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Bemerkungen zur Vorlesung Lineare Algebra I (WS 2002/03)

ULRICH SCHOENWAELDER

 Diese Seite wird entsprechend dem Fortgang der Vorlesung Lineare Algebra I aktualisiert.

Do 17.10.02: Ziele. Der theoretische Stoff der Linearen Algebra I hat vielfältige Anwendungen in den Studiengängen Mathematik, Physik, Informatik samt Nebenfächern Mechanik, Wirtschaftswissenschaften. Als Ziele der Veranstaltung kann man kurz formulieren: Geschichte. Literatur zur Geschichte der Linearen Algebra finden Sie in meinen Literaturverzeichnissen unter der Rubrik Algebra - Stichwort Lineare Algebra - zum Download.
Zur Geschichte der Mathematik verweise ich auf die externen Seiten des MacTutor History of Mathematics archive.

Di 22.10.02: Nach dem einführenden Beispiel H(Q) haben wir weitere Beispiele für eine Menge V mit gewissen Operationen und Rechenregeln kennengelernt. In der kommenden Vorlesung am Donnerstag werden wir alle diese Beispiele unter dem abstrakten Begriff "Modul" bzw. "Vektorraum" zusammenfassen. Von der Ebene der Beispiele kommen wir so zu einer abstrakteren Ebene des Diskurses (Theorie).

Do 24.10.02: Wir haben den Vektorraum-Begriff eingeführt als einer Menge mit gewissen Operationen und Rechenregeln (Axiomen). Die auf der aufgelegten Folie vermerkten Axiome waren:
(1)
(2)
(3) x + 0 = x
(5)
(7)
(8)
(8')
(10) 1 . x = x

Dies sind die Axiome, die in der Übungsaufgabe 6 von Blatt Nr. 1 zu verwenden sind [auch wenn früher die Regeln x + 0 = x und 1 . x = x eventuell eine andere Nummer hatten].

Mo 28.10.02: Speziell zu reden ist über die Verwendung der leeren Folge ( ) von Vektoren eines Vektorraums V:
Der einzige Vektor von V, der als Linearkombination von ihr darstellbar ist, ist der Nullvektor 0 [wie man definieren muss].
Damit ist das Erzeugnis der leeren Folge von Vektoren derjenige Teilraum von V, der als einziges Element den Nullvektor 0 enthält.
Falls die leere Folge ( ) ein Erzeugendensystem von V ist, ist sie ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V [wie man jetzt leicht beweisen kann].

Wir vereinbaren nämlich [in der Mathematik], dass eine Wenn-dann-Aussage richtig ist, wenn die Wenn-Aussage falsch ist. Deshalb ist die leere Folge ( ) von Vektoren unverkürzbar.

Di 12.11.02: Bei der Definition eines K-Vektorraums hatten wir bisher immer die Skalare (aus K) links von den Vektoren geschrieben. Das waren sog. K-Linksvektorräume. Da wir in Zukunft die LS-Konvention verwenden wollen, werden ab jetzt die Skalare rechts von den Vektoren geschrieben; die Vektorraum-Axiome müssen für solche K-Rechtsvektorräume entsprechend umgeschrieben werden.
Wir machen diese Unterscheidung, damit die Theorie auch dann anwendbar bleibt, wenn der Körper K bezüglich der Multiplikation nicht kommutativ ist; wenn dieses Kommutativgesetz für K nicht gefordert wird, reden wir von einem Schiefkörper.

Hier noch mal die LS-Konvention:
Wir schreiben Abbildungssymbole links vom Argument, etwa f(x).
Wir schreiben die Skalare rechts von den Vektoren, etwa b1 x1 + b2 x2 für Vektoren b1und b2 und Skalare x1 und x2.
Wir schreiben die Koeffizienten in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination einer Basis in eine Spaltenmatrix.
[Dann geht auch für Schiefkörper alles gut.]

Do 21.11.02: Heute wurde der Dimensionssatz über Durchschnitt und Summe von Teilrämen S und T eines Vektorraums formuliert:
dim S + dim T = dim(S ∩ T) + dim(S + T)
und für den Beweis auf eine Übungsaufgabe verwiesen. Dabei handelt es sich um Blatt Nr. 5 Aufgabe 5. Hier geht es sich zwar um ein konkretes Beispiel, aber die Argumentation liefert auch einen allgemeinen Beweis für den Dimensionssatz. Prüfen Sie das nach! (Ich sehe hiermit den allgemeinen Dimensionssatz als bewiesen an.)

Di 26.11.02: Der Restering m ist in der Tat ein Ring-mit-1; das folgt daraus, dass der Ring Z aller ganzen Zahlen in der Tat ein Ring-mit-1 ist und die Abbildung μ = (x --> x mod m): Z --> m die Operationen respektiert. Machen Sie sich nochmals klar, dass das so ist und hieraus die Ring-mit-1-Eigenschaft von m folgt.

