Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 12.2.2001 (NMA+TR)

In der heutigen Stunde beschäftigen wir uns mit dem Thema:

Das Inhaltsmaß eines Polygons.

Analog zum bisherigen Vorgehen für Abstände [dort: abstandsgleich] in der Vorlesung betrachten wir als erstes "inhaltsgleich".

Satz

Kongruente Polygone sind inhaltsgleich.

Dazu:

Definition

Polygone sind Vereinigungsmengen von endlich vielen abgeschlossenen Strecken.

Beispiele

1.)	2.)	3.)
"normal"	"Abgeschlossenheit?"	"Überschneidungen?"

Frage: (1) Welche Bedingungen müssen gelten, damit wir "normale" Polygone haben? (S. später.)

Beweis zum Satz

Kongruente Polygone lassen sich mit Spiegelungen zur Deckung bringen (Spiegelungen erhalten Abstandsgleichheit). Also sind sie inhaltsgleich.

Es gibt zwei Möglichkeiten die Inhaltsgleichheit zu definieren. Entweder man betrachtet Zerlegungsgleichheit oder Ergänzungsgleichheit.

Definition

Zwei "normale" Polygone heißen zerlegungsgleich, wenn es möglich ist, sie in endlich viele paarweise kongruente "normale" Teilpolygone zu zerlegen.

Frage: (2) Was ist ein Teilpolygon, was bedeutet "Polygon 1 liegt im Innern von Polygon 2"? (S. später.)

Satz

Die Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Symmetrie: klar. Reflexivität: klar.

Transitivität: Beweisskizze: Polygon A sei zerlegungsgleich mit Polygon B. Polygon B sei wiederum zerlegungsgleich mit Polygon C. Dann kann man durch Übereinanderlegen der Zerlegungen von B eine feinere Zerlegung finden, die sowohl in A als auch in C paarweise kongruente Polygone hat. Also ist Polygon A auch zerlegungsgleich mit Polygon C.

Definition

Zwei Polygone heißen ergänzungsgleich, wenn es möglich ist, zu jedem der beiden Polygone endlich viele Polygone so hinzuzulegen, daß die hinzugelegten Polygone paarweise kongruent sind und die so entstandenen Polygone zerlegungsgleich sind.

Satz

Die Ergänzungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Nach der Zerlegungsgleichheit klar.

Satz

Zwei zerlegungsgleiche Polygone sind stets auch ergänzungsgleich.

Beweis

Nach Definition klar.

Satz (Bolyai, 1833)

Zwei ergänzungsgleiche Polygone sind stets auch zerlegungsgleich.

Der Beweis dieses Satzes ist recht kompliziert und sprengt den Rahmen der Vorlesung.

Nun wollen wir ein Maß für den Inhalt eines Polygons finden. Dafür definieren wir eine Abbildung A von der Menge der "normalen" Polygone F in den Koordinatenkörper K (dessen Eigenschaften wir noch genauer untersuchen werden).

Bedingungen für ein Inhaltsmaß A

Für A sollen bestimmte Bedingungen gelten. Es seien F₁, F₂, F Polygone aus F.

(Fl1)

Sind F₁, F₂ kongruent, so gilt A(F₁) = A(F₂).

(Fl2)

Sind {F₁, F₂} eine Zerlegung von F, so gilt A(F) = A(F₁) + A(F₂).

(Fl3)

Wird F₁ von F₂ umschlossen, so ist A(F₁) kleiner oder gleich A(F₂).

(Fl4)

A(F) ist größer oder gleich 0 für alle F.

Analyse

Betrachten wir zunächst ein Rechteck im Koordinatensystem, dem K zugrundeliegt. Skizze dazu:

• Legt man die ganzen Zahlen zugrunde (kein Körper!), so läß sich jede Seite in Abschnitte der Seitenlänge der zugrundeliegenden Einheitsfläche zerteilen und man erhält (leicht zu sehen) das Flächenmaß m * n (blaue Skizze).
• Beim Körper der rationalen Zahlen kann man durch weiteres Teilen der Einheitsfläche die Gesamtfläche in p * q Bruchstücke zerlegen (grüne Skizze).
• Bei den reellen Zahlen wird diese Idee weitergeführt und das Flächenmaß durch eine Intervallschachtelung gefunden (analog: Ober- und Untersumme beim Integral), man erhät eine Zahl l * m (rote Skizze).

• Für Rechtecke soll das Flächenmaß das Produkt der Seitenlängen a * b sein.
• Für Parallelogramme soll das Flächenmaß das Produkt aus Grundseitenlänge und Höhe sein (wie aus der Schule bekannt): g * h. Es muß unabhängig von der Wahl von Grundseite und Höhe sein.
• Für Dreiecke soll das Flächenmaß die Hälfte des Produktes aus Grundseitenlänge und Höhe sein (ebenfalls aus der Schule bekannt): 1/2 * g * h. Auch hier soll das Maß unabhängig von der Wahl der Grundseite und der Höhe sein.

Satz

Ein Polygon läßt sich triangulieren, d. h. es gibt eine Zerlegung durch "Diagonalen" [Def.?] aus lauter Dreiecken, die Triangulierung.

Beweisskizze (Induktionsbeweis)

Als Induktionsverankerung betrachte man ein Dreieck, hier gibt es mindestens eine Zerlegung, nämlich das Dreieck selbst. Seien nun die Polygone bis zum n-Eck triangulierbar. Zerlegt man ein (n + 1)-Eck in zwei Polygone, so haben diese weniger als n + 1 Ecken, also höchstens n. Diese Polygone lassen sich also triangulieren. Damit gibt es dann also eine Triangulierung für das (n + 1)-Eck.

• Das Flächenmaß eines Polygons soll die Summe der Flächenmaße der Dreiecke einer seiner Triangulierungen sein. Das Maß ist unabängig von der Wahl der Triangulierung.

Eindeutigkeit

Durch die Analyse ist die Eindeutigkeit des Flächenmaßes A gezeigt.

Existenz

Nun besteht noch die Schwierigkeit, die Existenz des Flächenmaßes A zu zeigen. Dies ist aber für die verbleibende Zeit zu aufwendig.

Behandlung der aufgetretenen Fragen

Zu (1):

"Normale" Polygone müssen folgende Bedingungen erfüllen:

1. Alle Strecken sind in einer Ebene.
2. Das Polygon ist geschlossen.
3. Die Strecken dürfen sich nicht schneiden.

Zu (2):

Das Problem des "Inneren" einer Figur ist ein weiter Themenbereich für sich und wird daher hier nicht behandelt.

Zu (3) und (4):

Diese Nachweise müssen ohne Benutzung der genannten Bedingungen erfolgen und sind daher ebenfalls schwieriger.