Grundlagen der Geometrie (WS 00/01) 3. Aufgabenblatt

Gegeben sei in jeder der folgenden Aufgaben ein affiner Raum über dem Vektorraum V, dim V ≥ 2, im Sinne der Linearen Algebra I: (P, (∗v|v ∈ V)) als algebraische Struktur, sowie die zugehörige geometrische Struktur (P, G, I, ∥), wo G = {A ∗ ⟨v⟩|A ∈ P, 0 ≠ v ∈ V }, I = ∈ bedeutet und ∥ durch Abtragen desselben 1-dimensionalen Teilraums von V definiert ist.

Aufgabe 7

Vergleichen Sie (P, (∗v|v ∈ V)) mit (V, (+v|v ∈ V)) wie folgt:

a) Sind diese algebraischen Strukturen isomorph als algebraische Struktur, wenn jeweils (für v ∈ V) der Operation ∗v auf P die Operation +v auf V entspricht?

b) Sind die zugehörigen geometrischen Strukturen als Inzidenzstrukturen mit Parallelität isomorph?

Aufgabe 8

In P sei ein Viereck E = {A, B, C, D} gegeben.

a) Geben Sie alle Permutationen der Ordnung 4 in der symmetrischen Gruppe S_{E}^{•} an. Zu welchen Untergruppen U ≅ D_{8} gehören sie?

b) In der Stunde am 02.11.00 benutzten wir die Untergruppe U_{1} = ⟨α, β⟩ für α = (A, B, C, D) und β = (A, B)(C, D), um die drei Tetragone zu E zu definieren. Führt die analoge Verwendung von einer der anderen Untergruppen U ≅ D_{8} zu denselben Tetragonen zu E?

Aufgabe 9

a) Definieren Sie die Begriffe Trigon, Hexagon, Polygon. (Vergleich mit den Wörtern triangle, quadrilateral, pentagon im Englischen.)

b) Definieren Sie den Begriff Vierseit.

Abgabe: Montag, 13.11.2000.