Semesterklausur zur Linearen Algebra II (7. 7. 95)

Professor Dr. H. Pahlings, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur \underline{eine} Aufgabe, und schreiben Sie auf j\underline{edes} Blatt Ihren Namen. Von den 8 gegebenen Aufgaben für insgesamt 65 Punkte können Sie eine beliebige Auswahl in beliebiger Reihenfolge bearbeiten. Sie brauchen mindestens 25 Punkte, um einen Übungsschein zu erhalten. Bitte beachten Sie bei der Bearbeitung der Aufgaben, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösungen bilden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Formulieren Sie Definitionen für die folgenden Begriffe.

(a) Was ist eine ”Sesquilinearform“, und wann heißt sie ”hermitesch“?

(b) Wann heißen zwei Matrizen ”ähnlich“, wann ”äquivalent“?

(c) Es seien a, b und d Elemente eines Integritätsbereichs. Wann heißt d ein ”größter gemeinsamer Teiler“ von a und b? 7 Punkte

Aufgabe 2. Es sei V ein 3-dimensionale IR-Vektorrraum und B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basisfolge von V. Ein

Skalarprodukt Φ auf V sei durch die Matrix [Φ]_{B} = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ.

(b) Ist Φ positiv definit? (Begründung.)

(c) Berechnen Sie den Rang und die Signatur von Φ.

(d) Ist Φ ausgeartet? (Begründung.) 8 Punkte

Aufgabe 3. Es sei V = Q I ^{3×1} und B die Standardbasis von V. Eine lineare Abbildung φ: V → V sei durch

die Abbildungsmatrix _{B}[φ]_{B} = A = [ \begin{matrix}−1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & −2 \\ 0 & −2 & 1 \end{matrix} ] gegeben.

(a) Ist φ diagonalisierbar? (Begründung.)

(b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P ∈ Q I ^{3×3}, so daß P^{−1}AP Diagonalgestalt hat.

(c) Es sei Φ: V × V → Q I ein Skalarprodukt auf V mit [Φ]_{B} = A. Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich Φ. 10 Punkte

Semesterklausur zur Linearen Algebra II (7. 7. 95)

Aufgabe 4.

(a) Berechnen Sie in ZZ_{2}[X] einen größten gemeinsamen Teiler d der Polynome

f_{1} = X^{3} + X^{2} + X + 1 und f_{2} = X^{5} + X^{4} + X^{2} + 1.

(b) Stellen Sie d in der Form a·f_{1} + b·f_{2} mit a, b ∈ ZZ_{2}[X] dar. 6 Punkte

Aufgabe 5. Es sei f = (X^{2} + 1)(X + 1)^{2} ∈ IR[X].

(a) Zeigen Sie: Haben zwei Matrizen A, B ∈ IR^{5×5} das Polynom f als Minimalpolynom, d. h., ist μ_{A} = μ_{B} = f, so sind A und B ähnlich.

(b) Wieviele Klassen ähnlicher Matrizen, die f als Minimalpolynom haben, gibt es in IR^{6×6} ? (Mit Beweis.) 9 Punkte

Aufgabe 6.

Berechnen Sie für die Matrix A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ ZZ_{2}^{4×4}

(a) die rationale kanonische Form,

(b) das charakteristische Polynom,

(c) das Minimalpolynom,

(d) die Weierstraßsche Normalform,

(e) falls sie existiert, die Jordansche Normalform. 10 Punkte

Aufgabe 7. Es sei IR^{2} = IR^{2×1}.

(a) Geben Sie für jeden der beiden IR-Vektorräume IR^{2} × IR^{2} und IR^{2} ⊗ IR^{2} eine Basis an, und zeigen Sie, daß die beiden Vektorräume isomorph sind.

(b) Zeigen Sie: Es gibt keinen Isomorphismus φ : IR^{2} × IR^{2} → IR^{2} ⊗ IR^{2} mit φ(u, v) = u ⊗ v für alle u, v ∈ IR^{2}.

(c) Läßt sich der Vektor z = [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ] ⊗ [ \begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix} ] ⊗ [ \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ] ∈ IR^{2} ⊗ IR^{2} in der Form u ⊗ v mit

u, v ∈ IR^{2} schreiben? (Hinweis: Benutzen Sie die eindeutige Darstellung von z und u ⊗ v in einer Basis von IR^{2} ⊗ IR^{2}.) 10 Punkte

Aufgabe 8. In einem euklidischen Ring R seien zwei Elemente a, b ∈ R mit 1 ∈ ggT(a, b) gegeben. Zeigen

Sie: R/aR ⊗ R/bR ≅ {0}

(als R-Moduln). 5 Punkte