30.3.2007

Klausur Lineare Algebra II

Prof. Dr. G. Nebe, M. Kirschmer, A. Günther

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Aufgabe maximal  erreicht Korrektor
1  9
2  9
3  8
4  6
5  6
6  6
7  6
Summe  50

Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite. Beachten Sie, daß der Lösungsweg und die Rechnungen mit in die Bewertung eingehen.

Aufgabe 1 (9 Punkte) Sei

N := ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{3}^{4×4}.

Bestimmen Sie Matrizen L, P, U ∈ 𝔽_{3}^{4×4} mit LP U = N; dabei seien L eine untere Dreiecksmatrix, P eine Permutationsmatrix und U eine obere Dreiecksmatrix.

Aufgabe 2 (9 Punkte) Sei

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ 𝔽_{2}^{4×4} .

Bestimmen Sie die Jordannormalform J von A sowie eine Matrix X ∈ GL(4, 𝔽_{2}) mit X^{−1}AX = J.

Aufgabe 3 (8 Punkte) Bestimmen Sie die affine Normalform der Quadrik Null(p(x)) ⊂ A_{3}(ℝ) mit

p(x) = x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} − 2x_{2}x_{3} + 2x_{2} + 6x_{3} + 2 .

Aufgabe 4 (6 Punkte) Sei E := E_{3} der 3-dimensionale euklidische affine Raum mit dem Standardskalarprodukt. Seien G und H die folgenden affinen Unterräume von E:

H := \{( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ 1 \end{matrix} ) | x_{1} − x_{2} − x_{3} = 1\} , G := ⟨ ( \begin{matrix}4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) ⟩_{a} .

Bestimmen Sie Dim(H), Dim(G) und d(H, G).

Aufgabe 5 (6 Punkte) In P(𝔽_{3}^{4}) seien die folgenden Punkte gegeben:

Q := 𝔽_{3}^{∗} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , R := 𝔽_{3}^{∗} ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , S := 𝔽_{3}^{∗} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , T := 𝔽_{3}^{∗} ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , T′ := 𝔽_{3}^{∗} ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) .

Bestimmen Sie die Doppelverhältnisse DV (Q, R, S, T) und DV (Q, R, S, T′).

Aufgabe 6 (6 Punkte) Sei

A := ( \begin{matrix}2 & −1 & −3 \\ 2 & −4 & −6 \\ −2 & −2 & 0 \end{matrix} ) ∈ ℤ^{3×3} .

Bestimmen Sie die Invariantenteiler von A.

Aufgabe 7 (6 Punkte) Es seien K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und E := End_{K}(V). Zeigen Sie, daß es genau eine surjektive K-lineare Abbildung ε: E ⊗ E → E gibt mit ε(φ ⊗ ψ) = φ ∘ ψ für alle φ, ψ ∈ E.