{0} mit s ∈ T_{ℓ′} und t_{0} ∈ D. Ist s regulär, dann auch alle st, t ∈ D. In diesem Fall enthält E_{ℓ}(G, s) genau die |D| irreduziblen Charaktere ε_{G}ε_{T} R_{T}^{G}(st), t ∈ D. Nach der Basisrelation (4.2) besitzen diese alle die gleiche Einschränkung auf die ℓ-regulären Klassen, liegen also im gleichen Block wie χ. Aufgrund ihrer Anzahl folgt A = E_{ℓ}(G, s).

Sei nun s = 1. Nach Satz D.3.3 und Lemma D.3.2 gilt |C_{G}(t)|_{3} > |D|_{3} für alle 3-Elemente t und zyklischen 3-Defektgruppen D. Aus (8.3) folgt also ℓ ≠ 3. Da v = t_{0} in einer ℓ-Sylowgruppe von G liegt, die wegen ℓ ≠ 3 abelsch ist, folgt aus (8.3) in diesem Fall, daß ℓ ein Teiler von |T_{9}||T_{10}||T_{11}| ist. In T_{10} und T_{11} ist jedes nichttriviale Element regulär, also ist nach dem bisher gezeigten E_{ℓ}(G, s) für jedes s ≠ 1 eine Vereinigung von ℓ-Blöcken. Dann ist auch E_{ℓ}(G, 1) eine solche, die demnach A enthält.

Die irregulären Elemente von T_{9} bilden eine Untergruppe der Ordnung 3. Es ist also A ⊆ E_{ℓ}(G, 1) ∪ E_{ℓ}(G, w) mit w ∈ T_{9}, |w| = 3. Es ist C_{G}(w) = SU_{3}(q^{4}). Sei ℓ^{d} die höchste Potenz von ℓ, die |T_{9}| teilt. Wir haben ψ(1) ≡ ±2(modℓ^{d}) für alle ψ ∈ E(G, w) und ψ(1) ≡ ±1(modℓ^{d}) für alle ψ ∈ E(G, 1). Aus Gradgründen folgt nun die Behauptung ([28, Theorem VII.2.16]).

Sei nun ℓ |̸ |T_{9}||T_{10}||T_{11}|/3. Wir betrachten nur den Fall ℓ | q^{2} + \sqrt{2}q + 1, die anderen werden analog behandelt. Wegen (8.3) ist C_{G}(v) = S × Suz(q^{2}) mit |S| = q^{2}−1 oder |S| = q^{2}−\sqrt{2}q+1. Insbesondere ist 1 ≠ s ∈ S. Für jedes 1 ≠ t ∈ D ist st regulär. Damit enthält E_{ℓ}(G, s) die 4 irreduziblen Charaktere von E(G, s), die den 4 unipotenten Charakteren von Suz(q^{2}) entsprechen, sowie (|D| − 1)/4 irreduzible der Form ε_{G}ε_{T} R_{T}^{G}(st). Nach der Basisrelation ist R̆_{T}^{G}(st) = R̆_{T}^{G}(s) eine ℤ-Linearkombination der 4 Charaktere aus E(G, s). Aus der Betrachtung der Koeffizienten ergibt sich sofort, daß E_{ℓ}(G, s) auch in diesem Fall ein ℓ-Block ist.

Es bleibt der Fall ℓ | λ(1) zu betrachten. Aus dem bisherigen kennen wir schon alle 3-Blöcke mit zyklischer Defektgruppe. Daraus ersehen wir, daß dieser Fall nur für ℓ > 3 auftreten kann. Ist v ≠ 1, dann ist ℓ | q^{2} − 1 und λ(1) = q(q^{2} − 1)/\sqrt{2}. Aus (8.3) und Suz(q^{2}) ≤ C_{G}(v) folgt nun C_{G}(v) = ℤ_{q^{2}−1}×Suz(q^{2}). Sei wieder v = st_{0}. Dann ist A = {χ_{st,λ} | t ∈ D} ≤ E_{ℓ}(G, s) = {χ_{st,λ} | t ∈ D}∪{χ_{st,λ̄} | t ∈ D}. Im Fall v = 1 ist λ ein unipotenter Charakter von G. Aus der Kenntnis der Grade und ℓ ≠ 3 folgt wieder ℓ | q^{2}−1, und daß λ in der Harish-Chandra-Induktion eines der Charaktere vom Grad q(q^{2}−1)/\sqrt{2} der Suzuki-Gruppe vorkommt. Dies führt sofort wieder zum eben behandelten Fall für s = 1. Damit ist das Lemma bewiesen.

Mit ähnlichen Argumenten kann gezeigt werden, daß ein Block A mit nicht notwendig zyklischer Defektgruppe in einer der Mengen E_{ℓ}(G, s) liegt. Insbesondere gilt auch für ^{2}F_{4}(2^{2m+1}) der Satz 4.2.2. Beweis von Satz D.3.11: Wir betrachten zuerst den Block B_{w}. Dieser hat die nicht-exzeptionellen Charaktere χ_{w,1}, χ_{w,q^{2}(q^{2}−1)} und χ_{w,q^{6}} sowie die exzeptionellen χ_{wt}, t ∈ D^{#}. Daraus folgt natürlich sofort, daß der Brauerbaum ein Stamm ist. Der reguläre Charakter in E(G, w) ist χ_{w,q^{6}}. Wegen χ_{w,q^{6}}(1) ≡ 2(mod ℓ), ist dieser vom Typ Kreuz. Nach Satz 4.6.5 ist er mit dem exzeptionellen Knoten verbunden, und wir erhalten den folgenden Teilbaum:

[figure: χ_{w,q^{6}}; χ_{wt}]

Um die restlichen Knoten festzulegen, betrachten wir die parabolische Untergruppe P_{a}. Diese hat ein Levi-Komplement isomorph zu GL_{2}(q^{2}). Da C_{G}(w) den maximalen Torus T_{2} enthält, können wir annehmen, daß w in T_{2} liegt. Nun ist T_{2} ein maximaler Torus von GL_{2}(q^{2}), und es existiert genau ein irreduzibler, kuspidaler Charakter μ vom Grad q^{2} − 1, der auf w einen ganzen Wert, nämlich −2, annimmt. Es bezeichne μ̃ die Inflation von μ auf P_{a}. Dann ist Ind_{P_{a}}^{G}(μ̃) = χ_{w,1} + χ_{w,q^{6}}. Da dies nach Lemma 4.4.3 ein projektiver Charakter ist, folgt der Teilbaum:

[figure: χ_{w,1}; χ_{w,q^{6}}; χ_{wt}]

Aus Gradgründen kann schließlich χ_{w,q^{2}(q^{2}−1)} nur noch am exzeptionellen Knoten sitzen, wodurch der Brauerbaum festgelegt ist.

Es muß noch der Beweis für den Brauerbaum des Hauptblockes erbracht werden. Zunächst zählen wir die nicht-exzeptionellen Charaktere und deren Typen auf:

Charakter: ξ_{1} ξ_{4} ξ_{11} ξ_{14} ξ_{19} ξ_{20}
[figure: Typ:]

Der Typ von ξ ergibt sich, indem wir die Kongruenz von ξ(1) modulo |T_{9}| = q^{4} − q^{2} + 1 betrachten.

Nach Lemma 8.3.1 ist ξ_{1} + ξ_{4} + 2ξ_{11} der Charakter eines projektiven Moduls. Nach Korollar 4.6.6 ist ξ_{4} zum Knoten χ_{t} verbunden. Der unipotente Charakter ξ_{14} liegt auf dem reellen Stamm, denn er ist der einzige seines Grades im Block. Wir erhalten damit den folgenden Teilbaum:

Die unipotenten ξ_{19} und ξ_{20} sind vom Typ Kringel, können also nicht beide auf dem reellen Stamm liegen. Also sind sie komplex konjugiert und sitzen an ξ_{4} oder ξ_{14}. Wir haben

ξ_{14}(1) − ξ_{19}(1) − ξ_{20}(1) =
−\frac{1}{2}q^{20} − \frac{1}{2}q^{16} + 2q^{12} − \frac{1}{2}q^{8} − \frac{1}{2}q^{4} <
−\frac{1}{2}q^{20} + 2q^{12} =
q^{12}(2 − \frac{1}{2}q^{8}) < 0.

Also sind beide zu ξ_{4} verbunden, und der Beweis ist vollständig.

Beweis von Satz D.3.12: Wir haben die folgenden nicht-exzeptionellen Charaktere im Hauptblock:

Charakter: ξ_{1} ξ_{4} ξ_{5} ξ_{6} ξ_{7} ξ_{8} ξ_{9} ξ_{12} ξ_{17} ξ_{18} ξ_{19} ξ_{20}
[figure: Typ:]

Die Typen der Charaktere wurden mittels der Kongruenz ihres Grades modulo |T_{10}| bestimmt.

Nach Lemma 8.3.1 ist ξ_{1}+ξ_{4}+2ξ_{9} der Charakter eines projektiven Moduls. Der Steinberg-Charakter sitzt wegen Satz 4.6.6 an χ_{t}. Die vier Paare (ξ_{5}, ξ_{6}), (ξ_{7}, ξ_{8}), (ξ_{17}, ξ_{18}), und (ξ_{19}, ξ_{20}) sind jeweils auf ℓ′-Klassen komplex konjugiert (siehe [70]). Es ergibt sich der reelle Stamm des Baumes zu:

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}]

Sei μ derjenige kuspidale unipotente Charakter von Suz(q^{2}), der im Buch von Carter mit ^{2}B_{2}[a] und oben mit ξ_{3} bezeichnet wird. Die Harish-Chandra-Induktion von μ liefert den projektiven Charakter ξ_{5} + ξ_{7}, diejenige von μ̄ den projektiven ξ_{6} + ξ_{8}. Von den Charakteren, die noch nicht festgelegt sind, haben außer ξ_{5} und ξ_{6} alle den Typ Kreuz. Da der Grad von ξ_{5} kleiner ist als der Grad jedes dieser Charaktere vom Typ Kreuz, ist ξ_{5}, und damit natürlich auch ξ_{6}, ein Endknoten.

Jeder der Knoten ξ_{7}, ξ_{17} und ξ_{19} ist damit verbunden zu ξ_{9} oder zu χ_{t}. Es ist jedoch:

ξ_{9}(1) − (ξ_{7}(1) − ξ_{5}(1)) < 0,
ξ_{9}(1) − ξ_{17}(1) < 0,
ξ_{9}(1) − ξ_{19}(1) < 0.

Damit sind alle diese Knoten mit χ_{t} verbunden. Nehmen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, daß ξ_{5} in der oberen Hälfte des Baumes lokalisiert ist, dann gibt es nur die folgenden drei möglichen Formen für den Baum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}; ξ_{5}; ξ_{6}; ξ_{7}; ξ_{8}; 3; 5]

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}; ξ_{5}; ξ_{6}; ξ_{7}; ξ_{8}; 4; 7]

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}; ξ_{5}; ξ_{6}; ξ_{7}; ξ_{8}; 5; 9]

Die Kanten dieser Bäume sind gemäß der Green-Korrespondenz numeriert. Dabei haben wir nur diejenigen Kanten wirklich mit einer Nummer versehen, die im folgenden Argument gebraucht werden. Der Leser möge als Übung die Numerierung der Kanten vervollständigen.

Die Kante zu ξ_{5} hat eine der Nummern 3, 4 oder 5, entsprechend den drei Möglichkeiten. Der Green-Korrespondent des entsprechenden einfachen Moduls ist also (ℓ^{d} − 1)Ai mit i ∈ {3, 4, 5}. Nun ist (ℓ^{d} − 1)Ai ⊗ (ℓ^{d} − 1)Ai = 1A(2i − 1). Auf der anderen Seite ist ξ_{5} ⊗ ξ_{5} = ξ_{17} + (Charaktere anderer Blöcke). Die hier und im folgenden benutzten Skalarprodukte wurden von G. Malle ausgerechnet. Es folgt, daß ξ_{17} an einer Kante mit der Nummer 5, 7 oder 9 liegt. Dies bestimmt in jeder der drei Möglichkeiten die Einbettung bis auf die Reihenfolge von ξ_{19} und ξ_{20}. Diese haben jedoch ihre Irrationalitäten in einem Körper, der disjunkt zu denjenigen ist, der die Irrationalitäten der anderen Charaktere enthält. Wir können also ihre Reihenfolge beliebig festlegen.

Beweis von Satz D.3.13: Wir haben die folgenden nicht-exzeptionellen Charaktere im Hauptblock:

Charakter: ξ_{1} ξ_{4} ξ_{5} ξ_{6} ξ_{7} ξ_{8} ξ_{10} ξ_{13} ξ_{15} ξ_{16} ξ_{19} ξ_{20}
[figure: Typ:]

Wieder wurden die Typen der Charaktere mittels der Kongruenz ihres Grades modulo |T_{11}| bestimmt.

Nach Lemma 8.3.1 ist ξ_{1}+ξ_{4}+2ξ_{10} der Charakter eines projektiven Moduls. Der Steinberg-Charakter sitzt wegen Satz 4.6.6 an χ_{t}. Die vier Paare (ξ_{5}, ξ_{6}), (ξ_{7}, ξ_{8}), (ξ_{15}, ξ_{16}), und (ξ_{19}, ξ_{20}) sind jeweils auf ℓ′-Klassen komplex konjugiert [70]. Es ergibt sich der reelle Stamm des Baumes zu:

Wir haben auch hier wieder die beiden Projektiven ξ_{5} + ξ_{7} und ξ_{6} + ξ_{8}. Aus Gradgründen sind ξ_{7} und ξ_{8} mit ξ_{4} verbunden. Ebenso aus Gradgründen sitzen weder ξ_{15} noch ξ_{19} an ξ_{10}. Daraus ergeben sich nur die folgenden drei möglichen Formen für den Baum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{10}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{13}; ξ_{8}; ξ_{7}; 3; 2; 4; 6; 8]

[figure: ξ_{1}; ξ_{10}; ξ_{4}; ξ_{13}; ξ_{8}; ξ_{7}; 3; 2; 4; 6]

[figure: ξ_{5}; ξ_{6}; ξ_{7}; ξ_{8}; 2; 10; 4; 5]

Wir haben wieder diejenigen Kanten gemäß Green-Korrespondenz numeriert, die für die folgenden Argumente von Bedeutung sind. Wir haben zunächst:

ξ_{5} ⊗ ξ_{5} = ξ_{15} + Charaktere anderer Blöcke.

Der Green-Korrespondent von ξ_{5} ist im dritten Fall 1A2. Aus 1A2 ⊗ 1A2 = 1A4 folgt, daß ξ_{15} an der Kante mit Nummer 4 sitzen muß. Dann ist entweder ξ_{19} oder ξ_{20} an der Kante mit Nummer 5. Aus 1A5 ⊗ 1A5 = 1A10 folgt nun, daß ξ_{6} in einem der Tensorprodukte ξ_{19} ⊗ ξ_{19} oder ξ_{20} ⊗ ξ_{20} vorkommt. Es ist jedoch ⟨(ξ_{19} + ξ_{20}) ⊗ (ξ_{19} + ξ_{20}), ξ_{6}⟩ = 0. Dieser Widerspruch schließt den dritten Fall aus.

Im zweiten Fall ist der Green-Korrespondent von ξ_{5} entweder 1A2 oder 1A3. Dann müßte ξ_{15} an einer Kante mit der Nummer 4 oder 6 sitzen. Da weder das eine noch das andere der Fall ist, ist auch diese zweite Möglichkeit ausgeschlossen.

Sei im ersten Fall 1Ai, i ∈ {2, 3, 4} der Green-Korrespondent von ξ_{5}. Dann ist 1A2i der Green-Korrespondent von ξ_{15}. Dies schließt die Möglichkeit i = 3 aus. Aber auch i = 4 ist unmöglich, weil dann an Kante 8 sowohl ξ_{15} als auch ξ_{6}, als komplex konjugierter von ξ_{5}, sitzen müssen. Disjunkte Irrationalitäten erlauben die Wahl der Reihenfolge von ξ_{19} und ξ_{20}. Damit ist der eingebettete Brauerbaum vollständig bestimmt.

120 DIE BRAUERBÄUME DER REE-GRUPPEN: BEWEISE

Anwendungen und weitere Beispiele

In diesem Kapitel gebe ich zunächst in der G_{2}(q) ein Beispiel für eine Isotypie zweier Blöcke. Damit wird für diesen Fall eine Vermutung von Broué bestätigt.

Danach werde ich drei Anwendungen der in der vorliegenden Arbeit bestimmten Zerlegungsmatrizen aufzeigen. Zunächst werden die minimalen Grade treuer Darstellungen der G_{2}(q) bestimmt. Diese Grade in Charakteristik 3 spielen eine Rolle in einer Arbeit von Kleidman und Liebeck [60], in der sie eine von Feit und Tits begonnene Untersuchung abschließen.

Danach weise ich nach, daß in der G_{2}(q) die Alperin–McKay- und die Brauersche Höhenvermutung erfüllt sind.

Schließlich betrachte ich eine spezielle Geometrie, das Reesche Unital, auf dem die Ree-Gruppe ^{2}G_{2}(q^{2}) als Automorphismengruppe operiert. Unter Benutzung der Brauerbäume, sowie Ergebnissen von Landrock und Michler über die 2-modularen Darstellungen dieser Gruppe, können die ℓ-Ränge der Inzidenzmatrix dieser Geometrie für jede Primzahl ℓ bestimmt werden.

9.1 Beispiel einer Isotypie

Beim Betrachten der Zerlegungsmatrizen des Hauptblockes von G = G_{2}(q) fällt auf, daß diese in den beiden Fällen ℓ | q − 1, ℓ ≠ 2, 3 und ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2, 3 gewisse Gemeinsamkeiten aufweisen. So stimmen etwa die Anzahl der irreduziblen Brauercharaktere und die Anzahl der gewöhnlichen irreduziblen Charaktere überein. Die Anzahl der exzeptionellen Familien ist die gleiche, und die Familien können einander so zugeordnet werden, daß entsprechende Familien die gleiche Anzahl von Charakteren enthalten. Sieht man etwas genauer hin, so erkennt man auch, daß die beiden Zerlegungsmatrizen durch elementare Matrixoperationen ineinander übergeführt werden können. Diese Ähnlichkeit wird zum Teil dadurch erklärt, daß jeder dieser Blöcke von gleichem Typ ist wie sein Brauer-Korrespondent im Normalisator der Defektgruppe. Dies wollen wir im folgenden für den Fall ℓ | q + 1 etwas genauer ausführen, und bei dieser Gelegenheit auch den Begriff der Isotypie erklären.

Sei also ℓ | q + 1, ℓ ≠ 2, 3. Sei T = H_{2} der maximale Torus der Ordnung (q + 1)^{2}, und D eine ℓ-Sylowgruppe von T. Dann ist D eine Defektgruppe des Hauptblockes B_{1}. Die Ordnung von D sei ℓ^{2d}. Sei M = N_{G}(D), und b_{1} der Hauptblock von M. In [3, CONJECTURE 6.1] äußert Broué die Vermutung, daß in der vorliegenden Situation die Blöcke B_{1} und b_{1} isotypisch sind. Dies soll nun nachgerechnet werden. Da isotypische Blöcke perfekt isometrisch sind, ergäbe sich hieraus ein Beweis der Brauerschen Höhenvermutung für diese Blöcke. Die Idee, die Höhenvermutung mittels Isotypien bzw. perfekter Isometrien nachzuweisen, wurde zum erstenmal von Broué geäußert.

Sei (K, R, k) ein ℓ-modulares Zerfällungssystem für G. Für jedes Element x ∈ D seien e_{x} bzw. f_{x} die Blockidempotente der Hauptblöcke von RC_{G}(x) bzw. RC_{M}(x). Mit d_{G}^{(x,e_{x})} wird die verallgemeinerte Zerlegungsabbildung C(G, e_{1}, K) → C_{ℓ′}(C_{G}(x), e_{x}, K) bezeichnet. Nach den beiden Bemerkungen 1 in den Abschnitten 4B und 4C von [3] sind B_{1} und b_{1} genau dann isotypisch wenn eine Isometrie I : R_{K}(M, f_{1}) → R_{K}(G, e_{1}) und eine Familie von perfekten Isometrien

{I^{x} : R_{K}(C_{M}(x), f_{x}) → R_{K}(C_{G}(x), e_{x})}_{{{1}≠⟨x⟩⊆D}}

existiert, so daß für alle 1 ≠ ⟨x⟩ ⊆ D gilt:

d_{G}^{(x,e_{x})} ∘ I = I_{ℓ′}^{x} ∘ d_{M}^{(x,f_{x})}.  (9.1)

In dieser Bedingung steht I_{ℓ′}^{x} für die lineare Abbildung

I_{ℓ′}^{x} : C_{ℓ′}(C_{M}(x), f_{x}, K) → C_{ℓ′}(C_{G}(x), e_{x}, K),

die nach Proposition 2.3.2 induziert wird. Sind B_{1} und b_{1} isotypisch vermöge I, dann ist I eine perfekte Isometrie ([3, PROPOSITION 4.5]).

Die Bezeichnungen in den folgenden Ausführungen folgen denen im Anhang B. Wir haben drei Typen von Elementen aus D zu betrachten: Reguläre Elemente vom Typ h_{2} und irreguläre der Typen h_{2a} und h_{2b}. Ist x vom Typ h_{2}, dann ist C_{G}(x) = C_{M}(x) = T. In diesem Fall setzen wir I^{x} = I^{(2)} = id.

Als nächstes betrachten wir den Fall, daß x vom Typ h_{2a} ist. Dann setzen wir C_{2a} = C_{G}(x) ≅ U_{2}(q^{2}), und M_{2a} = C_{M}(x) = T ⟨ẇ_{a}ẇ_{2}⟩. Der Hauptblock von C_{2a} besitzt zwei irreduzible Brauercharaktere, den trivialen φ_{1} und einen vom Grad q − 1, der mit φ_{q−1} bezeichnet wird. Der Hauptblock von M_{2a} besitzt die beiden irreduziblen Brauercharaktere α_{1}, den trivialen, sowie den alternierenden, im folgenden mit α¯1 bezeichnet. Die Zerlegungsmatrix des Hauptblockes von C_{2a} ist wie folgt:

Char. φ_{1} φ_{q−1} Anzahl
1  1  1
q  1 1  1
{1} 1  ℓ^{d} − 1
{q} 1 1  ℓ^{d} − 1
\{q − 1\}  1 \frac{1}{2}ℓ^{d}(ℓ^{d} − 1)

Es folgt die Zerlegungsmatrix von M_{2a}:

Char. α_{1} α¯1 Anzahl
1  1  1
¯1  1  1
{1} 1  ℓ^{d} − 1
{¯1} 1 ℓ^{d} − 1
\{2\} 1 1 \frac{1}{2}ℓ^{d}(ℓ^{d} − 1)

Hierbei steht ¯1 für gewöhnliche Charaktere von M_{2a} vom Grad 1, die auf dem Element ẇ_{a}ẇ_{2} den Wert −1 haben. Die Zentren von C_{2a} und M_{2a} sind identisch. Sie sind zyklisch von der Ordnung q + 1. Um die verallgemeinerten Zerlegungszahlen von C_{2a} bzw. M_{2a} bezüglich eines zentralen Elementes y zu erhalten, sind die Einträge obiger Zerlegungsmatrizen mit einer geeigneten Einheitswurzel zu multiplizieren.

Wir definieren nun:

I^{(2a)} : ( \begin{matrix}\{1\} \\ \{¯1\} \\ \{2\} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}\{1\} \\ −\{q\} \\ −\{(q − 1)\} \end{matrix} ) .

Dann ist I^{(2a)} eine perfekte Isometrie. Um dies zu sehen, müssen wir uns zuerst überlegen, wie I^{(2a)} die irreduziblen Brauercharaktere abbildet. Aus den Zerlegungsmatrizen folgt sofort:

I_{ℓ′}^{(2a)} : ( \begin{matrix}α_{1} \\ α¯1 \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}φ_{1} \\ −(φ_{1} + φ_{q−1}) \end{matrix} ) .

Offensichtlich erfüllt I^{(2a)} die Gleichungen (9.1) für alle ℓ-Elemente y ∈ C_{2a}. Für zentrale Elemente y setzen wir dabei I^{y} = I^{(2a)} und für nichtzentrale y sei I^{y} = I^{(2)} = id. Aus [3, PROPOSITION 4.5] folgt, daß I^{(2a)} eine perfekte Isometrie ist, wenn die Menge C_{ℓ′}(M_{2a}, f_{2a}, R) auf C_{ℓ′}(C_{2a}, e_{2a}, R) abgebildet wird. Da C_{ℓ′}(M_{2a}, f_{2a}, R) gerade aus den R-Linearkombinationen der irreduziblen Brauercharaktere (die durch 0 auf die ℓ-singulären Klassen fortgesetzt sind) besteht, ist diese letzte Bedingung trivialerweise erfüllt.

Wir müssen nun eine Isometrie I zwischen den Hauptblöcken von M und von G angeben, so daß die Gleichungen (9.1) für I mit I^{(2a)} und I^{(2)} erfüllt sind. Dazu bestimmen wir zuerst die Charaktertafel von M. Die Operation von W auf D ist im Anhang beschrieben. Um die Charaktertafel des Hauptblockes von M auszurechnen, müssen wir zunächst die Trägheitsgruppen von W auf der Menge der irreduziblen Charaktere von D bestimmen. Es gibt zwei nichttriviale Trägheitsgruppen, nämlich ⟨w_{a}w_{2}⟩ und ⟨w_{b}w_{2}⟩. Erstere führt zu Paaren von Charakteren vom Grad 6, die mit λ_{2a} bzw. λ′_{2a} bezeichnet werden. Die Charaktere, die zur zweiten Trägheitsgruppe gehören, seien λ_{2b} und λ′_{2b}. (Diese Charaktere von D ergeben die irreduziblen Charaktere X_{2a}, X′_{2a}, bzw. X_{2b}, X′_{2b} im Hauptblock von G.) Die Charaktere der Faktorgruppe W seien wie im Anhang bezeichnet. Schließlich seien λ_{2} die Charaktere zur trivialen Trägheitsgruppe.

Es sei nun y ein ℓ-Element aus D vom Typ h_{2a}. Es bezeichne κ eine primitive ℓ^{d}-te Einheitswurzel (|D| = ℓ^{2d}), und u einen Parameter für die irreduziblen Charaktere vom Typ λ_{2a}, λ′_{2a} und λ_{2b}, λ′_{2b} aus dem Hauptblock von M. Weiter setzen wir κ_{v} = κ^{v} + κ^{−v} für jede ganze Zahl v. Dann sind die verallgemeinerten Zerlegungszahlen von M bezüglich y und dem Hauptblock wie folgt:

Char.  α_{1}  α¯1
φ_{1,0}  1
φ_{1,3}′  1
φ_{1,3}′′  1
φ_{2,1}  1  1
φ_{2,2}  1  1
φ_{1,6}  1
λ_{2a}^{′(u)} κ_{u} + κ_{2u}  κ_{u}
λ_{2a}^{(u)} κ_{u} κ_{u} + κ_{2u}
λ_{2b}^{′(u)} κ_{3u} + 1 κ_{3u} + 1
λ_{2b}^{(u)} κ_{3u} + 1 κ_{3u} + 1
{λ_{2}} λ_{2}(y)/2 λ_{2}(y)/2

Aus der Charaktertafel von G, die im Anhang angegeben ist, kann man leicht die verallgemeinerten Zerlegungszahlen von G bezüglich y und dem Hauptblock ausrechnen. Mit den gleichen Bezeichnungen wie oben sind diese wie folgt:

Char. φ_{1}  φ_{q−1}
X_{11}  1
X_{13} 1 1
X_{14} −1
X_{17}  1
X_{18}  1
X_{12} −1  −1
X_{2a}^{′(u)} −κ_{2u}  κ_{u}
X_{2a}^{(u)} −κ_{2u} −κ_{u} − κ_{2u}
X_{2b}^{′(u)}  κ_{3u} + 1
X_{2b}^{(u)}  −κ_{3u} − 1
{X_{2}}  −X_{2}(h_{2a,1})

Daraus folgt nun leicht, daß die Isometrie

I : ( \begin{matrix}φ_{1,0} \\ φ_{1,3} & ′ \\ φ_{1,3} & ′′ \\ φ_{2,1} \\ φ_{2,2} \\ φ_{1,6} \\ \{λ′_{2a}\} \\ \{λ_{2a}\} \\ \{λ′_{2b}\} \\ \{λ_{2b}\} \\ \{λ_{2}\} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}X_{11} \\ −X_{13} \\ −X_{14} \\ −X_{17} \\ −X_{18} \\ X_{12} \\ −\{X′_{2a}\} \\ \{X_{2a}\} \\ −\{X′_{2b}\} \\ \{X_{2b}\} \\ \{X_{2}\} \end{matrix} )

mit den perfekten Isometrien I^{(2a)}, I^{(2b)} und I^{(2)} die Gleichungen (9.1) erfüllt (hierbei ist I^{(2b)} analog zu I^{(2a)} definiert). Aus [3, PROPOSITION 4.5] und der Bemerkung 1 nach [3, DÉFINITION 4.6] folgt, daß I eine perfekte Isometrie ist, und eine Isotypie zwischen den ℓ-Hauptblöcken von M und von G induziert. Wir überlassen es dem Leser, die Wirkung von I auf den irreduziblen Brauercharakteren von M zu bestimmen.

