17.7.2006

Scheinklausur zur Linearen Algebra II

Prof. Dr. G. Hiß

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  8  9  10  11  Σ

Punkte

Nachk.

Sie benötigen 25 Punkte zum Bestehen dieser Klausur.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Ergebnisse nicht begründen. Es zählen nur die richtigen Ergebnisse.

Zum schriftlichen Teil:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Lineare Algebra II, SS 2006, Prof. Dr. G. Hiß

Scheinklausur, 17.7.2006

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur, 17.7.2006, Ankreuzteil

Kreuzen Sie bei jeder Frage der Aufgaben 1 bis 5 entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz.

1 Sind die folgenden Aussagen richtig?

Es gibt einen Körper mit genau 51 Elementen.

□ Ja □ Nein

Jeder Körper mit genau 32 Elementen enthält einen Teilkörper mit genau 4 Elementen.

□ Ja □ Nein

Jeder Körper der Charakteristik 0 enthält unendlich viele Elemente.

□ Ja □ Nein

2 Es seien K ein Körper und A, B ∈ K^{n×n} für ein n ∈ ℕ. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn A und B ähnlich sind, so sind sie auch äquivalent.

□ Ja □ Nein

Haben A und B die gleiche Spur und die gleiche Determinante, so sind sie ähnlich.

□ Ja □ Nein

Es ist AB ähnlich zu BA.

□ Ja □ Nein

Wenn A und B ähnlich sind, und A symmetrisch ist, so ist auch B symmetrisch.

□ Ja □ Nein

3 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Es seien U, W_{1}, W_{2} Untervektorräume von V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Aus V = U ⊕ W_{1} und V = U ⊕ W_{2} folgt W_{1} = W_{2}.

□ Ja □ Nein

Jede Basis von U läßt sich zu einer Basis von V ergänzen.

□ Ja □ Nein

Jede Basis von V enthält eine Teilmenge, welche Basis von U ist.

□ Ja □ Nein

4 Es sei K ein Körper und L ein Teilkörper von K. Es sei n ∈ ℕ und es seien A, B ∈ K^{n×n}. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Zerfällt μ_{A} über K in Linearfaktoren, so auch χ_{A}.

□ Ja □ Nein

Ist 0 eine Nullstelle von χ_{A}, dann ist 0 auch eine Nullstelle von χ_{AB}.

□ Ja □ Nein

μ_{A} und χ_{A} haben die gleichen Nullstellen in K.

□ Ja □ Nein

Hat χ_{A} eine Nullstelle in L, so liegen alle Nullstellen von χ_{A} in L.

□ Ja □ Nein

5 Es sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U ein Untervektorraum von V. Weiter sei β eine Bilinearform auf V und λ ∈ K. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Durch α(v, w) := β(w, λ·v) für v, w ∈ V wird auf V eine Bilinearform α definiert.

□ Ja □ Nein
dim(U^{⊥}) ≥ dim(V^{⊥}). □ Ja □ Nein

Ist β nicht-ausgeartet, so ist auch β |_{U×U} nicht-ausgeartet.

□ Ja □ Nein

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur, 17.7.2006, Ergebnisteil

Tragen Sie bei den Aufgaben 6 und 7 jeweils nur die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Sie brauchen die Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte.

6 Gegeben ist die Matrix A := [ \begin{matrix}0 & −1 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −1 \\ −1 & −1 & 1 & −1 \end{matrix} ] ∈ 𝔽_{3}^{4×4} über dem Körper mit drei Elementen.

Berechnen Sie

(a) die normierten Invariantenteiler der charakteristischen Matrix von A:

(3 Punkte)

(b) die normierten Elementarteiler der charakteristischen Matrix von A:

(1 Punkt)

(c) die Frobenius-Normalform von A:  [  ]  (1 Punkt)

(d) die Weierstraß-Normalform von A:  [  ]  (1 Punkt)

(e) die Jordan-Normalform von A (diese existiert!):  [  ]  (1 Punkt)

(f) das charakteristische Polynom: χ_{A} =

(1 Punkt)

(g) das Minimalpolynom: μ_{A} =

(1 Punkt)

Name: Matrikelnummer:

Scheinklausur, 17.7.2006, Ergebnisteil

Tragen Sie bei den Aufgaben 6 und 7 jeweils nur die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Sie brauchen die Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte.

7 Gegeben sind die Polynome f_{1} = X^{3} − X^{2} − X − 2 und f_{2} = X^{5} − 4X^{3} + X^{2} − 4 in ℚ[X].

Bestimmen Sie (a) den normierten ggT d von f_{1} und f_{2}:

(3 Punkte)

(b)

Polynome h_{1}, h_{2} ∈ ℚ[X] mit
h_{1}f_{1} + h_{2}f_{2} = d:

(2 Punkte)

(c) {alle A ∈ ℚ^{3×3} mit \atop f_{1}(A) = f_{2}(A) = 0 ∈ ℚ^{3×3} :}

(2 Punkte)

Scheinklausur, 17.7.2006, schriftlicher Teil

Beantworten Sie die Aufgaben 8 bis 11 schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an.

8 Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Weiter seien U und W Untervektorräume von V, so

dass V = U ⊕ W ist. Zeigen Sie: V/U ≅ W. (3 Punkte) 9 Geben Sie aus jeder Ähnlichkeitsklasse nicht-invertierbarer Matrizen A ∈ ℝ^{3×3} mit Spur(A) = 2

einen Vertreter an. Welche davon sind diagonalisierbar? (6 Punkte) 10 Es seien (U, ∥ ∥_{U}), (V, ∥ ∥_{V}) und (W, ∥ ∥_{W}) normierte Räume und β : V × W → U eine bilineare

Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) Es existiert ein M > 0 mit ∥β(v, w)∥_{U} ≤ M∥v∥_{V} ∥w∥_{W} für alle v ∈ V und w ∈ W.

(ii) Für jede konvergente Folge (v_{n})_{n∈ℕ} in V mit Grenzwert v und jede konvergente Folge (w_{n})_{n∈ℕ} in W mit Grenzwert w ist (β(v_{n}, w_{n}))_{n∈ℕ} eine konvergente Folge in U mit Grenzwert β(v, w).

(4 Punkte)

11 Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper. Weiter seien φ : U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen mit Kern(ψ) = Bild(φ). Zeigen Sie, dass für die zu φ bzw. ψ transponierten Abbildungen φ^{∗} bzw. ψ^{∗} gilt: Kern(φ^{∗}) = Bild(ψ^{∗}). (4 Punkte)