G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 25.11.2008. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 6

Aufgabe 1 (2 Punkte). Zeige, daß die Länge eines Typ II Codes durch 8 teilbar ist. Hinweis: Seien a := \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) und b := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) in der Gruppe G_{II}. Betrachte (ab)^{3}.

Aufgabe 2 (6=3+3 Punkte). Sei C = C^{⊥} < 𝔽_{2}^{N} doppelt gerade. Bestimme p_{C} in den folgenden zwei Fällen:

(a) N = 48 und d(C) = 12.

(b) N = 72 und d(C) = 16.

Aufgabe 3 (13=1+2+5+4+1 Punkte). Sei n > 0 durch 4 teilbar. Wir setzen

g_{n} := ⟨(1, …, 1)⟩^{⊥} < 𝔽_{2}^{n}
d_{2n} := {(c, c) | c ∈ g_{n}} < 𝔽_{2}^{2n}
d_{2n}^{+} := ⟨d_{2n}, v⟩ < 𝔽_{2}^{2n}
z_{2n} := ⟨d_{2n}, w⟩ < 𝔽_{2}^{2n}
d_{2n}^{−} := ⟨d_{2n}, v + w⟩ < 𝔽_{2}^{2n}

wobei v := (\underbrace{1, …, 1}_{n}, 0 …, 0) ∈ 𝔽_{2}^{2n} und w := (1, \underbrace{0, …, 0}_{n−1}, 1, 0, …, 0) ∈ 𝔽_{2}^{2n}.

(a) Zeige, daß d_{2n}^{+} und d_{2n}^{−} äquivalente Codes sind.

(b) Zeige, daß d_{2n}^{+} und z_{2n} jeweils selbstdual sind.

(c) Zeige die folgenden Isometrien:

(i) L_{z_{2n}} ist isometrisch zum Standardgitter.

(ii) L_{d_{2n}} ≅ 𝔻_{2n}.

(iii) L_{d_{2n}^{+}} ≅ 𝔻_{2n}^{+} wobei 𝔻_{2n}^{+} das Gitter L_{1} aus Aufgabe 4d von Blatt 2 bezeichne. Hinweis: Es ist L_{d_{2n}} das gerade Teilgitter von L_{z_{2n}} und 𝔻_{2n} ist das gerade Teilgitter des Standardgitters. Weiter sind L_{d_{2n}^{+}} und L_{d_{2n}^{−}} ganz. Ferner wurde in Aufgabe 4d auf Blatt 2 L_{1} ≅ L_{2} gezeigt.

(d) Bestimme die Hamminggewichtszähler von g_{n}, d_{2n}, d_{2n}^{+} und z_{2n}.

(e) Zeige, daß d_{16}^{+} ein extremaler Code ist.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc