[Zurück zur Protokollübersicht]
[Dieses Protokoll ist noch nicht redigiert.]

Stundenprotokoll zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie
vom 04.12.2003 (DB)
 
Fortsetzung von §6. Der Hauptsatz der Arithmetik

 

Wir waren von der Definition von unzerlegbaren Elementen und primen Elementen zu einigen Fragen gekommen.
Fage: Sind unzerlegbare Elemente gleich primen Elementen  in einem kommutativen Monoid?
 
Definition:

 

Kürzungsregel nennt man die Eigenschaft, dass aus a · x = a · y, a ≠ 0 folgt x = y.

|N erfüllt die Kürzungsregel (KR).
/Z erfüllt die KR.    a·(x - y) = 0, da /Z ohne Nullteiler ist und a ≠ 0 folgt, dass x = y

Satz 1: M sei ein kommutativer Monoid mit Kürzungsregel. Dann sind alle Primelemente unzerlegbar.
Beweis: Es sei p ein Element in M und p sei prim. [Z.z.: p unzerlegbar]
Nun sei p = a · b in M. [Z.z.: a oder b sind in E(M)].
p|p, d.h. p|a · b, somit folgt p|a oder p|b, etwa p|a.
Daraus folgt p · x = a für ein x ∈ M.
Daraus folgt a = p · x = a · b · x .
D.h. a = a · b · x,
daraus folgt 1 = b · x, somit gilt b∈E(M).

Beispiel: In allen Integritätsbereichen ( komm. Ring-m-1 ohne Nullteiler) sind prime Elemente unzerlegbar. Z.B. K[x] für K ein Körper.
Frage: Wann sind unzerlegbare Elemente prim?
In /Z: Es sei u unzerlegbar [Z.z.: u prim]
Es sei u|a·b. [Z.z. u|a oder u|b]
Wenn u|a ist, dann ist man fertig.
Es sei also, dass u  a nicht teilt. [Z.z. u|b]
Idee: Es sei g der ggT(u, a). [In /Z existiert Division mit Rest, d.h. der EA bricht ab].
  D.h.:
  1. g|u und g|a, wenn
  2. h|u und h|a, dann folgt h|g.
  3. g = α · u + β · a für geeignete α,β ∈ /Z.
    g · b = α · u · b + β · a · b .
    Somit folgt aus u | (u · b) und u | (a · b) = u
    u | (g · b).
    Sei also u = g · y, daraus folgt, da u unzerlegbar, dass g∈/Z oder y∈/Z
    Nun sei o.B.d.A. g∈/Z
    u · z = g · b, daraus folgt u · z · g-1 = b, daraus folgt u|b.
    Aber g|a, somit (g · y)|a falls y∈E(/Z).
    u|a, dies ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass u a nicht teilt.
    Somit ist g∈/Z
Satz 2: Es sei R ein euklidischer Bereich, d.h. ein Integritätsbereich zusammen mit einer so genannten "Gradfunktion"
 δ : R\ {0} → (/N0,<), mit:
Zu jedem Paar (a, b), a ≠ 0, b ≠ 0, existiert (q, r) in R mit a = q · b + r, wobei r = 0 oder δ(r) < δ(b).
Dann sind die unzerlegbaren Elemente in R prim. [prim = unzerlegbar].
Beispiel: (/Z,| · |), (K[x], Grad)
[In euklidischen Bereichen bricht der EA ab und es gibt den XEA.]

Der Hauptsatz der Arithmetik

Satz: In einem euklidischen Bereich (R, δ) gilt:
  1. Existenz: Jedes Element ungleich Null oder Eins ist das Produkt von unzerlegbaren [=primen] Elementen.
  2. Eindeutigkeit: Hat ein Element x ≠ 0, x ≠ 1 die Darstellung:
    x = p1 · ... · pr = q1 · ... · qs mit unzerlegbaren [=prim] Elementen pi, qj, so ist r = s und die pi stimmen bis auf Reihenfolge und Einheiten mit den qj überein.
Beweis:
Existenz
Es sei x ≠ 0, x ≠ 1 in R.
Wenn x unzerlegbar, dann sind wir fertig.
Also sei x zerlegbar: x = a · b, a,b∉E(R).
Falls a oder b zerlegbar sind, dann zerlege man weiter.
Weil aus x = a· b folgt δ(a) < δ(x) endet das Verfahren. [Vgl. späteren Satz]
Eindeutigkeit Es sei x = p1 · ... · pr = q1 · ... · qs mit primen [= unzerlegbaren] Elementen pi, qj.
p1|x = q1 · ... · qs daraus folgt p1|qi und o.B.d.A. kann p1|q1 angenommen werden,  daraus folgt p1 · x1 = q1. Da q1 unzerlegbar ist folgt x1∈E(R).
Es folgt mit der KR.:
y = p2 · ... · pr = x1 · q2 · ... · qs.
Mit vollständiger Induktion nach minimaler Faktorzahl folgt die Eindeutigkeit bis auf Reihenfolge oder Einheiten aus R.
 
"Teilen" in der Sprache der Moduln (Kummer 19. Jahrhundert)
Es sei R ein Integritätsbereich, dann heißt
a|b dasselbe wie a · x = b für x∈R,
aR ≥ bR.
Somit ist a|b äquivalent zu aR ≥ bR mitbR = R<b>
Satz 3: Es sei (R, δ) ein euklidischer Integritätsbereich (z.B. /Z, K[x]), betrachte R als R-Modul (R zyklisch, d.h. R = R 1 = <1>R). Dann ist auch jedes Teilmodul I von R zyklisch und es existiert I = mR für ein m ∈R.
Beweis: Wenn I = {0} ≤ R, so ist I = R · 0.
Nun sei I ≠ {0}.
Es sei m ein Element minimalen Grades δ(m) aus I.
Es sei u∈I.
Nun mache man eine Divison mit Rest:
u = q · m + r, r = 0 oder δ(r) < δ(m).
Da u∈I und q · m ∈I folgt, dass r∈I, also ist wegen der Minimalität von m  r = 0.
Somit ist u∈mR; Also I⊆mR.
I⊇mR, da m∈I.
Daraus folgt I = mR.
 

Zur vorangehenden Stunde (02.12.03),
zur nächsten Stunde (05.12.03),
zur Protokollübersicht.