Klausur zur ”Linearen Algebra II“ (SS 93)

Bearbeitungszeit: 180 Minuten

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte beachten Sie, daß \underline{ausführliche Begründungen} einen \underline{wesentlichen Teil} der Lösung einer Aufgabe bilden. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 50 Punkte notwendig. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei P_{3} = {a+bx+cx^{2} +dx^{3}|a, b, c, d ∈ IR} ≤ IR[x] der Vektorraum der Polynome p mit Grad(p) ≤ 3. Es sei weiter Φ : P_{3} × P_{3} → IR ein Skalarprodukt gegeben durch Φ(f, g) = f(1)g(1) − f(0)g(0) für f, g ∈ P_{3}. Eine Basis B von P_{3} ist (1, x, x^{2}, x^{3}).

1. Man berechne _{B}Φ_{B}. 3 Punkte 2. Man berechne Rad(Φ) 3 Punkte 3. Man berechne Rang, Signatur und Index von Φ. 5 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V = IR^{3}, B eine Basis und φ die lineare Abbildung mit

Bφ_{B} = ( \begin{matrix}−6 & 1 & 0 \\ −12 & 0 & 1 \\ −8 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

1. Man bestimem die Jordannormalform von φ. 5 Punkte 2. Man bestimme eine Basis C von V, so daß _{C}φ_{C} in Jordannormalform ist. 6 Punkte

HINWEIS: Die Eigenwerte von φ sind ganzzahlig.

Aufgabe 3. Es sei V = IR^{3}, Φ ein positiv definites Skalarprodukt, B eine Orthonormalbasis und φ ∈ Hom(V, V)

gegeben durch _{B}φ_{B} = ( \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ −1 & 3 & −1 \\ −1 & −1 & 3 \end{matrix} ). Man bestimme eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren

von φ. 10 Punkte HINWEIS: Die Eigenwerte von φ sind ganzzahlig.

Aufgabe 4. Wieviele Klassen ähnlicher, invertierbarer Matrizen gibt es in IF_{3}^{2×2}? Man gebe aus jeder Klasse eine Matrix an. 8 Punkte

Aufgabe 5. Es sei K ein Körper. Es seien A, B ∈ K^{3×3} Matrizen mit gleichem charakteristischen Polynom und gleichem Minimalpolynom. Man zeige: A und B sind ähnlich. 10 Punkte Gilt diese Aussage auch für Matrizen in K^{n×n} mit n > 3? (Beweis oder Gegenbeispiel!) 4 Punkte Aufgabe 6. Es sei V ein n-dim. CI -Vektorraum, Φ ein positiv definites Hermitesches Produkt und φ ∈ Hom(V, V). Welche der folgenden Bedingungen sind hinreichend, welche notwendig dafür, daß V eine Basis aus Eigenvektoren von φ besitzt? (\underline{Kurze Begründung oder Gegenbeispiel!})

1. φ hat n verschiedene Eigenwerte. 2 Punkte 2. φ ist Hermitesch bezüglich Φ. 2 Punkte 3. φ hat nur eindimensionale Jordankästchen. 2 Punkte 4. Die zu φ gehörenden Elementarteiler sind konstant oder linear. 2 Punkte 5. Kern(φ) = Kern(φ^{2}). 2 Punkte

Aufgabe 7. Es sei IF_{5} = {0, 1, 2, 3, 4} der Körper mit fünf Elementen. Es seien weiter

f = x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + 3x und g = x^{3} + 2x^{2} + 2x + 1

aus IF_{5}[x] gegeben. Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler d mit führendem Koeffizienten 1 von f und g sowie Polynome a und b mit d = f · a + g · b. 8 Punkte

Aufgabe 8.

Es sei A = (a_{ij}) ∈ K^{2n×2n} definiert durch a_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & , & falls i + j = 2n + 1 \\ 0 & , & sonst. \end{matrix} .

Berechnen Sie zunächst das Minimalpolynom, dann das charakteristische Polynom und eine Normalform von A. 12 Punkte

HINWEIS : Berechnen Sie A^{2}. Versuchen Sie nicht, das charakteristische Polynom direkt zu berechnen, sondern leiten Sie es mit Hilfe des Minimalpolynoms her. Unterscheiden Sie die Fälle char K = 2 und char K ≠ 2. ZUSATZ : Falls Sie mit der Lösung der Aufgabe für beliebiges n Schwierigkeiten haben, bearbeiten Sie statt dessen diese Frage für n = 4 (dafür gibt es aber nur 5 Punkte).

Aufgabe 9. Es sei IF_{2} = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen und f = x^{3} + x^{2} + 1 ∈ IF_{2}[x].

1. Man zeige: K = IF_{2}[X]/(f) ist ein Körper. 3 Punkte

2. Man bestimme ein g ∈ IF_{2}[x] mit Grad(g) ≤ 2 und ((f) + x)^{5} = (f) + g. 5 Punkte

Aufgabe 10. Es sei B die Standardbasis von IR^{n}. Es sei φ ∈ Hom(IR^{n}, IR^{n}) gegeben durch

Bφ_{B} = ( \begin{matrix}a & b & b & ⋯ \\ b & a & b & ⋯ \\ b & b & a & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ) .

Man zeige: φ ≥ 0 (bezgl. des Standardskalarproduktes) genau dann, wenn (a − b) ≥ 0 und a + (n − 1)b ≥ 0. 12 Punkte HINWEIS: Man zeige, daß (a − b) Eigenwert von φ ist, und benutze den Spektralsatz.