G. Nebe, M. Kirschmer Abgabe am 03.02.2009. Gitter und Codes, WS 08/09

Blatt 14

Aufgabe 1 (6 Punkte). Zeige, daß der quadratische ℚ_{2}-Vektorraum [1, 1, 1, 1] anisotrop und universell ist.

Aufgabe 2 (6 Punkte). Sei (E, q) ein regulärer anisotroper quadratischer ℚ_{p}-Vektorraum. Zeige, daß

L := {v ∈ E | q(v) ∈ ℤ_{p}}

das einzige maximal ganze ℤ_{p}-Gitter in (E, q) ist. (Hinweis: Angenommen, es gibt v, w ∈ L mit i := v_{p}(b_{q}(v, w)) < 0. Dann hat f(X) := p^{−i} · q(v + Xw) ∈ ℤ_{p}[X] modulo p die Nullstelle −\frac{q(v)}{b_{q}(v,w)}. Lifte diese.)

Aufgabe 3 (7=4+3 Punkte). Bestimme die Isometrieklassen und Geschlechter aller Gitter von Rang 2 mit Determinante d wobei

(a) d = 15.

(b) d = 11.

              http://www.math.rwth-aachen.de/~kirschme/gc