Nachholklausur zur ”Linearen Algebra II“ (SS 93)

Bearbeitungszeit: 180 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen \underline{wesentlichen Teil} der Lösung einer Aufgabe bilden.

Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 50 Punkte notwendig. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei V = IR^{3}, B eine Basis und φ die lineare Abbildung mit

Bφ_{B} = ( \begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ −3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

1. Man bestimem die Jordannormalform von φ. 5 Punkte 2. Man bestimme eine Basis C von V, so daß _{C}φ_{C} in Jordannormalform ist. 7 Punkte

HINWEIS: Die Eigenwerte von φ sind ganzzahlig.

Aufgabe 2. Es sei V = IR^{3}, Φ ein positiv definites Skalarprodukt, B eine Orthonormalbasis und φ ∈ Hom(V, V)

gegeben durch _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}4 & −1 & −1 \\ −1 & 4 & −1 \\ −1 & −1 & 4 \end{matrix} ).

Man bestimme eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von φ. 12 Punkte HINWEIS: Die Eigenwerte von φ sind ganzzahlig.

Aufgabe 3. Es sei V ein n-dim. IR-Vektorraum, Φ ein positiv definites Skalarprodukt und φ ∈ Hom(V, V). Welche der folgenden Bedingungen sind hinreichend, welche notwendig dafür, daß V eine Basis aus Eigenvektoren von φ besitzt? (\underline{Kurze Begründung oder Gegenbeispiel!})

1. Das charakteristische Polynom von φ zerfällt in Linearfaktoren. 2 Punkte 2. φ = φ^{ad}. 2 Punkte 3. Die Frobeniusnormalform von φ besteht nur aus eindimensionale Kästchen. 2 Punkte 4. Kern(φ − c) = Kern((φ − c)^{2}) für alle c ∈ IR. 4 Punkte

HINWEIS: Bei Frage 1 bis 3 gibt es einen Punkte für die Beantwortung der Frage mit Begründung, ob die Bedingung hinreichend ist, und einen für die Beantwortung mit Begründung, ob die Bedingung notwendig ist.

Aufgabe 4. Es sei IF_{5} = {0, 1, 2, 3, 4} der Körper mit fünf Elementen. Es seien weiter f = x^{3} + 3x + 4 und g = x^{4} + 2x^{3} + 2x^{2} + 2x + 1 aus IF_{5}[x] gegeben. Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler d mit führendem Koeffizienten 1 von f und g sowie Polynome a und b mit d = f · a + g · b. 8 Punkte Aufgabe 5.

Man berechne die Elementarteiler der Matrix ( \begin{matrix}1 + x & x & 1 \\ x & x & x \\ 1 & x & 1 \end{matrix} ) ∈ Q I [x]^{3×3}. 8 Punkte

Aufgabe 6. Es sei A ∈ IR^{3×3} eine Matrix mit charakteristischem Polynom p_{A}(x) = (x + 1)^{2}(x − 1). Man bestimme die verschiedenen

1. Jordannormalformen J_{i}, zu denen A ähnlich sein könnte. 4 Punkte

2. Weierstraßnormalformen W_{i}, zu denen A ähnlich sein könnte. 4 Punkte

3. Frobeniusnormalformen F_{i}, zu denen A ähnlich sein könnte. 4 Punkte

4. Elementarteiler von A − x · id. 4 Punkte

Aufgabe 7. Es sei V ein zwei-dimensionaler Vektorraum über IR mit Basis B = (B_{1}, B_{2}). Es sei weiter ein Skalarprodukt Φ auf V sowie eine lineare Abbildung φ von V nach V durch

BΦ_{B} = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) und _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

gegeben. Man bestimme die zu φ adjungierte Abbildung φ^{ad}. 6 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V ein 10-dimensionaler K-Vektorraum und φ ein Endomorphismus von V mit charakteristischem Polynom p_{φ}(x) = (x − c)^{10} für ein c ∈ K. Es sei weiter

0 ≤ Kern(φ − c) < Kern((φ − c)^{2}) < … < Kern((φ − c)^{k}) = Kern((φ − c)^{k+1}).

Man bestimme die Dimensionen von Kern((φ−c)^{i}) unter der Voraussetzung, daß es drei 1-dimensionale, zwei 2-dimensionale, und ein 3-dimensionales Jordankästchen gibt. 10 Punkte

Aufgabe 9. Es sei IF_{2} der Körper mit zwei Elementen.

1. Man konstruiere den Körper mit vier Elementen als Restklassenring von IF_{2}[x]. 4 Punkte

2. Man konstruiere den Körper mit vier Elementen als Teilmenge von IF_{2}^{2×2}. 6 Punkte

Aufgabe 10. Es sei IF_{2} = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen und f = x^{4} + x^{3} + x + 1 ∈ IF_{2}[x]. Man bestimme ein g ∈ IF_{2}[x] mit Grad(g) ≤ 3 und ((f) + x)^{5} = (f) + g. 6 Punkte

Aufgabe 11. Es sei A ∈ IR^{n×n} eine symmetrische Matrix, das heißt, A^{tr} = A. Man zeige: es existiert eine invertierbare, Matrix T mit T^{−1} = T^{tr}, so daß T^{tr} · A · T Diagonalgestalt besitzt. 10 Punkte HINWEIS: Benutzen Sie den Spektralsatz.