G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 27.01.2009. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 13

Aufgabe 1 (4 Punkte). Sei N eine Untergruppe einer endlichen abelschen Gruppe A. Zeige, daß sich jeder Homomorphismus N → ℚ/ℤ zu einem Homomorphismus A → ℚ/ℤ fortsetzen läßt.

Aufgabe 2 (9=3+3+3 Punkte). Für k = 1, 3 und ℓ = 1, 3, 5, 7 seien

ϕ_{k} := (ℤ/2ℤ, q) mit q(1 + 2ℤ) = \frac{k}{4} + ℤ
ψ_{ℓ} := (ℤ/4ℤ, q) mit q(1 + 4ℤ) = \frac{ℓ}{8} + ℤ
χ := (𝔽_{4}, \frac{1}{2}N) ≅ (ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ, q) mit q(x) = \frac{1}{2} + ℤ für alle x ≠ 0.

Zeige, daß in W Q(2) gilt:

(a) m[ψ_{1}] = [ψ_{m mod 8}] für alle ungeraden m ∈ ℤ.

(b) 4[ψ_{1}] = [χ]

(c) [ϕ_{1}] + [ϕ_{3}] = 0

Aufgabe 3 (7=3+4 Punkte). Für ein gerades Gitter L in einem Euklidischen Vektorraum (V, b) versehen wir die Diskriminantengruppe L^{#}/L mit der quadratischen Form

q: L^{#}/L → ℚ/ℤ, q(ℓ + L) := \frac{1}{2}b(ℓ, ℓ) + ℤ .

Bestimme die Gauss-Summe Γ((L^{#}/L, q)) für die folgenden Gitter L.

(a) L = 𝔼_{k} für k = 6, 7, 8.

(b) L = 𝔻_{n} mit n ≥ 4.

Aufgabe 4 (5 Punkte). Sei p eine ungerade Primzahl. Bestimme die Isometrieklassen aller 4-dimensionaler regulärer quadratischer ℚ_{p}-Vektorräume.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc