Grundlagen der Geometrie (WS 00/01) 8. Aufgabenblatt

Aufgabe 19

In einer projektiven Ebene hat jedes Viereck drei (!) Diagonalpunkte; gilt (pF), so bilden sie ein Dreieck.

a) Untersuchen Sie die Frage nach Diagonalpunkten für Trapeze [ \begin{matrix}A & B \\ D & C \end{matrix} ]

(AB || CD) in affinen Ebenen.

b) Formulieren Sie die Trapezkonstruktion für den Mittelpunkt eines Zweiecks in einer affinen Ebene. – Wann existiert er und ist unabhängig vom gewählten Trapez?

Aufgabe 20

In einer affinen Ebene mit Fano- und Desargues-Axiom ist ein Trapez [ \begin{matrix}A & B \\ D & C \end{matrix} ]

gegeben sowie ein weiterer Punkt E, der nicht auf BC liegt. Wir benennen die Geraden d = DE und c = CE. Zu jeder (?) Geraden x durch A konstruieren wir einen Punkt X wie folgt.

R := x ∧ d,
r := Parallele zu AB durch R,
S := r ∧ c,
y := BS. (Ist S ≠ B?)
X := x ∧ y (falls x ≠ y ist).

Wo liegen alle diese Punkte X? [Euklid?]

Aufgabe 21

In einer affinen Ebene sei ein Vierseit mit sechs Ecken gegeben. Drei Paare von Ecken sind noch nicht verbunden. (Ihre Verbindungsgeraden bilden ein Dreiseit, wenn (pF-affin) gilt.) Untersuchen Sie die (gegenseitige) Lage der drei Mittelpunkte dieser drei Paare von Gegenecken. [So weit Sie kommen; wie gehen Sie vor?]

Abgabe: Montag, 18.12.2000.