G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 31.10.2008.

Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 3

Aufgabe 1 (7=3+2+2 Punkte). Es gelten die Bezeichnungen von Aufgabe 1 auf Blatt 2.

(a) Sei v := \frac{1}{3}(−2e_{1} − 2e_{2} − 2e_{3} + e_{4} + e_{5} + e_{6} + e_{7} + e_{8} + e_{9}). Zeige, daß

𝔼_{8} = ⟨e_{1} − e_{2}, e_{2} − e_{3}, …, e_{7} − e_{8}, v⟩_{ℤ}

gilt. (Genauer: obiges Gitter besitzt eine Grammatrix wie in Beispiel 1.16 im Skript). Zeige weiter, daß 𝔸_{8} ⊆ 𝔼_{8} ⊆ 𝔸_{8}^{#} gilt und folgere 𝔼_{8} = 𝔼_{8}^{#}.

(b) Sei w := e_{9} − e_{8} (∈ 𝔸_{8} ⊆ 𝔼_{8}). Zeige 𝔼_{7} = ⟨w⟩_{ℤ}^{⊥,𝔼_{8}} und folgere det(𝔼_{7}) = 2.

(c) Sei w′ = e_{8} − e_{7}. Zeige 𝔼_{6} = ⟨w, w′⟩_{ℤ}^{⊥,𝔼_{8}} und folgere det(𝔼_{6}) = 3.

Aufgabe 2 (6=4+2 Punkte). Seien V = ℝ^{3} und L = ⟨(1, 4, −3), (3, −2, 3), (2, −2, 2)⟩_{ℤ}. Weiter seien U_{1} = ⟨(1, 1, 1)⟩_{ℝ} und U_{2} = ⟨(1, 0, −2), (2, 1, 1)⟩_{ℝ}. Ferner bezeichne π_{i} : V → U_{i} die Projektion von V = U_{1} ⊕ U_{2} auf U_{i}.

(a) Bestimme Gitterbasen für L_{1} := L ∩ U_{1}, L_{2} := L ∩ U_{2}, L′_{1} := Lπ_{1} und L′_{2} := Lπ_{2}.

(b) Bestätige durch direkte Rechnung, daß

L′_{1}/L_{1} ≅ L′_{2}/L_{2} ≅ (L′_{1} ⊕ L′_{2})/L ≅ L/(L_{1} ⊕ L_{2}) .

(Hinweis: Computeralgebrasystem wie z.B. Maple)

Aufgabe 3 (9=2+2+4+1 Punkte) Sei 𝔽_{4} = 𝔽_{2}(ω) mit ω^{2} + ω + 1 = 0. Sei C der 𝔽_{4}-lineare Code mit Erzeugermatrix

( \begin{matrix}1 & ω & ω^{2} & 1 & 0 & 1 \\ ω^{2} & 1 & 1 & 0 & ω & 0 \\ ω & ω^{2} & 0 & ω^{2} & 1 & 0 \end{matrix} ) .

(a) Bestimme den Minimalabstand d(C).

(b) Ist C ein perfekter Code?

(c) Bestimme einen MDD (minimal distance decoder) für C; d.h. gib eine geeignete Liste von Nebenklassenrepräsentanten in 𝔽_{4}^{1×6}/C an.

(d) Decodiere mit dem in (c) erstellten MDD das Wort x := (1, ω^{2}, 1, 1, ω, 0) zu einem Codewort aus C.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc