G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 21.10.2008. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 1

Sei (V, (−, =)) ein euklidscher Vektorraum über ℝ.

Aufgabe 1 (8 = 3+3+2 Punkte). Sei L ein Gitter in V mit Grammatrix G bezüglich einer geeigneten Basis. Bestimme

• min(L) := min {(x, x) : x ∈ L \ {0}}

• S(L) := {x ∈ L : (x, x) = min(L)}

• Erzeuger von Aut(L)

• | Aut(L)| für folgende Grammatrizen G:

(a) G = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ).

(b) G = I_{3} die 3 × 3 - Einheitsmatrix.

(c) G = I_{n} die n × n - Einheitsmatrix für beliebiges n. (Hinweis: Jeder Automorphismus von L permutiert S(L).)

Aufgabe 2 (3 Punkte). Sei B = (b_{1}, …, b_{n}) eine Basis von V. Sei B′ = (b′_{1}, …, b′_{n}) die durch Gram-Schmidt-Orthogonalisierung aus B hervorgehende Orthogonalbasis. Zeige, daß (b_{i}, b_{i}) ≥ (b′_{i}, b′_{i}) stets.

Aufgabe 3 (3 Punkte). Sei L ein Gitter in V mit Grammatrix ( \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ −1 & 3 & −1 \\ −1 & −1 & 3 \end{matrix} ) bezüglich einer geeigneten Basis. Bestimme die Diskriminantengruppe L^{#}/L (als direktes Produkt zyklischer Gruppen, wie im Hauptsatz über abelsche Gruppen).

Aufgabe 4 (3 Punkte). Sei L ein volles Gitter in V mit Gitterbasis B. Zeige, daß das Parallelepiped P(B) (auch Parallelotop genannt) einen Fundamentalbereich für die Operation von L auf V darstellt.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc