G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 9.12.2008.

Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 8

Aufgabe 1 (5 Punkte).

Bestimme alle diskreten Bewertungen von ℚ.

(Hinweis: Ist v eine solche Bewertung, so ist ℤ ⊆ R_{v}. Nun zeige man, daß es genau eine Primzahl p ∈ ℤ gibt, die mit 1 bewertet wird; alle anderen haben Bewertung 0.)

Aufgabe 2 (6=1+1+1+3 Punkte) Sei v eine diskrete Bewertung auf einem Körper K. Zeige:

(a) Sind x, y ∈ K mit |x|_{v} ≠ |y|_{v} dann ist |x + y|_{v} = max{|x|_{v}, |y|_{v}}. Folgere, daß jedes Dreieck in K gleichschenklig ist.

(b) Ist (a_{n})_{n} eine Cauchy-Folge in K, so existiert ein r ∈ ℝ mit |a_{n}|_{v} ≤ r für alle n ∈ ℕ.

(c) Ist (a_{n})_{n} eine Cauchy-Folge in K, aber keine Nullfolge, so existieren δ > 0 und N ∈ ℕ mit |a_{n}|_{v} ≥ δ für alle n ≥ N.

(d) Die Menge der Cauchy-Folgen bilden einen Teilring des Rings aller Folgen in K und die Menge der Nullfolgen sind ein Ideal in diesem Teilring.

Aufgabe 3 (8=1+1+2+2+2 Punkte) Bestimme die p-adische Entwicklung ∑_{i=k}^{∞} a_{i}p^{i} mit 0 ≤ a_{i} ≤ p − 1 für alle i ≥ k und k ∈ ℤ der folgenden Zahlen:

(a) a+b und a·b mit a = 5^{−1}+2+3·5+4·5^{2}+4·5^{3} und b = 2·5^{−2}+4·5^{−1}+1+3·5^{2} ∈ ℚ_{5}.

(b) −1 ∈ ℚ_{p} mit p beliebig.

(c) \frac{1}{3} ∈ ℚ_{7}.

(d) \frac{1}{3} ∈ ℚ_{5}.

(e) \frac{1}{5·13} ∈ ℚ_{5}.

Aufgabe 4 (4=1+3 Punkte) Eine p-adische Entwicklung ∑_{i=k}^{∞} a_{i}p^{i} mit 0 ≤ a_{i} ≤ p−1 für alle i ≥ k und k ∈ ℤ heißt endlich, falls {i ≥ k | a_{i} ≠ 0} endlich ist. Sie heißt periodisch falls es ganze Zahlen N ≥ k und ℓ ∈ ℕ gibt mit a_{i+ℓ} = a_{i} für alle i ≥ N. Zeige:

(a) Ist x ∈ ℕ_{0}, so ist die p-adische Entwicklung von x endlich.

(b) Die p-adische Entwicklung von x ∈ ℚ_{p} ist genau dann periodisch wenn x in ℚ liegt.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc