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<!DOCTYPE EXERCISE SYSTEM "exercise.dtd">

<EXERCISE key="B12_Eigen" keywords="B12 Eigenwerte Eigenräume">
<ANSWERS type="r">Ja | Nein</ANSWERS>

<TEXT>
Es sei $K$ ein Körper und $A \in K^{n \times n}$.
</TEXT>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Nein">
Ist $s$ Eigenwert von $A$, so ist $\dim E_A(s) = \mbox{Rang}(A-s\cdot E_n)$.
</VARIANT>
<VARIANT solution="Ja">
Ist $s$ Eigenwert von $A$, so ist $\dim E_A(s) = n-\mbox{Rang}(A-s\cdot E_n)$.
</VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Ja">
Ist $K=\C$, dann gilt:
Wenn $\chi_A \neq X^n$ ist, so ist $A^m \neq 0$ für alle $m \in \N$.
</VARIANT>
<VARIANT solution="Ja">
Ist $K=\C$, dann gilt:
Wenn $A^m = 0$ ist für ein $m \in \N$, so ist $\chi_A=X^n$.
</VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<VARIANT solution="Ja">
$A$ und $A^T$ haben die gleichen Eigenwerte.
</VARIANT>
<VARIANT solution="Nein">
$A$ und $A^T$ haben die gleichen Eigenräume.
</VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<ANSWERS type="r">(a) | (b) | (c) </ANSWERS>
<VARIANT solution="(a)">
Ist
\[ A = \left[ \begin{array}{rrr} 2 &amp; 1 &amp; 1 \\
                                 2 &amp; 3 &amp; 2 \\
                                -4 &amp; -4 &amp; -3 \end{array}\right]
   \in \Q^{3 \times 3}, \]
so ist $\chi_A = $

(a) $X^3 - 2X^2+X$,   $\qquad$ (b) $X^3+2X^2+X$, $\qquad$ (c) $X^3-2X^2+1$
</VARIANT>
<VARIANT solution="(c)"><![CDATA[ 
Ist 
\[ A = \left[ \begin{array}{rrr} 2 &  1 &  1 \\
                                -6 &  1 &  2 \\
                                 4 & -2 & -3 \end{array}\right]
   \in \Q^{3 \times 3}, \]
so ist $\chi_A = $

(a) $X^3 +X$,   $\qquad$ (b) $X^3-2X+1$,  $\qquad$  (c) $X^3-X$
]]></VARIANT>
</QUESTION>

<QUESTION>
<ANSWERS type="s"></ANSWERS>
<VARIANT solution="6">
Wie viele Matrizen $A \in \Z_2^{2 \times 2}$ sind ähnlich zu
$\left[ \begin{array}{rr} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 0 \end{array} \right]$?
</VARIANT>
<VARIANT solution="6">
Wie viele Matrizen $A \in \Z_2^{2 \times 2}$ sind ähnlich zu
$\left[ \begin{array}{rr} 0 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 \end{array} \right]$?
</VARIANT>
</QUESTION>

</EXERCISE>