Test 2 im SS 2000

T1) Sind die folgenden Aussagen richtig?

Es gibt 2 (paarweise nicht-isomorphe) abelsche Gruppen der Ordnung 6. □ Ja ⊠ Nein Es gibt 4 (paarweise nicht-isomorphe) abelsche Gruppen der Ordnung 8. □ Ja ⊠ Nein Jede Matrix A ∈ ℝ^{n×n} hat eine Jordansche Normalform. □ Ja ⊠ Nein Jede Matrix A ∈ ℝ^{n×n} hat eine Weierstraß-Normalform. ⊠ Ja □ Nein Zwei Matrizen A, B ∈ ℝ^{n×n} sind ähnlich genau dann, wenn sie dieselbe rationale, kanonische Form haben. ⊠ Ja □ Nein

T2) Es seien a, b, c, d, e ∈ R, wobei (R, ν) ein Euklidischer Ring ist.

Ist 1 = ac + bd, so ist 1 ∈ ggT(a, b). ⊠ Ja □ Nein Ist a | b und a | c so gilt a | b − cd. ⊠ Ja □ Nein Ist d | ab, so folgt d | a oder d | b. □ Ja ⊠ Nein Ist a | b und b | a, so folgt a = b. □ Ja ⊠ Nein Ist d ∈ ggT(a, b) und c | ab, so gilt c | d. □ Ja ⊠ Nein

T3) Es sei V ein K-Vektorraum.

v ⊗ w = w ⊗ v für v, w ∈ V □ Ja ⊠ Nein v ⊗ 0 = 0 für v ∈ V ⊠ Ja □ Nein V ⊗ V = {v ⊗ w | v, w ∈ V } □ Ja ⊠ Nein (v_{1} + v_{2}) ⊗ (w_{1} + w_{2}) = v_{1} ⊗ w_{1} + v_{2} ⊗ w_{2} für v_{1}, v_{2}, w_{1}, w_{2} ∈ V □ Ja ⊠ Nein c(v ⊗ w) = cv ⊗ cw für v, w ∈ V und c ∈ K □ Ja ⊠ Nein

T4) Es sei K ein Körper, A ∈ K^{m×n} und B ∈ K^{n×m}.

A ⊗ B ∈ K^{mn×mn} ⊠ Ja □ Nein A ⊗ B ∈ K^{m×m} □ Ja ⊠ Nein det(A ⊗ B) = det(A · B) □ Ja ⊠ Nein A ⊗ B = 0 ⟹ A = 0 oder B = 0 ⊠ Ja □ Nein Spur(A ⊗ B) = Spur(A) · Spur(B) falls m = n ⊠ Ja □ Nein

T5) Es sei V ein K-Vektorraum und v_{i} ∈ V für 1 ≤ i ≤ r.

v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r} = 0 ⟹ (v_{1}, …, v_{r}) ist linear abhängig ⊠ Ja □ Nein v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r} = 0 ⟹ v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{r} = 0 □ Ja ⊠ Nein ⋀^{r} V = {w_{1} ∧ ⋯ ∧ w_{r} | w_{i} ∈ V } □ Ja ⊠ Nein dim ⋀^{r} V = n − r, wenn dim V = n □ Ja ⊠ Nein v_{1} ∧ v_{2} ∧ v_{3} = v_{2} ∧ v_{3} ∧ v_{1} ⊠ Ja □ Nein

T6) Wir betrachten A = {(1, x_{1}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ ℝ} als affinen Raum über ℝ^{n}. Dann ist

{(1, 1, 1, x_{3}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ ℝ} ein affiner Teilraum von A. ⊠ Ja □ Nein {(0, 0, 0, x_{3}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ ℝ} ein affiner Teilraum von A. □ Ja ⊠ Nein φ : A → A mit φ(1, x_{1}, …, x_{n}) = (1, x_{1}, …, x_{1}) eine affine Abbildung. ⊠ Ja □ Nein φ : A → A mit φ(1, x_{1}, …, x_{n}) = (1, 0, x_{1}x_{2}, …, x_{n−1}x_{n}) eine aff. Abb. □ Ja ⊠ Nein φ : A → A mit φ(1, x_{1}, …, x_{n}) = (1, 0, x_{1} + x_{2}, …, x_{n−1} + x_{n}) eine aff. Abb. ⊠ Ja □ Nein

Auswertung: Richtige Antwort 1 Punkt, keine Antwort 0 Punkte, falsche Antwort −1 Punkt.