Klausur zur Linearen Algebra II (29. 6. 98)

Professor Dr. G. Hiß, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jeder Seite nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Von den 9 gegebenen Aufgaben für insgesamt 64 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 25 Punkte notwendig. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden, und achten Sie bei Beweisen auf die Vollständigkeit Ihrer Argumentation.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ End_{K}(V). Zeigen Sie:

(a) Wenn es eine Basis B von V gibt, so daß M_{B}(φ) eine obere Dreiecksmatrix ist, in deren Haupdiagonalen nur Nullen stehen, dann ist φ nilpotent (also χ_{φ} = X^{n}).

(b) Ist φ unipotent (also χ_{φ} = (X − 1)^{n}), dann gibt es eine Basis B von V, so daß M_{B}(φ) eine obere Dreiecksmatrix ist, in deren Haupdiagonalen nur Einsen stehen. 2 + 3 = 5 Punkte

Aufgabe 2. Beweisen Sie, ohne eine solche Trigonalisierung durchzuführen, daß die Matrizen

A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −2 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 2 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3}

simultan trigonalisierbar sind, d. h., daß es eine Matrix T ∈ GL_{3}(ℝ) gibt, so daß die beiden Matrizen T^{−1}AT und T^{−1}BT obere Dreiecksmatrizen sind. 6 Punkte

Aufgabe 3. Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 4 & 0 \\ 0 & −2 & 1 \\ −1 & 7 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3}. Bestimmen Sie

(a) mit Hilfe des Invariantenteileralgorithmus die Invariantenteiler von XE_{3} − A und dann daraus (b) die Frobenius-Normalform von A,

(c) die Weierstraß-Normalform von A

(d) und, wenn sie existiert, die Jordan-Normalform von A. 7 + 2 + 2 + 2 = 13 Punkte

Aufgabe 4. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und n ∈ ℕ.

(a) Beweisen Sie: Sind zwei Matrizen A, B ∈ R^{n×n} ähnlich, so sind sie äquivalent. (Geben Sie insbesondere die Definitionen der beiden Begriffe jeweils mit ihren Voraussetzungen an.)

(b) Sei nun R = K ein Körper. Geben Sie zwei quadratische Matrizen über K an, die äquiva-

lent, aber nicht ähnlich sind, und beweisen Sie das. (Es kommt auf die Argumentation an.) 3 + 5 = 8 Punkte

Klausur zur Linearen Algebra II 29. 6. 98

Aufgabe 5. Ähnliche Matrizen haben bekanntlich dasselbe charakteristische Polynom. Wie viele Ähnlichkeitsklassen (über ℝ) von reellen Matrizen gibt es zum charakteristischen Polynom

f = (X^{2} + X + 1)^{2} (X^{2} + 2X + 2)^{3} ∈ ℝ[X] ?

Hinweis: Schreiben Sie keine Repräsentanten für die Klassen hin, denn das sind riesige 10×10-Matrizen, sondern bestimmen Sie nur ihre Anzahl (natürlich mit Begründung). 6 Punkte

Aufgabe 6. Über dem Körper 𝔽_{2} = {0, 1} mit zwei Elementen seien die Polynome

f = X^{7} + X^{3} + X + 1 und g = X^{5} + X^{3} + X

gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler d von f und g sowie zwei Polynome a, b ∈ 𝔽_{2}[X] mit af + bg = d. 8 Punkte

Aufgabe 7.

Im Vektorraum V = ℝ^{3×1} sei die Basis B = \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} := \{[ \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 6 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 9 \end{matrix} ]\} gegeben, und es

sei β die Standardbilinearform auf V. Berechnen Sie mit Hilfe des Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis C = {w_{1}, w_{2}, w_{3}} von V bezüglich β, so daß w_{1} ∈ ⟨v_{1}⟩ ist. 7 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V ein 3-dimensionaler ℝ-Vektorrraum und B eine Basis von V. Eine Bilinearform β auf V sei

durch die Matrix B = B_{B}^{B}(β) = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie mit Hilfe des modifizierten Gauß-Algorithmus eine Orthogonalbasis C von V bezüglich β, und geben Sie die Basiswechselmatrix M_{B}^{C}(id_{V}) und die Strukturmatrix B_{C}^{C}(β) an.

(b) Ist β ausgeartet? (Begründung.)

(c) Ist β positiv definit? (Begründung.) 5 + 1 + 1 = 7 Punkte

Aufgabe 9. Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und β eine nicht-ausgeartete Bilinearform auf V. Für φ aus End_{K}(V) bezeichnen wir mit φ^{†} die zu φ adjungierte Abbildung bezüglich β. Zeigen Sie: Für alle φ, ψ ∈ End_{K}(V) gilt (φ + ψ)^{†} = φ^{†} + ψ^{†}. (Hinweis: Es kommt auf die sorgfältige Argumentation an. Wo geht z. B. die Voraussetzung ein, daß β nicht-ausgeartet ist?) 4 Punkte