9.2 Die minimalen Grade der treuen Darstellungen von G_{2}(q)

Satz 9.2.1 Sei G = G_{2}(q) und ℓ eine Primzahl. Wir schreiben g_{ℓ} für den minimalen Grad einer treuen Darstellung von G über einem Körper der Charakteristik ℓ. Dann gilt:

(A) Sei ℓ | q. Dann ist

g_{ℓ} = \{ \begin{matrix}6, & falls q gerade, \\ 7, & falls q ungerade. \end{matrix}

(B) Sei ℓ |̸ q. Dann ist für

1. ℓ = 2:

g_{2} = \{ \begin{matrix}14, & falls q = 3, \\ q^{2}(q^{2} + 1), & falls q = 3^{f}, f ≥ 2, \\ q^{3} + 1, & falls q ≡ 1(mod 3), \\ q^{3} − 1, & falls q ≡ −1(mod 3). \end{matrix}

2. ℓ = 3:

g_{3} = \{ \begin{matrix}6, & falls q = 2, \\ q^{3}, & falls q ≡ 1(mod 3), \\ q^{3} − 1, & falls q ≡ −1(mod 3), q ≠ 2. \end{matrix}

3. ℓ > 3 oder ℓ = 0:

g_{ℓ} = \{ \begin{matrix}6, & falls q = 2, \\ 14, & falls q = 3, \\ q^{4} + q^{2} + 1, & falls q ≡ 0(mod 3), q ≠ 3, \\ q^{3} + 1, & falls q ≡ 1(mod 3), \\ q^{3} − 1, & falls q ≡ −1(mod 3), q ≠ 2. \end{matrix}

Beweis: Der Fall (A) gleicher Charakteristik ist bekannt. Für q ≡ 1(mod 3) ist q^{3} + 1 der minimale Grad einer treuen Darstellung von G in Charakterisitk 0. Für q ≡ −1(mod 3) ist dies q^{3} − 1 außer für q = 2, wo es die folgenden nichttrivialen Charaktere von kleinerem Grad gibt:

Char. X_{32} X_{17} X_{18} X_{19} X̄_{19}
Grad 7 7 1 6 6

DIE ALPERIN–McKAY-VERMUTUNG IN G_{2}(q) 127

Für q ≡ 0(mod 3) ist q^{4} + q^{2} + 1 der minimale Grad, außer für q = 3, wo es die folgenden kleineren Grade gibt:

Char. X_{22} X_{13} X_{14} X_{17} X_{18} X_{19} X̄_{19}
Grad 91 91 91 78 14 64 64

Mit Hilfe der Zerlegungsmatrizen aus Anhang C sowie der dort ebenfalls angegebenen unteren Schranken für die Grade der Brauercharaktere folgt nun die Behauptung. Es sollte erwähnt werden, daß die minimalen Grade für q ≤ 3 auch aus Parkers Sammlung von modularen Charaktertafeln [73] ersichtlich sind.

9.3 Die Alperin–McKay-Vermutung in G_{2}(q)

In diesem Abschnitt prüfen wir nach, ob die sogenannte Alperin–McKay-Vermutung für die Gruppe G = G_{2}(q) in nicht-definierender Charakteristik erfüllt ist. Dazu führen wir die folgende Notation ein. Sei ℓ eine Primzahl mit ℓ |̸ q. Sei A ein ℓ-Block von G mit Defektgruppe D und a der Brauer-Korrespondent von A in N_{G}(D). Für die Anzahl der irreduziblen gewöhnlichen Charaktere in A der Höhe Null setzen wir k_{0}(A). Die Alperin–McKay-Vermutung ist erfüllt, wenn k_{0}(A) = k_{0}(a) ist. Ist T eine abelsche Untergruppe von G, so schreiben wir T^{u} für die größte Untergruppe ungerader Ordnung von T. Die maximalen Tori von G bezeichnen wir mit T_{i} = H_{i}, i ∈ {1, 2, a, b, 3, 6}, den Durchschnitt T_{i} ∩ T_{j} mit T_{ij}. Weiter seien ẇ_{i} geeignete Repräsentanten der Elemente von W. Diese werden in den folgenden Ausführungen näher spezifiziert.

Lemma 9.3.1 Sei q eine ungerade Primzahlpotenz und

i = \{ \begin{matrix}1, & falls q ≡ 1(mod 4), \\ 2, & falls q ≡ −1(mod 4). \end{matrix}

Sei T = T_{i} und D_{0} ∈ Syl_{2}(T). Dann gibt es Repräsentanten ẇ_{a} und ẇ_{2} in N_{G}(T), so daß D = ⟨D_{0}, ẇ_{a}, ẇ_{2}⟩ eine 2-Sylowgruppe von G ist. Weiter ist N_{G}(D) = D und |D/D′| = 8. Insbesondere ist die Alperin–McKay-Vermutung für den 2-Hauptblock von G erfüllt.

Beweis: Sei M = N_{G}(T) und D_{1} ∈ Syl_{2}(M). Aus Ordnungsgründen folgt sofort, daß D_{1} eine 2-Sylowgruppe von G ist. Weiter ist D_{0}⊲D_{1} und D_{1}/D_{0} ≅ D_{1}T/T ist in M/T zu ⟨w_{a}, w_{2}⟩ konjugiert. Daraus folgt die erste Aussage über D.

Aus der Operationstabelle (A.1) entnehmen wir D_{0} ≥ D′ ≥ D_{0}^{2} = {t^{2} | t ∈ D_{0}} und D′ ≠ D_{0}^{2}. Hieraus ergibt sich leicht, daß |D/D′| = 8 und |D′| ≥ 8 ist, woraus C_{G}(D′) = T folgt. Also ist T normal in N_{G}(D′), d.h. N_{G}(D′) ≤ N_{G}(T) = M. Wegen N_{G}(D) ≤ N_{G}(D′) und N_{G}(D) ∩ T = D_{0} folgt nun leicht N_{G}(D) = D. Die Anzahl der Charaktere der Höhe Null im Hauptblock von N_{G}(D) ist somit gleich 8, und deshalb gleich wie die entsprechende Anzahl im Hauptblock von G.

Lemma 9.3.2 Sei q eine ungerade Primzahlpotenz und i wie in Hilfssatz 9.3.1. Die Zahl i′ ∈ {1, 2} sei gerade umgekehrt wie i erklärt, also i′ = 3 − i. Sei d ∈ ℕ definiert durch

2^{d} ∥ q − 1, falls q ≡ 1(mod 4),

bzw.

2^{d} ∥ q + 1, falls q ≡ −1(mod 4).

Wir definieren nun 2 Typen von 2-Untergruppen von G wie folgt:

(A) Sei D_{i} ∈ Syl_{2}(T_{i}) und für j = a, b sei

D_{ij} = \{ \begin{matrix}⟨D_{i}, ẇ_{j}⟩, & falls i = 1, \\ ⟨D_{i}, ẇ_{j}ẇ_{2}⟩, & falls i = 2. \end{matrix}

(B) Sei D_{j} ∈ Syl_{2}(T_{j}), j = a, b und

D_{i′j} = \{ \begin{matrix}⟨D_{j}, ẇ_{j}ẇ_{2}⟩, & falls i = 1, \\ ⟨D_{j}, ẇ_{j}⟩, & falls i = 2. \end{matrix}

(Wir setzen voraus, daß die Repräsentanten ẇ_{j} und ẇ_{2} so gewählt sind, daß die D_{ij} tatsächlich 2-Gruppen sind.) Sei nun D_{ij} eine der unter (A) oder (B) definierten 2-Untergruppen von G. Dann gilt:

(1) C_{G}(D_{ij}) = T_{ij} = T_{i} ∩ T_{j}.

(2) C_{G}(D_{ij})D_{ij} = T_{ij}^{u} × D_{ij}.

(3) N_{G}(D_{ij}) = (T_{ij}^{u} × D_{ij})⟨ẇ_{2}⟩.

(4)

|D_{ij}/D′_{ij}| = \{ \begin{matrix}2^{d+1}, & im Fall (A), \\ 4, & im Fall (B). \end{matrix}

(5) Für jedes λ ∈ Irr(T_{ij}^{u}), λ ≠ 1, existiert ein Block b_{ij}^{λ} von N_{G}(D_{ij}) mit Defektgruppe D_{ij} und Brauer-Korrespondenten B_{ij}^{λ}. Dies ist einer der Blöcke vom Typ B_{3} oder B_{ij} aus Kapitel C des Anhangs. Weiter gilt:

k_{0}(b_{ij}^{λ}) = k_{0}(B_{ij}^{λ}) = \{ \begin{matrix}2^{d+1}, & im Fall (A), \\ 4, & im Fall (B). \end{matrix}

(6) Falls 4 | q − 1 und 3 | q − 1 oder 4 | q + 1 und 3 | q + 1, dann existiert im Fall (A) ein λ der Ordnung 3, so daß B_{ij}^{λ} der entsprechende Block vom Typ B_{3} ist. Falls 4 | q − 1 und 3 | q + 1 oder 4 | q + 1 und 3 | q − 1, dann existiert im Fall (B) ein λ der Ordnung 3, so daß B_{ij}^{λ} der entsprechende Block vom Typ B_{3} ist.

Beweis:

(1) Sei t_{a} = h(z, 1, z^{−1}) ∈ T_{1a} ∩ D_{1a} mit |t_{a}| > 2. Ein solches Element existiert wegen 4 | q − 1. Dann ist C_{G}(t_{a}) = ⟨T_{1}, X_{a}, X_{−a}⟩. Sei t_{b} = h(z, z, z^{−2}) ∈ T_{1b} ∩ D_{1a} mit |t_{b}| > 2. Dann ist C_{G}(t_{b}) = ⟨T_{1}, X_{b}, X_{−b}⟩. Daraus folgt nun C_{G}(D_{1a}) ≤ T_{1}. Der Zentralisator in T_{1} von ẇ_{a} ist gerade T_{1a}, woraus die Behauptung im Falle (A) für i = 1 und j = a folgt. Die restlichen Fälle können analog behandelt werden.

(2) Dies ist klar.

(3) Wir behandeln zunächst den Fall (A). Sei i = 1, d.h. 4 | q − 1. Es ist C_{G}(T_{1a}) = ⟨T_{1}, X_{a}, X_{−a}⟩ ≅ GL_{2}(q), und N_{G}(T_{1a}) = ⟨T_{1}, X_{a}, X_{−a}⟩⟨ẇ_{2}⟩. Wegen C_{G}(D_{1a}) = T_{1a} folgt hieraus zunächst N_{G}(D_{1a}) ≤ N_{G}(T_{1a}), und daraus dann N_{G}(D_{1a}) = C_{G}(D_{1a})D_{1a}⟨ẇ_{2}⟩. Analog werden die anderen Teilfälle unter (A) behandelt.

Wir kommen jetzt zum Fall (B). Sei wieder i = 1, d.h. 4 | q − 1. Sei h(z^{q}, z^{1−q}, z^{−1}) ein Element aus T_{a} ∩ D_{2a}. Wir haben

ẇ_{2}^{−1}ẇ_{a}^{−1}h(z^{−q}, z^{q−1}, z)ẇ_{a}ẇ_{2}h(z^{q}, z^{1−q}, z^{−1}) = h(z^{q+1}, 1, z^{−(q+1)}).

Daraus folgt nun D′_{2a} = T_{1a}∩D_{2a} und |D_{2a}/D′_{2a}| = 4. Wir erhalten N_{G}(D_{2a}) ≤ N_{G}(C_{G}(D′_{2a})) ≤ N_{G}(T_{1a}). Der Rest ergibt sich wie oben.

(4) Dies folgt aus der Operationstabelle A.1. Wir wollen es im Fall (A) für i = 1 und j = a vorführen. Sei t_{b} = h(z, z, z^{−2}) ∈ T_{1b} ∩ D_{1a}. Dann ist ẇ_{a}^{−1}h(z^{−1}, z^{−1}, z^{2})ẇ_{a}h(z, z, z^{−2}) = h(z^{−2}, z, z)h(z, z, z^{−2}) = h(z^{−1}, z^{2}, z^{−1}). Daraus sieht man sofort, daß D′_{1a} die Ordnung 2^{d} hat. Die Ordnung der Kommutatorgruppe im Fall (B) wurde schon im Beweis von (3) bestimmt.

(5) Jeder nichttriviale Charakter λ aus Irr(T_{ij}^{u}) bestimmt einen 2-Block von C_{G}(D_{ij})D_{ij} mit Defektgruppe D_{ij}, dessen Trägheitsgruppe in N_{G}(D_{ij}) gerade C_{G}(D_{ij})D_{ij} ist. Sei b_{ij}^{λ} der hieraus durch Induktion der Charaktere hervorgehende Block von N_{G}(D_{ij}). Nach dem erweiterten ersten Hauptsatz von Brauer hat auch b_{ij}^{λ} die Defektgruppe D_{ij}. Die Aussage über den Brauer-Korrespondenten B_{ij}^{λ} ist klar.

Die Aussage über k_{0}(b_{ij}^{λ}) folgt sofort aus (3) und (4): Ein Charakter in b_{ij}^{λ} hat genau dann die Höhe Null, wenn er den Grad 2 hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn er von einem Charakter von T_{ij}^{u} ×D_{ij} der Form λ×μ, μ(1) = 1 induziert ist. Also ist k_{0}(b_{ij}^{λ}) = |D_{ij}/D′_{ij}|. Die Gleichheit von k_{0}(b_{ij}^{λ}) und k_{0}(B_{ij}^{λ}) folgt durch Inspektion der Zerlegungsmatrizen.

(6) Diese Aussagen sind klar.

Es ist bemerkenswert, daß der Deligne–Lusztig-Funktor, angewandt auf die Charaktere der Höhe Null, die in einer Wurzel von B_{ij}^{λ} in T_{ij}^{u} × (D_{ij} ∩ T) liegen, gerade die Charaktere der Höhe Null in B_{ij}^{λ} liefert. Hierbei ist T der zur Definition von D_{ij} verwendete maximale Torus.

Lemma 9.3.3 Sei q nicht durch 3 teilbar und L = C_{G}(h(ω, ω, ω)). Dann ist L ≅ SL_{3}(q), wenn 3 | q − 1, und L ≅ SU_{3}(q^{2}), wenn 3 | q + 1 ist. Es ist N_{G}(L) = L: ⟨ẇ_{2}⟩, wobei ẇ_{2} den Graph-Automorphismus von L bewirkt, die Matrizen der natürlichen Darstellung von L also transponiert und invertiert.

Wir nehmen weiter an, daß 9 kein Teiler von q^{2} − 1 ist. Dann ist eine 3-Sylowgruppe D von L extraspeziell von der Ordnung 27 und vom Exponenten 3. Im Falle L ≅ SU_{3}(q^{2}) identifizieren wir L mit der Menge der 3 × 3-Matrizen x über 𝔽_{q^{2}} der Determinante 1, die außerdem die Gleichung x̄^{t} = x^{−1} erfüllen, wobei x̄ aus x ensteht, indem die Einträge in die q-te Potenz erhoben werden. Für ω^{−1} schreiben wir im folgenden auch ω̄. Wir setzen

a = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ ω & 0 & 0 \\ 0 & ω̄ & 0 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}0 & ω̄ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ ω & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Dann ist D = ⟨a, b⟩ eine 3-Sylowgruppe von L.

Sei weiter

x = \frac{1}{1 − ω} ( \begin{matrix}1 & 1 & ω \\ ω & ω̄ & ω \\ ω & 1 & 1 \end{matrix} ) , y = x^{t} = \frac{1}{1 − ω} ( \begin{matrix}1 & ω & ω \\ 1 & ω̄ & 1 \\ ω & ω & 1 \end{matrix} ) .

Dann ist Q = ⟨x, y⟩ eine Quaternionengruppe der Ordnung 8, die D normalisiert. Weiter ist N_{L}(D) = DQ. Die Gruppe N_{L}(D)/D′ besitzt genau 6 irreduzible Charaktere der Grade {1, 1, 1, 1, 2, 8}.

Sei ρ der Graph-Automorphismus von L. Dann ist D, und damit auch N_{L}(D), invariant unter ρ. Die Gruppe N_{L}(D)⟨ρ⟩/D′ besitzt genau 9 irreduzible Charaktere der Grade {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 8, 8}.

Beweis: Sei T = T_{1} oder T = T_{2}, je nachdem L = SL_{3}(q) oder L = SU_{3}(q^{2}) ist. Dann ist L = ⟨T, ẇ_{b}, ẇ_{3a+b}⟩, wobei ẇ_{b} und ẇ_{3a+b} geeignete Repräsentanten aus N_{G}(T) sind. Daraus folgt die erste Aussage, die im übrigen wohlbekannt ist, ohne Mühe.

Die Aussage über die Ordnung der 3-Sylowgruppe von L ist wegen unserer Voraussetzung und wegen 3 ∥ q^{4} + q^{2} + 1 klar. Wir haben zunächst ā^{t} = a^{2} = a^{−1} und ebenso b̄^{t} = b^{2} = b^{−1}. Weiter ist

a^{−1}b^{−1}ab = z = ( \begin{matrix}ω & 0 & 0 \\ 0 & ω & 0 \\ 0 & 0 & ω \end{matrix} ) ,

so daß D eine extraspezielle Gruppe der Ordnung 27 in L ist.

Weiter haben wir

x^{2} = y^{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

also haben x und y insbesondere die Ordnung 4. Außerdem gilt x^{−1}yx = y^{−1}, so daß Q in der Tat eine Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Schließlich zeigt x̄^{t} = x^{−1} und ȳ^{t} = y^{−1}, daß Q in L liegt.

Aus den Gleichungen

x^{−1}ax = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) = ab^{2}, x^{−1}bx = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & ω & 0 \\ 0 & 0 & ω̄ \end{matrix} ) = b^{2}a^{2}z,

y^{−1}ay = ( \begin{matrix}ω & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ω̄ \end{matrix} ) = ab, y^{−1}by = ( \begin{matrix}0 & ω & 0 \\ 0 & 0 & ω \\ ω & 0 & 0 \end{matrix} ) = ab^{2}z,

folgt nun auch, daß Q die Gruppe D normalisiert. Jedes Element aus N_{L}(D) zentralisiert Z(D) = D′ = ⟨z⟩. Die Gruppe der Automorphismen von D, die diese Eigenschaft haben, ist modulo den inneren Automorphismen isomorph zu Sp(2, 3) (siehe [94, Theorem 1 (a)]). Da offensichtlich C_{L}(D) = Z(L) ist, und Sp(2, 3) die Ordnung 24 hat, folgt nun N_{L}(D) = DQ.

Es ist leicht zu sehen, daß Q alle nichttrivialen Elemente von D/D′ konjugiert. Deshalb besitzt N_{L}(D)/D′ = DQ/D′ einen irreduziblen Charakter vom Grad 8. Es folgt die Aussage über die Charaktere von N_{L}(D)/D′.

Wegen y = x^{t} ist ρ(x) = (x^{t})^{−1} = y^{−1}. Deshalb sind zwei der 1-dimension-alen Charaktere von N_{L}(D)/D′ unter ρ konjugiert, während alle anderen invariant sind. Daraus folgt schließlich die Behauptung über die Charaktergrade von N_{L}(D)⟨ρ⟩/D′.

Lemma 9.3.4 Sei q eine Potenz einer Primzahl p ≠ 3 und

i = \{ \begin{matrix}1, & falls q ≡ 1(mod 3), \\ 2, & falls q ≡ −1(mod 3). \end{matrix}

Sei d ∈ ℕ definiert durch

3^{d} ∥ q − 1, falls q ≡ 1(mod 3),

bzw.

3^{d} ∥ q + 1, falls q ≡ −1(mod 3).

Wir setzen T = T_{i}. Sei D_{0} ∈ Syl_{3}(T) und D = D_{0}⟨ẇ_{3}⟩, wobei ẇ_{3} ein Repräsentant von w_{3} ∈ W der Ordnung 3 ist. Dann ist D ∈ Syl_{3}(G) und wir haben |D| = 3^{2d+1}. Sei B_{0} der 3-Hauptblock von G und b_{0} derjenige von N_{G}(D). Dann ist k_{0}(B_{0}) = k_{0}(b_{0}) = 9, d.h. die Alperin–McKay-Vermutung ist in diesem Fall erfüllt.

Beweis: Die folgenden Charaktere aus B_{0} sind genau diejenigen der Höhe Null: {X_{11}, X_{12}, X_{13}, X_{14}, X_{15}, X_{16}, X_{31}, X_{32}, X_{33}}. Also ist k_{0}(B_{0}) = 9.

Da D eine 3-Sylowgruppe von G ist, folgt sofort mit dem Satz von Clifford:

k_{0}(b_{0}) = |Irr(N_{G}(D)/D′)|.

Wir bestimmen zuerst |D/D′|. Sei t = h(z_{1}, z_{2}, z_{1}^{−1}z_{2}^{−1}) ein beliebiges Element aus D_{0}. Dann ist ẇ_{3}^{−1}t^{−1}ẇ_{3}t = h(z_{1}^{2}z_{2}, z_{1}^{−1}z_{2}, z_{1}^{−1}z_{2}^{−2}). Daraus folgt sofort, daß D′ in D_{0} den Index 3, in D demnach den Index 9 hat. Wir können schreiben: D/D′ = ⟨ẇ_{3}D′, h(z_{1}, z_{2}, z_{3})D′⟩, wobei h(z_{1}, z_{2}, z_{3}) ein beliebiges Element aus D_{0} \ D′ ist.

Zur Bestimmung von N_{G}(D) müssen wir zwei Fälle unterscheiden. Sei zuerst d > 1. Sei t = h(z, z^{−3}, z^{2}) ∈ D_{0} mit |t| = 9. Dann ist ẇ_{3}^{−1}t^{−1}ẇ_{3}t = h(z^{−1}, z^{5}, z^{5}). Also enthält D′ Elemente der Form h(z^{−2}, z, z) und dann natürlich auch solche der Form h(z, z, z^{−2}), wobei z die Ordnung 9 hat. Daraus folgt sofort wie im Beweis von Lemma 9.3.2: C_{G}(D′) = T. Wir erhalten: N_{G}(D) ≤ N_{G}(D′) ≤ N_{G}(C_{G}(D′)) = N_{G}(T). Eine leichte Rechnung zeigt nun zunächst N_{G}(D) ∩ T = D_{0}, und dann N_{G}(D) = DS, wobei S eine elementarabelsche Gruppe der Ordnung 4 ist, die von zwei Repräsentanten ẇ_{a} und ẇ_{2} erzeugt wird. Wir erhalten vier Bahnen von N_{G}(D) auf D/D′, wovon wir nur die Repräsentanten angeben: {1}, {ẇ_{3}D′}, {h(z_{1}, z_{2}, z_{3})D′} und {h(z_{1}, z_{2}, z_{3})ẇ_{3}D′}. Diese haben die Längen 1, 2, 2 bzw. 4. Also hat N_{G}(D)/D′ genau 9 irreduzible Charaktere der Grade {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 4}. In diesem Fall ist k_{0}(b_{0}) = 9.

Wir betrachten nun den Fall, daß 9 kein Teiler von |T | ist. Wegen C_{G}(D_{0}) ≤ T ist C_{G}(D) = ⟨h(ω, ω, ω)⟩ = D′. Also ist N_{G}(D) ≤ N_{G}(D′) = C_{G}(h(ω, ω, ω)): ⟨ẇ_{2}⟩. Lemma 9.3.3 zeigt, daß auch in diesem Fall k_{0}(b_{0}) = 9 ist. Damit ist der Beweis vollständig.

Korollar 9.3.5 (1) In jeder nicht-definierenden Charakteristik von G = G_{2}(q) ist die blockweise Version der Alperin–McKay-Vermutung erfüllt.

(2) In G ist für jede Charakteristik die Brauersche Höhenvermutung erfüllt.

Beweis: Die abelschen Defektgruppen von G sind in jedem Falle sehr leicht zu bestimmen. Sei A ein ℓ-Block von G mit abelscher Defektgruppe D, und a sein Brauer-Korrespondent in N_{G}(D). Dann folgt durch Inspektion: k_{0}(A) = |Irr(A)| = |Irr(a)| = k_{0}(a). Damit, und mit Hilfe der obigen Hilfssätze, sind beide Teile des Korollars bewiesen.

9.4 Die Inzidenzmatrix des Ree-Unitals

Sei q^{2} = 3^{2n+1}, n ≥ 0. Das Ree-Unital U ist ein 2-(q^{6} + 1, q^{2} + 1, 1) Block-Design, auf dem G = ^{2}G_{2}(q^{2}) als Automorphismengruppe operiert. Die Punktmenge von U wird mit P, die Geradenmenge mit G bezeichnet. Nach Lüneburg [64] können wir als Punkte die 3-Sylowgruppen, als Geraden die Involutionen von G nehmen. Eine 3-Sylowgruppe U und eine Gerade u sind inzident, wenn u in N_{G}(U) liegt. Wir setzen v = |P| und b = |G|. Dann ist v = q^{6} + 1 und b = q^{4}(q^{4} − q^{2} + 1). Sei I die Inzidenzmatrix von U. Dies ist eine {0, 1}-Matrix mit b Zeilen und v Spalten. Der Eintrag in Position (i, j) ist per Definition genau dann gleich 1, wenn der Punkt mit der Nummer j auf der Geraden mit der Nummer i liegt. Wir wollen in diesem Abschnitt für jede Primzahl ℓ den ℓ-Rang r_{ℓ} von I bestimmen.

Zunächst bemerken wir: Der Stabilisator eines Punktes ist eine Borel-Untergruppe B von G, der Stabilisator einer Geraden ist der Zentralisator L einer Involution u, also L ≅ ⟨u⟩ × P SL_{2}(q^{2}). Sei nun θ ein kommutativer Ring mit 1. Ohne weitere Kommentare wird I als Matrix über θ aufgefaßt. Sei X_{θ} der θG-Permutationsmodul auf den Punkten P und Y_{θ} der θG-Permutationsmodul auf den Geraden G von U. Falls der zugrundeliegende Koeffizientenbereich θ aus dem Zusammenhang hervorgeht, lassen wir den Index θ weg. Wir betrachten nun den θG-Homomorphismus, der definiert ist durch

f_{θ} : Y_{θ} ⟶ X_{θ}
γ ⟼ ∑_{x∈γ} x

wobei γ eine Gerade in U ist. Die Matrix von f_{θ} bezüglich der Basen G von Y_{θ} und P von X_{θ} ist gerade I^{t} (in Spaltenkonvention). Das Bild von f_{θ} in X_{θ} heißt Design-Modul und wird mit Z_{θ} bezeichnet.

Auf X definieren wir ein θG-invariantes Skalarprodukt [ , ] durch die Festlegung, daß die Punkte von U eine Orthonormalbasis bilden. Für einen Untermodul V von X können wir dann den Untermodul V^{⊥} bilden, der aus allen denjenigen Elementen von X besteht, die auf allen Elementen von V senkrecht stehen.

Beispiel 9.4.1 Für x ∈ V sei \underline{x} der Koordinatenvektor bezüglich P aus θ^{1×v}. Dann ist x ∈ V^{⊥} genau dann, wenn I\underline{x}^{t} = 0 ist.

Ist θ = k ein Körper der Charakteristik ℓ, dann ist r_{ℓ} = rank_{k}(I) = dim_{k}(Z_{k}). Da I über dem Primkörper von k definiert ist, hängt r_{ℓ} nur von der Charakteristik ℓ und nicht etwa von der Größe des Körpers k ab. Die Kenntnis der Moduln X_{k} = Ind_{B}^{G}(k) für jeden ausreichend großen Körper k ermöglicht nun die Bestimmung von r_{ℓ}. Sei (K, R, k) ein ℓ-modulares Zerfällungssystem für G.

Satz 9.4.2 Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gilt:

(a) r_{ℓ} = q^{6} + 1, falls ℓ |̸ q^{2} + 1.

(b) r_{ℓ} = q^{6} − \frac{1}{2\sqrt{3}}q^{5} − \frac{1}{2}q^{4} + \frac{1}{2}q^{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}}q, falls ℓ | q^{2} + 1, ℓ ≠ 2.

(c) r_{2} = q^{6} − \frac{1}{\sqrt{3}}q^{5} + \frac{1}{\sqrt{3}}q.

Beweis: (a) Hier folgen wir im wesentlichen dem Beweis von Bemerkung 3.4 aus M. Gecks Diplomarbeit [38]. Zunächst betrachten wir I^{t}I = (a_{ij}). Wir haben

a_{ij} = \{ \begin{matrix}q^{4}, & falls i = j, \\ 1, & falls i ≠ j. \end{matrix}

Die Elementarteiler von I^{t}I sind also {1, q^{4} − 1, q^{4}(q^{4} − 1)(q^{2} + 1)}. Hieraus folgt, daß die Primteiler der Elementarteiler von I Teiler von q^{4}(q^{4}−1)(q^{2}+1) sind. Daraus ersieht man, daß I über k Maximalrang hat, wenn char(k) = 0 oder char(k) |̸ q^{4}(q^{4} − 1)(q^{2} + 1).

Für ℓ = 3 oder ℓ | q^{2} − 1, ℓ ≠ 2, ist

X_{k} = k ⊕ V,

mit einem einfachen kG-Modul V der Dimension q^{6}. Offensichtlich ist der ℓ-Rang von I größer als 1, so daß V jedenfalls im Bild von f = f_{k} liegt. Der triviale Untermodul k wird aufgespannt von ∑_{x∈P} x. Sei nun zuerst ℓ | q^{2} −1. Dann haben wir

f(∑_{γ∈G} γ) = ∑_{γ∈G} ∑_{x∈γ} x = q^{4} ∑_{x∈P} x = ∑_{x∈P} x.

Damit ist der triviale Unterraum k im Bild von f, und der Rang von I ist maximal. Sei nun ℓ = 3, d.h. ℓ | q^{2}. Wir betrachten eine beliebige Gerade γ. Darauf liegen q^{2} + 1 Punkte. Also haben wir

[∑_{x∈P} x, f(γ)] = [∑_{x∈P} x, ∑_{y∈γ} y] = q^{2} + 1 = 1 ≠ 0.

Damit ist ∑_{x∈P} x nicht in Bild(f)^{⊥} enthalten, woraus die Surjektivität von f folgt. Damit ist Teil (a) bewiesen.

(b) Sei nun ℓ | q^{2} + 1. Wir haben

Z = Bild(f) ≅ Y/Kern(f).

Sei M ein Kompositionsfaktor im Kopf von Z. Dann ist M auch im Kopf von Y. Weil auf jeder Geraden genau q^{2} + 1 Punkte liegen, bemerken wir Z ⊆ ⟨∑_{x∈P} x⟩^{⊥}.

Wir betrachten zuerst den Fall ℓ ≠ 2. Dann ist X projektiv, nämlich die projektive Hülle des trivialen kG-Moduls. Aus der Kenntnis des Brauerbaumes und allgemeiner Ergebnisse über die unzerlegbaren Moduln in Blöcken mit zyklischer Defektgruppe folgt nun, daß X uniseriell ist. Seine Kompositionsreihe (in absteigender Reihenfolge) ist k, M, N, M^{∗}, k. Hierbei ist M ein einfacher Modul mit Brauercharakter ξ̆_{7}, M^{∗} sein dualer, und N ein einfacher Modul der Dimension (q^{2} − 1)(q^{4} − \frac{1}{\sqrt{3}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{3}}q + 1). Wir zeigen nun, daß weder M noch M^{∗} im Kopf von Y vorkommen. Dann muß N der Kopf des Design-Moduls Z sein, woraus wir dessen Dimension berechnen können.

Sei V_{k} ein unzerlegbarer direkter Summand von Y_{k}, der M oder M^{∗} im Kopf habe. Da V_{k} eine triviale Quelle besitzt ist er zu einem direkten Summanden V_{R} von Y_{R} liftbar. Wir wollen zeigen, daß der gewöhnliche Charakter von V_{R} einen Konstituenten ξ_{7} oder ξ_{8} besitzt. Da die ℓ-Sylowgruppe von G eine T I-Menge ist (Lemma 8.1.1), hat V_{k} den Vertex D oder ist projektiv. Im letzteren Falle ist V_{k} die projektive Hülle von M oder M^{∗}. Dann ist der Charakter von V_{R} entweder ξ_{2} + ξ_{7} oder ξ_{2} + ξ_{8}. Sei nun V_{k} nicht projektiv. Dann ist der Charakter von V_{R} einem Knoten des Brauerbaumes vom Typ Kreuz zugeordnet. Der Charakter von V_{R} ist also entweder 1_{G}, ξ_{7}, ξ_{8} oder χ_{0}, wobei χ_{0} die Summe der Exzeptionellen bezeichnet. Aber weder 1_{G} noch χ_{0} besitzen modulare Konstituenten, die Brauercharaktere von M oder M^{∗} sind. Also hat in diesem Fall V_{R} den Charakter ξ_{7} oder ξ_{8}.

Wir sind nun an einem Widerspruch angelangt, denn weder ξ_{7} noch ξ_{8} ist ein gewöhnlicher Konstituent von 1_{L}^{G}. Dies folgt etwa aus der Arbeit von Landrock und Michler [63, Lemma 2.3], denn sowohl ξ_{7} als auch ξ_{8} liegen im 2-Hauptblock von G. Damit ist gezeigt, daß der Kopf von Z_{k} gerade aus N besteht.

(c) Sei schließlich ℓ = 2. Wir verwenden die Ergebnisse und die Notation aus [63]. Die unzerlegbaren Moduln werden durch ihre Sockelreihen dargestellt. Die Einschränkung von Y auf den Hauptblock wird wiederum mit Y bezeichnet. Nach Landrock und Michler haben wir:

X = \begin{matrix}1 \\ φ_{2} \\ φ_{4} φ_{3} φ_{5} \\ φ_{2} \\ 1 \end{matrix}

und

Y = 1 ⊕ \begin{matrix}φ_{3} \\ φ_{2} \\ φ_{4} 1 φ_{5} \\ φ_{2} \end{matrix} ⊕ \begin{matrix}φ_{2} \\ φ_{4} 1 φ_{5} \\ φ_{2} \\ φ_{3} \end{matrix}

Da Z ein epimorphes Bild von Y ist, folgt wegen Z ≠ X und Z ≠ k:

Z ∈ \{ \begin{matrix}φ_{2} \\ 1 \end{matrix} , \begin{matrix}φ_{3} \\ φ_{2} \\ 1 \end{matrix} \} .

Im Fall Z = \begin{matrix}φ_{2} \\ 1 \end{matrix} ist Z ⊆ Z^{⊥}.

Sei \underline{z} eine Zeile von I, die zur Geraden γ gehöre. Sei x ein Punkt auf γ und y ein Punkt, der nicht auf γ liegt. Die Gerade δ durch x und y schneidet γ in x. Ist \underline{w} die zu δ gehörige Zeile von I, dann gilt also \underline{w} \underline{z}^{t} = 1. Nach Beispiel 9.4.1

liegt \underline{z} nicht in Z^{⊥}. Dieser Widerspruch zeigt Z = \begin{matrix}φ_{3} \\ φ_{2} \\ 1 \end{matrix} . Damit ist auch im

Falle ℓ = 2 der Design-Modul bestimmt.

Bemerkung 9.4.3 Sei N_{k} = Z_{k}/(Z_{k} ∩ Z_{k}^{⊥}). Dann ist

dim_{k}(N_{k}) = \{ \begin{matrix}q^{6} + 1, & falls ℓ |̸ q^{2} + 1, \\ (q^{2} − 1)(q^{4} − \frac{1}{\sqrt{3}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{3}}q + 1), & falls ℓ | q^{2} + 1. \end{matrix}

Nach den obigen Ausführungen ist N_{k} isomorph zu einem Untermodul von Y_{k}, nämlich zum Bild desjenigen Endomorphismus, der durch die Matrix I I^{t} beschrieben wir. Wir finden also für den ℓ-Rang dieser Matrix:

rank_{ℓ}(I I^{t}) = \{ \begin{matrix}q^{6} + 1, & falls ℓ |̸ q^{2} + 1, \\ (q^{2} − 1)(q^{4} − \frac{1}{\sqrt{3}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{3}}q + 1), & falls ℓ | q^{2} + 1. \end{matrix}

Dies erklärt vielleicht, warum N_{k} in Charakteristik 2 die gleiche Dimension wie in ungerader Charakteristik ℓ | q^{2} + 1 hat.

Wir haben schon gesehen, daß die Primteiler der Elementarteiler von I Teiler von q^{4}(q^{4} − 1)(q^{2} + 1) sind. Nach dem Beweis des obigen Satzes können diese Elementarteiler keine ungeraden Primteiler haben, die q^{4}(q^{2} − 1) teilen. Also sind diese Primteiler sogar Teiler von q^{2} + 1.

Die folgende Überlegung zeigt, daß die Elementarteiler von I Teiler von q^{4} − 1, und damit von 2(q^{2} + 1) sind. Dabei bezeichnen wir mit J eine Alles-Eins-Matrix geeigneter Größe. Die verwendeten Umformungen sind einer Note von Klemm [61] entnommen.

Zunächst ist

I^{t}I = (q^{4} − 1)E + J,

wobei E die Einheitsmatrix bezeichnet. Weiter gilt

JI = q^{4}J.

Daraus folgt nun

E = \frac{1}{q^{4}(q^{4} − 1)}(q^{4}I^{t} − J)I.

Also sind die Elementarteiler von I Teiler von q^{4}(q^{4} − 1). Damit erhalten wir folgende Aussage über die Elementarteiler von I.

Korollar 9.4.4 Sei m das Produkt der Primteiler von q^{2} + 1. Dann sind die Elementarteiler von I enthalten in {1, 2, 4, 8, am | a ∈ ℕ, am | 2(q^{2} + 1)}. Die Vielfachheit des Elementarteilers 1 ist r_{2} = q^{6} − \frac{1}{\sqrt{3}}q^{5} + \frac{1}{\sqrt{3}}q. Ist q^{2} > 3, dann ist die Summe der Vielfachheiten der Elementarteiler, die durch m teilbar sind, gleich q^{6} + 1 − r_{ℓ} = \frac{1}{2\sqrt{3}}(q^{5} + \sqrt{3}q^{4} − \sqrt{3}q^{2} − q + 2\sqrt{3}). Die Anzahl der Elementarteiler aus \{2, 4, 8\} ist \frac{1}{2\sqrt{3}}q(q^{2} − 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1).

Es ist äußerst bemerkenswert, daß die Summe der Vielfachheiten derjenigen Elementarteiler, die echte 2-Potenzen sind, gerade gleich dem Grad des kuspidalen irreduziblen Charakters ξ_{5} ist.

138 ANWENDUNGEN UND WEITERE BEISPIELE

Anhang A

Die Gruppe G_{2}(q)

Im ersten Kapitel des Anhangs soll wichtige gruppentheoretische Information über G = G_{2}(q) zusammengestellt werden. Diese wird in den Beispielen der Arbeit ständig verwendet. Sie ist verschiedenen Quellen entnommen. Am Schluß des Kapitels folgt die Zerlegung einiger Charaktere.

A.1 Das Wurzelsystem vom Typ G_{2}

[figure: a; 3a + 2b; 3a + b; 2a + b; a + b; b; −3a − b; −2a − b; −a − b; −b; −a; −3a − 2b]

In den folgenden Ausführungen bezeichnen wir das Wurzelsystem mit Φ, und halten das Fundamentalsystem Π = {a, b} fest.

140 ANHANG A. DIE GRUPPE G_{2}(q)

A.2 Die Weylgruppe vom Typ G_{2}

Die Weylgruppe W vom Typ G_{2} ist eine Diedergruppe der Ordnung 12. Ist r eine Wurzel aus Φ, dann sei w_{r} die Spiegelung an ⟨r⟩^{⊥}.

No.  Element  Name
1  1  1
2  w_{a}  w_{a}
3  w_{b}  w_{b}
4  w_{a}w_{b}  w_{6}
5  w_{b}w_{a}  w_{6}^{−1}
6  w_{a}w_{b}w_{a}  w_{3a+b}
7  w_{b}w_{a}w_{b}  w_{a+b}
8 w_{a}w_{b}w_{a}w_{b}  w_{3}
9 w_{b}w_{a}w_{b}w_{a}  w_{3}^{−1}
10 w_{a}w_{b}w_{a}w_{b}w_{a} w_{2a+b}
11 w_{b}w_{a}w_{b}w_{a}w_{b} w_{3a+2b}
12 w_{a}w_{b}w_{a}w_{b}w_{a}w_{b} w_{2}

Die Charaktertafel von W übernehmen wir aus [10, Seite 412]. Dabei ist s_{1} = w_{a} und s_{2} = w_{b}.

ϕ_{1,0} ϕ_{1,6} ϕ_{1,3}′ ϕ_{1,3}′′ ϕ_{2,1} ϕ_{2,2}
(1)  1 1  1  1 2 2
(s_{1})  1 −1  1 −1 0 0
(s_{2})  1 −1 −1  1 0 0
(s_{1}s_{2})  1 1 −1 −1 1 −1
(s_{1}s_{2}s_{1}s_{2}) 1 1 1 1 −1 −1
(w_{0})  1 1 −1 −1 −2 2

A.3 Die maximalen Tori

Die Bezeichnungen für die maximalen Tori und die halbeinfachen Elemente übernehmen wir aus [11, Section 1]. Bis auf Konjugation gibt es die folgenden maximalen Tori:

H_{1} = {h(z_{1}, z_{2}, z_{3}) | z_{i}^{q−1} = 1, z_{1}z_{2}z_{3} = 1},
H_{2} = {h(z_{1}, z_{2}, z_{3}) | z_{i}^{q+1} = 1, z_{1}z_{2}z_{3} = 1},
H_{a} = {h(z^{q}, z^{1−q}, z^{−1}) | z_{i}^{q^{2}−1} = 1},
H_{b} = {h(z, z^{q}, z^{−q−1}) | z_{i}^{q^{2}−1} = 1},
H_{3} = {h(z, z^{q}, z^{q^{2}}) | z_{i}^{q^{2}+q+1} = 1},
H_{6} = {h(z, z^{−q}, z^{q^{2}}) | z_{i}^{q^{2}−q+1} = 1}.

Der Weylgruppe des Torus H_{α} ist W_{α} mit

W_{1} = W_{2} = W,
W_{a} = ⟨w_{a}, w_{2}⟩,
W_{b} = ⟨w_{b}, w_{2}⟩,
W_{3} = W_{6} = ⟨w_{3}, w_{2}⟩.

Die Operation der W_{α} auf H_{α} kann aus der folgenden Tabelle berechnet werden:

\begin{aligned}w_{a}^{−1}h(z_{1}, z_{2}, z_{3})w_{a} & = & h(z_{3}^{−1}, z_{2}^{−1}, z_{1}^{−1}), \\ w_{b}^{−1}h(z_{1}, z_{2}, z_{3})w_{b} & = & h(z_{2}, z_{1}, z_{3}), \\ w_{2}^{−1}h(z_{1}, z_{2}, z_{3})w_{2} & = & h(z_{1}^{−1}, z_{2}^{−1}, z_{3}^{−1}), \\ w_{3}^{−1}h(z_{1}, z_{2}, z_{3})w_{3} & = & h(z_{3}, z_{1}, z_{2}). \end{aligned}  (A.1)

A.4 Die Konjugiertenklassen

In den folgenden Charaktertafeln von G verwenden wir die nachstehenden Bezeichnungen für die Konjugiertenklassen von G und deren Klassentypen. Diese sind aus [11, S. 396ff] übernommen. Dabei steht x_{α}(1) für ein gewisses, nicht-triviales Element aus der Wurzeluntergruppe X_{α}, α ∈ Φ.

1 = Identität,
u_{1} = x_{b}(1),
u_{2} = x_{a}(1),
u_{3} = unipotentes Element mit |C_{G}(u_{3})| = 6q^{4},
u_{4} = unipotentes Element mit |C_{G}(u_{4})| = 2q^{4},
u_{5} = unipotentes Element mit |C_{G}(u_{5})| = 3q^{4},
u_{6} = x_{a}(1)x_{b}(1),

k_{2}  = h(−1, −1, 1),
k_{2,1} = k_{2}x_{b}(1),
k_{2,2} = k_{2}x_{2a+b}(1),
k_{2,3} = k_{2}x_{b}(1)x_{2a+b}(1),
k_{2,4} = k_{2}x_{b}(1)x_{2a+b}(λ), (λ Nicht-Quadrat in 𝔽_{q}),
k_{3}  = h(ω, ω, ω),
k_{3,1} = k_{3}x_{3a+2b}(1),
k_{3,2} = \{ \begin{matrix}Element der Form k_{3} × & (unipotentes Element) \\ mit |C_{G}(k_{3,2})| = 3q^{2} und k_{3,2} ∼ k_{3,2}^{−1}, \end{matrix}
k_{3,3,1} = \{ \begin{matrix}Element der Form k_{3} × & (unipotentes Element) \\ mit |C_{G}(k_{3,3,1})| = 3q^{2} und k_{3,3,1} ≁ k_{3,3,1}^{−1}, \end{matrix}
k_{3,3,2} ∼ k_{3,3,1}^{−1},

h_{1a} = h(z, 1, z^{−1}),  z^{q−1} = 1,  z^{2} ≠ 1,
h_{1a,1} = h_{1a}x_{a}(1),
h_{1b} = h(z, z, z^{−2}), z^{q−1} = 1, z^{2} ≠ 1, z^{3} ≠ 1,
h_{1b,1} = h_{1b}x_{b}(1),
h_{2a} = h(z, z^{−2}, z), z^{q+1} = 1, z^{2} ≠ 1, z^{3} ≠ 1,
h_{2a,1} = h_{2a}x_{3a+2b}(1),
h_{2b} = h(z, z^{−1}, 1), z^{q+1} = 1, z^{2} ≠ 1,
h_{2b,1} = h_{2b}x_{2a+b}(1),
h_{1} = h(z_{1}, z_{2}, z_{3}),  z_{i}^{q−1} = 1,  z_{i}z_{j}^{±1} ≠ 1,
h_{2} = h(z_{1}, z_{2}, z_{3}),  z_{i}^{q+1} = 1,  z_{i}z_{j}^{±1} ≠ 1,
h_{a} = h(z^{q}, z^{1−q}, z^{−1}), z^{q^{2}−1} = 1, z^{q±1} ≠ 1,
h_{b} = h(z, z^{q}, z^{−q−1}), z^{q^{2}−1} = 1, z^{q±1} ≠ 1,
h_{3} = h(z, z^{q}, z^{q^{2}}),  z^{q^{2}+q+1} = 1, z^{3} ≠ 1,
h_{6} = h(z, z^{−q}, z^{q^{2}}), z^{q^{2}−q+1} = 1, z^{3} ≠ 1.

Die Struktur der Zentralisatoren der halbeinfachen Elemente ist in der Tafel von Abschnitt B.4 des Anhangs angegeben. Wir bemerken noch, daß mit unserer früheren Notation gilt:

C_{G}(h_{1a}) = GL_{2}(q)_{a},
C_{G}(h_{1b}) = GL_{2}(q)_{b},
C_{G}(h_{2a}) = U_{2}(q^{2})_{a},
C_{G}(h_{2b}) = U_{2}(q^{2})_{b}.

A.5 Einige Charaktere

Wir geben nun noch die Zerlegung einiger Charaktere von G an, die in der vorliegenden Arbeit verwendet wurden. Für die beiden maximalen parabolischen Untergruppen von G verwenden wir dabei die folgenden Bezeichnungen:

P_{{a}} = P_{a} = ⟨B, w_{a}⟩,
P_{{b}} = P_{b} = ⟨B, w_{b}⟩.

Wir finden für die Permutationscharaktere auf den parabolischen Untergruppen von G:

\begin{aligned}1_{B}^{G} & = & X_{11} + X_{12} + X_{13} + X_{14} + 2X_{15} + 2X_{16}, \\ 1_{P_{a}}^{G} & = & X_{11} + X_{13} + X_{15} + X_{16}, \\ 1_{P_{b}}^{G} & = & X_{11} + X_{14} + X_{15} + X_{16}. \end{aligned}

Bezeichnen wir mit R_{α} den Deligne–Lusztig-Funktor zum maximalen Torus H_{α}, dann haben wir:

R_{1}(1) = X_{11} + X_{12} + X_{13} + X_{14} + 2X_{15} + 2X_{16},
R_{2}(1) = X_{11} + X_{12} − X_{13} − X_{14} − 2X_{17} − 2X_{18},
R_{a}(1) = −X_{11} + X_{12} − X_{13} + X_{14},
R_{b}(1) = −X_{11} + X_{12} + X_{13} − X_{14},
R_{3}(1) = X_{11} + X_{12} − X_{15} + X_{18} − X_{19} − X̄_{19},
R_{6}(1) = X_{11} + X_{12} − X_{16} + X_{17} + X_{19} + X̄_{19}.

Diese Charaktere können leicht aus den Tafeln von Chang und Ree [11] berechnet werden. Sie stehen auch in Schewes Dissertation [78, Seite 105].

Darüberhinaus benötigen wir noch die folgenden, von gewissen Untergruppen induzierten Charaktere. Mit L wird dabei sie zu SL_{3}(q) isomorphe Untergruppe, mit M die zu SU_{3}(q^{2}) isomorphe Untergruppe bezeichnet. Die Spalten der folgenden Tabellen geben die Zerlegung in den unipotenten Charakteren der die jeweilige Spalte überschreibenden induzierten Charaktere an. Die Bezeichnung der Charaktere ist aus [86] übernommen. Wir verzichten hier auf die Wiedergabe der Fusion dieser Untergruppen, da diese ohne Mühe zu bestimmen ist. Wie immer sind in den folgenden Tabellen fehlende Einträge durch 0 zu ersetzen.

Sei zuerst q ≡ −1(mod 3). Wir haben die folgenden von L induzierten Charaktere:

Char. χ_{1}^{G} χ_{q(q+1)}^{G} χ_{q^{3}}^{G} [χ_{(q−1)^{2}(q+1)}^{(u)}]^{G}
X_{11}  1
X_{12}  2  q + 2  q − 1
X_{13}  1  1
X_{14}  2  2
X_{15}  2  1
X_{16}  1  2  1

X_{17}

X_{18}  1
X_{19}  1
X̄_{19}  1

Sei nun q ≡ 1(mod 3). Wir haben die folgenden von M induzierten Charaktere:

Char. [χ_{(q+1)^{2}(q−1)}^{(u)}]^{G}  χ_{1}^{G} ⊗ X_{18}

X_{11}

X_{12} q + 1 \frac{1}{6}q(q − 1)(q − 2)
X_{13}  1
X_{14}  \frac{1}{3}q(q − 1)

X_{15}

X_{16}  \frac{1}{6}q(q − 1)

X_{17}

X_{18}  \frac{1}{6}q(q − 1)
X_{19}  1
X̄_{19}  1

Anhang B

Die Charaktertafel der G_{2}(q)

In diesem Kapitel wird die Charaktertafel der G_{2}(q) für ungerades, nicht durch 3 teilbares q abgedruckt. Diese wurde von Chang und Ree in [11] berechnet. Dort sind allerdings nur die Deligne–Lustig-Charaktere angegeben, sowie die Gleichungen, aus denen die irreduziblen Charaktere daraus gewonnen werden können. In der vorliegenden, expliziten Form ist die Charaktertafel noch nicht veröffentlicht. Für gerade q steht die Charaktertafel der G_{2}(q) in [24], und für durch 3 teilbares q in [23].

B.1 Bezeichnungen

In den folgenden Tabellen steht δ für die Kongruenz von q modulo 4, also

q ≡ δ(mod 4), δ ∈ {1, −1}.

Weiter sind ω, γ, η, θ, τ und σ primitive Einheitswurzeln mit:

ω^{3} = γ^{q−1} = η^{q+1} = θ^{q^{2}−1} = τ^{q^{2}+q+1} = σ^{q^{2}−q+1} = 1.

Für die komplexe Zahl α und die ganze Zahl n schreiben wir

α_{n} = α^{n} + α^{−n}.

Schließlich benutzen wir noch die folgende Abkürzungen:

\begin{matrix}Φ_{3} = q^{2} + q + 1, \\ Φ_{6} = q^{2} − q + 1. \end{matrix}

Wir erklären jetzt die Parameter i, j, k und l, die in einigen Charakterwerten der Tabellen vorkommen. Die Konjugiertenklassen innerhalb eines Klassentyps werden durch die Parameter i bzw. (i, j) gemäß der folgenden Tabelle differenziert. Die Klassentypen sind wie in Abschnitt A.3 bezeichnet. Dabei steht z jeweils für ein primitives Element der entsprechenden Ordnung.

146 ANHANG B. DIE CHARAKTERTAFEL DER G_{2}(q)

h_{1a}(i) = h(z^{i}, 1, z^{−i}),  0 ≤ i ≤ q − 1,  i ≠ \frac{1}{2}(q − 1)
h_{1b}(i) = h(z^{i}, z^{i}, z^{−2i}),  0 ≤ i ≤ q − 1,  \{ \begin{matrix}i ≠ \frac{1}{2}(q − 1), \\ \frac{1}{3}(q − 1), \frac{2}{3}(q − 1) \end{matrix}
h_{2a}(i) = h(z^{i}, z^{−2i}, z^{i}),  0 ≤ i ≤ q + 1,  \{ \begin{matrix}i ≠ \frac{1}{2}(q + 1), \\ \frac{1}{3}(q + 1), \frac{2}{3}(q + 1) \end{matrix}
h_{2b}(i) = h(z^{i}, z^{−i}, 1),  0 ≤ i ≤ q + 1,  i ≠ \frac{1}{2}(q + 1)
h_{1}(i, j) = h(z^{i}, z^{j}, z^{−i−j}),  0 ≤ i, j ≤ q − 1,  \{ \begin{matrix}i, j, i + j, i − j, \\ 2i + j, i + 2j \\ ≢ 0(mod q − 1) \end{matrix}

h_{2}(i, j) = h(z^{i}, z^{j}, z^{−i−j}),  0 ≤ i, j ≤ q + 1,  \{ \begin{matrix}i, j, i + j, i − j, \\ 2i + j, i + 2j \\ ≢ 0(mod q + 1) \end{matrix}
h_{a}(i) = h(z^{iq}, z^{i(1−q)}, z^{−i}), 0 ≤ i ≤ q^{2} − 1,  i ≢ 0(mod q ± 1)
h_{b}(i) = h(z^{i}, z^{qi}, z^{−i(q+1)}), 0 ≤ i ≤ q^{2} − 1,  i ≢ 0(mod q ± 1)
h_{3}(i) = h(z^{i}, z^{iq}, z^{iq^{2}}),  0 ≤ i ≤ q^{2} + q + 1, \{ \begin{matrix}i ≠ \frac{1}{3}(q^{2} + q + 1), \\ \frac{2}{3}(q^{2} + q + 1) \end{matrix}
h_{6}(i) = h(z^{i}, z^{−iq}, z^{iq^{2}}), 0 ≤ i ≤ q^{2} − q + 1, \{ \begin{matrix}i ≠ \frac{1}{3}(q^{2} − q + 1), \\ \frac{2}{3}(q^{2} − q + 1) \end{matrix}

Die Weylgruppe W_{α} des maximalen Torus H_{α} operiert auf den Parametermengen für die Klassen h_{α} bzw. h_{iα}, i = 1, 2. Diese Operation kann leicht aus den Tabellen A.1 bestimmt werden. Parameter, die unter dieser Operation in der gleichen Bahn liegen, bezeichnen die gleiche Konjugiertenklasse. Dies führt bei der Berechnung der Charakterwerte allerdings zu keinen Problemen, da diese natürlich unabhängig vom jeweiligen Repräsentanten einer solchen Bahn von Parametern sind. Die Anzahl der Klassen innerhalb eines Klassentyps kann leicht aus diesen Bemerkungen bestimmt werden.

Die Charaktere eines Charaktertyps werden durch die Parameter k bzw. (k, l) auseinandergehalten. Gemäß der Jordan-Zerlegung von Charakteren gibt es eine Bijektion zwischen den Charaktertypen und den Klassentypen, so daß korrespondierende Typen die gleiche Anzahl von Elementen besitzen. Diese Bijektion läßt sich aus der Tabelle in Abschnitt B.4 bestimmen. Außer für die Typen X_{1} und X_{2} kann man für korrespondierende Typen die gleichen Parametermengen nehmen. Für X_{1} und X_{2} gelten die folgenden Parameterbereiche:

\begin{matrix}X_{1}(k, l) : & 0 ≤ k, l ≤ q − 1, & k, l, k + l, k − l, 2k − l, k − 2l ≢ 0(mod q − 1). \\ X_{2}(k, l) : & 0 ≤ k, l ≤ q + 1, & k, l, k + l, k − l, 2k − l, k − 2l ≢ 0(mod q + 1). \end{matrix}

DER FALL q ≡ −1(mod 3) 147

B.2 Der Fall q ≡ −1(mod 3)

Reprä- Anzahl der  Zentralisator-  Klassen-
sentant Klassen  ordnung  länge
1  1  q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) 1
u_{1}  1  q^{6}(q − 1)(q + 1)  (q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
u_{2}  1  q^{4}(q − 1)(q + 1)  q^{2}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
u_{3}  1  6q^{4}  \frac{1}{6}q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
u_{4}  1  2q^{4}  \frac{1}{2}q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
u_{5}  1  3q^{4}  \frac{1}{3}q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
u_{6}  1  q^{2}  q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{2}  1  q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  q^{4}Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,1}  1  q^{2}(q − 1)(q + 1)  q^{4}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,2}  1  q^{2}(q − 1)(q + 1)  q^{4}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,3}  1  2q^{2}  \frac{1}{2}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,4}  1  2q^{2}  \frac{1}{2}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3}  1  q^{3}(q − 1)(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) q^{3}(q − 1)Φ_{3}
k_{3,1}  1  q^{3}(q + 1)  q^{3}(q − 1)^{2}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
k_{3,2}  1  3q^{2}  \frac{1}{3}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3,3,1} 1  3q^{2}  \frac{1}{3}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3,3,2} 1  3q^{2}  \frac{1}{3}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{1a}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)^{2}(q + 1)  q^{5}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{1a,1}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)  q^{5}(q − 1)(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{1b}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)^{2}(q + 1)  q^{5}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{1b,1}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)  q^{5}(q − 1)(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{2a}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)(q + 1)^{2}  q^{5}(q − 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{2a,1}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q + 1)  q^{5}(q − 1)^{2}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{2b}  \frac{1}{2}(q − 1)  q(q − 1)(q + 1)^{2}  q^{5}(q − 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{2b,1}  \frac{1}{2}(q − 1)  q(q + 1)  q^{5}(q − 1)^{2}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{1}  \frac{1}{12}(q − 3)(q − 5) (q − 1)^{2}  q^{6}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{2}  \frac{1}{12}(q^{2} − 4q + 7) (q + 1)^{2}  q^{6}(q − 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{a}  \frac{1}{4}(q − 1)^{2}  (q − 1)(q + 1)  q^{6}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{b}  \frac{1}{4}(q − 1)^{2}  (q − 1)(q + 1)  q^{6}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{3}  \frac{1}{6}(q + 1)q  q^{2} + q + 1  q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{6}
h_{6}  \frac{1}{6}(q + 1)(q − 2) q^{2} − q + 1  q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}

X_{11} X_{12}  X_{13}  X_{14}
1  1  q^{6}  \frac{1}{3}q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) \frac{1}{3}q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  1  −\frac{1}{3}q(q − 1)(q + 1)  \frac{1}{3}q(2q^{2} + 1)
u_{2}  1  q
u_{3}  1  −\frac{1}{3}q(−5 + q)  −\frac{1}{3}q(q + 1)
u_{4}  1  \frac{1}{3}q(q + 1)  \frac{1}{3}q(q + 1)
u_{5}  1  −\frac{1}{3}q(q + 1)  −\frac{1}{3}q(q − 2)
u_{6}  1
k_{2} 1 q^{2} q q
k_{2,1} 1  q
k_{2,2} 1  q
k_{2,3} 1
k_{2,4} 1
k_{3}  1  −q^{3} \frac{1}{3}(2q + 1)(q^{2} − q + 1)  −\frac{1}{3}(q + 2)(q^{2} − q + 1)
k_{3,1} 1  \frac{1}{3}(q + 1)  \frac{1}{3}(q − 2)
k_{3,2} 1  −\frac{1}{3}(2q − 1)  −\frac{2}{3}(q + 1)
k_{3,3,1} 1  \frac{1}{3}(q + 1)  \frac{1}{3}(q − 2)
k_{3,3,2} 1  \frac{1}{3}(q + 1)  \frac{1}{3}(q − 2)
h_{1a} 1  q  1  q
h_{1a,1} 1  1
h_{1b} 1 q q 1
h_{1b,1} 1  1
h_{2a} 1 −q q −1
h_{2a,1} 1  −1
h_{2b} 1 −q −1 q
h_{2b,1} 1  −1
h_{1}  1  1  1  1
h_{2}  1  1  −1  −1
h_{a}  1  −1 1  −1
h_{b}  1  −1 −1  1
h_{3}  1  1
h_{6}  1  1

DER FALL q ≡ −1(mod 3) 149

X_{15}  X_{16}  X_{17}
1  \frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) \frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) \frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)
u_{1}  \frac{1}{2}q(q + 1)  \frac{1}{6}q(q + 1)(2q + 1)  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{2}  \frac{1}{2}q(q + 1)  \frac{1}{2}q(q + 1)  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{3}  \frac{1}{2}q(q + 1)  −\frac{1}{6}q(−5 + q)  \frac{1}{2}q(q + 1)
u_{4}  −\frac{1}{2}q(q − 1)  \frac{1}{6}q(q + 1)  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{5}  \frac{1}{2}q(q + 1)  −\frac{1}{6}q(q + 1)  \frac{1}{2}q(q + 1)

u_{6}

k_{2}  \frac{1}{2}(q + 1)^{2}  \frac{1}{2}(q + 1)^{2}  −\frac{1}{2}(q − 1)^{2}
k_{2,1}  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,2}  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,3} −\frac{1}{2}(q − 1)  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,4}  \frac{1}{2}(q + 1)  −\frac{1}{2}(q − 1)  −\frac{1}{2}(q + 1)
k_{3}  \frac{1}{3}(q − 1)(q + 1)^{2}  −q(q − 1)
k_{3,1}  −\frac{1}{3}(q + 1)  q
k_{3,2}  \frac{1}{3}(2q − 1)
k_{3,3,1}  −\frac{1}{3}(q + 1)
k_{3,3,2}  −\frac{1}{3}(q + 1)
h_{1a} q + 1  q + 1
h_{1a,1} 1  1
h_{1b} q + 1  q + 1
h_{1b,1} 1  1
h_{2a}  q − 1
h_{2a,1}  −1
h_{2b}  q − 1
h_{2b,1}  −1
h_{1} 2 2
h_{2}  −2

h_{a} h_{b}

h_{3}  −1
h_{6}  −1  1

X_{18}  X_{19}(k), k = 1, 2  X_{31}
1  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2} q^{3}(q − 1)(q^{2} + q + 1)
u_{1} \frac{1}{6}q(q − 1)(2q − 1) −\frac{1}{3}q(q − 1)(q + 1) −q^{3}
u_{2}  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{3}  −\frac{1}{6}q(−5 + q)  −\frac{1}{3}q(q + 1)
u_{4}  \frac{1}{6}q(q + 1)  \frac{1}{3}q(q + 1)
u_{5}  −\frac{1}{6}q(q + 1)  −\frac{1}{3}q(q − 2)

u_{6}

k_{2}  −\frac{1}{2}(q − 1)^{2}  q(q − 1)
k_{2,1}  \frac{1}{2}(q − 1)  −q
k_{2,2}  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,3} −\frac{1}{2}(q + 1)
k_{2,4}  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{3}  \frac{1}{3}(q − 1)(q^{2} − q + 1) −\frac{1}{3}(q − 1)(q + 1)^{2} q(q − 1)
k_{3,1}  \frac{1}{3}(2q − 1)  \frac{1}{3}(q + 1)  −q
k_{3,2}  \frac{1}{3}(2q − 1)  \frac{1}{3}(q + 1)
k_{3,3,1} −\frac{1}{3}(q + 1)  \frac{1}{3}(q + 1) + qω^{k}
k_{3,3,2} −\frac{1}{3}(q + 1)  \frac{1}{3}(q + 1) + qω^{−k}

h_{1a} h_{1a,1}

h_{1b}  q − 1
h_{1b,1}  −1
h_{2a} q − 1  −q + 1
h_{2a,1} −1  1
h_{2b} q − 1  −qω_{i}
h_{2b,1} −1

h_{1}

h_{2} −2 ω_{i−j}

h_{a}

h_{b}  −ω_{i}
h_{3}  1  −1
h_{6}  1  ω_{i}

X_{32}  X_{33}  X_{21}
1  (q − 1)(q^{2} + q + 1) q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) q^{2}(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  −1  −q(q − 1)  q^{2}
u_{2}  q − 1  −q(q − 1)  q^{2}
u_{3}  2q − 1  q
u_{4}  −1  q
u_{5}  −q − 1  q
u_{6}  −1
k_{2}  q − 1  −(q − 1)^{2}  q(q + 2δ)
k_{2,1} −1  q − 1  qδ
k_{2,2} q − 1  q − 1  qδ
k_{2,3} −1  −1
k_{2,4} −1  −1
k_{3}  −q(q − 1)  (q − 1)(q^{2} + 1)  −q(q^{2} − q + 1)
k_{3,1} q  q − 1  −q
k_{3,2}  −1
k_{3,3,1}  −1
k_{3,3,2}  −1
h_{1a}  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}
h_{1a,1}  (−1)^{i}
h_{1b} q − 1  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}
h_{1b,1} −1  (−1)^{i}
h_{2a} q − 1  2q − 2  −q − q(−1)^{i} + (−1)^{i}
h_{2a,1} −1  −2  (−1)^{i}
h_{2b} −ω_{i}  qω_{i} − ω_{i}  −q − q(−1)^{i} + (−1)^{i}
h_{2b,1} −ω_{i}  −ω_{i}  (−1)^{i}
h_{1}  (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i}
h_{2} −ω_{i−j} −2ω_{i−j} (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i}
h_{a}  −(−1)^{i}
h_{b} −ω_{i} −(−1)^{i}

h_{3}

h_{6}  −ω_{i}  ω_{i}

X_{22}  X_{23}  X_{24}
1  (q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q^{2} + 1  q(q^{2} + 1)  q
u_{2}  q^{2} + 1  q  2q
u_{3}  1  q  3q
u_{4}  1  q  q
u_{5}  1  q
u_{6}  1
k_{2}  2qδ + 1  q^{2}δ + q + δ  q^{2}δ + q + δ
k_{2,1} qδ + 1  q + δ  δ
k_{2,2} qδ + 1  δ  q + δ
k_{2,3} 1  δ  δ
k_{2,4} 1  δ  δ
k_{3}  q^{2} − q + 1  −q^{2} + q − 1  q(q^{2} − q + 1)
k_{3,1} −q + 1  q − 1  q
k_{3,2} 1  −1
k_{3,3,1} 1  −1
k_{3,3,2} 1  −1
h_{1a} q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}  q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1
h_{1a,1} (−1)^{i} + 1  (−1)^{i}  (−1)^{i} + 1
h_{1b} q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1  q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}
h_{1b,1} (−1)^{i} + 1  (−1)^{i} + 1  (−1)^{i}
h_{2a} −q(−1)^{i} + 1 + (−1)^{i}  q(−1)^{i} − 1 − (−1)^{i}  q(−1)^{i} + q − (−1)^{i}
h_{2a,1} (−1)^{i} + 1  −1 − (−1)^{i}  −(−1)^{i}
h_{2b} −q(−1)^{i} + 1 + (−1)^{i}  q(−1)^{i} + q − (−1)^{i}  q(−1)^{i} − 1 − (−1)^{i}
h_{2b,1} (−1)^{i} + 1  −(−1)^{i}  −1 − (−1)^{i}
h_{1}  (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i} (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i} (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i}
h_{2}  (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i} −(−1)^{i+j} − (−1)^{j} − (−1)^{i} −(−1)^{i+j} − (−1)^{j} − (−1)^{i}
h_{a}  (−1)^{i}  −(−1)^{i}  (−1)^{i}
h_{b}  (−1)^{i}  (−1)^{i}  −(−1)^{i}

h_{3} h_{6}

X_{1a}  X′_{1a}
1  q(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q(q^{2} + q + 1)  q^{2} + q + 1
u_{2}  q(q + 1)  (q + 1)^{2}
u_{3}  q  3q + 1
u_{4}  q  q + 1
u_{5}  q  1
u_{6}  1
k_{2} (q + 1)(q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}) (q + 1)(q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1)
k_{2,1} q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1
k_{2,2} (q + 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q + 1)
k_{2,3} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{2,4} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{3} −(q + 1)(q^{2} − q + 1) (q + 1)(q^{2} − q + 1)
k_{3,1} −1  1
k_{3,2} −1  1
k_{3,3,1} −1  1
k_{3,3,2} −1  1
h_{1a} qγ_{ik} + qγ_{2ik} + γ_{ik}  qγ_{ik} + γ_{ik} + γ_{2ik}
h_{1a,1} γ_{ik}  γ_{ik} + γ_{2ik}
h_{1b} (q + 1)(γ_{3ik} + 1)  (q + 1)(γ_{3ik} + 1)
h_{1b,1} γ_{3ik} + 1  γ_{3ik} + 1
h_{2a} −q − 1  q + 1
h_{2a,1} −1  1

h_{2b} h_{2b,1}

h_{1} γ_{ik+2jk} + γ_{2ik+jk} + γ_{ik−jk} γ_{ik+2jk} + γ_{2ik+jk} + γ_{ik−jk}

h_{2}

h_{a} −γ_{ik} γ_{ik}

h_{b} h_{3} h_{6}

X_{1b}  X′_{1b}
1  q(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q(q + 1)  (q + 1)(q^{2} + 1)
u_{2}  q(q + 2)  q^{2} + q + 1
u_{3}  3q  q + 1
u_{4}  q  q + 1
u_{5}  q + 1
u_{6}  1
k_{2} (q + 1)(q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}) (q + 1)(q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1)
k_{2,1} (q + 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q + 1)
k_{2,2} q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1
k_{2,3} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{2,4} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1

k_{3} k_{3,1} k_{3,2} k_{3,3,1} k_{3,3,2}

h_{1a} (q + 1)(γ_{ik} + 1)  (q + 1)(γ_{ik} + 1)
h_{1a,1} γ_{ik} + 1  γ_{ik} + 1
h_{1b} qγ_{ik} + qγ_{2ik} + γ_{ik}  qγ_{ik} + γ_{ik} + γ_{2ik}
h_{1b,1} γ_{ik}  γ_{ik} + γ_{2ik}

h_{2a} h_{2a,1}

h_{2b} −q − 1  q + 1
h_{2b,1} −1  1
h_{1} γ_{ik} + γ_{jk} + γ_{ik+jk} γ_{ik} + γ_{jk} + γ_{ik+jk}

h_{2} h_{a}

h_{b} −γ_{ik} γ_{ik}

h_{3} h_{6}

X_{2a}  X′_{2a}
1  q(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q(q − 1)  (q − 1)(q^{2} + 1)
u_{2}  q(q − 2)  −q^{2} + q − 1
u_{3}  −3q  q − 1
u_{4}  −q  q − 1
u_{5}  q − 1
u_{6}  −1
k_{2} (q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} + q) −(q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1)
k_{2,1} −(q − 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q − 1)
k_{2,2} −q(−1)^{k} − q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1
k_{2,3} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{2,4} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{3} −q(q^{2} − q + 1)ω_{k} −(q^{2} − q + 1)ω_{k}
k_{3,1} −qω_{k}  (q − 1)ω_{k}
k_{3,2}  −ω_{k}
k_{3,3,1}  −ω_{k}
k_{3,3,2}  −ω_{k}
h_{1a} q − 1  q − 1
h_{1a,1} −1  −1

h_{1b} h_{1b,1}

h_{2a} −qη_{ik} − qη_{2ik} + η_{ik}  qη_{ik} − η_{ik} − η_{2ik}
h_{2a,1} η_{ik}  −η_{ik} − η_{2ik}
h_{2b} −(q − 1)(η_{ik} + 1)  (q − 1)(η_{ik} + 1)
h_{2b,1} η_{ik} + 1  −η_{ik} − 1

h_{1}

h_{2}  η_{ik} + η_{jk} + η_{ik+jk}  −η_{ik} − η_{jk} − η_{ik+jk}
h_{a}  −η_{ik}  −η_{ik}

h_{b} h_{3} h_{6}

X_{2b}  X′_{2b}
1  q(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  −q(q^{2} − q + 1)  −q^{2} + q − 1
u_{2}  q(q − 1)  −(q − 1)^{2}
u_{3}  −q  3q − 1
u_{4}  −q  q − 1
u_{5}  −q  −1
u_{6}  −1
k_{2} (q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} + q) −(q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1)
k_{2,1} −q(−1)^{k} − q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1
k_{2,2} −(q − 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q − 1)
k_{2,3} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{2,4} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{3} −(q − 1)(q^{2} − q + 1) (q − 1)(q^{2} − q + 1)
k_{3,1} −2q + 1  2q − 1
k_{3,2} 1  −1
k_{3,3,1} 1  −1
k_{3,3,2} 1  −1

h_{1a} h_{1a,1}

h_{1b} q − 1  q − 1
h_{1b,1} −1  −1
h_{2a} −(q − 1)(η_{3ik} + 1)  (q − 1)(η_{3ik} + 1)
h_{2a,1} η_{3ik} + 1  −η_{3ik} − 1
h_{2b} −qη_{ik} − qη_{2ik} + η_{ik}  qη_{ik} − η_{ik} − η_{2ik}
h_{2b,1} η_{ik}  −η_{ik} − η_{2ik}

h_{1}

h_{2} η_{ik+2jk} + η_{2ik+jk} + η_{ik−jk} −η_{ik+2jk} − η_{2ik+jk} − η_{ik−jk}

h_{a}

h_{b} −η_{ik} −η_{ik}

h_{3} h_{6}

X_{1}  X_{2}
1  (q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1)  (q − 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1)
u_{1}  (q + 1)(q^{2} + q + 1)  −(q − 1)(q^{2} − q + 1)
u_{2}  (q + 1)(2q + 1)  (q − 1)(2q − 1)
u_{3}  4q + 1  −4q + 1
u_{4}  2q + 1  −2q + 1
u_{5}  q + 1  −q + 1
u_{6}  1  1
k_{2}  (q + 1)^{2}((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}) (q − 1)^{2}((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})
k_{2,1} (q + 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})  −(q − 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})
k_{2,2} (q + 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})  −(q − 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})
k_{2,3} (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}  (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}
k_{2,4} (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}  (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}
k_{3}  −(q − 1)(q^{2} − q + 1)ω_{k+l}
k_{3,1}  −(2q − 1)ω_{k+l}
k_{3,2}  ω_{k+l}
k_{3,3,1}  ω_{k+l}
k_{3,3,2}  ω_{k+l}
h_{1a} (q + 1)(γ_{ik} + γ_{il} + γ_{i(k−l)})
h_{1a,1} γ_{ik} + γ_{il} + γ_{i(k−l)}
h_{1b} (q + 1)(γ_{i(k+l)} + γ_{i(k−2l)} + γ_{i(l−2k)})
h_{1b,1} γ_{i(k+l)} + γ_{i(k−2l)} + γ_{i(l−2k)}
h_{2a}  −(q − 1)(η_{i(k+l)} + η_{i(k−2l)} + η_{i(l−2k)})
h_{2a,1}  η_{i(k+l)} + η_{i(k−2l)} + η_{i(l−2k)}
h_{2b}  −(q − 1)(η_{ik} + η_{il} + η_{i(k−l)})
h_{2b,1}  η_{ik} + η_{il} + η_{i(k−l)}
h_{1}  \begin{matrix}γ_{ik+jl} + γ_{il+jk} + γ_{i(k−l)−jl} + \\ γ_{il−j(k−l)} + γ_{i(k−l)+jk} + γ_{ik+j(k−l)} \end{matrix}
h_{2}  \begin{matrix}η_{ik+jl} + η_{il+jk} + η_{i(k−l)−jl} + \\ η_{il−j(k−l)} + η_{i(k−l)+jk} + η_{ik+j(k−l)} \end{matrix}

h_{a} h_{b} h_{3} h_{6}

X_{a}  X_{b}  X_{3}  X_{6}
1  q^{6} − 1  q^{6} − 1  (q − 1)(q^{2} − 1)(q^{3} + 1) (q + 1)(q^{2} − 1)(q^{3} − 1)
u_{1}  q^{3} − 1  −q^{3} − 1  (q − 1)(q^{2} − 1)  −(q + 1)(q^{2} − 1)
u_{2}  −q − 1  q − 1  −q^{2} + 1  −q^{2} + 1
u_{3}  −2q − 1  2q − 1  q + 1  −q + 1
u_{4}  −1  −1  −q + 1  q + 1
u_{5}  q − 1  −q − 1  −2q + 1  2q + 1
u_{6}  −1  −1  1  1
k_{2}  (q^{2} − 1)(−1)^{k} (q^{2} − 1)(−1)^{k}
k_{2,1} (q − 1)(−1)^{k} −(q + 1)(−1)^{k}
k_{2,2} −(q + 1)(−1)^{k} (q − 1)(−1)^{k}
k_{2,3} −(−1)^{k}  −(−1)^{k}
k_{2,4} −(−1)^{k}  −(−1)^{k}
k_{3} −(q^{3} + 1)ω_{k} −(q + 1)(q^{2} − 1)ω_{k}
k_{3,1} −ω_{k}  (q + 1)ω_{k}
k_{3,2} −ω_{k}  ω_{k}
k_{3,3,1} −ω_{k}  ω_{k}
k_{3,3,2} −ω_{k}  ω_{k}
h_{1a} (q − 1)γ_{ik}
h_{1a,1} −γ_{ik}
h_{1b}  (q − 1)γ_{ik}
h_{1b,1}  −γ_{ik}
h_{2a} −(q + 1)η_{ik}
h_{2a,1} −η_{ik}
h_{2b}  −(q + 1)η_{ik}
h_{2b,1}  −η_{ik}

h_{1} h_{2}

h_{a}  −θ_{ik} − θ_{qik}
h_{b}  −θ_{ik} − θ_{qik}
h_{3}  τ_{ik} + τ_{qik} + τ_{q^{2}ik}
h_{6}  σ_{ik} + σ_{qik} + σ_{q^{2}ik}

DER FALL q ≡ 1(mod 3) 159

B.3 Der Fall q ≡ 1(mod 3)

Reprä- Anzahl der  Zentralisator-  Klassen-
sentant Klassen  ordnung  länge
1  1  q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) 1
u_{1}  1  q^{6}(q − 1)(q + 1)  (q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
u_{2}  1  q^{4}(q − 1)(q + 1)  q^{2}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
u_{3}  1  6q^{4}  \frac{1}{6}q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
u_{4}  1  2q^{4}  \frac{1}{2}q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
u_{5}  1  3q^{4}  \frac{1}{3}q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
u_{6}  1  q^{2}  q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{2}  1  q^{2}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  q^{4}Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,1}  1  q^{2}(q − 1)(q + 1)  q^{4}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,2}  1  q^{2}(q − 1)(q + 1)  q^{4}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,3}  1  2q^{2}  \frac{1}{2}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{2,4}  1  2q^{2}  \frac{1}{2}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3}  1  q^{3}(q − 1)^{2}(q + 1)(q^{2} + q + 1) q^{3}(q + 1)Φ_{6}
k_{3,1}  1  q^{3}(q − 1)  q^{3}(q − 1)(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3,2}  1  3q^{2}  \frac{1}{3}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3,3,1} 1  3q^{2}  \frac{1}{3}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
k_{3,3,2} 1  3q^{2}  \frac{1}{3}q^{4}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{1a}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)^{2}(q + 1)  q^{5}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{1a,1}  \frac{1}{2}(q − 3)  q(q − 1)  q^{5}(q − 1)(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{1b}  \frac{1}{2}(q − 5)  q(q − 1)^{2}(q + 1)  q^{5}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{1b,1}  \frac{1}{2}(q − 5)  q(q − 1)  q^{5}(q − 1)(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{2a}  \frac{1}{2}(q − 1)  q(q − 1)(q + 1)^{2}  q^{5}(q − 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{2a,1}  \frac{1}{2}(q − 1)  q(q + 1)  q^{5}(q − 1)^{2}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{2b}  \frac{1}{2}(q − 1)  q(q − 1)(q + 1)^{2}  q^{5}(q − 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{2b,1}  \frac{1}{2}(q − 1)  q(q + 1)  q^{5}(q − 1)^{2}(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{1}  \frac{1}{12}(q^{2} − 8q + 19) (q − 1)^{2}  q^{6}(q + 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{2}  \frac{1}{12}(q − 1)(q − 3) (q + 1)^{2}  q^{6}(q − 1)^{2}Φ_{3}Φ_{6}
h_{a}  \frac{1}{4}(q − 1)^{2}  (q − 1)(q + 1)  q^{6}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{b}  \frac{1}{4}(q − 1)^{2}  (q − 1)(q + 1)  q^{6}(q − 1)(q + 1)Φ_{3}Φ_{6}
h_{3}  \frac{1}{6}(q + 2)(q − 1) q^{2} + q + 1  q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{6}
h_{6}  \frac{1}{6}q(q − 1)  q^{2} − q + 1  q^{6}(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}Φ_{3}

X_{11} X_{12}  X_{13}  X_{14}
1  1  q^{6}  \frac{1}{3}q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) \frac{1}{3}q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  1  −\frac{1}{3}q(q − 1)(q + 1)  \frac{1}{3}q(2q^{2} + 1)
u_{2}  1  q
u_{3}  1  \frac{1}{3}q(5 + q)  \frac{1}{3}q(q − 1)
u_{4}  1  −\frac{1}{3}q(q − 1)  −\frac{1}{3}q(q − 1)
u_{5}  1  \frac{1}{3}q(q − 1)  \frac{1}{3}q(q + 2)
u_{6}  1
k_{2} 1 q^{2} q q
k_{2,1} 1  q
k_{2,2} 1  q
k_{2,3} 1
k_{2,4} 1
k_{3}  1  q^{3}  \frac{1}{3}(2q − 1)(q^{2} + q + 1)  −\frac{1}{3}(q − 2)(q^{2} + q + 1)
k_{3,1} 1  \frac{1}{3}(q − 1)  \frac{1}{3}(q + 2)
k_{3,2} 1  −\frac{1}{3}(2q + 1)  −\frac{2}{3}(q − 1)
k_{3,3,1} 1  \frac{1}{3}(q − 1)  \frac{1}{3}(q + 2)
k_{3,3,2} 1  \frac{1}{3}(q − 1)  \frac{1}{3}(q + 2)
h_{1a} 1  q  1  q
h_{1a,1} 1  1
h_{1b} 1 q q 1
h_{1b,1} 1  1
h_{2a} 1 −q q −1
h_{2a,1} 1  −1
h_{2b} 1 −q −1 q
h_{2b,1} 1  −1
h_{1}  1  1  1  1
h_{2}  1  1  −1  −1
h_{a}  1  −1 1  −1
h_{b}  1  −1 −1  1
h_{3}  1  1
h_{6}  1  1

DER FALL q ≡ 1(mod 3) 161

X_{15}  X_{16}  X_{17}
1  \frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) \frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) \frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)
u_{1}  \frac{1}{2}q(q + 1)  \frac{1}{6}q(q + 1)(2q + 1)  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{2}  \frac{1}{2}q(q + 1)  \frac{1}{2}q(q + 1)  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{3}  −\frac{1}{2}q(q − 1)  \frac{1}{6}q(5 + q)  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{4}  \frac{1}{2}q(q + 1)  −\frac{1}{6}q(q − 1)  \frac{1}{2}q(q + 1)
u_{5}  −\frac{1}{2}q(q − 1)  \frac{1}{6}q(q − 1)  −\frac{1}{2}q(q − 1)

u_{6}

k_{2}  \frac{1}{2}(q + 1)^{2}  \frac{1}{2}(q + 1)^{2}  −\frac{1}{2}(q − 1)^{2}
k_{2,1}  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,2}  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,3} −\frac{1}{2}(q − 1)  \frac{1}{2}(q + 1)  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,4}  \frac{1}{2}(q + 1)  −\frac{1}{2}(q − 1)  −\frac{1}{2}(q + 1)
k_{3}  q(q + 1)  \frac{1}{3}(q + 1)(q^{2} + q + 1)
k_{3,1} q  \frac{1}{3}(2q + 1)
k_{3,2}  \frac{1}{3}(2q + 1)
k_{3,3,1}  −\frac{1}{3}(q − 1)
k_{3,3,2}  −\frac{1}{3}(q − 1)
h_{1a} q + 1  q + 1
h_{1a,1} 1  1
h_{1b} q + 1  q + 1
h_{1b,1} 1  1
h_{2a}  q − 1
h_{2a,1}  −1
h_{2b}  q − 1
h_{2b,1}  −1
h_{1} 2 2
h_{2}  −2

h_{a} h_{b}

h_{3}  −1
h_{6}  −1  1

X_{18}  X_{19}(k), k = 1, 2  X_{31}
1  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2} q^{3}(q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1} \frac{1}{6}q(q − 1)(2q − 1) −\frac{1}{3}q(q − 1)(q + 1) q^{3}
u_{2}  −\frac{1}{2}q(q − 1)
u_{3}  \frac{1}{6}q(5 + q)  \frac{1}{3}q(q − 1)
u_{4}  −\frac{1}{6}q(q − 1)  −\frac{1}{3}q(q − 1)
u_{5}  \frac{1}{6}q(q − 1)  \frac{1}{3}q(q + 2)

u_{6}

k_{2}  −\frac{1}{2}(q − 1)^{2}  q(q + 1)
k_{2,1}  \frac{1}{2}(q − 1)  q
k_{2,2}  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{2,3} −\frac{1}{2}(q + 1)
k_{2,4}  \frac{1}{2}(q − 1)
k_{3}  \frac{1}{3}(q + 1)(q − 1)^{2}  −\frac{1}{3}(q + 1)(q − 1)^{2} q(q + 1)
k_{3,1} −\frac{1}{3}(q − 1)  \frac{1}{3}(q − 1)  q
k_{3,2}  \frac{1}{3}(2q + 1)  \frac{1}{3}(q − 1)
k_{3,3,1} −\frac{1}{3}(q − 1)  \frac{1}{3}(q − 1) + qω^{k}
k_{3,3,2} −\frac{1}{3}(q − 1)  \frac{1}{3}(q − 1) + qω^{−k}
h_{1a}  qω_{i}

h_{1a,1}

h_{1b}  q + 1
h_{1b,1}  1
h_{2a} q − 1  −q − 1
h_{2a,1} −1  −1
h_{2b} q − 1
h_{2b,1} −1
h_{1}  ω_{i−j}
h_{2}  −2
h_{a}  −ω_{i}

h_{b}

h_{3} 1 −1 ω_{i}
h_{6}  1

X_{32}  X_{33}  X_{21}
1  (q + 1)(q^{2} − q + 1) q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) q^{2}(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  1  q(q + 1)  q^{2}
u_{2}  q + 1  q(q + 1)  q^{2}
u_{3}  2q + 1  q
u_{4}  1  q
u_{5}  −q + 1  q
u_{6}  1
k_{2}  q + 1  (q + 1)^{2}  q(q + 2δ)
k_{2,1} 1  q + 1  qδ
k_{2,2} q + 1  q + 1  qδ
k_{2,3} 1  1
k_{2,4} 1  1
k_{3}  q(q + 1)  (q + 1)(q^{2} + 1)  q(q^{2} + q + 1)
k_{3,1} q  q + 1  q
k_{3,2}  1
k_{3,3,1}  1
k_{3,3,2}  1
h_{1a} ω_{i}  qω_{i} + ω_{i}  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}
h_{1a,1} ω_{i}  ω_{i}  (−1)^{i}
h_{1b} q + 1  2q + 2  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}
h_{1b,1} 1  2  (−1)^{i}
h_{2a} q + 1  −q − q(−1)^{i} + (−1)^{i}
h_{2a,1} 1  (−1)^{i}
h_{2b}  −q − q(−1)^{i} + (−1)^{i}
h_{2b,1}  (−1)^{i}
h_{1} ω_{i−j} 2ω_{i−j} (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i}
h_{2}  (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i}
h_{a} ω_{i} −(−1)^{i}
h_{b}  −(−1)^{i}
h_{3} ω_{i} −ω_{i}

h_{6}

X_{22}  X_{23}  X_{24}
1  (q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) q(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q^{2} + 1  q(q^{2} + 1)  q
u_{2}  q^{2} + 1  q  2q
u_{3}  1  q  3q
u_{4}  1  q  q
u_{5}  1  q
u_{6}  1
k_{2}  2qδ + 1  q^{2}δ + q + δ  q^{2}δ + q + δ
k_{2,1} qδ + 1  q + δ  δ
k_{2,2} qδ + 1  δ  q + δ
k_{2,3} 1  δ  δ
k_{2,4} 1  δ  δ
k_{3}  q^{2} + q + 1  q^{2} + q + 1  q(q^{2} + q + 1)
k_{3,1} q + 1  q + 1  q
k_{3,2} 1  1
k_{3,3,1} 1  1
k_{3,3,2} 1  1
h_{1a} q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}  q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1
h_{1a,1} (−1)^{i} + 1  (−1)^{i}  (−1)^{i} + 1
h_{1b} q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1  q(−1)^{i} + (−1)^{i} + 1  q(−1)^{i} + q + (−1)^{i}
h_{1b,1} (−1)^{i} + 1  (−1)^{i} + 1  (−1)^{i}
h_{2a} −q(−1)^{i} + 1 + (−1)^{i}  q(−1)^{i} − 1 − (−1)^{i}  q(−1)^{i} + q − (−1)^{i}
h_{2a,1} (−1)^{i} + 1  −1 − (−1)^{i}  −(−1)^{i}
h_{2b} −q(−1)^{i} + 1 + (−1)^{i}  q(−1)^{i} + q − (−1)^{i}  q(−1)^{i} − 1 − (−1)^{i}
h_{2b,1} (−1)^{i} + 1  −(−1)^{i}  −1 − (−1)^{i}
h_{1}  (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i} (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i} (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i}
h_{2}  (−1)^{i+j} + (−1)^{j} + (−1)^{i} −(−1)^{i+j} − (−1)^{j} − (−1)^{i} −(−1)^{i+j} − (−1)^{j} − (−1)^{i}
h_{a}  (−1)^{i}  −(−1)^{i}  (−1)^{i}
h_{b}  (−1)^{i}  (−1)^{i}  −(−1)^{i}

h_{3} h_{6}

X_{1a}  X′_{1a}
1  q(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q(q^{2} + q + 1)  q^{2} + q + 1
u_{2}  q(q + 1)  (q + 1)^{2}
u_{3}  q  3q + 1
u_{4}  q  q + 1
u_{5}  q  1
u_{6}  1
k_{2} (q + 1)(q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}) (q + 1)(q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1)
k_{2,1} q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1
k_{2,2} (q + 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q + 1)
k_{2,3} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{2,4} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{3} (q + 1)(q^{2} + q + 1) (q + 1)(q^{2} + q + 1)
k_{3,1} 2q + 1  2q + 1
k_{3,2} 1  1
k_{3,3,1} 1  1
k_{3,3,2} 1  1
h_{1a} qγ_{ik} + qγ_{2ik} + γ_{ik}  qγ_{ik} + γ_{ik} + γ_{2ik}
h_{1a,1} γ_{ik}  γ_{ik} + γ_{2ik}
h_{1b} (q + 1)(γ_{3ik} + 1)  (q + 1)(γ_{3ik} + 1)
h_{1b,1} γ_{3ik} + 1  γ_{3ik} + 1
h_{2a} −q − 1  q + 1
h_{2a,1} −1  1

h_{2b} h_{2b,1}

h_{1} γ_{ik+2jk} + γ_{2ik+jk} + γ_{ik−jk} γ_{ik+2jk} + γ_{2ik+jk} + γ_{ik−jk}

h_{2}

h_{a} −γ_{ik} γ_{ik}

h_{b} h_{3} h_{6}

X_{1b}  X′_{1b}
1  q(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q(q + 1)  (q + 1)(q^{2} + 1)
u_{2}  q(q + 2)  q^{2} + q + 1
u_{3}  3q  q + 1
u_{4}  q  q + 1
u_{5}  q + 1
u_{6}  1
k_{2} (q + 1)(q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}) (q + 1)(q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1)
k_{2,1} (q + 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q + 1)
k_{2,2} q(−1)^{k} + q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} + (−1)^{k} + 1
k_{2,3} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{2,4} (−1)^{k}  (−1)^{k} + 1
k_{3} q(q^{2} + q + 1)ω_{k} (q^{2} + q + 1)ω_{k}
k_{3,1} qω_{k}  (q + 1)ω_{k}
k_{3,2}  ω_{k}
k_{3,3,1}  ω_{k}
k_{3,3,2}  ω_{k}
h_{1a} (q + 1)(γ_{ik} + 1)  (q + 1)(γ_{ik} + 1)
h_{1a,1} γ_{ik} + 1  γ_{ik} + 1
h_{1b} qγ_{ik} + qγ_{2ik} + γ_{ik}  qγ_{ik} + γ_{ik} + γ_{2ik}
h_{1b,1} γ_{ik}  γ_{ik} + γ_{2ik}

h_{2a} h_{2a,1}

h_{2b} −q − 1  q + 1
h_{2b,1} −1  1
h_{1} γ_{ik} + γ_{jk} + γ_{ik+jk} γ_{ik} + γ_{jk} + γ_{ik+jk}

h_{2} h_{a}

h_{b} −γ_{ik} γ_{ik}

h_{3} h_{6}

X_{2a}  X′_{2a}
1  q(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  q(q − 1)  (q − 1)(q^{2} + 1)
u_{2}  q(q − 2)  −q^{2} + q − 1
u_{3}  −3q  q − 1
u_{4}  −q  q − 1
u_{5}  q − 1
u_{6}  −1
k_{2} (q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} + q) −(q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1)
k_{2,1} −(q − 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q − 1)
k_{2,2} −q(−1)^{k} − q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1
k_{2,3} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{2,4} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1

k_{3} k_{3,1} k_{3,2} k_{3,3,1} k_{3,3,2}

h_{1a} q − 1  q − 1
h_{1a,1} −1  −1

h_{1b} h_{1b,1}

h_{2a} −qη_{ik} − qη_{2ik} + η_{ik}  qη_{ik} − η_{ik} − η_{2ik}
h_{2a,1} η_{ik}  −η_{ik} − η_{2ik}
h_{2b} −(q − 1)(η_{ik} + 1)  (q − 1)(η_{ik} + 1)
h_{2b,1} η_{ik} + 1  −η_{ik} − 1

h_{1}

h_{2}  η_{ik} + η_{jk} + η_{ik+jk}  −η_{ik} − η_{jk} − η_{ik+jk}
h_{a}  −η_{ik}  −η_{ik}

h_{b} h_{3} h_{6}

X_{2b}  X′_{2b}
1  q(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1) (q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{2} − q + 1)
u_{1}  −q(q^{2} − q + 1)  −q^{2} + q − 1
u_{2}  q(q − 1)  −(q − 1)^{2}
u_{3}  −q  3q − 1
u_{4}  −q  q − 1
u_{5}  −q  −1
u_{6}  −1
k_{2} (q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} + q) −(q − 1)(q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1)
k_{2,1} −q(−1)^{k} − q + (−1)^{k}  q(−1)^{k} − (−1)^{k} − 1
k_{2,2} −(q − 1)(−1)^{k}  ((−1)^{k} + 1)(q − 1)
k_{2,3} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{2,4} (−1)^{k}  −(−1)^{k} − 1
k_{3} (q − 1)(q^{2} + q + 1) (q − 1)(q^{2} + q + 1)
k_{3,1} −1  −1
k_{3,2} −1  −1
k_{3,3,1} −1  −1
k_{3,3,2} −1  −1

h_{1a} h_{1a,1}

h_{1b} q − 1  q − 1
h_{1b,1} −1  −1
h_{2a} −(q − 1)(η_{3ik} + 1)  (q − 1)(η_{3ik} + 1)
h_{2a,1} η_{3ik} + 1  −η_{3ik} − 1
h_{2b} −qη_{ik} − qη_{2ik} + η_{ik}  qη_{ik} − η_{ik} − η_{2ik}
h_{2b,1} η_{ik}  −η_{ik} − η_{2ik}

h_{1}

h_{2} η_{ik+2jk} + η_{2ik+jk} + η_{ik−jk} −η_{ik+2jk} − η_{2ik+jk} − η_{ik−jk}

h_{a}

h_{b} −η_{ik} −η_{ik}

h_{3} h_{6}

X_{1}  X_{2}
1  (q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1)  (q − 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1)
u_{1}  (q + 1)(q^{2} + q + 1)  −(q − 1)(q^{2} − q + 1)
u_{2}  (q + 1)(2q + 1)  (q − 1)(2q − 1)
u_{3}  4q + 1  −4q + 1
u_{4}  2q + 1  −2q + 1
u_{5}  q + 1  −q + 1
u_{6}  1  1
k_{2}  (q + 1)^{2}((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}) (q − 1)^{2}((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})
k_{2,1} (q + 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})  −(q − 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})
k_{2,2} (q + 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l})  −(q − 1)((−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l)}
k_{2,3} (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}  (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}
k_{2,4} (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}  (−1)^{k} + (−1)^{l} + (−1)^{k+l}
k_{3}  (q + 1)(q^{2} + q + 1)ω_{k+l}
k_{3,1} (2q + 1)ω_{k+l}
k_{3,2} ω_{k+l}
k_{3,3,1} ω_{k+l}
k_{3,3,2} ω_{k+l}
h_{1a} (q + 1)(γ_{ik} + γ_{il} + γ_{i(k−l)})
h_{1a,1} γ_{ik} + γ_{il} + γ_{i(k−l)}
h_{1b} (q + 1)(γ_{i(k+l)} + γ_{i(k−2l)} + γ_{i(l−2k)})
h_{1b,1} γ_{i(k+l)} + γ_{i(k−2l)} + γ_{i(l−2k)}
h_{2a}  −(q − 1)(η_{i(k+l)} + η_{i(k−2l)} + η_{i(l−2k)})
h_{2a,1}  η_{i(k+l)} + η_{i(k−2l)} + η_{i(l−2k)})
h_{2b}  −(q − 1)(η_{ik} + η_{il} + η_{i(k−l)})
h_{2b,1}  η_{ik} + η_{il} + η_{i(k−l)}
h_{1}  \begin{matrix}γ_{ik+jl} + γ_{il+jk} + γ_{i(k−l)−jl} + \\ γ_{il−j(k−l)} + γ_{i(k−l)+jk} + γ_{ik+j(k−l)} \end{matrix}
h_{2}  \begin{matrix}η_{ik+jl} + η_{il+jk} + η_{i(k−l)−jl} + \\ η_{il−j(k−l)} + η_{i(k−l)+jk} + η_{ik+j(k−l)} \end{matrix}

h_{a} h_{b} h_{3} h_{6}

X_{a}  X_{b}  X_{3}  X_{6}
1  q^{6} − 1  q^{6} − 1  (q − 1)(q^{2} − 1)(q^{3} + 1) (q + 1)(q^{2} − 1)(q^{3} − 1)
u_{1}  q^{3} − 1  −q^{3} − 1  (q − 1)(q^{2} − 1)  −(q + 1)(q^{2} − 1)
u_{2}  −q − 1  q − 1  −q^{2} + 1  −q^{2} + 1
u_{3}  −2q − 1  2q − 1  q + 1  −q + 1
u_{4}  −1  −1  −q + 1  q + 1
u_{5}  q − 1  −q − 1  −2q + 1  2q + 1
u_{6}  −1  −1  1  1
k_{2}  (q^{2} − 1)(−1)^{k} (q^{2} − 1)(−1)^{k}
k_{2,1} (q − 1)(−1)^{k} −(q + 1)(−1)^{k}
k_{2,2} −(q + 1)(−1)^{k} (q − 1)(−1)^{k}
k_{2,3} −(−1)^{k}  −(−1)^{k}
k_{2,4} −(−1)^{k}  −(−1)^{k}
k_{3}  (q^{3} − 1)ω_{k}  (q − 1)(q^{2} − 1)ω_{k}
k_{3,1}  −ω_{k}  (−q + 1)ω_{k}
k_{3,2}  −ω_{k}  ω_{k}
k_{3,3,1}  −ω_{k}  ω_{k}
k_{3,3,2}  −ω_{k}  ω_{k}
h_{1a} (q − 1)γ_{ik}
h_{1a,1} −γ_{ik}
h_{1b}  (q − 1)γ_{ik}
h_{1b,1}  −γ_{ik}
h_{2a} −(q + 1)η_{ik}
h_{2a,1} −η_{ik}
h_{2b}  −(q + 1)η_{ik}
h_{2b,1}  −η_{ik}

h_{1} h_{2}

h_{a}  −θ_{ik} − θ_{qik}
h_{b}  −θ_{ik} − θ_{qik}
h_{3}  τ_{ik} + τ_{qik} + τ_{q^{2}ik}
h_{6}  σ_{ik} + σ_{qik} + σ_{q^{2}ik}

B.4 Die Jordan Zerlegung der Charaktere

Die folgende Tabelle stellt die verschiedenen Notationen für die irreduziblen Charaktere der G_{2}(q) nebeneinander und übersetzt diese in die Sprache der Jordan-Zerlegung von Charakteren. Dabei ist ε gleich 0, 1 oder −1, entsprechend der Kongruenz von q modulo 3.

Repräsentant der halbeinfachen

Klasse Parameter Zentralisator

Bemerkungen

h(1, 1, 1)  G_{2}(q)  Unipotente Charaktere

h(−1, −1, 1)  (SL_{2}(q) ∗ SL_{2}(q)) · 2  \begin{matrix}nur für \\ 2 |̸q \end{matrix}

h(ω, ω, ω)  \begin{matrix}ω^{3} = 1 \\ ω ≠ 1 \end{matrix}  \begin{matrix}SL_{3}(q), ε = 1 \\ SU_{3}(q^{2}), ε = −1 \end{matrix}  \begin{matrix}nur für \\ 3 |̸q \end{matrix}
h(z, 1, z^{−1})  \begin{matrix}z^{q−1} = 1 \\ z^{2} ≠ 1 \end{matrix}  GL_{2}(q)
h(z, z, z^{−2})  \begin{matrix}z^{q−1} = 1 \\ z^{2} ≠ 1, z^{3} ≠ 1 \end{matrix}  GL_{2}(q)
h(z, z^{−2}, z)  \begin{matrix}z^{q+1} = 1 \\ z^{2} ≠ 1, z^{3} ≠ 1 \end{matrix}  U_{2}(q^{2})
h(z, z^{−1}, 1)  \begin{matrix}z^{q+1} = 1 \\ z^{2} ≠ 1 \end{matrix}  U_{2}(q^{2})
h(z_{1}, z_{2}, z_{3})  \begin{matrix}z_{i}^{q−1} = 1 \\ z_{i}z_{j}^{±1} ≠ 1 \end{matrix}  H_{1}  Reguläre Klasse
h(z_{1}, z_{2}, z_{3})  \begin{matrix}z_{i}^{q+1} = 1 \\ z_{i}z_{j}^{±1} ≠ 1 \end{matrix}  H_{2}  Reguläre Klasse
h(z^{q}, z^{1−q}, z^{−1})  \begin{matrix}z^{q^{2}−1} = 1 \\ z^{q±1} ≠ 1 \end{matrix}  H_{a}  Reguläre Klasse
h(z, z^{q}, z^{−q−1})  \begin{matrix}z^{q^{2}−1} = 1 \\ z^{q±1} ≠ 1 \end{matrix}  H_{b}  Reguläre Klasse
h(z, z^{q}, z^{q^{2}})  \begin{matrix}z^{q^{2}+q+1} = 1 \\ z^{3} ≠ 1 \end{matrix}  H_{3}  Reguläre Klasse
h(z, z^{−q}, z^{q^{2}})  \begin{matrix}z^{q^{2}−q+1} = 1 \\ z^{3} ≠ 1 \end{matrix}  H_{6}  Reguläre Klasse

JORDAN-ZERLEGUNG DER CHARAKTERE 173

Grade der unipotenten

Charaktere des Zentarlisators

Enomoto- ; Yamada ; 2 | q
\begin{matrix}Enomoto \\ 3 | q \end{matrix}

Chang- ; Ree ; 2, 3 |̸ q

1  ϑ_{0}  ϑ_{0}  X_{11}
q^{6}  ϑ_{5}  ϑ_{5}  X_{12}
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  ϑ_{3}  ϑ_{3}  X_{13}
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  ϑ_{4}  ϑ_{4}  X_{14}
\frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1)  ϑ_{2}  ϑ_{2}  X_{15}
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1)  ϑ_{1}  ϑ_{1}  X_{16}
\frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)  ϑ′_{2}  ϑ_{11}  X_{17}
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)  ϑ′_{1}  ϑ_{10}  X_{18}
\frac{1}{3}q(q^{2} − 1)^{2}  ϑ_{9}(1)  ϑ_{12}(1)  X_{19}
\frac{1}{3}q(q^{2} − 1)^{2}  ϑ_{9}(2)  ϑ_{12}(−1)  X̄_{19}
1  ϑ_{6}  X_{22}
q  ϑ_{8}  X_{23}
q  ϑ_{9}  X_{24}
q^{2}  ϑ_{7}  X_{21}
1  ϑ_{6}  X_{32}
q(q + ε)  ϑ_{8}  X_{33}
q^{3}  ϑ_{7}  X_{31}
1  χ_{3}(k)  χ_{3}(k)  X′_{1b}
q  χ_{4}(k)  χ_{4}(k)  X_{1b}
1  χ_{1}(k)  χ_{1}(k)  X′_{1a}
q  χ_{2}(k)  χ_{2}(k)  X_{1a}
1  χ′_{1}(k)  χ_{5}(k)  X′_{2b}
q  χ′_{2}(k)  χ_{6}(k)  X_{2b}
1  χ′_{3}(k)  χ_{7}(k)  X′_{2a}
q  χ′_{4}(k)  χ_{8}(k)  X_{2a}
1  χ_{5}(k, l)  χ_{9}(k, l)  X_{1}(π_{1})
1  χ′_{5}(k, l)  χ_{12}(k, l)  X_{2}(π_{2})
1  χ′_{6}(k)  χ_{11}(k)  X_{b}(π_{b})
1  χ_{6}(k)  χ_{10}(k)  X_{a}(π_{a})
1  χ_{7}(k)  χ_{13}(k)  X_{3}(π_{3})
1  χ′_{7}(k)  χ_{14}(k)  X_{6}(π_{6})

174 ANHANG B. DIE CHARAKTERTAFEL DER G_{2}(q)

Anhang C

Zerlegungszahlen der G_{2}(q)

C.1 Erläuterungen zu den Tafeln

Wir beginnen mit einigen Erläuterungen zu den folgenden Tafeln. Ist A ein ℓ-Block von G = G_{2}(q), etwa A ⊆ E_{ℓ}(G, s), dann heißen die Charaktere in A ∩ E(G, s) die nicht-exzeptionellen Charaktere von A. Die übrigen sind die exzeptionellen Charaktere. Die nicht-exzeptionellen Charaktere des Hauptblockes sind genau die unipotenten, die darin enthalten sind. Die Einschränkungen der nicht-exzeptionellen Charaktere eines Blockes auf die ℓ′- Klassen erzeugen die Gruppe der verallgemeinerten Brauercharaktere. Im allgemeinen bilden sie zwar kein Basissystem, jedoch enthalten sie stets ein solches. Die Zerlegung der Charaktere eines solchen ausgewählten Basissystems ist in der oberen Hälfte der folgenden Zerlegungsmatrizen angegeben.

Die exzeptionellen Charaktere können zu Familien zusammengefaßt werden. Die Charaktere einer Familie haben alle die gleiche Einschränkung auf die ℓ′-Klassen. Deshalb ist jeweils nur eine Zeile pro Familie angegeben. Die Familien sind in den folgenden Tabellen durch geschweifte Klammern um die Namen der Charaktere gekennzeichnet. Die Anzahl der Charaktere einer Familie ist in der letzten Spalte der Zerlegungsmatrizen angegeben. Der Exponent d, der in diesen Formeln vorkommt, ist im allgemeinen nicht der Defekt des Blockes. Allerdings hängt er eng mit diesem zusammen; seine Definition ist in der Blocküberschrift angegeben. Die erste Spalte einer Zerlegungsmatrix gibt die Grade der gewöhnlichen Charaktere an.

Einträge, die nicht bestimmt werden konnten, sind durch griechische Buchstaben bezeichnet. Schranken für solche Unbestimmten sind unterhalb jeder Zerlegungsmatrix angegeben.

176 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q)

Weiter folgen in einer extra Tabelle die Grade der irreduziblen Brauercharaktere, sofern diese nicht trivial aus den Zerlegungsmatrizen zu bestimmen sind. Blöcke, die nur einen irreduziblen Brauercharakter enthalten, sind nicht aufgeführt. Für die vollständige Aufzählung der ℓ-Blöcke verweisen wir auf die Arbeiten von Shamash [80, 81, 82, 83], sowie auf die Arbeiten von Shamash und dem Autor [52, 51] für ℓ = 2, 3. Shamash hat in ihren Arbeiten auch die Brauerbäume für Blöcke mit zyklischer Defektgruppe bestimmt.

Es zeigt sich, daß in der G_{2}(q), einem Beispiel von kleinem Rang, die geometrischen Konjugiertenklassen E_{ℓ}(G, s) von ℓ-Blöcken fast immer volle ℓ-Blöcke sind. Ausnahmen gibt es für s = 1, also für die unipotenten Blöcke. Hier gilt jedoch, daß E_{ℓ}(G, 1) nach Weglassen der Defekt Null Charaktere den Hauptblock bildet. Diese Menge wird mit E_{ℓ}(G, 1)′ bezeichnet. Stets ist die Jordan-Zerlegung der Brauercharaktere erfüllt. Diesem Umstand wird dadurch Rechnung getragen, daß in Blöcken E_{ℓ}(G, s) mit s ≠ 1 die Grade der Charaktere gemäß der Faktorisierung 4.7 aufgelistet sind.

Die Bezeichnung der Blöcke folgt Shamashs Notation. Ein Vergleich mit der Schreibweise von Broué und Michel aus Kapitel 4 findet sich in der folgenden Tabelle:

Shamash Broué–Michel
B_{1}  E_{ℓ}(G, 1)′
B_{2}  E_{ℓ}(G, h(−1, −1, 1))
B_{3}  E_{ℓ}(G, h(ω, ω, ω))
B_{1a}  E_{ℓ}(G, h_{1b})
B_{1b}  E_{ℓ}(G, h_{1a})
B_{2a}  E_{ℓ}(G, h_{2b})
B_{2b}  E_{ℓ}(G, h_{2a})

Die untenstehende Tafel gibt die Anzahl der Blöcke vom Typ B_{ic}, i = 1, 2, c = a, b, für alle möglichen Fälle an, in denen diese positiven Defekt haben. Dabei verwenden wir folgende Bezeichnungen: q(n) steht für die Kongruenz von q modulo n. In den Zeilen, die zu einer festen Primzahl ℓ gehören, steht \underline{r} für die höchste Potenz von ℓ, die q − 1 teilt. Analog ist r̄ die höchste Potenz von ℓ, die q + 1 teilt.

ERLÄUTERUNGEN ZU DEN TAFELN 177

ℓ  q(4) q(3)  B_{1a}  B_{1b}  B_{2a}  B_{2b}

2  \frac{1}{−1}  \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} \begin{matrix}(\underline{r} − 3)/2 \\ (\underline{r} − 1)/2 \\ (\underline{r} − 1)/2 \\ (q − 7)/4 \\ (q − 3)/4 \\ (q − 3)/4 \end{matrix} \frac{(\underline{r} − 1)/2}{(q − 3)/4} \frac{(q − 1)/4}{(r̄ − 1)/2} \begin{matrix}(q − 1)/4 \\ (q − 1)/4 \\ (q − 5)/4 \\ (r̄ − 1)/2 \\ (r̄ − 1)/2 \\ (r̄ − 3)/2 \end{matrix}

3  \frac{0, 2}{1, −1} \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}  \begin{matrix}(\underline{r} − 1)/2 \\ (q − 2)/2 \\ (\underline{r} − 2)/2 \\ (q − 3)/2 \end{matrix}  \begin{matrix}q/2 \\ (r̄ − 1)/2 \\ (q − 1)/2 \\ (r̄ − 2)/2 \end{matrix}

\begin{matrix}ℓ | q − 1 \\ ℓ ≠ 2, 3 \end{matrix} \frac{0}{1, −1} \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} \begin{matrix}(\underline{r} − 3)/2 \\ (\underline{r} − 1)/2 \\ (\underline{r} − 1)/2 \\ (\underline{r} − 4)/2 \\ (\underline{r} − 2)/2 \\ (\underline{r} − 2)/2 \end{matrix} \frac{(\underline{r} − 1)/2}{(\underline{r} − 2)/2} \frac{q/2}{(q − 1)/2} \begin{matrix}q/2 \\ q/2 \\ (q − 2)/2 \\ (q − 1)/2 \\ (q − 1)/2 \\ (q − 3)/2 \end{matrix}

\begin{matrix}ℓ | q + 1 \\ ℓ ≠ 2, 3 \end{matrix} \frac{0}{1, −1} \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} \begin{matrix}(q − 4)/2 \\ (q − 2)/2 \\ (q − 2)/2 \\ (q − 5)/2 \\ (q − 3)/2 \\ (q − 3)/2 \end{matrix} \frac{(q − 2)/2}{(q − 3)/2} \frac{(r̄ − 1)/2}{(r̄ − 2)/2} \begin{matrix}(r̄ − 1)/2 \\ (r̄ − 1)/2 \\ (r̄ − 3)/2 \\ (r̄ − 2)/2 \\ (r̄ − 2)/2 \\ (r̄ − 4)/2 \end{matrix}

In allen folgenden Tabellen sind fehlende Einträge durch 0 zu ersetzen. Durch die Schreibweise ℓ^{d} ∥ n wird angezeigt, daß ℓ^{d} die höchste Potenz von ℓ ist, die die natürliche Zahl n teilt.

178 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q)

C.2 Hauptblöcke

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q − 1  Kongruenz: 4 | q − 1  Block: B_{1}
Grad  Char. φ_{11} φ_{17} φ_{18} φ_{13} φ_{14} φ_{15} φ_{12}  Anzahl
1  X_{11}  1  1
\frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{17}  1  1
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{18}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{13}  1  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{14}  1  1  1
\frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{15}  1  1  1
q^{6}  X_{12}  1 α  β 1 1  1  1
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{16}  1  1  1
(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{22}} 1  1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{23}} 1 1  1  1 1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{24}} 1 1  1 1  1  1
q^{2}(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{21}} 1 α  β 1 1 1 1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1a}\} 2 1  1 1  2  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1a}\} 2 α + 1 β + 1 1 2 2 1  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1b}\} 2 1 1 1 2 \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1b}\} 2 α + 1 β + 1 2 1 2 1  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
(q^{2} − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{a}\}  α  β  2  1  \frac{1}{4}2^{d}
(q^{2} − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{b}\}  α  β 2  1  \frac{1}{4}2^{d}
(q + 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1}\} 4 α + 2 β + 2 2 2 4 1 \frac{1}{12}(2^{d} − 2)(2^{d} − 4)

Bemerkungen

• 0 ≤ α ≤ q − 1, falls 3 |̸ q; 0 ≤ α ≤ 2q für 3 | q.

• 0 ≤ β ≤ \frac{1}{3}(q + 2).

• φ_{12}(1) ≥ \frac{1}{3}(q − 1)^{2}(q + 1)(q^{3} + 2q^{2} + q + 3), für 3 |̸ q.

• φ_{12}(1) ≥ \frac{1}{3}(q − 1)^{2}(q^{3} + 2q^{2} + 4q + 3) für 3 | q. Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{11}  1
φ_{17}  \frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)
φ_{18}  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)
φ_{13}  \frac{1}{3}(q − 1)(q^{4} + q^{3} + 2q^{2} + 2q + 3)
φ_{14}  \frac{1}{3}(q − 1)(q^{4} + q^{3} + 2q^{2} + 2q + 3)
φ_{15}  q^{2}(q^{2} + 1)
φ_{12}  \frac{1}{6}(q − 1)^{2}(6q^{4} + (8 − 3α − β)q^{3} + (10 − 3α + β)q^{2} + (8 − 3α − β)q + 6)

HAUPTBLÖCKE 179

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q + 1  Kongruenz: 4 | q + 1  Block: B_{1}
Grad  Char. φ_{11} φ_{17} φ_{18} φ_{13} φ_{14} φ_{15} φ_{12}  Anzahl
1  X_{11}  1  1
\frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{17}  1  1
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{18}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{13}  1  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{14}  1  1  1
\frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{15}  1  1  1
q^{6}  X_{12}  1 α  β 1 1  1  1
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{16}  1  1  1
(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{22}} 1  1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{23}} 1 1  1  1 1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{24}} 1 1  1 1  1  1
q^{2}(q^{4} + q^{2} + 1)  {X_{21}} 1 α  β 1 1 1 1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2a}\}  1  1  1  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2a}\}  α − 1 β − 1  1  1  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2b}\}  1  1 1  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2b}\}  α − 1 β − 1 1  1  \frac{1}{2}(2^{d} − 2)
(q^{2} − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{a}\}  α  β  2  1  \frac{1}{4}2^{d}
(q^{2} − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{b}\}  α  β 2  1  \frac{1}{4}2^{d}
(q − 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2}\}  α − 2 β − 2  1 \frac{1}{12}(2^{d} − 2)(2^{d} − 4)

Bemerkungen

• 1 ≤ α ≤ q − 1 falls 3 |̸ q; 1 ≤ α ≤ 2q für 3 | q.

• 1 ≤ β ≤ \frac{1}{3}(q + 2).

• Im Fall q = 3 ist β = 1. A. Ryba hat mit Hilfe einer Erweiterung von R. Parkers MEAT-AXE gezeigt, daß in diesem Falle α = 2 ist.

• Für q > 3 sind die Grade der irreduziblen Brauercharaktere die gleichen wie im Fall q ≡ 1(mod 4).

180 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q)

Primzahl: ℓ = 3, 3^{d} ∥ q − 1  Kongruenz: 3 | q − 1  Block: B_{1}
Grad  Char. φ_{11}  φ_{18}  φ_{19} φ_{14} φ_{15} φ_{16} φ_{12} Anzahl
1  X_{11}  1  1
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{18}  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X_{19}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{14}  α + 1  1  1
\frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{15}  1  1  1
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{16}  α  1  1  1
q^{6}  X_{12}  β  γ  1  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{13}  1  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X̄_{19}  1  1
q^{3} + 1  {X_{32}} 1  1  1
q(q + 1)(q^{3} + 1)  {X_{33}} 1  α  1 1 1 1  1
q^{3}(q^{3} + 1)  {X_{31}}  α + β + 1 γ − 1 1 1  1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1a}\} 2  α  1 1 1 2  \frac{1}{2}(3^{d} − 3)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1a}\} 1 2α + β + 1 γ 2 2 1 1  \frac{1}{2}(3^{d} − 3)
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1b}\} 2 2α + 1  2 1 1  \frac{1}{2}(3^{d} − 1)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1b}\} 1  α + β γ + 1 1 2 2 1  \frac{1}{2}(3^{d} − 1)
(q + 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1}\} 3 3α + β + 1 γ + 1 3 3 3 1 \frac{1}{12}(3^{d} − 3)^{2}

Bemerkungen

• 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ q − 2, 1 ≤ γ ≤ q + 1.

• Ist q eine 2-Potenz, so ist α = β = 0.

• γ = 1 für q = 4 (K. Lux).

• φ_{14}(1) ∈ \{\frac{1}{6}q(q^{2} − q + 1)(q^{2} + 4q + 1), q^{2}(q^{2} − q + 1)\}.

• φ_{12}(1) ≥ \frac{1}{2}(q − 1)^{2}(q^{4} + 2q^{3} + 3q + 2).

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{11}  1
φ_{18}  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)
φ_{19}  \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}
φ_{14}  \frac{1}{6}q(q^{2} − q + 1)[(1 − α)q^{2} + (4 + 2α)q + (1 − α)]
φ_{15}  \frac{1}{2}(q^{5} + q^{4} + q^{2} + q − 2)
φ_{16}  q^{3}
φ_{12}  \frac{1}{6}(q − 1)^{2}[6q^{4} + (9 − β − 2γ)q^{3} + (9 + β − 4γ)q^{2} + (9 − β − 2γ)q + 6]

HAUPTBLÖCKE 181

Primzahl: ℓ = 3, 3^{d} ∥ q + 1  Kongruenz: 3 | q + 1  Block: B_{1}
Grad  Char. φ_{11} φ_{18} φ_{19} φ_{14} φ_{17} φ_{16} φ_{12} Anzahl
1  X_{11}  1  1
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{18}  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X_{19}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{14}  1 1  1  1
\frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{17}  1  1
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{16}  2  1  1  1
q^{6}  X_{12}  1 α  β 1 γ 1 1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{13}  1  1  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X̄_{19}  1  1
q^{3} − 1  {X_{32}}  1  1
q(q − 1)(q^{3} − 1)  {X_{33}}  1  1  1  1
q^{3}(q^{3} − 1)  {X_{31}}  α − 1 β + 1  γ 1 1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2a}\}  2  1 1  \frac{1}{2}(3^{d} − 1)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2a}\}  α − 1 β − 1 1 γ − 1  1  \frac{1}{2}(3^{d} − 1)
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2b}\}  1  1  1 1  \frac{1}{2}(3^{d} − 3)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2b}\}  α − 2 β  γ − 1 1 1  \frac{1}{2}(3^{d} − 3)
(q − 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2}\}  α − 3 β − 1  γ − 2  1 \frac{1}{12}(3^{d} − 3)^{2}

Bemerkungen

• 1 ≤ α ≤ q + 1, 1 ≤ β ≤ q − 1, 1 ≤ γ ≤ \frac{1}{2}q.

• Im Falle q = 2 ist G_{2}(2) ≅ U_{3}(3).2 und wir haben α = β = γ = 1.

• Ebenso ist α = β = γ = 1 im Falle q = 5 (Lux, Parker).

• φ_{12}(1) ≥ \frac{1}{4}(q − 1)^{2}(q + 2)^{2}(q^{2} + q + 1).

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{11}  1
φ_{18}  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)
φ_{19}  \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}
φ_{14}  \frac{1}{6}(q^{2} − 1)(q^{3} + 3q^{2} − q + 6)
φ_{17}  \frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)
φ_{16}  q^{3} − 1
φ_{12}  \frac{1}{6}(q − 1)^{2} \begin{matrix}[6q^{4} + (11 − α − 2β − 3γ)q^{3} + (13 + α − 4β − 3γ)q^{2} \\ +(11 − α − 2β − 3γ)q + 6] \end{matrix}

182 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q) Primzahl: ℓ | q − 1, l > 3, ℓ^{d} ∥ q − 1 Block: B_{1}

Grad  Char. φ_{11} φ_{13} φ_{14} φ_{15} φ_{16} φ_{12}  Anzahl
1  X_{11}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{13}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{14}  1  1
\frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{15}  1  1
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{16}  1  1
q^{6}  X_{12}  1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1a}\} 1 1  1 1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1a}\}  1 1 1 1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1b}\} 1  1 1 1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1b}\}  1  1 1 1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q + 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1}\} 1 1 1 2 2 1 \frac{1}{12}(ℓ^{d} − 1)(ℓ^{d} − 5)

HAUPTBLÖCKE 183

Primzahl: ℓ | q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q + 1 Block: B_{1}

Grad  Char. φ_{11} φ_{13} φ_{14} φ_{17} φ_{18} φ_{12}  Anzahl
1  X_{11}  1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{13}  1 1  1
\frac{1}{3}q(q^{4} + q^{2} + 1)  X_{14}  1  1  1
\frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{17}  1  1
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{18}  1  1
q^{6}  X_{12}  1 1 1 α  β 1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2a}\}  1 1  1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2a}\}  1 α − 1 β − 1 1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2b}\}  1  1  1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2b}\}  1  α − 1 β − 1 1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q − 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2}\}  α − 2 β − 2 1 \frac{1}{12}(ℓ^{d} − 1)(ℓ^{d} − 5)

Bemerkungen

• 1 ≤ α ≤ \frac{1}{2}q.

• 1 ≤ β ≤ \frac{1}{6}(q + 2).

• Im Falle q = 4 und ℓ = 5 ist α = 2 und β = 1 (K. Lux und G. Hiß).

• φ_{12}(1) > \frac{1}{3}(q − 1)^{2}(q^{4} + 2q^{3} + 4q^{2} + 3q + 3).

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{11}  1
φ_{13}  \frac{1}{3}(q − 1)(q^{4} + q^{3} + 2q^{2} + 2q + 3)
φ_{14}  \frac{1}{3}(q − 1)(q^{4} + q^{3} + 2q^{2} + 2q + 3)
φ_{17}  \frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)
φ_{18}  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)
φ_{12}  \frac{1}{6}(q − 1)^{2}(6q^{4} + (8 − 3α − β)q^{3} + (10 − 3α + β)q^{2} + (8 − 3α − β)q + 6)

184 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q) Primzahl: ℓ | q^{2} + q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q^{2} + q + 1 Block: B_{1}

Grad  Char. φ_{11} φ_{15} φ_{18} φ_{19} φ̄_{19} φ_{12} Anzahl
1 X_{11} 1 1
\frac{1}{2}q(q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{15} 1 1  1
\frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) X_{18}  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X_{19}  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X̄_{19}  1  1
q^{6}  X_{12}  1  1 1 1  1
(q^{2} − 1)^{2}(q^{2} − q + 1) \{X_{3}\}  1  1 \frac{1}{6}(ℓ^{d} − 1)

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{11}  1
φ_{15}  \frac{1}{2}(q^{5} + q^{4} + q^{2} + q − 2)
φ_{18}  \frac{1}{6}q(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)
φ_{19}  \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}
φ̄_{19}  \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}
φ_{12}  \frac{1}{6}(q − 1)^{2}(q^{2} − q + 1)(6q^{2} + 11q + 6)

Brauerbaum

[figure: X_{11}; X_{15}; X_{12}; {X_{3}}; X_{18}; X̄_{19}; X_{19}]

HAUPTBLÖCKE 185 Primzahl: ℓ | q^{2} − q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q^{2} − q + 1 Block: B_{1}

Grad  Char. φ_{11} φ_{16} φ_{17} φ_{19} φ̄_{19} φ_{12} Anzahl
1 X_{11} 1 1
\frac{1}{6}q(q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{16} 1 1  1
\frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) X_{17}  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X_{19}  1  1
\frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}  X̄_{19}  1  1
q^{6}  X_{12}  1  1  1
(q^{2} − 1)^{2}(q^{2} + q + 1) \{X_{6}\}  1 1 1 1 \frac{1}{6}(ℓ^{d} − 1)

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{11}  1
φ_{16}  \frac{1}{6}(q^{5} + 3q^{4} + 4q^{3} + 3q^{2} + q − 6)
φ_{17}  \frac{1}{2}q(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)
φ_{19}  \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}
φ̄_{19}  \frac{1}{3}q(q − 1)^{2}(q + 1)^{2}
φ_{12}  \frac{1}{6}(q − 1)^{2}(6q^{4} + 11q^{3} + 13q^{2} + 11q + 6)

Brauerbaum

[figure: X_{11}; X_{16}; X_{12}; {X_{6}}; X_{17}; X̄_{19}; X_{19}]

C.3 Die Blöcke B_{3}

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q − 1 Kongruenzen: 4 | q − 1, 3 | q − 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31}  Anzahl
(q^{3} + 1) X_{32}  1  1
q(q + 1)(q^{3} + 1) X_{33}  1  1
q^{3}(q^{3} + 1) X_{31}  1  1  1
(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X′_{1a}} 1  1  2^{d} − 1
q(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X_{1a}} 1  1  1  2^{d} − 1
(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) \{X_{a}\}  1  \frac{1}{2}2^{d}
(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) \{X_{1}\} 2  2  1 \frac{1}{6}(2^{d} − 1)(2^{d} − 2)

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q − 1 Kongruenzen: 4 | q − 1, 3 | q + 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31} Anzahl
(q^{3} − 1) X_{32}  1  1
q(q − 1)(q^{3} − 1) X_{33}  1  1
q^{3}(q^{3} − 1) X_{31}  1  1  1  1
(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X′_{2b}} 1  1  1
q(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X_{2b}} 1  1  1
(q + 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X_{b}} 2  1  1 2^{d} − 1

Bemerkung

Die Defektgruppe dieses Blocks ist eine 2-Sylowgruppe der zu SU_{3}(q^{2}) isomorphen Untergruppe. Sie ist deshalb eine Semidiedergruppe der Ordnung 2^{d+2}. Blöcke mit einer solchen Defektgruppe und einer solchen Zerlegungsmatrix wurden von K. Erdmann in [26, Lemma 11.4] betrachtet.

Grade der irreduziblen Brauercharaktere Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q + 1 Kongruenzen: 4 | q + 1, 3 | q − 1 Block: B_{3}

Char.  Grad φ_{32}  (q^{3} − 1)

φ_{33}  q(q − 1)(q^{3} − 1)

φ_{31} (q^{2} + 1)(q − 1)(q^{3} − 1)

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31} Anzahl
(q^{3} + 1) X_{32}  1  1
q(q + 1)(q^{3} + 1) X_{33}  1  1
q^{3}(q^{3} + 1) X_{31}  1  1  1
(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X′_{1a}} 1  1  1
q(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X_{1a}} 1  1  1  1
(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X_{a}}  1 2^{d} − 1

Bemerkung

Die Defektgruppe dieses Blocks ist eine 2-Sylowgruppe der Untergruppe, die isomorph zu SL_{3}(q) ist. Sie ist deshalb eine Semidiedergruppe der Ordnung 2^{d+2}. Blöcke mit einer solchen Defektgruppe und einer solchen Zerlegungsmatrix wurden von K. Erdmann in [26, Lemma 11.6] betrachtet.

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q + 1 Kongruenzen: 4 | q + 1, 3 | q + 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31}  Anzahl
(q^{3} − 1) X_{32}  1  1
q(q − 1)(q^{3} − 1) X_{33}  1  1
q^{3}(q^{3} − 1) X_{31}  1  γ  1  1
(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X′_{2b}} 1  1  2^{d} − 1
q(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X_{2b}} 1 γ − 1 1  2^{d} − 1
(q + 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) \{X_{b}\} 2 γ 1 \frac{1}{2}2^{d}
(q − 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) \{X_{2}\}  γ − 2 1 \frac{1}{6}(2^{d} − 1)(2^{d} − 2)

Bemerkungen

• 1 ≤ γ ≤ \frac{1}{3}(q + 1).

• φ_{31}(1) ≥ \frac{1}{3}(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)(2q^{2} + 2q + 3).

Grade der irreduziblen Brauercharaktere 188 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q) Primzahl: ℓ | q − 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q − 1 Kongruenz: 3 | q − 1 Block: B_{3}

Char.  Grad φ_{32}  (q^{3} − 1)

φ_{33}  q(q − 1)(q^{3} − 1)

φ_{31} (q^{2} + (1 − γ)q + 1)(q − 1)(q^{3} − 1)

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31}  Anzahl
(q^{3} + 1) X_{32}  1  1
q(q + 1)(q^{3} + 1) X_{33}  1  1
q^{3}(q^{3} + 1) X_{31}  1  1
(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X′_{1a}} 1  1  ℓ^{d} − 1
q(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) {X_{1a}}  1  1  ℓ^{d} − 1
(q + 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) \{X_{1}\} 1  2  1 \frac{1}{6}(ℓ^{d} − 1)(ℓ^{d} − 2)

Primzahl: ℓ | q − 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q − 1 Kongruenz: 3 | q + 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{31} Anzahl
(q^{3} − 1) X_{32} 1  1
q^{3}(q^{3} − 1) X_{31} 1 1
(q + 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) \{X_{b}\} 1  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)

Brauerbaum

[figure: X_{32}; {X_{b}}; X_{31}]

Primzahl: ℓ | q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q + 1 Kongruenz: 3 | q − 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{31} Anzahl
(q^{3} + 1) X_{32} 1  1
q^{3}(q^{3} + 1) X_{31} 1  1  1
(q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} + 1) \{X_{a}\}  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)

Brauerbaum

X_{32}  X_{31}  {X_{a}}

Primzahl: ℓ | q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q + 1 Kongruenz: 3 | q + 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31}  Anzahl
(q^{3} − 1) X_{32}  1  1
q(q − 1)(q^{3} − 1) X_{33}  1
q^{3}(q^{3} − 1) X_{31}  1  γ  1
(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X′_{2b}} 1  1  ℓ^{d} − 1
q(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) {X_{2b}} 1 γ − 1 1  ℓ^{d} − 1
(q − 1)(q^{2} − q + 1)(q^{3} − 1) \{X_{2}\}  γ − 2 1 \frac{1}{6}(ℓ^{d} − 1)(ℓ^{d} − 2)

Bemerkungen

• 2 ≤ γ ≤ \frac{1}{3}(q + 1).

• φ_{31}(1) ≥ \frac{1}{3}(q − 1)^{2}(q^{2} + q + 1)(2q^{2} + 2q + 3).

Grad der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{32}  (q^{3} − 1)
φ_{33}  q(q − 1)(q^{3} − 1)
φ_{31} (q^{2} + (1 − γ)q + 1)(q − 1)(q^{3} − 1)

190 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q) Primzahl: ℓ | q^{2} + q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q^{2} + q + 1 Kongr.: 3 | q − 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31} Anzahl
(q^{3} + 1) X_{32} 1  1
q(q + 1)(q^{3} + 1) X_{33} 1  1  1
q^{3}(q^{3} + 1) X_{31}  1  1  1
(q − 1)^{2}(q + 1)(q^{3} + 1) \{X_{3}\}  1 \frac{1}{3}(ℓ^{d} − 1)

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{32}  (q^{3} + 1)
φ_{33}  (q^{2} + q − 1)(q^{3} + 1)
φ_{31} (q − 1)^{2}(q + 1)(q^{3} + 1)

Brauerbaum

[figure: X_{32}; X_{33}; X_{31}; {X_{3}}]

Primzahl: ℓ | q^{2} − q + 1, ℓ > 3, ℓ^{d} ∥ q^{2} − q + 1 Kongr.: 3 | q + 1 Block: B_{3}

Grad Char. φ_{32} φ_{33} φ_{31} Anzahl
(q^{3} − 1) X_{32} 1  1
q(q − 1)(q^{3} − 1) X_{33}  1  1
q^{3}(q^{3} − 1) X_{31} 1  1  1
(q − 1)(q + 1)^{2}(q^{3} − 1) \{X_{6}\}  1  1 \frac{1}{3}(ℓ^{d} − 1)

Grade der irreduziblen Brauercharaktere

Char.  Grad
φ_{32}  (q^{3} − 1)
φ_{33}  q(q^{3} − 1)
φ_{31} (q − 1)(q^{2} + q + 1)(q^{3} − 1)

Brauerbaum

[figure: X_{32}; X_{31}; {X_{6}}; X_{33}]

DIE BLÖCKE B_{2} 191

C.4 Die Blöcke B_{2}

Primzahl: ℓ | q − 1, ℓ > 2, ℓ^{d} ∥ q − 1  Kongruenz: 2 |̸ q  Block: B_{2}
Grad Char. φ_{22} φ_{23} φ_{24} φ_{21} Anzahl
(q^{4} + q^{2} + 1) X_{22}  1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1) X_{23}  1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1) X_{24}  1  1
q^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) X_{21}  1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1a}\} 1  1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1a}\}  1  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{1b}\} 1  1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1b}\}  1  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q + 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1}\} 1  1  1  1 \frac{1}{4}(ℓ^{d} − 1)^{2}
Primzahl: ℓ | q + 1, ℓ > 2, ℓ^{d} ∥ q + 1  Kongruenz: 2 |̸ q  Block: B_{2}
Grad Char. φ_{22} φ_{23} φ_{24} φ_{21} Anzahl
(q^{4} + q^{2} + 1) X_{22}  1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1) X_{23}  1  1
q(q^{4} + q^{2} + 1) X_{24}  1  1
q^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) X_{21}  1  1  1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2a}\}  1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2a}\}  1  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X′_{2b}\}  1  \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2b}\}  1  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)
(q − 1)^{2}(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2}\}  1 \frac{1}{4}(ℓ^{d} − 1)^{2}

C.5 Die Blöcke B_{1a} und B_{1b}

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q − 1  Kongruenz: 4 | q − 1  Block: B_{1a}

Grad Char. φ′_{1a} φ_{1a}  Anzahl
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{1a}  1  1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{1a}  1  1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X′_{1a}} 1  2^{d} − 1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{1a}} 1  1  2^{d} − 1
(q − 1)(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{a}\}  1  \frac{1}{2}2^{d}
(q + 1)(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1}\} 2  1 \frac{1}{2}2^{d}(2^{d} − 1)

Bemerkung

Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{1b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q + 1  Kongruenz: 4 | q + 1  Block: B_{1a}

Grad Char. φ′_{1a} φ_{1a} Anzahl
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{1a}  1  1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{1a}  1  1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X′_{1a}} 1  1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{1a}} 1  1  1
(q + 1)(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{1}} 2  1  1
(q − 1)(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{a}}  1 2^{d} − 1

Bemerkungen

• Die Defektgruppe dieses Blocks ist eine 2-Sylowgruppe der Untergruppe GL_{2}(q). Sie ist deshalb eine Semidiedergruppe der Ordnung 2^{d+2}. Blöcke mit einer solchen Defektgruppe und einer solchen Zerlegungsmatrix wurden von K. Erdmann in [25, Lemma 8.6] betrachtet.

• Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{1b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

DIE BLÖCKE B_{1a} und B_{1b} 193

Primzahl: ℓ | q − 1, ℓ > 2, ℓ^{d} ∥ q − 1 Block: B_{1a}

Grad Char. φ′_{1a} φ_{1a} Anzahl
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{1a}  1  1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{1a}  1  1
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X′_{1a}} 1  ℓ^{d} − 1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{1a}} 1 ℓ^{d} − 1
(q + 1)(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{1}\} 1  1 \frac{1}{2}ℓ^{d}(ℓ^{d} − 1)

Bemerkung

Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{1b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

Primzahl: ℓ | q + 1, ℓ > 2, ℓ^{d} ∥ q + 1 Block: B_{1a}

Grad Char. φ′_{1a} φ_{1a} Anzahl
(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{1a} 1  1
q(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{1a} 1 1 1
(q − 1)(q + 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{a}\}  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)

Bemerkung

Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{1b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

Brauerbaum

X′_{1a}  X_{1a}  {X_{a}}

C.6 Die Blöcke B_{2a} und B_{2b}

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q − 1  Kongruenz: 4 | q − 1  Block: B_{2a}

Grad Char. φ′_{2a} φ_{2a} Anzahl
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{2a}  1  1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{2a}  1  1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X′_{2a}} 1  1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{2a}} 1  1  1
(q − 1)(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{2}}  1  1
(q + 1)(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{a}} 2  1 2^{d} − 1

Bemerkungen

• Die Defektgruppe dieses Blocks ist eine 2-Sylowgruppe der Untergruppe U_{2}(q). Sie ist deshalb eine Semidiedergruppe der Ordnung 2^{d+2}. Blöcke mit einer solchen Defektgruppe und einer solchen Zerlegungsmatrix wurden von K. Erdmann in [25, Lemma 8.8] betrachtet.

• Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{2b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

Primzahl: ℓ = 2, 2^{d} ∥ q + 1  Kongruenz: 4 | q + 1  Block: B_{2a}

Grad Char. φ′_{2a} φ_{2a}  Anzahl
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{2a}  1  1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{2a}  1  1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X′_{2a}} 1  2^{d} − 1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{2a}} 1  1  2^{d} − 1
(q + 1)(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{a}\} 2  1  \frac{1}{2}2^{d}
(q − 1)(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2}\}  1 \frac{1}{2}2^{d}(2^{d} − 1)

Bemerkung

Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{2b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

Grad Char. φ′_{2a} φ_{2a} Anzahl
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{2a} 1  1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{2a} 1 1
(q + 1)(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{a}\} 1  1 \frac{1}{2}(ℓ^{d} − 1)

Bemerkung

Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{2b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

Brauerbaum

[figure: X′_{2a}; {X_{a}}; X_{2a}]

Primzahl: ℓ | q + 1, ℓ > 2, ℓ^{d} ∥ q + 1 Block: B_{2a}

Grad Char. φ′_{2a} φ_{2a} Anzahl
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X′_{2a}  1  1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) X_{2a}  1  1  1
(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X′_{2a}} 1  ℓ^{d} − 1
q(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) {X_{2a}} 1 1 ℓ^{d} − 1
(q − 1)(q − 1)(q^{4} + q^{2} + 1) \{X_{2}\}  1 \frac{1}{2}ℓ^{d}(ℓ^{d} − 1)

Bemerkung

Um die Zerlegungsmatrizen für die Blöcke B_{2b} zu erhalten, ist a durch b zu ersetzen.

196 ANHANG C. ZERLEGUNGSZAHLEN DER G_{2}(q)

Anhang D

Die Brauerbäume der Ree-Gruppen

In diesem Kapitel werden die Brauerbäume der Ree-Gruppen beschrieben. Die Beweise dazu finden sich in Kapitel 8, soweit sie nicht trivial sind.

Da die Suzuki-Gruppen als Komponenten regulärer Untergruppen von 2F_{4}(q^{2}) auftreten, kommen deren Brauerbäume auch unter den Brauerbäumen von ^{2}F_{4}(q^{2}) vor. Aus diesem Grunde werden auch die Brauerbäume der Suzuki-Gruppen vorgestellt. Diese sind sehr leicht zu bestimmen und wurden im übrigen schon von Burkhardt [7] angegeben.

Bei der Beschreibung der Brauerbäume werden die Charaktere gemäß der Jordan-Zerlegung von Charakteren bezeichnet. Dies ist hier besonders einfach, weil jede der betrachteten Gruppen selbstdual ist. Dabei schreiben wir kurz χ_{s} für χ_{s,1}, wenn s regulär ist, d.h. wenn χ_{s,1} bis auf das Vorzeichen ein Deligne– Lusztig-Charakter ist.

Es zeigt sich, daß die Einteilung der Charaktere in ℓ-Blöcke den Gesetzen der Jordan-Zerlegung von Blöcken genügt. Ist s ein halbeinfaches ℓ′- Element, so schreiben wir B_{s} für denjenigen ℓ-Block, der zum Hauptblock von C_{G}(s)^{∗} korrespondiert. Auch stellt sich in allen Fällen heraus, daß die Jordan-Zerlegung von Zerlegungsmatrizen und somit die Jordan-Zerlegung von Brauercharakteren richtig ist. Die Defektgruppen sind immer Sylowgruppen von maximalen Tori, eine Beobachtung, die schon von Schewe in [78] gemacht wurde.

Ein ℓ-Block mit zyklischer Defektgruppe ist genau dann nilpotent im Sinne von Broué und Puig [6], wenn er genau einen irreduziblen Brauercharakter enthält. Die nilpotenten Blöcke sind in der folgenden Zusammenstellung weggelassen.

Die Knoten der Bäume sind mit zwei verschiedenen Symbolen gezeichnet. Diese entsprechen den beiden Typen von Charakteren, wie in Kapitel 8 erläutert. Der exzeptionelle Knoten ist durch eine zusätzliche Umrandung gekennzeichnet.

Für die nicht-trivialen Elemente einer Gruppe H schreiben wir H^{#}.

D.1 Die Brauerbäume der Suzuki-Gruppen

In diesem Abschnitt sei G = ^{2}B_{2}(q^{2}) eine Suzuki-Gruppe. Diese wird auch mit Suz(q^{2}) bezeichnet. Es ist q^{2} = 2^{2n+1}, n ≥ 0, also q keine ganze Zahl. Die Suzuki-Gruppen sind für n > 0 einfach. Für n = 0 ist G = ^{2}B_{2}(2) isomorph zur Frobeniusgruppe der Ordnung 20. Die Ergebnisse dieses Abschnittes sind auch in diesem Fall richtig. Die Ordnung von G ist

|^{2}B_{2}(q^{2})| = q^{4}(q^{2} − 1)(q^{2} + \sqrt{2}q + 1)(q^{2} − \sqrt{2}q + 1).

Sie hat drei maximale Tori T_{1}, T_{2}, und T_{3}. Deren Struktur ist:

T_{1} ≅ ℤ_{q^{2}−1},
T_{2} ≅ ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1},
T_{3} ≅ ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1}.

Ihre nicht-trivialen Elemente sind regulär. Es gibt genau 4 unipotente Charaktere, die mit ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} und ξ_{4} bezeichnet werden. Dabei ist ξ_{1} der triviale und ξ_{2} der Steinberg-Charakter. Die beiden unipotenten Charaktere ξ_{3} und ξ_{4} sind kuspidal, komplex konjugiert auf unipotenten Klassen und haben den Grad q(q^{2} − 1)/\sqrt{2}.

Satz D.1.1 Sei D eine zyklische ℓ-Gruppe der Ordnung |D| = ℓ^{d}, d > 1, die Defektgruppe eines ℓ-Blockes ist. Dann ist ℓ ≠ 2 und D ist die ℓ-Sylowgruppe eines der maximalen Tori.

Ist nun ℓ eine ungerade Primzahl, die |G| teilt, dann teilt ℓ genau eine der Zahlen q^{2} − 1, q^{2} + \sqrt{2}q + 1 oder q^{2} − \sqrt{2}q + 1. Dies ergibt eine natürliche Fallunterscheidung zur Aufzählung der ℓ-Blöcke von G. Wir beschreiben nun der Reihe nach die Blöcke in den drei möglichen Fällen für ℓ.

Satz D.1.2 Sei ℓ | q^{2} − 1. Dann ist n > 0 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{1}). Der Hauptblock hat den Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; χ_{t}; ξ_{2}]

mit t ∈ D^{#}. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.1.3 Sei ℓ | q^{2} + \sqrt{2}q + 1. Dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(T_{2}). Der Hauptblock hat den Brauerbaum:

ξ_{1}  ξ_{2}  χ_{t} ξ_{3} ξ_{4}

mit t ∈ D^{#}. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.1.4 Sei ℓ | q^{2} − \sqrt{2}q + 1. Dann ist n > 0 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{3}). Der Hauptblock hat den Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{2}; χ_{t}; ξ_{3}; ξ_{4}]

mit t ∈ D^{#}. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Damit sind alle Brauerbäume der Suzuki-Gruppen beschrieben.

D.2 Die Brauerbäume der Ree-Gruppen vom Typ ^{2}G_{2}

In diesem Abschnitt sei G = ^{2}G_{2}(q^{2}) eine Ree-Gruppe. Es ist q^{2} = 3^{2n+1}, n ≥ 0, also q keine ganze Zahl. Die Ree-Gruppen dieses Typs sind für n > 0 einfach. Für n = 0 ist G = ^{2}G_{2}(3) isomorph zu P ΓL_{2}(8). Die Ergebnisse dieses Abschnittes sind auch in diesem Fall richtig. Die Ordnung von G ist

|^{2}G_{2}(q^{2})| = q^{6}(q^{2} − 1)(q^{2} + 1)(q^{2} + \sqrt{3}q + 1)(q^{2} − \sqrt{3}q + 1).

Sie hat vier maximale Tori T_{1}, T_{2}, T_{3} und T_{4}. Deren Struktur ist:

T_{1} ≅ ℤ_{q^{2}−1} ≅ ⟨u⟩ × ℤ_{(q^{2}−1)/2},
T_{2} ≅ ⟨u⟩ × ℤ_{(q^{2}+1)/2} ≅ ⟨u⟩ × ⟨u′⟩ × ℤ_{(q^{2}+1)/4},
T_{3} ≅ ℤ_{q^{2}+\sqrt{3}q+1},
T_{4} ≅ ℤ_{q^{2}−\sqrt{3}q+1}.

Dabei sind u und u′ vertauschbare Involutionen. Es ist zu beachten, daß wegen q^{2} ≡ 3(mod 8) sowohl (q^{2} − 1)/2 als auch (q^{2} + 1)/4 ungerade sind. Die irregulären Elemente in ∪_{i=0}^{4}T_{i} sind gerade die Elemente aus ⟨u, u′⟩.

Es gibt genau 8 unipotente Charaktere, die mit ξ_{1}–ξ_{8} bezeichnet werden. Dabei ist ξ_{1} der triviale und ξ_{2} der Steinberg-Charakter. Die übrigen unipotenten sind kuspidal. Die Numerierung entspricht der Reihenfolge, in der diese Charaktere in Carters Buch aufgeführt sind.

Satz D.2.1 Sei D eine zyklische ℓ-Gruppe der Ordnung |D| = ℓ^{d}, d > 1, die Defektgruppe eines ℓ-Blockes ist. Dann ist ℓ ≠ 3 und D ist die ℓ-Sylowgruppe eines der maximalen Tori.

Die Brauerbäume für den Fall ℓ = 2 sind trivial. Es sei nun ℓ eine ungerade Primzahl ungleich 3. Dann teilt ℓ genau eine der Zahlen q^{2} − 1, q^{2} + 1, q^{2} + \sqrt{3}q + 1 oder q^{2} − \sqrt{3} + 1. Dies ergibt eine natürliche Fallunterscheidung zur Aufzählung der ℓ-Blöcke von G. Wir beschreiben nun der Reihe nach die Blöcke in den vier möglichen Fällen für ℓ.

REE-GRUPPEN VOM TYP ^{2}G_{2} 201

Satz D.2.2 Sei ℓ | q^{2} − 1 und ℓ ≠ 2. Dann ist n > 0 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{1}). Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Den Hauptblock mit Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; χ_{t}; ξ_{2}]

mit t ∈ D^{#}.

(b) Für s = u existiert ein Block B_{u} mit Brauerbaum:

[figure: χ_{u,1}; χ_{ut}; χ_{u,q^{2}}]

mit t ∈ D^{#}. Dabei werden die beiden unipotenten Charaktere von C_{G}(u) = ⟨u⟩ × P SL_{2}(q^{2}) durch ihre Grade bezeichnet.

(c) Nilpotente Blöcke.

Satz D.2.3 Sei ℓ | q^{2} + 1 und ℓ ≠ 2. Dann ist n > 0 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{2}). Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Den Hauptblock mit dem folgenden, eben eingebetteten Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; χ_{t}; ξ_{2}; ξ_{7}; ξ_{8}; ξ_{5}; ξ_{6}]

mit t ∈ D^{#}.

(b) Für s = u existiert ein Block B_{u} mit Brauerbaum:

χ_{u,1}  χ_{u,q^{2}}  χ_{ut}

mit t ∈ D^{#}.

(c) Nilpotente Blöcke.

Satz D.2.4 Sei ℓ | q^{2} + \sqrt{3}q + 1. Dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(T_{3}). Der Hauptblock hat den folgenden, eben eingebetteten Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{2}; χ_{t}; ξ_{4}; ξ_{5}; ξ_{3}; ξ_{6}]

mit t ∈ D^{#}. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.2.5 Sei ℓ | q^{2} − \sqrt{3}q + 1. Dann ist n > 0 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{4}). Der Hauptblock hat den Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{2}; χ_{t}; μ; ϑ; μ̄; ϑ̄]

mit t ∈ D^{#} und {μ, ϑ} ∈ {{ξ_{3}, ξ_{7}}, {ξ_{3}, ξ̄_{7}}}. Hier konnte die ebene Einbettung des Brauerbaumes nicht bestimmt werden. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Damit sind alle Brauerbäume der Ree-Gruppen ^{2}G_{2}(q^{2}) beschrieben.

REE-GRUPPEN VOM TYP ^{2}F_{4} 203

D.3 Die Brauerbäume der Ree-Gruppen vom Typ ^{2}F_{4}

In diesem Abschnitt sei schließlich G eine Ree-Gruppe vom Typ^{2}F_{4}(q^{2}). Es ist q^{2} = 2^{2n+1}, n ≥ 0, also q keine ganze Zahl. Die Ree-Gruppen dieses Typs sind einfach, außer für n = 0. Die Kommutatorgruppe von ^{2}F_{4}(2) ist einfach vom Index 2. Sie heißt auch Tits-Gruppe. Die Ergebnisse dieses Abschnittes sind auch in diesem Fall richtig. Die Zerlegungszahlen von ^{2}F_{4}(2) sind vollständig bekannt [45].

Die Ordnung der Ree-Gruppen dieses Typs ist

|^{2}F_{4}(q^{2})| = q^{24}(q^{2} − 1)(q^{6} + 1)(q^{8} − 1)(q^{12} + 1).

Sie haben elf maximale Tori T_{1}–T_{11}. Deren Struktur ist:

T_{1} ≅ ℤ_{q^{2}−1} × ℤ_{q^{2}−1},
T_{2} ≅ ℤ_{q^{2}−1} × ℤ_{q^{2}+1},
T_{3} ≅ ℤ_{q^{2}−1} × ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1},
T_{4} ≅ ℤ_{q^{2}−1} × ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1},
T_{5} ≅ ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1} × ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1},
T_{6} ≅ ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1} × ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1},
T_{7} ≅ ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1} × ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1},
T_{8} ≅ ℤ_{q^{2}+1} × ℤ_{q^{2}+1},
T_{9} ≅ ℤ_{q^{4}−q^{2}+1},
T_{10} ≅ ℤ_{q^{4}−\sqrt{2}q^{3}+q^{2}−\sqrt{2}q+1},
T_{11} ≅ ℤ_{q^{4}+\sqrt{2}q^{3}+q^{2}+\sqrt{2}q+1}.

Außer T_{1}, T_{6}, T_{7} und T_{8} sind diese alle zyklisch.

Es gibt genau 21 unipotente Charaktere, die mit ξ_{1}–ξ_{21} bezeichnet werden. Dabei ist ξ_{1} der triviale und ξ_{4} der Steinberg-Charakter. Die Charaktere der Hauptreihe sind ξ_{1}–ξ_{4} sowie ξ_{9}–ξ_{11}. Die Charaktere ξ_{5}–ξ_{8} sind Konstituenten der Harish-Chandra-Induktionen der beiden kuspidalen, unipotenten Charakteren des Levi-Komplements ℤ_{q^{2}−1} × Suz(q^{2}). Die Notation ist so gewählt, daß ξ_{5}+ξ_{7} ein induzierter Charakter ist, und daß ξ_{5} und ξ_{6} komplex konjugiert sind. Die übrigen unipotenten sind kuspidal. Die Numerierung entspricht der Reihenfolge, in der diese Charaktere in Carters Buch aufgeführt sind.

Wir benötigen den folgenden Hilfssatz über die Primteiler von |G|.

Lemma D.3.1 Es sei ℓ ein ungerader Primteiler ungleich 3 von |G|. Dann teilt ℓ genau eine der folgenden Zahlen:

q^{2} − 1,
q^{2} + 1,
q^{2} − \sqrt{2}q + 1,
q^{2} + \sqrt{2}q + 1,
q^{4} − q^{2} + 1,
q^{4} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1,
q^{4} + \sqrt{2}q^{3} + q^{2} + \sqrt{2}q + 1.

Zur Beschreibung der Blöcke benötigen wir außerdem die folgenden Bezeichnungen und Tatsachen über die irregulären Elemente von G. Der besseren Übersichtlichkeit wegen sind diese in Form von Tabellen zusammengefaßt.

Lemma D.3.2 (a) Die zyklischen maximalen Tori T_{2}–T_{5} erlauben folgende Faktorisierungen.

Torus Faktorisierung  Ordnung der Faktoren  Bemerkungen
T_{2}  T_{21} × T_{22}  \begin{matrix}|T_{21}| = q^{2} − 1 \\ |T_{22}| = q^{2} + 1 \end{matrix}  |T_{22} ∩ T_{8} ∩ T_{9}| = 3
T_{3}  T_{31} × T_{32}  \begin{matrix}|T_{31}| = q^{2} − 1 \\ |T_{32}| = q^{2} − \sqrt{2}q + 1 \end{matrix}
T_{4}  T_{41} × T_{42}  \begin{matrix}|T_{41}| = q^{2} − 1 \\ |T_{42}| = q^{2} + \sqrt{2}q + 1 \end{matrix} T_{41} = T_{31} = T_{3} ∩ T_{4}
T_{5}  T_{51} × T_{52}  \begin{matrix}|T_{51}| = q^{2} − \sqrt{2}q + 1 \\ |T_{52}| = q^{2} + \sqrt{2}q + 1 \end{matrix}  \begin{matrix}T_{51} = T_{32} \\ T_{52} = T_{42} \end{matrix}

(b) Die irregulären Elemente aus obigen Faktoren haben im einzelnen die folgenden Zentralisatoren und Normalisatoren.

T mit t ∈ T^{#}  C_{G}(t)  N_{G}(⟨t⟩)
T_{21}  ℤ_{q^{2}−1} × SL_{2}(q^{2})  (ℤ_{q^{2}−1} :2) × SL_{2}(q^{2})
T_{22}, t^{3} ≠ 1  ℤ_{q^{2}+1} × SL_{2}(q^{2})  (ℤ_{q^{2}+1} :2) × SL_{2}(q^{2})
T_{22} ∩ T_{8} ∩ T_{9}  SU_{3}(q^{4})  SU_{3}(q^{4}):2
T_{31}  ℤ_{q^{2}−1} × Suz(q^{2})  (ℤ_{q^{2}−1} :2) × Suz(q^{2})
T_{32}  ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1} × Suz(q^{2}) (ℤ_{q^{2}−\sqrt{2}q+1} :4) × Suz(q^{2})
T_{42}  ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1} × Suz(q^{2}) (ℤ_{q^{2}+\sqrt{2}q+1} :4) × Suz(q^{2})

Wir können nun die zyklischen Defektgruppen von G bestimmen.

Satz D.3.3 Sei D eine zyklische ℓ-Gruppe der Ordnung |D| = ℓ^{d}, d ≥ 1, die Defektgruppe eines ℓ-Blockes ist. Dann ist ℓ > 2 und D ist die ℓ-Sylowgruppe eines der zyklischen maximalen Tori. Mit den Bezeichnungen aus Lemma D.3.2 haben wir im einzelnen die folgenden Möglichkeiten für D:

\begin{matrix}T mit \\ D ∈ Syl_{ℓ}(T) \end{matrix} Faktor S ≤ T ; mit D ≤ S  ℓ teilt  Bedingung
T_{2}  T_{21}  q^{2} − 1
T_{3}  T_{31}  q^{2} − 1
T_{9}  T_{9}  3  |D| = 3
T_{2}  T_{22}  q^{2} + 1  |D| > 3
T_{3}  T_{32}  q^{2} − \sqrt{2}q + 1
T_{4}  T_{42}  q^{2} + \sqrt{2}q + 1
T_{9}  T_{9}  q^{4} − q^{2} + 1  |D| > 3
T_{10}  T_{10}  q^{4} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1
T_{11}  T_{11}  q^{4} + \sqrt{2}q^{3} + q^{2} + \sqrt{2}q + 1

Die Zentralisatoren und Normalisatoren von D stehen in den ersten sieben Fällen in der Tabelle von Lemma D.3.2 (b). In den letzten drei Fällen ist D eine T I-Menge. Der Zentralisator von D ist dann der jeweilige D enthaltende maximale Torus. Die Normalisatoren sind T_{9}: Z_{6}, T_{10}: Z_{12}, bzw. T_{11}: Z_{12}.

Die Verteilung der Charaktere von G auf die zyklischen ℓ-Blöcke ergibt sich aus dem folgenden Hilfssatz.

Lemma D.3.4 Sei A ein ℓ-Block mit zyklischer Defektgruppe D ≠ 1. Dann existiert ein ℓ′-Element s in einem maximalen Torus T, der D als Sylowgruppe besitzt, mit A ⊆ E_{ℓ}(G, s).

Wir betrachten nun der Reihe nach die einzelnen Fälle aus obigem Satz D.3.3.

Satz D.3.5 Sei ℓ | q^{2} − 1 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{2}). Dann ist n > 0 und D ≤ T_{21}. Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Für jedes s ∈ T_{22} mit s^{3} ≠ 1 existiert ein Block B_{s} mit Brauerbaum:

[figure: χ_{s,1}; χ_{st}; χ_{s,q^{2}}]

mit t ∈ D^{#}. Es gibt insgesamt (q^{2} − 2)/2 solcher Blöcke.

(b) Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.6 Sei ℓ | q^{2} − 1 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{3}). Dann ist auch T ∈ Syl_{ℓ}(T_{4}). Dieser Fall tritt nur für n > 0 auf. Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Zwei komplex konjugierte, unipotente Blöcke mit je zwei irreduziblen Brauercharakteren und Brauerbaum:

[figure: ξ_{5}; χ_{t,μ}; ξ_{7}]

[figure: ξ_{6}; χ_{t,μ̄}; ξ_{8}]

mit t ∈ D^{∗}. Hierbei bezeichnet μ den unipotenten kuspidalen Charakter von Suz(q^{2}), der dort ξ_{3} genannt wurde.

(b) Für jedes s ∈ T_{32}^{#} existiert ein Block B_{s} mit Brauerbaum:

[figure: χ_{s,1}; χ_{st}; χ_{s,q^{4}}]

mit t ∈ D^{#}. Es gibt insgesamt (q^{2} − \sqrt{2}q)/4 solcher Blöcke.

(c) Für jedes s ∈ T_{42}^{#} existiert ein Block B_{s} mit Brauerbaum:

[figure: χ_{s,1}; χ_{st}; χ_{s,q^{4}}]

mit t ∈ D^{#}. Es gibt insgesamt (q^{2} + \sqrt{2}q) solcher Blöcke.

(d) Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.7 Sei ℓ = 3 und |D| = 3. Dann ist D ∈ Syl_{3}(T_{9}). Jeder Block mit Defektgruppe D ist nilpotent.

Satz D.3.8 Sei ℓ | q^{2} + 1 und |D| > 3. Dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(T_{2}) Dieser Fall tritt nur für n > 0 auf. Wir haben D ≤ T_{22}. Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Für jedes s ∈ T_{21}^{#} existiert ein Block B_{s} mit Brauerbaum:

χ_{s,1}  χ_{s,q^{2}}  χ_{st}

mit t ∈ D^{#}. Es gibt insgesamt (q^{2} − 2)/2 solcher Blöcke.

(b) Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.9 Sei ℓ | q^{2}−\sqrt{2}q+1. Dann ist n > 0 und D ∈ Syl_{ℓ}(T_{5}). Wir haben D ≤ T_{32} = T_{51}. Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Für jedes s ∈ T_{31}^{#} existiert ein Block B_{s} mit Brauerbaum:

[figure: χ_{s,1}; χ_{s,q^{4}}; χ_{st}; χ_{s,μ}; χ_{s,μ̄}]

mit t ∈ D^{#}. Dabei bezeichnet μ wieder wie oben den kuspidalen, unipotenten Charakter ξ_{3} von Suz(q^{2}). Es gibt insgesamt (q^{2} − 2)/2 solcher Blöcke.

(b) Für jedes s ∈ T_{52}^{#} existiert ein Block B_{s} mit dem gleichen Brauerbaum wie unter (a), wobei die Charaktere allerdings den entgegengesetzten Typ haben. Es gibt insgesamt (q^{2} + \sqrt{2}q)/4 solcher Blöcke.

(c) Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.10 Sei ℓ | q^{2} + \sqrt{2}q + 1. Dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(T_{5}). Wir haben D ≤ T_{42} = T_{52}. Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Für jedes s ∈ T_{41}^{#} existiert ein Block B_{s} mit Brauerbaum:

χ_{s,1}  χ_{s,q^{4}}  χ_{st} χ_{s,μ} χ_{s,μ̄}

mit t ∈ D^{#}. Dabei hat μ die gleiche Bedeutung wie oben. Es gibt insgesamt (q^{2} − 2)/2 solcher Blöcke.

(b) Für jedes s ∈ T_{51}^{#} existiert ein Block B_{s} mit dem gleichen Brauerbaum wie unter (a), wobei die Charaktere allerdings den entgegengesetzten Typ haben. Es gibt insgesamt (q^{2} − \sqrt{2}q)/4 solcher Blöcke.

(c) Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.11 Sei ℓ | q^{4} − q^{2} + 1 und |D| > 3. Dann ist D ∈ Syl_{ℓ}(T_{9}). Es gibt genau die folgenden Blöcke mit Defektgruppe D:

(a) Den Hauptblock mit Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{11}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{14}; ξ_{20}; ξ_{19}]

mit t ∈ D^{#}.

(b) Einen Block B_{w} mit Brauerbaum:

[figure: χ_{w,1}; χ_{w,q^{6}}; χ_{wt}; χ_{w,q^{2}(q^{2}−1)}]

mit t ∈ D^{#}. Hierbei ist w ∈ T_{9} ein Element der Ordnung 3.

(c) Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.12 Sei ℓ | q^{4} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1. Dann ist n > 0 und T ∈ Syl_{ℓ}(T_{10}). Der eingebettete Brauerbaum des Hauptblocks befindet sich unter den drei folgenden Bäumen:

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}; ξ_{7}; ξ_{19}; ξ_{17}; ξ_{5}; ξ_{8}; ξ_{20}; ξ_{18}; ξ_{6}]

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}; ξ_{5}; ξ_{7}; ξ_{8}; ξ_{6}; ξ_{19}; ξ_{18}; ξ_{20}; ξ_{17}]

[figure: ξ_{1}; ξ_{9}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{12}; ξ_{19}; ξ_{18}; ξ_{7}; ξ_{5}; ξ_{20}; ξ_{17}; ξ_{8}; ξ_{6}]

mit t ∈ D^{#}. Der Knoten bei χ_{t} ist nur für ℓ > 13 exzeptionell. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Satz D.3.13 Sei ℓ | q^{4} + \sqrt{2}q^{3} + q^{2} + \sqrt{2}q + 1. Dann ist T ∈ Syl_{ℓ}(T_{11}). Der Hauptblock besitzt den folgenden eingebetteten Brauerbaum:

[figure: ξ_{1}; ξ_{10}; ξ_{4}; χ_{t}; ξ_{13}; ξ_{6}; ξ_{8}; ξ_{16}; ξ_{20}; ξ_{5}; ξ_{7}; ξ_{15}; ξ_{19}]

mit t ∈ D^{#}. Der Knoten bei χ_{t} ist nur für ℓ > 13 exzeptionell. Alle weiteren Blöcke mit Defektgruppe D sind nilpotent.

Damit sind alle Brauerbäume von G = ^{2}F_{4}(q^{2}) bestimmt.

212 ANHANG D. DIE BRAUERBÄUME DER REE-GRUPPEN

Anhang E

Tensorprodukte in G_{2}(q)

Dieses Kapitel enthält die Skalarprodukte einiger Tensorprodukte von Charakteren in G = G_{2}(q) mit einigen anderen Charakteren. Nicht alle dieser Skalarprodukte werden in den Beweisen dieser Arbeit benötigt. Sie sind einerseits der Vollständigkeit wegen, andererseits in der Hoffnung angegeben, daß sie auch für zukünftige Untersuchungen nützlich sein werden.

E.1 Produkte unipotenter Charaktere

Die folgenden Seiten enthalten die Skalarprodukte

⟨X_{i} ⊗ X_{j}, X_{k}⟩,

mit 12 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ 20 (wobei wir X_{20} für X̄_{19} geschrieben haben), für alle Werte von q. Es sind nur die von 0 verschiedenen Skalarprodukte angegeben. Gibt es also in den folgenden Tafeln keinen Eintrag für das Tripel (i, j, k) mit i ≤ j ≤ k, dann ist ⟨X_{i} ⊗ X_{j}, X_{k}⟩ = 0. Daraus können mit Hilfe der Formeln

⟨χ ⊗ ψ, ϑ⟩ = ⟨ψ ⊗ χ, ϑ⟩

und

⟨χ ⊗ ψ, ϑ⟩ = ⟨χ ⊗ ϑ̄, ψ̄⟩

(wobei μ̄ für den zu μ komplex konjugierten Charakter steht), die Skalarprodukte ⟨χ ⊗ ψ, ϑ⟩ für alle Tripel χ, ψ, ϑ von unipotenten Charakteren von G bestimmt werden.

In den folgenden Tafeln ist X_{i} durch i, 12 ≤ i ≤ 19 und X̄_{19} durch \overline{19} abgekürzt. Unter der Überschrift i ⊗ j steht in der mit k indizierten Zeile das Skalarprodukt ⟨X_{i} ⊗ X_{j}, X_{k}⟩.

214 ANHANG E. TENSORPRODUKTE IN G_{2}(q)

q ≡ −1(mod 3), q gerade

\begin{matrix}12 ⊗ 12 \\ 12: (q^{4} + q^{2} − q + 1) \\ 13: 1/3(q^{3} + 4q + 2) \\ 14: 1/3(q + 1)(q^{2} − q + 2) \\ 15: 1/2(q^{3} + q^{2} + q + 4) \\ 16: 1/6(q^{3} + 3q^{2} + 7q + 14) \\ 17: 1/2(q^{3} − q^{2} + q − 2) \\ 18: 1/6(q^{3} − 3q^{2} + 7q − 4) \\ 19: 1/3(q^{2} − q − 1)(q + 1) \\ \overline{19}: 1/3(q^{2} − q − 1)(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 13 \\ 13: 1/9(q − 2)^{2} \\ 14: 1/9(q^{2} + 2q + 10) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 6) \\ 16: 1/18(q^{2} − q + 16) \\ 17: 1/6(q^{2} − q + 4) \\ 18: 1/18(q − 2)(q − 5) \\ 19: 1/9(q + 1)^{2} \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 14 \\ 14: 1/9(q + 1)(q − 2) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 6) \\ 16: 1/18(q^{2} + 5q + 22) \\ 17: 1/6(q + 1)(q − 2) \\ 18: 1/18(q + 1)(q − 2) \\ 19: 1/9(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)(q − 2) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 15 \\ 15: 1/4(q^{2} + 2q + 8) \\ 16: 1/12(q^{2} + 4q + 24) \\ 17: 1/4q^{2} \\ 18: 1/12(q − 2)q \\ 19: 1/6q(q + 1) \\ \overline{19}: 1/6q(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 16 \\ 16: 1/36(q^{2} + 2q + 64) \\ 17: 1/12(q^{2} + 2q + 4) \\ 18: 1/36(q − 2)^{2} \\ 19: 1/18(q + 4)(q + 1) \\ \overline{19}: 1/18(q + 4)(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 17 \\ 17: 1/4(q − 2)q \\ 18: 1/12(q − 2)^{2} \\ 19: 1/6(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/6(q + 1)(q − 2) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 18 \\ 18: 1/36(q − 2)(q − 8) \\ 19: 1/18(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/18(q + 1)(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ 19 \\ 19: 1/9(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 13 \\ 13: 1/3(q + 1) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 1) \\ 18: 1/3(q − 2) \end{matrix}
\begin{matrix}13 ⊗ 14 \\ 19: 1/3(q + 1) \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 14 \\ 14: 1/3(q + 1) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 4) \\ 18: 1/3(q + 1) \end{matrix}
\begin{matrix}14 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 15 \\ 15: 1/2(q + 4) \\ 16: 2 \\ 17: 1/2q \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 16 \\ 16: 2 \end{matrix}
\begin{matrix}15 ⊗ 17 \\ 17: 1/2q \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 16 \\ 16: 1/6(q + 10) \\ 18: 1/6(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}17 ⊗ 17 \\ 17: 1/2q \end{matrix} \begin{matrix}18 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q − 2) \end{matrix}
\begin{matrix}18 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}19 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q − 2) \end{matrix}

PRODUKTE UNIPOTENTER CHARAKTERE 215

q ≡ 1(mod 3), q gerade

\begin{matrix}12 ⊗ 12 \\ 12: (q^{4} + q^{2} + q + 1) \\ 13: 1/3(q^{3} + 4q + 4) \\ 14: 1/3(q^{3} + q + 4) \\ 15: 1/2(q + 2)(q^{2} − q + 3) \\ 16: 1/6(q^{3} + 3q^{2} + 7q + 16) \\ 17: 1/2q(q^{2} − q + 1) \\ 18: 1/6(q^{3} − 3q^{2} + 7q − 2) \\ 19: 1/3(q^{2} + q − 1)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/3(q^{2} + q − 1)(q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 13 \\ 13: 1/9(q + 2)^{2} \\ 14: 1/9(q^{2} − 2q + 10) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 10) \\ 16: 1/18(q^{2} + 7q + 28) \\ 17: 1/6q(q − 1) \\ 18: 1/18(q + 2)(q − 1) \\ 19: 1/9(q − 1)^{2} \\ \overline{19}: 1/9(q − 1)^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 14 \\ 14: 1/9(q + 2)(q − 1) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 4) \\ 16: 1/18(q^{2} + q + 16) \\ 17: 1/6q(q − 1) \\ 18: 1/18(q − 1)(q − 4) \\ 19: 1/9(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/9(q + 2)(q − 1) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 15 \\ 15: 1/4(q^{2} + 2q + 8) \\ 16: 1/12(q^{2} + 4q + 28) \\ 17: 1/4q^{2} \\ 18: 1/12(q^{2} − 2q + 4) \\ 19: 1/6(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/6(q + 2)(q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 16 \\ 16: 1/36(q^{2} + 10q + 88) \\ 17: 1/12q(q + 2) \\ 18: 1/36(q + 2)^{2} \\ 19: 1/18(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/18(q + 2)(q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 17 \\ 17: 1/4(q − 2)q \\ 18: 1/12q(q − 4) \\ 19: 1/6q(q − 1) \\ \overline{19}: 1/6q(q − 1) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 18 \\ 18: 1/36(q + 2)(q − 4) \\ 19: 1/18(q − 1)(q − 4) \\ \overline{19}: 1/18(q − 1)(q − 4) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ 19 \\ 19: 1/9(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/9(q + 2)(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/9(q + 2)(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 13 \\ 13: 1/3(q + 5) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 5) \\ 18: 1/3(q + 2) \end{matrix}
\begin{matrix}13 ⊗ 14 \\ 19: 1/3(q − 1) \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 14 \\ 14: 1/3(q + 5) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 2) \\ 18: 1/3(q − 1) \end{matrix}
\begin{matrix}14 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q + 2) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q + 2) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 15 \\ 15: 1/2(q + 4) \\ 16: 2 \\ 17: 1/2q \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 16 \\ 16: 2 \end{matrix}
\begin{matrix}15 ⊗ 17 \\ 17: 1/2q \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 16 \\ 16: 1/6(q + 14) \\ 18: 1/6(q + 2) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q + 2) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}17 ⊗ 17 \\ 17: 1/2q \end{matrix} \begin{matrix}18 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q + 2) \end{matrix}
\begin{matrix}18 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}19 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q + 2) \end{matrix}

