Klausur zur Linearen Algebra II (4. 7. 97)

Professor Dr. J. Neubüser, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 12 gegebenen Aufgaben für insgesamt 103 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 50 Punkte notwendig. Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Es sei V = ℝ^{3}, B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}) die Standardbasis von V und φ ∈ Hom (V, V) mit

Bφ_{B} = A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & −7 \\ 0 & 1 & 5 \end{matrix} ] .

(a) Berechnen Sie die Jordan-Normalform von φ.

(b) Bestimmen Sie eine Basis C von V, so daß _{C}φ_{C} in Jordan-Normalform ist.

Hinweis: Die Eigenwerte von φ sind ganzzahlig. 5 + 7 = 12 Punkte

Aufgabe 2. Es sei K = 𝔽_{5} = {0, 1, 2, 3, 4} der Körper mit fünf Elementen. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler d mit führendem Koeffizienten 1 der Polynome

f = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2 und g = x^{3} + 4x^{2} + 2

aus K[x] sowie Polynome a und b mit d = f ·a + g·b. 8 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = 𝔽_{2}^{3} und B die Standardbasis von V, und es sei φ ∈ Hom (V, V) gegeben durch

Bφ_{B} = A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

Berechnen Sie das Minimalpolynom m_{φ} ohne Benutzung des charakteristischen Polynoms (a) direkt mit Hilfe der Definition, (b) mit Hilfe von Ordnungspolynomen. Erläutern Sie jeweils Ihre Rechnung. 4 + 4 = 8 Punkte

Aufgabe 4. Es sei V ein 11-dimensionaler K-Vektorraum und φ ∈ Hom (V, V) mit charakteristischem Polynom p_{φ}(x) = (x−c)^{11} für ein c ∈ K. Die Jordan-Normalform von φ enthalte zwei 1-dimen-sionale und je ein 2-dimensionales, ein 3-dimensionales und ein 4-dimensionales Jordankästchen. Weiter sei ψ = φ − c·id und

0 < Kern (ψ) < Kern (ψ^{2}) < … < Kern (ψ^{k}) = Kern (ψ^{k+1}).

Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern (ψ^{i}). (Mit Erläuterung.) 7 Punkte

Aufgabe 5. Gegeben sei die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} ] ∈ ℤ^{2×2}. Berechnen Sie mit Hilfe des Elementarteiler-

algorithmus zwei invertierbare (ganzzahlige) Matrizen P und Q aus ℤ^{2×2}, so daß P ·A·Q von

der Form [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] mit a, b ≥ 0 und a | b ist. (Erläutern Sie Ihre Rechnung.) 8 Punkte

Klausur zur Linearen Algebra II 4. 7. 97

Aufgabe 6.

(a) Geben Sie die verschiedenen Jordan-Normalformen J_{i} von 4 × 4-Matrizen über ℝ an, deren charakteristisches Polynom p_{J_{i}} gleich (x − \sqrt{2} )^{2} (x + π)^{2} ist. (Gesucht sind also Repräsentanten der Ähnlichkeitsklassen.)

(b) Geben Sie für jedes J_{i} die Elementarteiler der charakteristischen Matrix sowie das Minimalpolynom an. (Sie brauchen die vorkommenden Polynome nicht auszumultiplizieren, eine Darstellung als Produkt genügt.) 4 + 6 = 10 Punkte

Aufgabe 7.

Es sei A = [ \begin{matrix}0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3} und I die Einheitsmatrix. Bestimmen Sie

(a) die Elementarteiler der charakteristischen Matrix A − xI und daraus dann

(b) die Frobenius-Normalform von A,

(c) die Weierstraß-Normalform von A,

(d) die Jordan-Normalform von A. 8 + 2 + 2 + 2 = 14 Punkte

Aufgabe 8. Bestimmen Sie den Exponenten der symmetrischen Gruppe S_{5}. (Mit Erläuterung.) 4 Punkte

Aufgabe 9.

(a) Konstruieren Sie mit Hilfe der Kronecker-Konstruktion einen Körper mit 9 Elementen.

(b) Geben Sie alle Elemente dieses Körpers an. Finden Sie insbesondere ein Element der (multiplikativen) Ordnung 8. (Mit Begründung.) 5 + 6 = 11 Punkte

Aufgabe 10. In V = ℝ^{3} seien die Standardbasis B = (B_{1}, B_{2}, B_{3}), das Standardskalarprodukt Φ und ein En-

domorphismus φ mit _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix} ] gegeben. Berechnen Sie eine Orthonormalbasis

aus Eigenvektoren von φ. Hinweis: Die Eigenwerte von φ sind ganzzahlig. 10 Punkte

Aufgabe 11. Es sei V ein K-Vektorraum, und es seien φ und ψ vertauschbare Endomorphismen von V und c ein Eigenwert von ψ. Zeigen Sie: Der Eigenvektorraum E_{ψ}(c) ist φ-invariant. 5 Punkte

Aufgabe 12. Im Vektorraum ℂ^{2} mit Basis B seien ein (positiv definites) hermitesches Produkt Φ und ein

Endomorphismus φ durch _{B}Φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 3 \end{matrix} ] und _{B}φ_{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ i & −i \end{matrix} ] gegeben. Berechnen Sie

die adjungierte Abbildung φ^{ad}. 6 Punkte