G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 06.01.2009. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 10

Aufgabe 1 (6=1+1+1+3 Punkte). Sei A ein kommutativer Ring und (E, q) ein quadratischer A-Modul. Weiter sei x ∈ E mit q(x) ∈ A^{∗}. Es bezeichne σ_{x}: E → E die Spiegelung entlang x. Zeige:

(a) σ_{x} ∈ O(E, q) und σ_{x}(x) = −x

(b) σ_{x}(y) = y für alle y ∈ E mit b_{q}(x, y) = 0.

(c) σ_{x}^{2} = id_{E}

(d) Es ist S(E) := ⟨σ_{x} | x ∈ E und q(x) ∈ A^{∗}⟩ ein Normalteiler in O(E, q).

Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei ℓ eine Primzahlpotenz und (E, q) ein zweidimensionaler regulärer quadratischer 𝔽_{ℓ}-Vektorraum. Zeige, daß (E, q) entweder zur hyperbolischen Ebene ℍ(𝔽_{ℓ}) oder aber zu (𝔽_{ℓ^{2}}, N) mit N: 𝔽_{ℓ^{2}} → 𝔽_{ℓ}, x ↦ x^{ℓ+1} isometrisch ist; je nachdem ob der Wittindex 1 oder 0 ist.

Aufgabe 3 (8=3+5 Punkte). Sei 𝔽_{ℓ} ein endlicher Körper.

(a) Bestimme O(ℍ(𝔽_{ℓ})).

(b) Bestimme O((𝔽_{ℓ^{2}}, N)).

Hinweis: Sei F: 𝔽_{ℓ^{2}} → 𝔽_{ℓ^{2}}, x ↦ x^{ℓ}. Dann ist (1, F) nach Dedekinds Lemma linear unabhängig über 𝔽_{ℓ^{2}}.

Aufgabe 4 (3=1+2 Punkte). Sei A ein Körper und (E, q) ein regulärer quadratischer A-Modul mit E ≠ {0}. Zeige:

(a) Ist (E, q) nicht anisotrop, so ist q: E → A surjektiv.

(b) Es ist a ∈ A^{∗} genau dann im Bild von q falls (E, q) ⊥ [−a] nicht anisotrop ist.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc