G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 24.10.2008. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 2

Sei E = (V, (−, =)) ein euklidscher Vektorraum über ℝ mit Orthonormalbasis (e_{1}, …, e_{n}).

Aufgabe 1 (10=5+5 Punkte). Bestimme L^{#}, L^{#}/L und R(L) für die folgenden Wurzelgitter L.

(a) L = 𝔸_{n−1} := ⟨e_{1} − e_{2}, e_{2} − e_{3}, …, e_{n−1} − e_{n}⟩_{ℤ} für alle n ≥ 2.

(b) L = 𝔻_{n} := ⟨e_{1} − e_{2}, e_{2} − e_{3}, …, e_{n−1} − e_{n}, e_{n−1} + e_{n}⟩_{ℤ} für alle n ≥ 4.

Aufgabe 2 (11 = 3+2+3+3 Punkte).

(a) Sei L ein Wurzelgitter in E. Weiter seien v, w ∈ R(L). Zeige (i) σ_{v} ist eine Involution, d.h. σ_{v} hat Ordnung 2. (ii) Ist (v, w) = 0 so gilt σ_{v}σ_{w} = σ_{w}σ_{v} und σ_{v}σ_{w} hat Ordnung 2. (iii) Ist (v, w) = −1 so hat σ_{v}σ_{w} Ordnung 3.

(b) Sei L ein Wurzelgitter in E. Zeige, daß die Weyl-Gruppe W (L) trivial auf L^{#}/L operiert durch L^{#}/L × W (L) → L^{#}/L, (x + L, g) ↦ xg + L.

(c) Bestimme W (𝔸_{2}) und zeige Aut(𝔸_{2}) = ⟨W (𝔸_{2}), σ_{x}⟩ wobei (mit den Bezeichnungen aus Aufgabe 1) x := (e_{1} − e_{2}) + 2(e_{2} − e_{3}).

(d) Es sei n ≥ 4 gerade. Weiter seien L_{1} := ⟨𝔻_{n}, v⟩ und L_{2} := ⟨𝔻_{n}, v − e_{1}⟩ mit v := \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} e_{i}.

(i) Zeige daß L_{1} und L_{2} zwei verschiedene Teilgitter von 𝔻_{n}^{#} sind.

(ii) Zeige daß σ_{e_{1}} ein Automorphismus von 𝔻_{n} ist welcher L_{1} und L_{2} vertauscht. (iii) Folgere W (𝔻_{n}) ≠ Aut(𝔻_{n}).

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc