Test 1 im SS 2000

T1) Sind A, B hermitesche Matrizen, so gilt

A + B ist hermitesch  □ Ja  □ Nein
c · A ist hermitesch für c ∈ ℂ  □ Ja  □ Nein
A · B ist hermitesch  □ Ja  □ Nein
Die Eigenwerte von A sind reell  □ Ja  □ Nein
Ist A^{2} = E_{n}, so ist A = E_{n}  □ Ja  □ Nein

T2) Sei V = ℝ^{n×1}, Φ : V × V → ℝ eine symmetrische Bilinearform mit Gram-Matrix [Φ]_{B} = A für eine beliebige (aber feste) Basis B. Dann gilt:

Φ ist positiv definit ⟺ det A > 0  □ Ja  □ Nein
Φ ist positiv definit ⟺ A diagonalisierbar und alle Eigenwerte sind > 0  □ Ja  □ Nein
Φ ist positiv definit ⟺ x^{T} Ax > 0 für alle x ∈ ℝ^{n×1}  □ Ja  □ Nein
Φ ist nicht ausgeartet ⟺ det A ≠ 0  □ Ja  □ Nein
Φ ist nicht ausgeartet ⟺ x^{T} Ax ≠ 0 für alle x ∈ ℝ^{n×1}  □ Ja  □ Nein

T3) Welche der folgenden Behauptungen ist richtig?

Jede reelle, symmetrische n × n-Matrix ist diagonalisierbar.  □ Ja  □ Nein
Ist A^{T} = −A ∈ ℝ^{n×n} diagonalisierbar, so ist A = 0  □ Ja  □ Nein
Ist Ā^{T} = −A ∈ ℂ^{n×n}, so ist A diagonalisierbar.  □ Ja  □ Nein
Jede reelle orthogonale n × n-Matrix ist in ℝ^{n×n} diagonalisierbar.  □ Ja  □ Nein
Jede unitäre n × n-Matrix ist in ℂ^{n×n} diagonalisierbar.  □ Ja  □ Nein

T4) Sei K ein Körper und A und B in K^{n×n}. Dann gilt:

Sind A und B äquivalent, so sind A und B ähnlich.  □ Ja  □ Nein
Sind A und B ähnlich, so sind A und B äquivalent.  □ Ja  □ Nein
Sind A und B ähnlich und ist A^{m} = E_{n}, so ist B^{m} = E_{n}.  □ Ja  □ Nein
Ist det A = det B, so sind A und B äquivalent.  □ Ja  □ Nein
Ist Rg A = Rg B, so sind A und B äquivalent.  □ Ja  □ Nein

T5) Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Jedes A ∈ ℚ^{n×n} ist kongruent zu einer Diagonalmatrix.  □ Ja  □ Nein
Ist A ∈ ℝ^{n×n} invertierbar, so ist A^{T} A kongruent zu E_{n}.  □ Ja  □ Nein
[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ist in ℝ^{2×2} kongruent zu E_{2}.  □ Ja  □ Nein
Sind zwei Matrizen in ℝ^{n×n} kongruent, so sind sie auch äquivalent.  □ Ja  □ Nein
Sind zwei Matrizen in ℝ^{n×n} ähnlich, so sind sie auch kongruent.  □ Ja  □ Nein

T6) Sei (V, Φ) ein n-dimensionaler unitärer Raum und φ ∈ End V. Dann gilt:

Ist φ diagonalisierbar, so auch φ^{∗}.  □ Ja  □ Nein
φ und φ^{∗} haben die gleichen Eigenwerte.  □ Ja  □ Nein
φ und φ^{∗} haben die gleichen Eigenvektoren.  □ Ja  □ Nein
φ · φ^{∗} ist stets diagonalisierbar.  □ Ja  □ Nein
Ist φ unitär, so ist φ normal.  □ Ja  □ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.