Grundlagen der Geometrie (WS 00/01) 9. Aufgabenblatt

Aufgabe 22

a) Formulieren Sie die zur Aussage (pP) [über die Pappusgerade] duale Aussage (pP)* [über den Pappuspunkt] über eine projektive Ebene.

b) Skizzieren Sie die Situation in affinen Karten.

c) Beweisen Sie, dass (pP)* aus (pP) folgt. [Hinweis: Wählen Sie jeweils eine der drei Geraden durch die beiden Grundpunkte G und H aus, etwa p = g_{2} und q = h_{2} und bilden Sie auf p die Punkte 1′ = p ∧ h_{3}, 2′ = p ∧ h_{1}, 3′ = G, auf q die Punkte 1 = q ∧ g_{1}, 2 = q ∧ g_{3}, 3 = H.]

b.w.

Aufgabe 23

Ein Kutter verlässt den Hafen und fährt mit durchschnittlicher Geschwindigkeit α aufs Meer. Nach einiger Zeit empfängt das Zollboot im Hafen zufällig die folgende Anweisung vom Kapitän des Kutters an ein verdächtiges Schnellboot im Hafen:

”Wir sind jetzt e km gefahren und fahren weiter. Starte in m Minuten zwecks Übergabe.“

Das Schnellboot erreicht eine [durchschnittliche] Geschwindigkeit β. Wie schnell muss das Zollboot fahren können, um bei sofortigem Start rechtzeitig an der Übergabestelle zu sein?

Lösung. Nach m Minuten ist der Kutter

ω := (e km + α · m min)

vom Hafen entfernt. Das Schnellboot braucht e km/β [an Zeit], um e km zurückzulegen, ist also

m min + e km/β

nach dem Funkspruch an der Stelle, wo der Kutter den Funkspruch absetzte. Das Zollboot muss die durchschnittliche Geschwindigkeit

\frac{e km + α · m min}{m min + e km/β}

erreichen können, um rechtzeitig am Treffpunkt vom Kutter und Schnellboot sein zu können.

Aufgabe. Begründen Sie die Lösung. Welche geometrischen Annahmen liegen der Lösung zugrunde?

Abgabe: Montag, 8.1.2001.