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Lineare Algebra II
SS 2003, U. Schoenwaelder
Bemerkungen zur Vorlesung
Bemerkungen:
Fr 25.04.03: Das Bild und die Darstellung zur orthogonalen Zerlegung
der Standardräume durch eine reelle Matrix finden Sie in dem folgenden
Artikel.
- J. B. Thoo, A picure is worth a thousand words,
The College Mathematics Journal 29:5 (1998), 408 - 411.
Fr 23.05.03: Zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Volumenfunktionen.
Es handelt sich um das "Volumen" von Elementen in Vn
[n-Inhalt in einem n-dimensionalen Vektorraum]
(interpretiert als n-Inhalt eines n-dimensionalen Parallelotops
in einem n-dimensionalen affinen Raum). Dies ist ein "rein
affiner Begriff", d. h. unabhängig von jeder Wahl einer Metrik
(eines positiv-definiten Skalarproduktes in V); entsprechend ist der
Inhalt eines "Parallelotops" ein Vielfaches eines "Einheitsinhaltes".
Wir schreiben Inhalte hier nicht als Potenz von Längen; dazu
bräuchte man ja auch ein Skalarprodukt.
Genauer ist das Verhältnis der Inhalte zweier "Parallelotope"
eine affine Invariante: es ändert sich nicht bei
Anwendung von invertierbaren affinen (Vektor-)Abbildungen.
Mo 2.06.03: Zur Übungsaufgabe 14 (k-Inhaltsfunktionen
zu n-dimensionalen R-Vektorräumen. Schon für
k = 1 ist es nötig, die Volumenfunktionen (und
Einheitsvolumina = Längen)
in den verschiedenen 1-dimensionalen Teilräumen von V
zueinander in Beziehung zu setzen. Dazu braucht man eine Norm, etwa
die zu einem positiv-definiten Skalarprodukt. Hier handelt es sich
also um einen Begriff der metrischen Geometrie.
Man kann beweisen, dass die in der Aufgabe angegebene Funktion I
die einzige ist, die die Regeln (0), (1) und (2) aus der Vorlesung erfüllt
sowie die Normierungsbedingung
I(A) = 1 für jedes ON-System A der Länge
k.
Den Satz mit Beweis finden Sie in:
Emanuel Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie
und Algebra,
1. Teil, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1959; S. 199.
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