Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Frage: Wie kann ein Zweieck in $n$ gleichmäßige Teile unterteilt werden?
Definition: Gegeben sei ein affiner Raum mit (F) und (D). Eine gleichmäßige Unterteilung eines Zweiecks $\{ R,S\}$ in $n\in \mathbb {N}$ Teile ist eine Folge $\{X_{0},\ X_{1},\ X_{2},\ \dots,\ X_{n}\}$ von Punkten, so dass $X_{i}$ der Mittelpunkt von $\{ X_{i-1}, \ X_{i+1} \}$ ist für $i=1, \ \dots,\ n-1$.
Warnung! Es ist möglich, dass nicht alle $X_{i}$ verschieden sind! Beispiele: $A(V)$ über Körpern endlicher Charakteristik.
Satz: Gegeben sei ein Dreieck $\{ A,\ B, \ C\}$ mit Schwerpunkt (d. h. die Seitenhalbierenden sind nicht parallel). Es sei $A' = Mp (B, \ C)$, $B' = Mp (C,\ A)$ und $C' = Mp (A,\ B)$.
Dann hat das Zweieck $\{A,\ A'\}$ eine gleichmäßige Unterteilung in drei Teile, in der der Schwerpunkt vorkommt.
Beweis:

Dazu betrachtet man die Parallelprojektion $\Pi$ von $AB$ auf $AS$ in Richtung $BB'$. Dabei geht der Mittelpunkt $C'$ von $\{A,\ B\}$ auf den Mittelpunkt $H$ von $\{A,\ S\}$ (vgl. Satz 3 der letzten Vorlesung). Zu zeigen ist, dass $(A,\ H,\ S,\ A')$ eine gleichmäßige Unterteilung von $\{A,\ A'\}$ in drei Teile ist.
Nach Konstruktion ist $H$ der Mittelpunkt von $\{A,\ S\}$, also muss noch gezeigt werden, dass $S$ der Mittelpunkt von $\{H,\ A'\}$ ist.
Zunächst gilt, dass $BH \ \Vert \ CC'$ ist, da $B' = Mp (C,\ A)$ und $H = Mp (A, \ S)$ unter Parallelprojektion in Richtung $CC'$ erhalten bleiben. Nun setzen wir $H' = BB' \ \cup$ Parallele zu $CC'$ durch $A'$. Dann ist $H' = Mp (B,\ S)$ und analog $H = Mp (A, \ S)$.

Betrachten wir nun das Tetragon $\left [ B'\ A' \atop H \ H' \right],$ so ist $B'A' \ \Vert \ AB$ als Mittenlinie des Mittendreiecks $\{A',\ B',\ C'\}$ (vgl. Satz aus letzter Vorlesung). Ebenso ist $HH' \ \Vert \ AB$ als Mittenlinie des Mittendreiecks $\{A',\ B',\ S\}$ .
Also ist das Tetragon ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $S$ schneiden. Somit ist $S$ der Mittelpunkt der Diagonalzweiecke, also insbesondere der Mittelpunkt von $\{H,\ A'\}$.

$\Box$

Der Beweis des Satzes hat uns ein weiteres Ergebnis geliefert: Das Zweieck $\{A,\ B\}$ hat die gleichmäßige Unterteilung $(A,\ B'_{\Pi},\ C',\ A'_{\Pi},\ B)$ in vier Teile, denn:
$B'_{\Pi} = Mp (A,\ C')$, da $B' = Mp (A,\ C)$ unter $\Pi$ auf $Mp (A,\ C')$ abgebildet wird. Analoges gilt für $A'_{\Pi} = Mp (C',\ B)$. $C' = Mp ( B'_{\Pi},\ A'_{\Pi})$, da $(H,\ S,\ A')$ unter $\Pi$ auf $(B'_{\Pi},\ C',\ A'_{\Pi})$ abgebildet wird und $S$ nach dem vorher bewiesenen Satz der Mittelpunkt von $\{H,\ A'\}$ ist.
Wir wollen nun eine gleichmäßige Unterteilung von $\{A,\ B\}$ in $n$ Teile konstruieren.
1. Fall: Wir betrachten eine Unterteilung in $2^r$ Teile. Eine solche Unterteilung ist durch iterative Mittelpunktsbildung immer möglich. Allerdings bleibt die Frage, ob es sich dabei um eine gleichmäßige Unterteilung handelt, zu beantworten.

Zunächst betrachten wir $r = 2$: Ist $X_{2} = Mp (X_{1},\ X_{3})$? Die Unterteilung eines Zweiecks in vier gleiche Teile haben wir für Dreiecke gezeigt (weiteres Ergebnis). Ein dritter Punkt $C$, welcher mit $A$ und $B$ ein Dreieck bildet, liefert also die Behauptung.

Das bedeutet, dass wir mindestens eine affine Ebene mit (F), (D) und (S) brauchen, eine affine Gerade reicht nicht aus, da dort kein Dreieck existiert!
Für $r = 3$ wird der Fall $r = 2$ außen für $(Y_{3},\ Y_{4},\ Y_{5})$ angewendet. Vollständige Induktion liefert dann die Behauptung.

2. Fall: Es sei $n$ keine Zweierpotenz.
Wir wählen nun $n \leq 2^r$ und einen Punkt $C \ \not I \ AB$. $AC$ wird in $2^r$ Teile $(Z_{0},\ Z_{1},\ \dots,\ Z_{n},\ \dots,\ Z_{2^r})$ unterteilt und der Punkt $Z_{n}$ mit dem Punkt $B$ verbunden. Eine Parallelprojektion (von der wir noch nicht wissen, ob sie überhaupt existiert !) in Richtung $Z_{n}B$ auf $AB$ liefert eine gleichmäßige Unterteilung von $AB$ in $n$ Teile.

Bleibt noch das Problem der Existenz der Parallelprojektion. Diese existiert, falls $Z_{n}\ \not= \ A$ gilt. Um diesem Problem aus dem Weg zu gehen, fordern wir schon in der Voraussetzung, dass alle Punkte voneinander verschieden sind.
Definition: Gegeben sei ein affiner Raum mit (F), (D) und (S). Eine Skala auf der Geraden g mit geordnetem Einheitszweieck $(A,\ B)$ [für $A\ \not= \ B$ auf $g$] ist eine Folge $\{X_{i}\ \vert\ i \in \mathbb {Z}\}$ von Punkten auf $g$ mit der Eigenschaft $X_{0} = A,\ X_{1} = B$ und $X_{i} = Mp (X_{i-1},\ X_{i+1})$.