G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 11.11.2008.

Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 4

Aufgabe 1 (4 Punkte). Sei C < 𝔽_{3}^{1×4} der 𝔽_{3}-lineare Code mit Erzeugermatrix ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ). Bestimme das Codegitter L_{C} sowie das Minimum min(L_{C}). Ist L_{C} isometrisch zum Standardgitter ℤ^{1×4}?

Aufgabe 2 (2 Punkte). Sei (V, (−, =)) ein euklidischer Vektorraum und seien L′ ⊆ L zwei volle Gitter in V. Zeige det(L′) = det(L) · [L : L′]^{2}.

Aufgabe 3 (5 Punkte). Zeige: L_{H(𝔽_{2},3)^{⊥}} ist isometrisch zu 𝔼_{7}.

Hinweis: Sei B := (b_{1}, …, b_{7}) eine Orthogonalbasis von ℝ^{1×7} mit (b_{i}, b_{i}) = \frac{1}{2}.

• Bestimme eine Basis von L_{H(𝔽_{2},3)} ≤ ⟨b_{1}, …, b_{7}⟩_{ℤ} und dualisiere diese.

• Zeige: Die Zeilen von S := ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −2 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & −1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −1 & 0 & −1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & −1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ) bilden ebenfalls eine Basis

von L_{H(𝔽_{2},3)}^{#} bezüglich B.

• Bestimme die Grammatrix bezüglich dieser Basis.

Aufgabe 4 (9=3+2+4 Punkte).

(a) Sei K ein endlicher Körper oder ein Körper der Charakteristik 0. Weiter sei f ∈ K[X] \ K. Da K[X] ein faktorieller Ring ist, besitzt f bekanntlich eine eindeutige Faktorisierung f(X) = c · f_{1}(X) · · · · · f_{s}(X) in normierte irreduzible Faktoren f_{i} ∈ K[X] \ K mit c ∈ K.

Zeige: Es ist gcd(f, f′) = 1 genau dann wenn f_{i} ≠ f_{j} für alle i ≠ j.

(b) Zeige X^{N} − 1 ∈ 𝔽_{q}[X] zerfällt genau dann in paarweise verschiedene normierte irreduzible Faktoren wenn gcd(N, q) = 1.

(c) Bestimme Erzeuger- und Prüfmatrizen aller 𝔽_{7}-linearer zyklischer Codes der Länge 4.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc