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Elementare Zahlentheorie

 

Stundenprotokoll vom 03.02.2004  (AW)

 

 

 

 

INHALT: Forts. von § 10: Approximationsordnung
Transzendente Zahlen (zum  Beispiel e oder pi)

Approximationssatz

 

 

Fortsetzung von letzter Stunde:

 

α sei algebraisch von der Ordnung N. Dann ist α nicht approximierbar von einer Ordnung größer oder gleich N + 1.

 

 

Satz:

 

Wenn ein δ existiert mit  │α –a/b  kleiner als δ/bN für unendlich viele a/b (gekürzt) Element aus Q, dann ist α approximierbar.

 

 

Satz:

 

Definiere ζ:= 1/101! + 1/102! + 1/103! + ……+…..

 

Es gilt: ζ ist transzendent, d.h. nicht algebraisch von irgendeiner Ordnung.

 

 

Beweis:

 

Setze ζk = p(k) / q(k) =  1/101! + 1/102! + 1/103! + ……+ 1/10k!

 

Es folgt: │ζ - ζk │ = 10-(k+1)! ( 1+ 1/ 10(k+2)! – (k+1)! + 1/ 10(k + 3)! – (k+1)!  + …)

 

 

 ist kleiner gleich             10-(k+1)!  ( 1+ 1/10 k + 1/10 k* k + …)

                                               geometrische Reihe

 

 

ist kleiner gleich          2 * 10-(k+1)!

 

=          2/q(k)k+1

 

ist kleiner gleich            2/q(k)N   für k +1 größer gleich N.

 

 

Also: ζ approximierbar von Ordnung N für alle N (ζ transzendent).

 

 

§11  Farey Folgen

 

     0                                                                                                1                                                                                 

F1  0/1                                                                                                                                                                1/1

 

F2  0/1                                                                  ½                                                                                           1/1

 

F3  0/1                                                   1/3          ½            2/3                                                                         1/1

 

F4  0/1                   1/4                          1/3          ½            2/3                          3/4                                          1/1

 

F5  0/1          1/5    1/4                          1/3  2/5  ½  3/5      2/3                          3/4              4/5                      1/1

 

F6  0/1    1/6 1/5    1/4                          1/3  2/5   ½  3/5     2/3                          3/4              4/5             5/6   1/1

 

.

.

.

 

Fragen:

 

(1) Wie schafft man es, neue Gliederungen einzuordnen?

 

(2) Wann ist a/b kleiner als c/d?

 

(3) Studiere &.

 

(4) Eigenschaften von Fk.

 

 

Planen (Vermutungen):

 

(1) Man addiert Zähler und Zähler sowie Nenner und Nenner. Man erhält einen dazwischen liegenden Bruch.

 

(2) Die neuen Brüche in Fk+1 sind von der Form a/b & c/d für konsekutive Brüche a/b, c/d (standen in der vorherigen Folge nebeneinander) in Fk.

 

(3) Folgerung: Die Determinante von konsekutiven Paaren in Fk ist -1.

 

(4) Ein Intervall in Mk (Medianprozess) enthält nur Brüche mit größeren Nennern als die Intervallenden als Nenner haben.

 

 

Schreiben (Beweise):

 

(1)     

 

                      a/b            ist kleiner als       c/d

äqui.                     ad            ist kleiner als        cb

daraus folgt       ab + ad       ist kleiner als       ab + bc

äqui.                a ( b + d)      ist kleiner als        b ( a + c)

daraus folgt     a/b                ist kleiner als        a + c/ (b + d)        =   a/b & c/d

 

 

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