G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 20.01.2009.

Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 12

Aufgabe 1 (5=2+3 Punkte). Sei n ∈ ℕ und q eine Primzahlpotenz. Weiter sei Γ = Γ(n, q) der Graph mit der Eckenmenge M(n, q). Zwei Ecken C, D ∈ M(n, q) seien genau dann in Γ verbunden, falls dim(C ∩ D) = \frac{n}{2} − 1 gilt. Zeige:

(a) Für C, D ∈ M(n, q) ist d(C, D) := \frac{n}{2} − dim(C ∩ D) die Länge eines kürzesten Weges von C nach D in Γ.

(b) Die Einschränkung von Γ(n, 2) auf die doppeltgeraden Codes in 𝔽_{2}^{n} ist zusammenhängend.

Aufgabe 2 (3 Punkte). Sei K ein Körper. Zeige, daß jede Klasse in W Q(K) einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten anisotropen Vertreter enthält.

Aufgabe 3 (8 = 3+5 Punkte).

(a) Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2. Zeige W Q(K) = ⟨[[a]] | a ∈ K^{∗}/(K^{∗})^{2}⟩ und es gilt die Identität

(∗) [[a]] + [[b]] = \begin{cases}0 & falls a + b = 0 \\ [[a + b]] + [[(a + b)ab]] & sonst \end{cases} für alle a, b ∈ K^{∗} .

(b) Für K ∈ {𝔽_{3}, 𝔽_{5}, ℝ} wähle jeweils ein Vertretersystem (a_{1}, …, a_{s}) von K^{∗}/(K^{∗})^{2}. Bestimme die durch (∗) induzierten Relationen zwischen [[a_{i}]] und [[a_{j}]] für 1 ≤ i < j ≤ s explizit und zeige, daß diese eine Menge definierender Relationen bilden.

Aufgabe 4 (4 Punkte). Sei q eine Primzahlpotenz. Bestimme den Isomorphietyp von W Q(𝔽_{q}) (Hinweis: Beispiel 10.5).

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc