Stundenprotokoll zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie vom 04.12.2003 (DB) |
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Fortsetzung von §6. Der Hauptsatz der Arithmetik
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Wir waren von der Definition von unzerlegbaren Elementen und primen Elementen
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Definition:
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Kürzungsregel nennt man die Eigenschaft, dass aus a · x = a · y, a ≠ 0 folgt x = y. |N erfüllt die Kürzungsregel (KR). |
Satz 1: | M sei ein kommutativer Monoid mit Kürzungsregel. Dann sind alle Primelemente unzerlegbar. |
Beweis: | Es sei p ein Element in M und p sei prim. [Z.z.: p unzerlegbar] Nun sei p = a · b in M. [Z.z.: a oder b sind in E(M)]. p|p, d.h. p|a · b, somit folgt p|a oder p|b, etwa p|a. Daraus folgt p · x = a für ein x ∈ M. Daraus folgt a = p · x = a · b · x . D.h. a = a · b · x, daraus folgt 1 = b · x, somit gilt b∈E(M). |
Beispiel: | In allen Integritätsbereichen ( komm. Ring-m-1 ohne Nullteiler) sind prime Elemente unzerlegbar. Z.B. K[x] für K ein Körper. |
Frage: | Wann sind unzerlegbare Elemente prim? |
In /Z: | Es sei u unzerlegbar [Z.z.: u prim] Es sei u|a·b. [Z.z. u|a oder u|b] Wenn u|a ist, dann ist man fertig. Es sei also, dass u a nicht teilt. [Z.z. u|b] |
Idee: | Es sei g der ggT(u, a). [In /Z existiert Division mit Rest, d.h. der EA bricht ab]. |
D.h.:
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Satz 2: | Es sei R ein euklidischer Bereich, d.h. ein Integritätsbereich zusammen mit einer so genannten "Gradfunktion" δ : R\ {0} → (/N0,<), mit: Zu jedem Paar (a, b), a ≠ 0, b ≠ 0, existiert (q, r) in R mit a = q · b + r, wobei r = 0 oder δ(r) < δ(b). Dann sind die unzerlegbaren Elemente in R prim. [prim = unzerlegbar]. |
Beispiel: | (/Z,| · |), (K[x], Grad) [In euklidischen Bereichen bricht der EA ab und es gibt den XEA.] |
Der Hauptsatz der Arithmetik |
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Satz: | In einem euklidischen Bereich (R, δ) gilt:
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Beweis: Existenz |
Es sei x ≠ 0, x ≠ 1 in R. Wenn x unzerlegbar, dann sind wir fertig. Also sei x zerlegbar: x = a · b, a,b∉E(R). Falls a oder b zerlegbar sind, dann zerlege man weiter. Weil aus x = a· b folgt δ(a) < δ(x) endet das Verfahren. [Vgl. späteren Satz] |
Eindeutigkeit | Es sei x = p1 · ... · pr = q1 · ... · qs mit primen [= unzerlegbaren] Elementen pi, qj. p1|x = q1 · ... · qs daraus folgt p1|qi und o.B.d.A. kann p1|q1 angenommen werden, daraus folgt p1 · x1 = q1. Da q1 unzerlegbar ist folgt x1∈E(R). Es folgt mit der KR.: y = p2 · ... · pr = x1 · q2 · ... · qs. Mit vollständiger Induktion nach minimaler Faktorzahl folgt die Eindeutigkeit bis auf Reihenfolge oder Einheiten aus R. |
"Teilen" in der Sprache der Moduln (Kummer 19. Jahrhundert) Es sei R ein Integritätsbereich, dann heißt a|b dasselbe wie a · x = b für x∈R, aR ≥ bR. Somit ist a|b äquivalent zu aR ≥ bR mitbR = R<b> |
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Satz 3: | Es sei (R, δ) ein euklidischer Integritätsbereich (z.B. /Z, K[x]), betrachte R als R-Modul (R zyklisch, d.h. R = R 1 = <1>R). Dann ist auch jedes Teilmodul I von R zyklisch und es existiert I = mR für ein m ∈R. |
Beweis: | Wenn I = {0} ≤ R, so ist I = R · 0. Nun sei I ≠ {0}. Es sei m ein Element minimalen Grades δ(m) aus I. Es sei u∈I. Nun mache man eine Divison mit Rest: u = q · m + r, r = 0 oder δ(r) < δ(m). Da u∈I und q · m ∈I folgt, dass r∈I, also ist wegen der Minimalität von m r = 0. Somit ist u∈mR; Also I⊆mR. I⊇mR, da m∈I. Daraus folgt I = mR. |
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