G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 16.12.2008. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 9

Aufgabe 1 (6=2+2+2 Punkte). Sei v eine vollständige diskrete Bewertung mit Bewertungsring R und f(X) ∈ R[X]. Weiter sei a_{0} ∈ R mit d := v(f(a_{0})) − 2v(f′(a_{0})) > 0 gegeben. Setze a_{n} := a_{n−1} − f(a_{n−1})/f′(a_{n−1}) für n ≥ 1 und schreibe a := lim_{n→∞} a_{n}.

(a) Zeige, daß v(f(a_{n})) ≥ (2^{n} − 1)d + v(f(a_{0})) für alle n ≥ 0.

(b) Zeige, daß v(a_{n} − a) = v(f(a_{n})) − v(f′(a_{0})) für alle n ≥ 0.

(c) Zeige, daß v(a_{n} − a) ≥ 2^{n}d + v(f′(a_{0})) für alle n ≥ 0.

Aufgabe 2 (11 = 2+2+2+2+3 Punkte). Für jedes der folgenden Polynome f(X) ∈ ℤ_{p}[X] bestimme jeweils die Anzahl der verschiedenen Nullstellen in ℤ_{p} sowie eine Näherung 6-ter Ordnung jeder Nullstelle, d.h. die ersten 6 Ziffern der Standarddarstellung (vgl. dazu Aufgabe 1).

(a) f(X) = X^{3} + X^{2} − 1 ∈ ℤ_{3}[X].

(b) f(X) = X^{3} − 2 ∈ ℤ_{5}[X].

(c) f(X) = X^{2} − 3X − 9 ∈ ℤ_{3}[X].

(d) f(X) = X^{3} + 1 ∈ ℤ_{7}[X].

(e) f(X) = X^{3} + X^{2} − X + 17 ∈ ℤ_{3}[X].

Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei p eine Primzahl. Bestimme den Isomorphietyp von ℤ_{p}^{∗}/(ℤ_{p}^{∗})^{2} und ℚ_{p}^{∗}/(ℚ_{p}^{∗})^{2} sowie Erzeuger dieser Gruppen im Fall p = 2.

Aufgabe 4 (4 Punkte). Sei A ein kommutativer Ring, E ein endlich erzeugter freier A-Modul und b eine symmetrische Bilinearform auf E. Weiter sei G = (b(e_{i}, e_{j}))_{i,j} die Grammatrix von b bezüglich einer A-Basis (e_{1}, …, e_{n}) von E. Zeige, daß E genau dann regulär ist, wenn det(G) ∈ A^{∗} gilt. Folgere, daß ein volles ganzes Gitter L in einem Euklidischen Raum (V, (−, =)) genau dann regulär ist wenn L = L^{#} gilt.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc