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Elementare Zahlentheorie
WS 2003/04
http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder
Pythagoreische Tripel
Manuskript vom 22.10.03.
Definition. Ein pythagoreisches Tripel (PZT) ist ein Tripel
(x, y, z) von natürlichen (evtl. ganzen) Zahlen x, y, z,
die die Gleichung x2 + y2 = z2
erfüllen.
Aufgabe. Man bestimme alle pythagoreischen Tripel.
Was heißt das? Wie soll man die alle angeben, wenn es unendlich viele
sind? Eine Möglichkeit ist durch Parametrisierung der PZT;
diese wollen wir hier verfolgen.
Lösung. Wir gehen ganz vorsichtig, aber mit einer Idee an die
Lösung heran, nämlich in folgenden Schritten. [Diese Herangehensweise
ist ganz naheliegend!]
- Spezieller Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + 1).
- Analoger Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + 2).
- Analoger Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + 3).
- ...
- Analoger Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + 6).
- Analoger Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + p),
wo p eine Primzahl ist.
- Analoger Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + pq),
wo p, q verschiedene Primzahlen sind.
- ...
- Analoger Ansatz: suche die PZT der Form (m, n, m + k)
mit einem geeigneten Ansatz für k (allgemein).
Aufgabe. Welches sind die primitiven PTZ (also die, wo
x, y, z paarweise teilerfremd sind? Liefern alle gewonnenen
Parametrisierungen primitiver PTZ verschiedene PTZ?
Aufgabe. Was lernen wir methodisch aus diesem Beispiel "PTZ"
über das
Problemlösen?
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