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Lineare Algebra II

SS 2003, U. Schoenwaelder
Bemerkungen zur Vorlesung

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Bemerkungen:

Fr 25.04.03: Das Bild und die Darstellung zur orthogonalen Zerlegung der Standardräume durch eine reelle Matrix finden Sie in dem folgenden Artikel. Fr 23.05.03: Zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Volumenfunktionen. Es handelt sich um das "Volumen" von Elementen in Vn [n-Inhalt in einem n-dimensionalen Vektorraum] (interpretiert als n-Inhalt eines n-dimensionalen Parallelotops in einem n-dimensionalen affinen Raum). Dies ist ein "rein affiner Begriff", d. h. unabhängig von jeder Wahl einer Metrik (eines positiv-definiten Skalarproduktes in V); entsprechend ist der Inhalt eines "Parallelotops" ein Vielfaches eines "Einheitsinhaltes". Wir schreiben Inhalte hier nicht als Potenz von Längen; dazu bräuchte man ja auch ein Skalarprodukt.

Genauer ist das Verhältnis der Inhalte zweier "Parallelotope" eine affine Invariante: es ändert sich nicht bei Anwendung von invertierbaren affinen (Vektor-)Abbildungen.

Mo 2.06.03: Zur Übungsaufgabe 14 (k-Inhaltsfunktionen zu n-dimensionalen R-Vektorräumen. Schon für k = 1 ist es nötig, die Volumenfunktionen (und Einheitsvolumina = Längen) in den verschiedenen 1-dimensionalen Teilräumen von V zueinander in Beziehung zu setzen. Dazu braucht man eine Norm, etwa die zu einem positiv-definiten Skalarprodukt. Hier handelt es sich also um einen Begriff der metrischen Geometrie.

Man kann beweisen, dass die in der Aufgabe angegebene Funktion I die einzige ist, die die Regeln (0), (1) und (2) aus der Vorlesung erfüllt sowie die Normierungsbedingung

I(A) = 1 für jedes ON-System A der Länge k.

Den Satz mit Beweis finden Sie in:
Emanuel Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra, 1. Teil, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1959; S. 199.

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