Grundlagen der Geometrie (WS 00/01) 11. Aufgabenblatt

Aufgabe 25

a) Beweisen Sie geometrisch (über die Multiplikation von Punkten auf einer Geraden mit 0-Punkt und 1-Punkt in einer affinen Ebene mit (F) und (P)), dass (−2) · (−3) = 6 ist. Gehen Sie so vor: Veranschaulichen Sie zunächst das 1×3 und dann das 1 × (−3) durch eine Parallelenschar [auch negative Faktoren wählen].

b) Führen Sie nach vorstehendem konkreten Einstieg die theoretische Diskussion fort, indem Sie einige der Körperaxiome für die Punktmenge einer Geraden [geometrisch] nachweisen.

Aufgabe 26 (Affine Abbildungen)

Wir betrachten in einem Desargueschen affinen Raum A [Ebene zugelassen!] die Tripel T = (P, Q, R) von kollinearen Punkten P, Q, R, die nicht alle gleich sind. [Ein solches Tripel bestimmt also eindeutig seine Verbindungsgerade.]

Definition 1. Solche Tripel T und T′ auf Geraden g und g′ heissen verhältnisgleich, wenn es eine Folge π_{1}, π_{2}, ..., π_{k} von Parallelprojektionen

π_{i} : P(g_{i−1}) → P(g_{i}) (i = 1, ..., k)

zwischen Geraden g = g_{0}, g_{1}, ..., g_{k} = g′ gibt, bei denen T schließlich auf T′ abgebildet wird:

T π_{1} · ... · π_{k} = T′.

Definition 2. Eine Kollineation α von A heißt affine Abbildung, wenn jedes kollineare Tripel T [aus mind. zwei Punkten] verhältnisgleich zu seinem Bildtripel T α ist. — Die affinen Abbildungen von A bilden offenbar eine Untergruppe von Koll(A) := Aut(A), die sogenannte affine Gruppe Aff(A).

a) Zeigen Sie, dass für affine Räume A(V) über Vektorräumen [Links-Vektorräumen über Schiefkörpern] die affine Gruppe Aff(A) mit T (V)· GL(V) übereinstimmt. Definieren Sie den Begriff Teilverhältnis für kollineare Tripel.

b) Kann man auch im Rahmen der axiomatischen Theorie affiner Räume Teilverhältnisse als Elemente eines Körpers einführen?

Abgabe: Montag, 22.01.2001.