Do 5.12.02: Das angeführte Axiomensystem für einen affinen Raum im Sinne der Synthetischen Affinen Geometrie (SAG) findet man bei Olaf Tamaschke, Projektive Geometrie I. Mit einer Einführung in die affine Geometrie, BI-Hochschulskripten 838a/b, Mannheim: Bibliographisches Institut, 1972 [MB: 6838] auf Seite 317 ff. Insbesondere das Dreiecksaxiom wurde von Tamaschke eingeführt; es ersetzt das sonst benutzte Veblen-Young-Axiom.

Do 5.12.02: Informationen zur Moulton-Ebene, eines affinen Raumes (Ebene), in dem der "kleine affine Satz von Desargues" nicht gilt, finden Sie in dem Buch von Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum, Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen, vieweg studium, Aufbaukurs Mathematik, Braunschweig: Vieweg, 1992 [ISBN 3-528-07241-5. MB: 16563] auf Seite 70 ff. Hier (S. 72 ff.) finden Sie auch einen Beweis des großen affinen Satzes von Desargues für Räume der Dimension mindestens 3, allerdings in der (allgemeineren) projektiven Fassung. Es gibt also keine "Moulton-Räume". Das Beispiel der Moulton-Ebene finden Sie auch in vielen anderen Büchern zur Geometrie, z. B. bei Max Koecher und Aloys Krieg, Ebene Geometrie, Berlin: Springer, 22000 [ISBN 3-540-67643-0], Seite 20.

Di 10.12.02: Der Beweis des Satzes über den Seitenhalbierendenschnittpunkt eines Dreiecks im Rahmen der Analytischen Affinen Geometrie (AAS) ist nur ein Beispiel (jedoch das Standardbeispiel) für das Beweisen geometrischer Sätze mit Hilfe beschreibender Vektoren bezgl. eines (frei gewählten) Ursprungs. [Hier werden keine Basen und Koordinatenspalten benötigt!]

Do 9.01.03: Heute habe ich ein letztes Mal eine Fundsache (wohl aus der Klausur, Teil A) ausgerufen und anprobiert: es handelt sich um eine grüne Kaufhof-Tüete mit einer grauen Wollmütze und einem kulinarischen "Weihnachtsgeschenk" drin. Die Sachen sind in meinem Büro abzuholen!

Di 21.01.03: Wozu das Minimalpolynom einer linearen Abbildung gut ist, wird am Donnerstag, 23.01.03, erklärt.

Do 23.01.03: Theoretisch kann man die Eigenwerte einer linearen Abbildung auch über die Linearfaktoren des charakteristischen Polynoms der linearen Abbildung finden. Zur Definition dieses Polynoms braucht man aber den Begriff der Determinante einer linearen Abbildung (und einer quadratischen Matrix). Darüber werde ich jedoch erst in LA II (SS 2003) reden.
Das Zerlegen eines Polynoms (über einem Körper K) in seine unzerlegbaren Faktoren ist keine leichte Aufgabe. Dafür gibt es Algorithmen, die in Computeralgebrasysteme (wie Maple, GAP usw.) eingebaut sind. Wir werden Maple in LAII benutzen.

Als Literatur zum Begriff des Minimalpolynoms, seiner Berechnung und zur Hauptraum-Zerlegung kann ich die folgenden Werke nennen: Etwas schwerer zu lesen sind die entsprechenden Paragraphen in dem folgenden Werk, weil hier alles allgemeiner für R-Moduln formuliert wird. Mo 27.01.03: Bitte beachten Sie:
Einerseits definieren wir den Teilvektorraum Vl als Kern von phi - l id für alle l in K. Es ist möglicherweise Vl = {0}.
Andererseits ist l nur dann ein Eigenwert von phi und Vl ein Eigenraum von phi, wenn Vl nicht der Nullteilraum ist.

Di 28.01.03: Den Beweis dafür, dass eine (reelle) Norm genau dann die Parallelogramm-Identität erfüllt, wenn sie von einer positiv definiten, symmetrischen Bilinearform herkommt, finden Sie in dem folgen Buch. Mo 3.02.03: Dass man eine symmetrische Matrix (falls 2 nicht 0 ist) durch simultane Zumf und Spumf auf Diagonalform bringen kann, finden Sie ausführlich in dem Buch dargestellt: Satz 7.2.8 auf S. 65 -- 68.

Di 4.02.03: Zur Veranschaulichung der Niveaukurven und -flächen bei reellen quadratischen Formen in Dimension 2 und 3 verweise ich auf die (etwas allgemeinere) affine Klassifikation der reellen Kurven und Flächen 2. Ordnung in dem unter "3.02.03" genannten Buch von Heinhold und Riedmüller, S. 174--175 und 188--206.

Do 6.02.03: Das Argument mit den partiellen Ableitungen zum Auffinden eines Eigenvektors für eine symmetrische reelle Matrix findet man in dem Buch auf S. 81 ff.

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