Nachholklausur zur Vorlesung ”Diskrete Strukturen“ SS 92

Aufgabe 1. 3 Punkte Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl n, für die n ≡ 4 mod 7, n ≡ −9 mod 11 und n ≡ −3 mod 5 gilt.

Aufgabe 2. 2+2 Punkte (a) Wieviele nicht-isomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 360 mit zwei (oder weniger) Erzeugern gibt es? Begründen Sie Ihre Antwort!

(b) Wieviele nicht-isomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 360 mit drei (oder weniger) Erzeugern gibt es? Begründen Sie Ihre Antwort!

Aufgabe 3. 3+3 Punkte

(a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Z_{2}).

(b) Es sei s ein Element aus den reellen Zahlen R mit s^{2} = 5 und a = s + 3. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von a über Q.

Aufgabe 4. 3 Punkte Es sei I ⊆ Z_{2}[x] das von x^{5} + x^{4} + x^{2} + 1 und x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1 erzeugte Hauptideal in Z_{2}[x]. Bestimmen Sie ein Polynom g aus Z_{2}[x], so daß I = Z_{2}[x]g(x) gilt.

Aufgabe 5. 5 Punkte Es sei A eine freie Boolesche Algebra mit freiem Erzeugendensystem {x_{1}, x_{2}, x_{3}}. Es seien Elemente f = x_{1}x_{2}x_{3} +x_{1}\overline{x_{3}} +x_{2}\overline{x_{3}} +x_{1}\overline{x_{2}} \overline{x_{3}} und g = (x_{1} +x_{2} +x_{3})(x_{1} +x_{2} +\overline{x_{3}})(x_{1} +\overline{x_{2}} +\overline{x_{3}})(\overline{x_{1}} +x_{2} +\overline{x_{3}}) aus A geben. Gilt f = g? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 6. 4 Punkte Es seien zwei Polynome f = x^{6} + x^{4} + x^{3} + 1 und g = x^{3} + x^{2} + 1 aus Z_{2}[x] gegeben. Bestimmen Sie einen größten gemeinsamen Teiler d von f und g sowie Polynome u und v aus Z_{2}[x], für die d = u ∗ f + v ∗ g gilt.

Aufgabe 7. 5 Punkte Bestimmen Sie die ganzzahligen Lösungen x ∈ V_{4×1}(Z) der Gleichung

( \begin{matrix}8 & 12 & 14 & 4 \\ 6 & 8 & 12 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 2 \end{matrix} ) x = ( \begin{matrix}14 \\ 10 \\ 4 \end{matrix} ) .

Aufgabe 8. 4 Punkte

Es sei P die Pyramide . Es sei M die Menge der Ecken, Kanten und Flächen außer der quadratischen Grundfläche sowie P und ∅. Dann ist (M, ⊆) eine verbandsgeordnete Menge mit 19 Elementen. Bestimmen Sie die Eulercharakteristik des zugehörigen Verbandes.

Aufgabe 9. 2+8 Punkte

(a) Bestimmen Sie μ(0, 1) des Verbandes .

(b) Es sei V ein endlicher Verband mit kleinstem Element 0 und größten Element 1. Es gebe genau ein maximales Element m ungleich 0 unterhalb von 1. Zeigen Sie, daß μ(0, 1) = 0 gilt. HINWEIS: Betrachten Sie Ketten von 0 nach 1 und unterscheiden Sie dabei, ob das vorletzte Element der Kette m ist oder nicht.

Aufgabe 10. 2+3+4 Punkte Es sei f = x^{3} + x + 1 aus Z_{2}[x] gegeben.

(a) Bestimmen Sie ein unverkürzbares Erzeugendensystem von R = Z_{2}[x]/(f ·Z_{2}[x]) als Ring-mit-1.

(b) Ist R ein Körper? Begründen Sie Ihre Antwort.

(c) Bestimmen Sie ein primitives Element p von R und berechnen Sie p^{49}.

Aufgabe 11. 3+3 Punkte Es sei M = {(2, 1, 1, 1), (3, 2, 7, 7), (2, 1, 7, 1), (3, 2, 7, 13)} ⊂ V_{1×4}(Z). Weiter sei U die von M erzeugte Untergruppe von V_{1×4}(Z).

(a) Zeigen Sie, daß die Faktorgruppe V_{1×4}(Z)/U isomorph zu Z_{6} ˙+Z_{6} ist.

(b) Gegeben Sie zwei verschieden lange, unverkürzbare Erzeugendensysteme für Z_{6} ˙+Z_{6} an.

Aufgabe 12. 4 Punkte Wieviele verschiedene Typen von Halsketten mit 5 Perlen gibt es, wenn jede Perle blau, rot, gelb oder grün sein kann?

Aufgabe 13. 5 Punkte Es sei s die positive, reelle Zahl, für die s^{2} = 2 gilt. Bestimmen Sie mithilfe des Chinesischen Restsatzes ein Polynom f kleinsten Grades aus Q[x], so daß f(s) = 3 und f(−1) = 4 gilt. HINWEIS: Wie lautet das Minimalpolynom von s?