G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 13.01.2009. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 11

Aufgabe 1 (12=3+3+3+3 Punkte). Zeige, daß es in den folgenden Fällen bis auf Permutationsäquivalenz nur einen selbstdualen Code in 𝔽_{ℓ}^{1×n} gibt wobei

(a) n = 2 und ℓ ≡_{4} 1 eine Primzahlpotenz.

(b) n = 4 und ℓ = 5.

(c) n = 4 und ℓ = 3. (Hinweis: Betrachte den Code C mit Erzeugermatrix ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{matrix} ).)

(d) n = 8 und ℓ = 3.

(Hinweis: Betrachte {(c, d) | c, d ∈ C}.)

Aufgabe 2 (8=4+4 Punkte). Sei ℓ eine Primzahlpotenz.

(a) Bestimme |O_{2m}^{−}(𝔽_{ℓ})|.

(b) Bestimme |O_{2m+1}(𝔽_{ℓ})|.

Aufgabe 3 (5=2+3 Punkte). Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Weiter seien s ∈ ℕ und V_{1}, …, V_{s} echte Teilräume von V. Ist K endlich, so sei ferner s < |K| vorausgesetzt.

(a) Zeige V ≠ ⋃_{i=1}^{s} V_{i}.

(Hinweis: Induktion nach s. Im Induktionsschritt darf man annehmen, daß es ein v ∈ V_{s} − ⋃_{i=1}^{s−1} V_{i} und ein w ∈ V_{1} − V_{s} gibt. Nun zeigt man, daß es für jedes 1 ≤ i ≤ s höchstens ein λ_{i} ∈ K gibt mit w + λ_{i}v ∈ V_{i}.)

(b) Folgere aus (a), daß V = ⟨V − ⋃_{i=1}^{s} V_{i}⟩.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc