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<EXERCISE key="B12_Diagonalisier" keywords="B12 Diagonalisierbarkeit Matrix">
<ANSWERS type="r"> Ja|Nein </ANSWERS>

<TEXT>
Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring in der Unbestimmten $X$
über $K$.
Sind die folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit von Matrizen richtig?
</TEXT>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Nein"> Hat ein normiertes Polynom $f \in K[X]$, dessen Grad
mindestens $2$ ist, paarweise verschiedene Koeffizienten, dann ist seine
Begleitmatrix diagonalisierbar.
</VARIANT>
<VARIANT solution="Nein"> Jede Begleitmatrix eines normierten Polynoms
$f \in K[X]$ vom Grad größer als $1$ ist diagonalisierbar.</VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Ja"> Eine Matrix $A \in K^{n \times n}$ ($n \ge 2$) ist
genau dann diagonalisierbar, wenn $K^{n \times 1}$ eine Basisfolge aus
Eigenvektoren von $A$ hat. </VARIANT>
<VARIANT solution="Ja"> Eine Matrix $A \in K^{n \times n}$ ($n \ge 2$) ist
genau dann diagonalisierbar, wenn ein $n$-Tupel
$(v_1,\ldots,v_n)$ von Eigenvektoren von $A$ mit $v_i \in K^{n \times 1}$
existiert, das linear unabhängig ist. </VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Nein"> Eine Matrix $A \in K^{n \times n}$ ist genau
dann diagonalisierbar, wenn eine Diagonalmatrix $D \in K^{n \times n}$
und eine Matrix $T \in K^{n \times n}$ existiert mit $TD = AT$.  </VARIANT>
<VARIANT solution="Ja"> Eine Matrix $A \in K^{n \times n}$ ist genau
dann diagonalisierbar, wenn eine Diagonalmatrix $D \in K^{n \times n}$
und eine invertierbare Matrix $T \in K^{n \times n}$ existiert
mit $TD = AT$. </VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Ja"> Jede quadratische Nullmatrix ist diagonalisierbar.
</VARIANT>
<VARIANT solution="Ja"> Jede Matrix $A \in K^{n \times n}$, für die
$0 \cdot A = A$ gilt, ist diagonalisierbar.
</VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Nein"> Jede quadratische Matrix, deren Einträge alle
gleich sind, ist diagonalisierbar. </VARIANT>
</QUESTION>

</EXERCISE>