G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 18.11.2008.

Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 5

Aufgabe 1 (5=2+2+1 Punkte). Sei f(X) = X^{3} + X^{2} + 1 ∈ 𝔽_{2}[X]. Es ist g(X) := (X^{7} − 1)/f(X) = X^{4} + X^{3} + X^{2} + 1. Sei C der zyklische Code der Länge 7 mit Erzeugerpolynom f(X).

(a) Bestimme den designierten Minimalabstand von C.

(b) Bestimme den Minimalabstand d(C) und vergleiche mit dem designierten Minimalabstand von C.

(c) Ist die Hammingschranke für d = d(C) und N = 7 scharf?

Aufgabe 2 (2 Punkte). Bestimme den designierten Minimalabstand eines zyklischen Codes der Länge 11 und Dimension 6 über 𝔽_{3}.

Aufgabe 3 (8=2+2+4 Punkte). Sei C der zyklische Code der Länge 15 über 𝔽_{4} mit Erzeugerpolynom

g(X) = X^{7} + X^{6} + ω^{2}X^{4} + X^{2} + ωX + ω ∈ 𝔽_{4}[X] .

wobei ω^{2} + ω + 1 = 0.

(a) Codiere (0, 1, 0, 0, 0, ω, 0, 0) mit der Division-mit-Rest-Methode.

(b) Wieviele Übertragungsfehlern können beim Unvollständigen Decodieren korrigiert werden?

(Hinweis: Bestimme den designierten Minimalabstand. Betrachte dazu g(X) über 𝔽_{16}.)

(c) Decodiere (0, 1, 0, ω^{2}, 0, ω, 0, 0, 0, ω, 0, ω^{2}, 0, ω^{2}, 1) mit dem Unvollständigen Decodierer, so möglich.

Aufgabe 4 (6=3+3 Punkte). Sei C der 𝔽_{3}-lineare Code mit Erzeugermatrix ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & −1 & −1 \end{matrix} ).

(a) Bestimme die vollständigen Gewichtszähler von C und C^{⊥}.

(b) Bestimme die Hamming Gewichtszähler von C und C^{⊥}.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc