G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 2.12.2008.

Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 7

Aufgabe 1 (6=3+3 Punkte).

(a) Berechne die Thetareihe von 𝔻_{4} bis zum Term q^{8}. Wieviele Elemente von Quadratlänge 8 enthält 𝔻_{4} demnach?

(b) Berechne die Thetareihe von 𝔼_{7} bis zum Term q^{8}. Wieviele Elemente von Quadratlänge 8 enthält 𝔼_{7} demnach?

(Hinweis: Benutze Gewichtszähler isometrischer Codegitter.)

Aufgabe 2 (3 Punkte) Sei N ≥ 1 und p eine Primzahl. Sei (b_{1}, …, b_{N}) eine Orthogonalbasis von ℝ^{N} mit (b_{i}, b_{i}) = \frac{1}{p} stets. Weiter sei M = ⟨b_{1}, …, b_{N}⟩_{ℤ} und a_{1}, …, a_{N} ∈ \{0, 1, …, p − 1\}. Zeige, daß

Θ_{∑_{i=1}^{N} a_{i}b_{i}+pM}(q) = ∏_{i=1}^{N} θ_{a_{i},p}(q) .

Aufgabe 3 (9=3+3+3 Punkte) Seien ℓ und p zwei Primzahlen mit der Eigenschaft, daß ℓ ein Quadrat modulo p ist. Weiter sei Q := {a ∈ {1, …, p − 1} | a ist ein Quadrat modulo p}.

(a) Sei ζ eine primitive p-te Einheitswurzel in einem Erweiterungskörper von 𝔽_{ℓ}. Weiter sei p_{Q}(X) := ∏_{q∈Q}(X − ζ^{q}). Zeige p_{Q} ∈ 𝔽_{ℓ}[X].

(b) Sei nun QR(𝔽_{ℓ}, p) der zyklische Code der Länge p über 𝔽_{ℓ} mit Erzeugerpolynom p_{Q} und bezeichne d sein Minimum. Zeige d^{2} ≥ p.

(c) Zeige: Ist p ≡ −1 mod 4, so gilt sogar d^{2} − d + 1 ≥ p.

Aufgabe 4 (5 Punkte) Sei n ≥ 1 und t ∈ ℝ_{>0}. Weiter sei f: ℝ^{n} → ℂ, x ↦ exp (−\frac{π}{t}xx^{tr}). Zeige, daß sich ihre Fouriertransformierte f̂: ℝ^{n} → ℂ ergibt zu

f̂(y) = t^{n/2} exp (−πtyy^{tr}) .

Hinweis: Der Satz von Fubini zeigt, daß man n = 1 annehmen darf. Nach geeigneter Substitution wird t = 1. Dann kann man z.B. zeigen daß die Ableitung von \frac{f̂(y)}{e^{−πy^{2}}} Null ist. Also ist f̂(y) = f̂(0) · exp(−πy^{2}).

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc