Ersatzklausur zur Linearen Algebra II (17. 10. 97)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 9 gegebenen Aufgaben für insgesamt 67 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 25 Punkte notwendig. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei K = 𝔽_{2} = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen. Berechnen Sie einen größten gemeinsamen Teiler d der Polynome

f = x^{5} + x + 1 und g = x^{4} + x^{2} + 1

aus K[x] sowie Polynome a und b mit d = f ·a + g·b. 6 Punkte

Aufgabe 2. Im ℝ-Spaltenraum ℝ^{2} mit Standardskalarprodukt Φ sei ein Vektor X = [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] mit a, b ∈ ℤ gegeben.

Beweisen Sie: Sind a und b teilerfremd, so gibt es einen Vektor Y = [ \begin{matrix}c \\ d \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2} mit c, d ∈ ℤ, so daß Φ(X, Y) = 1 ist. (Argumentation und Formulierung sind wichtig.) 4 Punkte

Aufgabe 3.

(a) Es sei R ein Ring und n ∈ ℕ. Beweisen Sie: Sind Matrizen A und B aus R^{n×n} ähnlich, so sind sie äquivalent.

(b) Es sei nun R = K ein Körper und n = 2. Geben Sie ein konkretes Beispiel für zwei Matrizen A

und B aus K^{2×2} an, so daß A und B äquivalent, aber nicht ähnlich sind, und beweisen Sie das. (Es kommt jeweils auf die Argumentation an.) 3 + 6 = 9 Punkte

Aufgabe 4. Wie viele Klassen ähnlicher Matrizen gibt es in 𝔽_{2}^{2×2}? Geben Sie aus jeder Klasse eine Matrix an. (Die Begründung ist wichtig.) 7 Punkte

Aufgabe 5. Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x + 1 \end{matrix} ] über dem Polynomring ℚ[x]. Berechnen Sie mit Hilfe des

Elementarteileralgorithmus invertierbare Matrizen P und Q aus ℚ[x]^{2×2}, so daß P ·A·Q von der Form

[ \begin{matrix}f & 0 \\ 0 & g \end{matrix} ] ist mit normierten Polynomen f und g (d. h., der Koeffizient der höchsten vorkommenden

Potenz von x ist jeweils gleich 1) und der Eigenschaft f | g. 7 Punkte

Ersatzklausur zur Linearen Algebra II 17. 10. 97

Aufgabe 6. Es sei V = ℝ^{4}, B eine Basis von V und _{B}φ_{B} = A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ] die Abbidungsmatrix eines Endomorphismus φ von V bezüglich B.

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom p_{φ} von φ.

Hinweis: A setzt sich aus zwei Begleitmatrizen zusammen, Sie brauchen also nicht die Determinante der charakteristischen Matrix von A zu berechnen.

(b) Ist A eine Frobenius-Normalform? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

(c) Ist A eine Weierstaß-Normalform? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? Entscheiden Sie die Fragen (b) und (c) direkt anhand von Eigenschaften der Matrix A, ohne die entsprechenden Normalformen von A oder gar eine Liste aller zu p_{φ} passenden Normalformen zu berechnen. (Es kommt auf die Begründung an.) 2 + 3 + 3 = 8 Punkte

Aufgabe 7.

Es sei A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} und I die Einheitsmatrix. Bestimmen Sie

(a) die Elementarteiler der charakteristischen Matrix A − xI und daraus dann

(b) die Frobenius-Normalform von A,

(c) die Weierstraß-Normalform von A,

(d) die Jordan-Normalform von A. 6 + 1 + 2 + 1 = 10 Punkte

Aufgabe 8. Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit einem Skalarprodukt Φ, und es sei φ ∈ Hom (V, V). Beweisen Sie: Ist φ symmetrisch bezüglich Φ, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten von φ orthogonal bezüglich Φ. 6 Punkte

Aufgabe 9. Im Vektorraum ℂ^{2} mit Basis B seien ein (positiv definites) hermitesches Produkt Φ und ein Endomorphismus φ durch _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} ] und _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}i & i \\ 1 & 2 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie die adjungierte Abbildung φ^{ad}.

(b) Untersuchen Sie, ob φ normal bezüglich Φ ist. 6 + 4 = 10 Punkte