216 ANHANG E. TENSORPRODUKTE IN G_{2}(q)

q ≡ 0(mod 3)
\begin{matrix}12 ⊗ 12 \\ 12: (q^{4} + q^{2} + 2) \\ 13: 1/3(q + 1)(q^{2} − q + 3) \\ 14: 1/3(q + 1)(q^{2} − q + 3) \\ 15: 1/2(q^{3} + q^{2} + q + 5) \\ 16: 1/6(q + 3)(q^{2} + 5) \\ 17: 1/2(q − 1)(q^{2} + 1) \\ 18: 1/6(q − 1)(q^{2} − 2q + 3) \\ 19: 1/3q(q − 1)(q + 1) \\ \overline{19}: 1/3q(q − 1)(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 13 \\ 13: 1/9q^{2} \\ 14: 1/9(q^{2} + 9) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 6) \\ 16: 1/18(q^{2} + 3q + 18) \\ 17: 1/6q(q − 1) \\ 18: 1/18(q − 3)q \\ 19: 1/9q^{2} \\ \overline{19}: 1/9q^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 14 \\ 14: 1/9q^{2} \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 6) \\ 16: 1/18(q^{2} + 3q + 18) \\ 17: 1/6q(q − 1) \\ 18: 1/18(q − 3)q \\ 19: 1/9q^{2} \\ \overline{19}: 1/9q^{2} \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 15 \\ 15: 1/4(q^{2} + 2q + 9) \\ 16: 1/12(q^{2} + 4q + 27) \\ 17: 1/4(q − 1)(q + 1) \\ 18: 1/12(q + 1)(q − 3) \\ 19: 1/6q(q + 1) \\ \overline{19}: 1/6q(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 16 \\ 16: 1/36(q^{2} + 6q + 81) \\ 17: 1/12(q + 3)(q − 1) \\ 18: 1/36(q − 3)(q + 3) \\ 19: 1/18q(q + 3) \\ \overline{19}: 1/18q(q + 3) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 17 \\ 17: 1/4(q − 1)^{2} \\ 18: 1/12(q − 1)(q − 3) \\ 19: 1/6q(q − 1) \\ \overline{19}: 1/6q(q − 1) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 18 \\ 18: 1/36(q − 3)^{2} \\ 19: 1/18(q − 3)q \\ \overline{19}: 1/18(q − 3)q \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ 19 \\ 19: 1/9q^{2} \\ \overline{19}: 1/9q^{2} \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/9q^{2} \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 13 \\ 13: 1/3(q + 3) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 3) \\ 18: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 14 \\ 19: 1/3q \\ \overline{19}: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix}

\begin{matrix}13 ⊗ 19 \\ 19: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 14 \\ 14: 1/3(q + 3) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 3) \\ 18: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 19 \\ 19: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3q \end{matrix}

\begin{matrix}15 ⊗ 15 \\ 15: 1/2(q + 5) \\ 16: 2 \\ 17: 1/2(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 16 \\ 16: 2 \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 17 \\ 17: 1/2(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 16 \\ 16: 1/6(q + 15) \\ 18: 1/6(q − 3) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q + 3) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3q \end{matrix}

\begin{matrix}17 ⊗ 17 \\ 17: 1/2(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}18 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q − 3) \end{matrix} \begin{matrix}18 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3q \end{matrix} \begin{matrix}19 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3q \end{matrix}

PRODUKTE UNIPOTENTER CHARAKTERE 217

q ≡ −1(mod 3), q ungerade

\begin{matrix}12 ⊗ 12 \\ 12: (q^{4} + q^{2} − q + 2) \\ 13: 1/3(q^{3} + 4q + 2) \\ 14: 1/3(q + 1)(q^{2} − q + 2) \\ 15: 1/2(q^{3} + q^{2} + q + 5) \\ 16: 1/6(q^{3} + 3q^{2} + 7q + 17) \\ 17: 1/2(q^{3} − q^{2} + q − 3) \\ 18: 1/6(q^{3} − 3q^{2} + 7q − 7) \\ 19: 1/3(q + 1)(q^{2} − q − 1) \\ \overline{19}: 1/3(q + 1)(q^{2} − q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 13 \\ 13: 1/9(q − 2)^{2} \\ 14: 1/9(q^{2} + 2q + 10) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 6) \\ 16: 1/18(q^{2} − q + 16) \\ 17: 1/6(q^{2} − q + 4) \\ 18: 1/18(q − 2)(−5 + q) \\ 19: 1/9(q + 1)^{2} \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 14 \\ 14: 1/9(q + 1)(q − 2) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 6) \\ 16: 1/18(q^{2} + 5q + 22) \\ 17: 1/6(q + 1)(q − 2) \\ 18: 1/18(q + 1)(q − 2) \\ 19: 1/9(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)(q − 2) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 15 \\ 15: 1/4(q^{2} + 2q + 9) \\ 16: 1/12(q^{2} + 4q + 27) \\ 17: 1/4(q − 1)(q + 1) \\ 18: 1/12(q + 1)(q − 3) \\ 19: 1/6q(q + 1) \\ \overline{19}: 1/6q(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 16 \\ 16: 1/36(q^{2} + 2q + 73) \\ 17: 1/12(q + 1)^{2} \\ 18: 1/36(q + 1)(−5 + q) \\ 19: 1/18(q + 4)(q + 1) \\ \overline{19}: 1/18(q + 4)(q + 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 17 \\ 17: 1/4(q − 1)^{2} \\ 18: 1/12(q^{2} − 4q + 7) \\ 19: 1/6(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/6(q + 1)(q − 2) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 18 \\ 18: 1/36(−5 + q)^{2} \\ 19: 1/18(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/18(q + 1)(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ 19 \\ 19: 1/9(q + 1)(q − 2) \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/9(q + 1)(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 13 \\ 13: 1/3(q + 1) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 1) \\ 18: 1/3(q − 2) \end{matrix}
\begin{matrix}13 ⊗ 14 \\ 19: 1/3(q + 1) \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 14 \\ 14: 1/3(q + 1) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 4) \\ 18: 1/3(q + 1) \end{matrix}
\begin{matrix}14 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q − 2) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 15 \\ 15: 1/2(q + 5) \\ 16: 2 \\ 17: 1/2(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 16 \\ 16: 2 \end{matrix}
\begin{matrix}15 ⊗ 17 \\ 17: 1/2(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 16 \\ 16: 1/6(q + 13) \\ 18: 1/6(−5 + q) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}17 ⊗ 17 \\ 17: 1/2(q − 1) \end{matrix}
\begin{matrix}18 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(−5 + q) \end{matrix} \begin{matrix}18 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}19 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q − 2) \end{matrix}

218 ANHANG E. TENSORPRODUKTE IN G_{2}(q)

q ≡ 1(mod 3), q ungerade

\begin{matrix}12 ⊗ 12 \\ 12: (q^{4} + q^{2} + q + 2) \\ 13: 1/3(q^{3} + 4q + 4) \\ 14: 1/3(q^{3} + q + 4) \\ 15: 1/2(q^{3} + q^{2} + q + 7) \\ 16: 1/6(q^{3} + 3q^{2} + 7q + 19) \\ 17: 1/2(q − 1)(q^{2} + 1) \\ 18: 1/6(q − 1)(q^{2} − 2q + 5) \\ 19: 1/3(q − 1)(q^{2} + q − 1) \\ \overline{19}: 1/3(q − 1)(q^{2} + q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 13 \\ 13: 1/9(q + 2)^{2} \\ 14: 1/9(q^{2} − 2q + 10) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 10) \\ 16: 1/18(q^{2} + 7q + 28) \\ 17: 1/6q(q − 1) \\ 18: 1/18(q + 2)(q − 1) \\ 19: 1/9(q − 1)^{2} \\ \overline{19}: 1/9(q − 1)^{2} \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 14 \\ 14: 1/9(q + 2)(q − 1) \\ 15: 1/6(q^{2} + q + 4) \\ 16: 1/18(q^{2} + q + 16) \\ 17: 1/6q(q − 1) \\ 18: 1/18(q − 1)(q − 4) \\ 19: 1/9(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/9(q + 2)(q − 1) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 15 \\ 15: 1/4(q^{2} + 2q + 9) \\ 16: 1/12(q^{2} + 4q + 31) \\ 17: 1/4(q − 1)(q + 1) \\ 18: 1/12(q − 1)^{2} \\ 19: 1/6(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/6(q + 2)(q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 16 \\ 16: 1/36(q^{2} + 10q + 97) \\ 17: 1/12(q + 3)(q − 1) \\ 18: 1/36(5 + q)(q − 1) \\ 19: 1/18(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/18(q + 2)(q − 1) \end{matrix}  \begin{matrix}12 ⊗ 17 \\ 17: 1/4(q − 1)^{2} \\ 18: 1/12(q − 1)(q − 3) \\ 19: 1/6q(q − 1) \\ \overline{19}: 1/6q(q − 1) \end{matrix}

\begin{matrix}12 ⊗ 18 \\ 18: 1/36(q − 1)^{2} \\ 19: 1/18(q − 1)(q − 4) \\ \overline{19}: 1/18(q − 1)(q − 4) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ 19 \\ 19: 1/9(q + 2)(q − 1) \\ \overline{19}: 1/9(q + 2)(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}12 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/9(q + 2)(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 13 \\ 13: 1/3(5 + q) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(5 + q) \\ 18: 1/3(q + 2) \end{matrix}
\begin{matrix}13 ⊗ 14 \\ 19: 1/3(q − 1) \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}13 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 14 \\ 14: 1/3(5 + q) \\ 15: 1 \\ 16: 1/3(q + 2) \\ 18: 1/3(q − 1) \end{matrix}
\begin{matrix}14 ⊗ 15 \\ 15: 1 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 16 \\ 16: 1 \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ 19 \\ 19: 1/3(q + 2) \end{matrix} \begin{matrix}14 ⊗ \overline{19} \\ \overline{19}: 1/3(q + 2) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 15 \\ 15: 1/2(5 + q) \\ 16: 2 \\ 17: 1/2(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}15 ⊗ 16 \\ 16: 2 \end{matrix}
\begin{matrix}15 ⊗ 17 \\ 17: 1/2(q + 1) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 16 \\ 16: 1/6(q + 17) \\ 18: 1/6(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(5 + q) \end{matrix} \begin{matrix}16 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}17 ⊗ 17 \\ 17: 1/2(q − 1) \end{matrix}
\begin{matrix}18 ⊗ 18 \\ 18: 1/6(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}18 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q − 1) \end{matrix} \begin{matrix}19 ⊗ 19 \\ \overline{19}: 1/3(q + 2) \end{matrix}

PRODUKTE MIT X_{32} 219

E.2 Produkte mit X_{32}

Dieser Abschnitt enthält die Skalarprodukte

⟨X_{32} ⊗ X_{i}, X_{j}⟩

für alle 12 ≤ i ≤ 20, 31 ≤ i ≤ 33, 21 ≤ i ≤ 24 (falls q ungerade) und j ≥ i aus dem gleichen Bereich. Für q sind alle nicht durch 3 teilbaren Primzahlpotenzen zugelassen, wobei die Zeilen und Spalten der folgenden Tafeln, die mit den Charakteren X_{21}–X_{24} indiziert sind, natürlich nur für ungerades q zu nehmen sind. Die Nullen sind in den Tabellen durch Punkte ersetzt. Für X_{i} haben wir die gleiche Abkürzung wie im vorigen Abschnitt verwendet.

q ≡ −1(mod 3)

12 13 14 15 16 17 18 19 \overline{19} 31 32 33 21 22 23 24
q 1 . 1 1 …. q . 1 q . 1 2 12
. . 1 . 1 . . . . . . 1 … 13
. . . . . . . 1 . . . … 14
. 1 …. 1 1 . 1 . . 1 15
. . . . . 1 . . 1 … 16
. 1 … 1 .  .  . . 1 17
. . . . . .  .  … 18
. . . . .  .  … 19
….  .  … \overline{19}
q . . q + 1 . 1 1 31
. 1 .  . . 1 32
. 1 … 33
q + 1 1 1 2 21
1 . . 22
1 1 23
1 24

220 ANHANG E. TENSORPRODUKTE IN G_{2}(q)

q ≡ 1(mod 3) \begin{aligned}12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & \overline{19} & 31 & 32 & 33 & 21 & 22 & 23 & 24 \\ q + 2 & 1 & . & 1 & 1 & . & . & . & . & q + 2 & . & 3 & q + 2 & . & 1 & 2 & 12 \\ & 2 & . & . & 1 & . & 1 & . & . & . & 2 & 2 & 1 & . & . & 2 & 13 \\ & & . & . & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . & . & 14 \\ & & & 1 & . & . & . & . & . & 1 & . & 2 & 1 & . & . & . & 15 \\ & & & & 1 & . & . & . & . & 1 & 1 & 2 & 1 & . & . & 1 & 16 \\ & & & & & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 17 \\ & & & & & & 1 & . & . & . & 1 & . & . & . & . & 1 & 18 \\ & & & & & & & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 19 \\ & & & & & & & & . & . & . & . & . & . & . & . & \overline{19} \\ & & & & & & & & & q + 2 & . & 2 & q + 1 & . & 1 & 1 & 31 \\ & & & & & & & & & & 2 & 1 & . & . & . & 1 & 32 \\ & & & & & & & & & & & 4 & 3 & . & . & 2 & 33 \\ & & & & & & & & & & & & q + 3 & 1 & 1 & 2 & 21 \\ & & & & & & & & & & & & & 1 & . & . & 22 \\ & & & & & & & & & & & & & & 1 & 1 & 23 \\ & & & & & & & & & & & & & & & 3 & 24 \end{aligned}

Bibliographie

[1] T. R. Berger and R. Knörr, On Brauer’s height 0 conjecture, Nagoya Math. J., 109 (1988), 109–116.

[2] N. Bourbaki, Groupes et Algèbres de Lie, Éléments de Mathématique, Hermann, Paris, 1968.

[3] M. Broué, Isométries parfaites, types de blocs, catégories dérivées, in: Représentations linéaires des groupes finis, Luminy, 16–21 mai 1988, Astérisque, 181–182 (1990), 61–92. Siehe auch die Ankündigung in: C. R. Acad. Sci. Paris, 307 (1988), 13–18.

[4] M. Broué, Isométries de caractères et equivalences de Morita ou dérivées, Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 71 (1990), 45–63.

[5] M. Broué et J. Michel, Blocs et séries de Lusztig dans un groupe réductif fini, J. reine angew. Math., 395 (1989), 56–67.

[6] M. Broué and L. Puig, A Frobenius theorem for blocks, Invent. Math., 56 (1980), 117–128.

[7] R. Burkhardt, Über die Zerlegungszahlen der Suzukigruppen, J. Algebra, 59 (1979), 421–433.

[8] D. W. Burry, Components of induced modules, J. Algebra, 87 (1984), 483–492.

[9] R. W. Carter, Simple Groups of Lie Type, Wiley, London, 1972.

[10] R. W. Carter, Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters, Wiley, New York, 1985.

[11] B. Chang and R. Ree, The characters of G_{2}(q), in: Symposia Mathematica Vol. 13, pp. 395–413, Academic Press, London, 1974.

[12] B. W. Char et al., MAPLE reference manual, University of Waterloo, Canada, 1985.

[13] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker and R. A. Wilson, Atlas of Finite Groups, Oxford University Press, London, 1984.

[14] C. W. Curtis and I. Reiner, Methods of Representation Theory Vol. II, Wiley, New York, 1987.

[15] P. Deligne and G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math., 103 (1976), 103–161.

[16] P. Deligne and G. Lusztig, Duality for representations of a reductive group over a finite field II, J. Algebra, 81 (1983), 540–545.

[17] D. I. Deriziotis and G. O. Michler, Character tables and blocks of finite simple triality groups ^{3}D_{4}(q), Trans. Amer. Math. Soc., 303 (1987), 39–70.

[18] F. Digne et J. Michel, Foncteurs de Lusztig et caractères des groupes linéaires et unitaires sur un corps fini, J. Algebra, 107 (1987), 217– 255.

[19] R. Dipper, On the decomposition numbers of the finite general linear groups, Trans. Amer. Math. Soc., 290 (1985), 315–343.

[20] R. Dipper, On the decomposition numbers of the finite general linear groups II, Trans. Amer. Math. Soc., 292 (1985), 123–133.

[21] R. Dipper, On quotients of Hom-functors and representations of finite general linear groups I, J. Algebra, 130 (1990), 235–259.

[22] R. Dipper and G. James, The q-Schur algebra, Proc. London Math. Soc., 59 (1989), 23–50.

[23] H. Enomoto, The characters of the finite Chevalley group G_{2}(q), q = 3^{f}, Japan. J. Math., 2 (1976), 191–248.

[24] H. Enomoto and H. Yamada, The characters of G_{2}(2^{n}), Japan. J. Math., 12 (1986), 325–377.

[25] K. Erdmann, Algebras and semidihedral defect groups I, Proc. London Math. Soc., 57 (1988), 109–150.

[26] K. Erdmann, Algebras and semidihedral defect groups II, Proc. London Math. Soc., 60 (1990), 123–165.

[27] A. P. Fakiolas, The Lusztig isomorphism for Hecke algebras of dihedral type, J. Algebra, 126 (1989), 466–492.

[28] W. Feit, The Representation Theory of Finite Groups, North-Holland Publishing Company, New York, 1982.

[29] W. Feit, Possible Brauer trees, Illinois J. Math., 28 (1984), 43–56.

[30] H. Fitting, Die Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nicht kommutativen Gruppen, Math. Ann., 107 (1933), 514–542.

[31] P. Fleischmann, Projective simple modules of symmetric algebras and their specializations with applications to Hecke algebras, Arch. Math. (Basel), 55 (1990), 247–258.

[32] P. Fong, On decomposition numbers of J_{1} and R(q), in: Symposia Mathematica Vol. XIII, pp. 415–22, Academic Press, London 1974.

[33] P. Fong and B. Srinivasan, Blocks with cyclic defect groups in GL(n, q), Bull. Amer. Math. Soc., 3 (1980), 1041–1044.

[34] P. Fong and B. Srinivasan, The blocks of finite general linear and unitary groups, Invent. Math., 69 (1982), 109–153.

[35] P. Fong and B. Srinivasan, Brauer trees in GL(n, q), Math. Z., 187 (1984), 81–88.

[36] P. Fong and B. Srinivasan, The blocks of finite classical groups, J. reine angew. Math., 396 (1989), 122–191.

[37] P. Fong and B. Srinivasan, Brauer trees in classical groups, J. Algebra, 131 (1990), 179–225.

[38] M. Geck, Eine Anwendung von MAPLE in der Darstellungstheorie der unitären Gruppen, Diplomarbeit, RWTH Aachen, 1987.

[39] M. Geck, Irreducible Brauer characters of the 3-dimensional special unitary groups in non-defining characteristic, Comm. Algebra, 18 (1990), 563–584.

[40] M. Geck, On the decomposition numbers of the finite unitary groups in non-defining characteristic, Math. Z., 207 (1991), 83–89.

[41] M. Geck, Verallgemeinerte Gelfand-Graev Charaktere und Zerlegungszahlen endlicher Gruppen vom Lie-Typ, Dissertation, Aachen 1990.

[42] J. Grabmeier, Unzerlegbare Moduln mit trivialer Youngquelle und Darstellungstheorie der Schuralgebra, Bayreuther Math. Schriften, 20 (1985), 9–152.

[43] J. A. Green, A transfer theorem for modular representations, J. Algebra, 1 (1964), 73–84.

[44] D. G. Higman, Lectures on Permutation Representations, Vorlesungen aus dem Mathematischen Institut Gießen, Heft 4, 1977.

[45] G. Hiss, The modular characters of the Tits simple group and its automorphism group, Comm. Algebra, 14 (1986), 125–154.

[46] G. Hiss, Representations of Chevalley groups in special characteristics, Vortrag, Oberwolfach 1987.

[47] G. Hiss, On the decomposition numbers of G_{2}(q), J. Algebra, 120 (1989), 339–360.

[48] G. Hiss, The number of trivial composition factors of the Steinberg module, Archiv Math., 54 (1990), 247–251.

[49] G. Hiss, Regular and semisimple blocks in finite reductive groups, J. London Math. Soc., 41 (1990), 63–68.

[50] G. Hiss and K. Lux, Brauer Trees of Sporadic Groups, Oxford University Press, Oxford, 1989.

[51] G. Hiss and J. Shamash, 3-blocks and 3-modular characters of G_{2}(q), J. Algebra, 131 (1990), 371–387.

[52] G. Hiss and J. Shamash, 2-Blocks and 2-decomposition numbers of the Chevalley groups G_{2}(q), Math. Comput., 59 (1992), 645–672.

[53] R. B. Howlett and R. W. Kilmoyer, Principal series representations of finite groups with split BN-pairs, Comm. Algebra, 8 (1980), 543–583.

[54] R. B. Howlett and I. Lehrer, Induced cuspidal representations and generalized Hecke rings, Invent. Math., 58 (1980), 37–64.

[55] J. E. Humphreys, Defect groups for finite groups of Lie type, Math. Z., 119 (1971), 149–152.

[56] J. E. Humphreys, Modular representations of finite groups of Lie type, in: Finite Simple Groups II, pp. 259–290, Academic Press, New York/London, 1980.

[57] N. Iwahori, On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group over a finite field, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 10 (1964), 215–236.

[58] G. James and A. Kerber, The Representation Theory of the Symmetric Group, Encyclopedia Math., 16 (1981).

[59] N. Kawanaka, Shintani lifting and Gelfand–Graev representations, in: The Arcata Conference on Representations of Finite Groups, pp. 147– 163, 1987.

[60] P. B. Kleidman and M. W. Liebeck, On a theorem of Feit and Tits, Proc. Amer. Math. Soc., 107 (1989), 315–322.

[61] M. Klemm, Über den p-Rang von Inzidenzmatrizen, J. Combin. Theory, 43 (1986), 138–139.

[62] P. Landrock, Finite Group Algebras and their Modules, London Mathematical Society Lecture Note Series Vol. 84, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.

[63] P. Landrock and G. O. Michler, Principal 2-blocks of the simple groups of Ree type, Trans. Amer. Math. Soc., 260 (1980), 83–111.

[64] H. Lüneburg, Some remarks concerning the Ree groups of type (G_{2}), J. Algebra, 3 (1966), 256–259.

[65] G. Lusztig, On the finiteness of the number of unipotent classes, Invent. Math., 34 (1976), 201–213.

[66] G. Lusztig, Irreducible representations of finite classical groups, Invent. Math., 43 (1977), 125–175.

[67] G. Lusztig, On a theorem of Benson and Curtis, J. Algebra, 71 (1981), 490–498.

[68] G. Lusztig, Characters of Reductive Groups over a Finite Field, Ann. Math. Studies, 107, Princeton University Press, 1984.

[69] G. Malle, The maximal subgroups of ^{2}F_{4}(q^{2}), J. Algebra, 139 (1991), 52–69.

[70] G. Malle, Die unipotenten Charaktere von ^{2}F_{4}(q^{2}), Comm. Algebra, 18 (1990), 2361–2381.

[71] R. P. Martineau, On representations of the Suzuki groups over fields of odd characteristics, J. London Math. Soc., 6 (1972), 153–160.

[72] H. Matsumoto, Générateur et relations des groupes de Weyl généralisés, C. R. Acad. Sci. Paris, 258 (1964), 3419–3422.

[73] R. A. Parker, A Collection of Modular Characters, unveröffentlicht, 1987.

[74] L. Puig, Hecke algebras and source algebras of groups of Lie type, unveröffentlicht.

[75] L. Puig, Rôle de l’algèbre de source dans la théorie des blocs de Brauer, unveröffentlicht.

[76] L. Puig, Algèbres de source de certaines blocs de groupes de Chevalley, in: Représentations linéaires des groupes finis, Luminy, 16–21 mai 1988, Astérisque, 181–182 (1990), 221–236.

[77] H. Sawada, A characterization of the modular representations of finite groups with split (B, N)-pairs, Math. Z., 155 (1977), 29–41.

[78] K. D. Schewe, Blöcke exzeptioneller Chevalley-Gruppen, Bonner Mathematische Schriften, 165, 1985.

[79] I. Schur, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen, in: I. Schur, Gesammelte Abhandlungen I, pp. 1– 70, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

[80] J. Shamash, Blocks and Brauer trees for groups of type G_{2}(q), in: The Arcata Conference on Representations of Finite Groups, pp. 283–295, 1987.

[81] J. Shamash, Brauer trees for blocks of cyclic defect in the groups G_{2}(q) for primes dividing q^{2} ± q + 1, J. Algebra, 123 (1989), 378–396.

[82] J. Shamash, Blocks and Brauer trees in the groups G_{2}(q) for primes dividing q ± 1, Comm. Algebra, 17 (1989), 1901–1949.

[83] J. Shamash, Blocks and Brauer trees for the groups G_{2}(2^{k}), G_{2}(3^{k}), Comm. Algebra, 20 (1992), 1375–1387.

[84] Shi Jian-Yi, The Kazhdan-Lusztig Cells in Certain Affine Weyl Groups, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 1179, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg, 1986.

[85] K. Shinoda, The conjugacy classes of the finite Ree groups of type (F_{4}), J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sec. IA, 21 (1974), 1–15.

[86] W. A. Simpson and J. S. Frame, The character tables for SL(3, q), SU(3, q^{2}), P SL(3, q), P SU(3, q^{2}), Can. J. Math., 25 (1973), 486–494.

[87] B. Srinivasan, Representations of finite Chevalley groups, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 764, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1979.

[88] R. Steinberg, Prime power representations of finite linear groups II, Can. J. Math., 9 (1957), 347–351.

[89] R. Steinberg, Endomorphisms of linear algebraic groups, Mem. Amer. Math. Soc., 80 (1968).

[90] N. B. Tinberg, The Steinberg component of a finite group with a split (B, N)-pair, J. Algebra, 104 (1986), 126–134.

[91] F. D. Veldkamp, Regular elements in anisotropic tori, in: Contributions to Algebra, pp. 389–424, Academic Press, New York, 1977.

[92] H. N. Ward, On Rees series of simple groups, Trans. Amer. Math. Soc., 121 (1966), 62–89.

[93] D. White, The 2-blocks and decomposition numbers of Sp(4, q), q odd, J. Algebra, 131 (1990), 703–725.

[94] D. L. Winter, The automorphism group of an extraspecial p-group, Rocky Mountain J. Math., 2 (1972), 159–168.

228 BIBLIOGRAPHIE

Index

Atom Braueratom 12 projektives Atom 12

Atomsystem von Brauercharakteren 12 von projektiven Charakteren 12

Basisrelation 38 Basissystem

von Brauercharakteren 12 von projektiven Charakteren 12

Blöcke

geometrische Konjugiertenklas-

se von Blöcken 39 halbeinfache 49 nilpotente 197 reguläre 49

Charaktere in allgemeiner Lage 31 exzeptionelle 175 Gelfand–Graev- Charakter 33 geometrische Konjugiertenklas-

se von Charakteren 33 halbeinfache 34 nicht-exzeptionelle 175 perfekter 22 rationale Klasse von Charakter-

en 32 reguläre 34 unipotente 33 unipotente Brauercharaktere 46

Charakteristik definierende 25, 27 natürliche 25, 27

Chevalley-Gruppe 27

Dreiecksgestalt 21 duale Gruppe 28

Elemente halbeinfache 26 unipotente 26

endliche Gruppe vom Lie-Typ 26 endliche reduktive Gruppe 26

Fitting-Korrespondenz 51 Frobenius-Abbildung 26

duale 27 Standard 26 Fundamentalsystem 55

Harish-Chandra-Induktion 54 Harish-Chandra-Serie 55 Hecke-Algebra 62 generische 62 generische Grade der 62

J-Serie 55

Kreuz 105 Kringel 105

p-konstante Klassenfunktion 32 Primzahl

lineare 72

streng lineare 72

Ree-Gruppe 27 Relation 18

Steinberg-Gruppe 27 Suzuki-Gruppe 27

Torus maximal zerfallender 28 maximaler 28 unipotentes Radikal 55 Untergruppe

parabolische

Standard-Untergruppe 55 reguläre 28

maximal zerfallende 28 Standard-Levi-Untergruppe 55 Wurzeluntergruppe 55

verschränkte Induktion 31

Wurzelsystem 55

Zerlegungsmatrix 52

Lebenslauf

27.07.1955 in Freiburg i.Br. geboren als Sohn des Landwirts Richard Hiß und seiner Ehefrau Berta, geb. Trautwein

29.04.1962 Eintritt in die Grund– und Hauptschule Eichstetten 19.04.1966 Eintritt in das Rotteck-Gymnasium Freiburg 30.05.1974 Abitur

01.10.1974–31.12.1975 Wehrdienst in Sigmaringen

05.04.1976 Beginn des Studiums der Mathematik mit Nebenfach Physik an der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. Stipendium der Studienstiftung des deutschen Volkes

30.04.1981 Diplom in Mathematik

01.10.1981–03.07.1982 Studium an der University of Warwick, Coventry,

England, mit einem Stipendium der Studienstiftung

07.07.1983 Promotion in Freiburg bei Prof. O.H. Kegel

01.10.1983–14.03.1984 Wissenschaftliche Hilfskraft am Lehrstuhl D für Ma-

thematik der RWTH Aachen

15.03.1984–31.07.1987 Stipendiat der Deutschen Forschungsgemeinschaft

am Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

01.11.1986–30.11.1986 Forschungsaufenthalt an der University of Illinois at

Chicago Circle

01.08.1987–14.11.1989 Hochschulassistent am Lehrstuhl B für Mathematik,

RWTH Aachen

seit 15.11.1989 Hochschulassistent am Interdisziplinären Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen der Universität Heidelberg